Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

(NB) Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 được tổ chức thành 5 chương, cung cấp cho người học những kiến thức về: Giới hạn của dãy số và hàm số, đạo hàm và vi phân hàm một biến, tích phân hàm một biến số, lý thuyết chuỗi, ma trận, định thức và ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1

Phụ lục 5 TRƢỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MÔN TOÁN CAO CẤP A1 GV biên soạn: TRẦN THIỆN KHẢI Trà Vinh, tháng 02-2013 Lƣu hành nội bộ
MỤC LỤC Nội dung Trang Chƣơng 1: GIỚI HẠN CỦA DẠY SỐ VÀ HÀM SỐ 3 Bài 1: CÁC TRƢỜNG SỐ............................................................................... 3 Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN ..................................................................... 8 Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ................................................................. 15 Bài 4: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN ................................................. 21 Bài 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC .......................................................................... 23 Chƣơng 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 Bài 1: ĐẠO HÀM .......................................................................................... 26 Bài 2:VI PHÂN .............................................................................................. 31 Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN ....................... 36 Chƣơng 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 46 Bài 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ................................................................... 46 Bài 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ................................................................... 61 Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ............................ 67 Bài 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG .................................................................. 75 Chƣơng 4: LÝ THUYẾT CHUỖI 82 Bài 1: LÝ THUYẾT CHUỖI ......................................................................... 82 Bài 2: CHUỖI SỐ DƢƠNG .......................................................................... 84 Bài 3: CHUỖI ĐAN DẤU ............................................................................. 86 Bài 4: CHUỖI LŨY THỪA........................................................................... 87 Chƣơng 5: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG ................................. 91 Bài 1: KHÔNG GIAN VECTƠ Rn ................................................................ 91 Bài 2: LÝ THUYẾT SƠ CẤP VỀ MA TRẬN .............................................. 93 Bài 3: ĐỊNH THỨC ..................................................................................... 101 Bài 4: HẠNG CỦA MA TRẬN .................................................................. 112 Bài 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT .. 116 Bài 6: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT .................. 131 TÀI LIỆU THAM KHẢO 136 Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 2
Chƣơng 1: GIỚI HẠN CỦA DẠY SỐ VÀ HÀM SỐ Bài 1: CÁC TRƢỜNG SỐ  Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, ngƣời học có thể: - Nắm vững các kiến thức cơ bản về tập các số và các phép tính về số phức. - Hiểu kỹ các kiến thức đó, làm thành thạo với các phép toán về số phức, biết sử dụng dạng lƣợng giác của số phức. 1.1. Tập các số Tập số tự nhiên: N = {1 ; 2; 3; ….} Tập số nguyên: Z = 0;  1;  2;...  p  Tập số hữu tỷ: Q =  x sao cho x  ;p,q  Z,q  0  q  Một số hữu tỷ bao giờ cũng viết đƣợc dƣới dạng một số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn. 1 3 Ví dụ 1:  0,25 ;  0,75. 4 4 7 7  1,1666... ta có thể viết  1,1(6) 6 6 15 15  1,363636... hay  1, (36) 11 11 Ngƣợc lại, cho một số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn thì nó sẽ biểu diễn một số hữu tỷ nào đó.  Số thập phân hữu hạn a0,a1a2…an sẽ biểu thị số hữu tỷ: p a a a  a 0  1  22    nn q 10 10 10  Số thập phân vô hạn tuần hoàn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) sẽ biểu thị số hữu tỷ: p a1 a 2 an 10mn  b1 b 2 b   a 0   2    n  m   2    mm  q 10 10 10 10  1  10 10 10  Nhận xét: Một số thập phân hữu hạn cũng có thể đƣợc xem là số thập phân vô hạn tuần 1 1 hoàn, chẳng hạn:  0,25000... hay  0,25(0) 4 4 Nhƣ vậy có sự đồng nhất giữa tập số hữu tỷ và tập các số thập phân vô hạn tuần hoàn. Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 3
Định nghĩa 1: Một số biểu diễn đƣợc dƣới dạng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn đƣợc gọi là số vô tỷ. Tập các số vô tỷ kí hiệu là: I Ví dụ 2: 2  1,414213562...;   3,141592653... ; Tập số thực R = Q  I Đường thẳng thực (trục số): Trên đƣờng thẳng  , lấy điểm O làm gốc và chọn   vectơ đơn vị OE  e . Số x là số thực khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một điểm M thuộc   đƣờng thẳng  sao cho OE  xe . Khi đó điểm M đƣợc gọi là điểm biểu diễn hình học của số thực x trên đƣờng thẳng  và đƣờng thẳng  đƣợc gọi là đƣờng thẳng thực hay trục số. 0 1 x O E M Hình 1.1 1.2. Số phức  Số phức là số có dạng: z = a + ib, trong đó a, b  R, i là đơn vị ảo với i2 = –1  Ta ký hiệu: a = Rez gọi là phần thực; b = Imz gọi là phần ảo. C là tập hợp tất cả các số phức.  Số phức z = a + ib có thể biểu diễn hình học là một điểm M(a;b) trên mặt phẳng Oxy.  Số phức z  a  ib đựoc gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + ib, hai số phức liên hợp đối xứng nhau qua Ox. y Phép toán: Cho 2 số phức z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2, b M(a; b) z = a + ib khi đó ta có: r  z1  z 2   a1  a 2   i  b1  b 2  O a x z1.z 2   a1a 2  b1b 2   i  a1b 2  a 2 b1  z1 a1a 2  b1b 2 b1a 2  a1b 2   i ; z  0 z  a  ib a 22  b 22 a 22  b 22 -b 2 z2 Re z1  Re z 2 z1  z 2   Hình 1.2 Im z1  Im z 2 Chú ý: Ta thực hiện các phép toán theo quy tắc chung thuận tiện hơn. Ví dụ 3: (1 – 3i) + (– 2 + 7i) = – 1 + 4i (1 – i)(2 + i) = 2 + i – 2i – i2 = 3 – i Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 4
1 4i 4i   4  i  4  i  4  i  17 Dạng lượng giác của số phức:  Ta biểu diễn số phức z = a + ib bởi vectơ OM , gọi r  OM  a 2  b2 là mođun của số phức z, ký hiệu: z .    Góc   Ox, OM đƣợc xác định sai khác nhau 2k; k  Z gọi là argument, b Ký hiệu: Argz. Ta có tg  . a Từ ý nghĩa hình học, ta có a  r cos  ; b  rsin   z  r  cos   isin  . Ví dụ 4: Biểu diễn số phức z = 1 + i dƣới dạng lƣơng giác.     Ta có: r  12  12  2 , tg  1     z  2  cos  isin  . 4  4 4 Cho các số phức: z  r  cos   isin  ; z1  r1  cos 1  isin 1 ; z 2  r2  cos 2  isin 2  . z1.z 2  r1.z 2 cos  1  2   isin  1  2    z1.z 2  z1 z 2 ; Arg  z1.z 2   Argz1  Argz 2  2k z1 r1  cos  1  2   isin  1  2   z 2 r2  z1 z z    1 ; Arg  1   Argz1  Argz 2  2k z2 z2  z2  z n  r n  cos n  isin n  z n  z ; Arg  z n   nArgz  2k n n z  u  un  z Biểu diễn u dƣới dạng u    cos   isin   . Ta có: u n  z  n  cosn  isin n   r  cos   isin    n r n  r      k2 n    k2   ; k  0; n  1  n Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 5
   k2   k2   u  n r  cos  isin  ; k  0; n  1  n n  Tính a/. A  1  i  . b/. u  4 1  i 20 Ví dụ 5:    Giải : a/ Ta có: A  2  cos  isin   A  210  cos5  isin5   210 .  4 4 b/    k2   k2  8    k8   k8  z2  4 2  cos 4  isin 4   2  cos  isin  ; k  0; 3  4 4   16 16   u  4 1  i có 4 giá trị:     9 9  u 0  8 2  cos  isin  u1  8 2  cos  isin   16 16   16 16   17 17   25 25  u 2  8 2  cos  isin  u 3  8 2  cos  isin   16 16   16 16  1.3. Khoảng – Lân cận Định nghĩa 2: Khoảng là tập hợp các số thực (hay các điểm) nằm giữa hai số thực (hay hai điểm) nào đó. Phân loại khoảng: Khoảng hữu hạn: Khoảng đóng: a,b  x  R a  x  b Khoảng mở:  a,b   x  R a  x  b Khoảng nửa đóng, nửa mở:  a,b  x  R a  x  b a,b   x  R a  x  b Khoảng vô hạn:  ,a   x  R x  a ;  ,a   x  R x  a  b,     x  R x  b ;  b,     x  R x  b Định nghĩa 3: Giả sử a là một số thực, khoảng mở (a -  , a +  ) (với  > 0) đƣợc gọi là lân cận bán kính  của a. ( ) Hình 1.3 a – a a + Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 6
 Bài tập cũng cố: 1). Thực hiện các phép toán sau: (5  i)(7  6i) a) (2  i)(3  i)  (3  2i)(4  i); b) (3  5i)(2  i)  (1  2i)(5  3i); c) ; 3i (5  i)(3  5i) (1  i ) 5 e) (2  i)  (2  i) ; 3 3 d) ; f) ; 2i (1  i ) 3 2). Tính các biểu thức: (a) (1  i)1000 ; (b) (1  i 3)150 ; (c) ( 3  i) 30 ; 3 i 24 1  i 3 12 (d ) (1   ) ; (e) (2  2  i)12 ; ( f ) ( ) 2 2 1 i Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 7
Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN  Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, ngƣời học có thể nắm vững một cách có hệ thống về hàm một biến số, giới hạn của dãy số. 2.1. Hàm số 2.1.1. Định nghĩa 1 Cho X  R, một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với mỗi giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y. Kí hiệu y = f(x)  x đƣợc gọi là biến độc lập, y đƣợc gọi là biến phụ thuộc.  X đƣợc gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df .  Tập Y = y  R \ y  f (x), x  Df  đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số, kí hiệu Rf Ví dụ 1: Khi nuôi một con bò, quan sát quá trình tăng trọng của bò ta có mối liên hệ giữa thời gian nuôi t (ngày) và trọng lƣợng m (kg) của con bò là một hàm số m = m(t). Một hàm số thƣờng đƣợc cho dƣới dạng công thức nhƣ các ví dụ sau: y=x y = 2x + 3 y = sinx – 2x 2.1.2. Định nghĩa 2 Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm M(x, f(x)) trong hệ tọa độ Descartes, G = M(x,f (x), x  Df  Ví dụ 1’: 1) Đồ thị hàm số y = x2 Hình 1.4 3/2 2) Đồ thị hàm số y = x Hình 1.5 Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 8
2.1.3. Các tính chất a. Hàm số đơn điệu Định nghĩa 3:  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là tăng (hay tăng nghiêm ngặt) trên tập E  Df , nếu với mọi x1, x2  E , x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2) (hay f(x1) < f(x2)).  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là giảm (hay giảm nghiêm ngặt) trên tập E  Df , nếu với mọi x1, x2  E , x1 < x2 thì f(x1)  f(x2) (hay f(x1) > f(x2)).  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là hàm số đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) trên E  Df nếu nó tăng hoặc giảm (hay tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt) trên E. Nếu ta sử dụng thuật ngữ trên mà không nhắc đến tập E thì coi nhƣ E = Df Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-  , 0] và tăng nghiêm ngặt trên [0, +  ). Thật vậy, giả sử x1, x2  [0, +  ) và x1 < x2. Khi đó ta có: f(x1) – f(x2) = x12 – x22 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) < 0  f(x1) < f(x2) Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt trên [0, +  ). Chứng minh tƣơng tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-  , 0] . b. Hàm số chẵn và hàm số lẻ. Định nghĩa 4: Tập X đƣợc gọi là tập đối xứng qua gốc tọa độ O nếu với bất kỳ x  X thì –x  X. Ngƣời ta thƣờng gọi tắt là tập đối xứng. Định nghĩa 5: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có:  Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(– x) = f(x).  Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(– x) = – f(x). Ví dụ 3: a. Hàm số f(x) = x2 là hàm số chẵn trên R. b. Hàm số g(x) = x3 là hàm số lẻ trên R. Thật vậy, với mọi x  R , ta có: f(– x) = (– x)2 = x2 = f(x) g(– x) = (– x)3 = – x3 = – f(x) Chú ý: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O. c. Hàm số bị chặn. Định nghĩa 6:  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặn dƣới trên tập X  Df nếu tồn tại số a  R sao cho Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 9
f(x)  a, x X.  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặn trên trên tập X  Df nếu tồn tại số b  R sao cho f(x)  b, x X.  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặn trên tập X  Df nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dƣới, tức là tồn tại hai số a, b  R sao cho a  f(x)  b, x  X. Chú ý: Đồ thị của hàm số bị chặn sẽ nằm giữa hai đƣờng thẳng y = a và y = b. 4 Ví dụ 4: Hàm số f(x) = bị chặn trên tập X= [1, +  ). x 4 4 Thật vậy, với mọi x  X ta luôn có: f(x) = > 0 và f(x) =
Các hàm số còn lại chứng minh tƣơng tự (coi nhƣ bài tập) e. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc. Định nghĩa 8: Cho hai hàm số f(x) và g(x) thoả Rf  Dg, khi đó hàm số hợp của f(x) và g(x) là hàm số h(x) đƣợc xác định h(x) = g[f(x)] với mọi x  Df . Kí hiệu h = g  f. Ví dụ 6: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = 2x. Hãy xác định hàm số g  f và f  g. 2 g  f = g[f(x)] = g(x2) = 2x f  g = f[g(x)] = f(2x) = (2x)2 = 22x Định nghĩa 9: Cho hàm số y = f(x) thõa: với mọi x1, x2  Df và x1  x2, ta luôn có f(x1)  f(x2). Khi đó hàm số ngƣợc của hàm số f, kí hiệu f –1 đƣợc xác đinh bởi: x= f -1(y), với y = f(x). Ví dụ 7: Hàm số y = x3 có hàm ngƣợc là y3 x. Chú ý: Nếu g là hàm ngƣợc của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df . Đồ thị của hai hàm số ngƣợc nhau đối xứng qua đƣờng thẳng y = x. Điều kiện để hàm số y = f(x) có hàm ngƣợc là hàm f phải tồn tại trong miền xác định của nó. f. Hàm số sơ cấp. Định nghĩa 10: Các hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số:  Hàm số luỹ thừa: y = x  (   R).  Hàm số mũ: y = ax (0 < a  1)  Hàm số logarithm: y = logax (0 < a  1)  Các hàm số lƣợng giác: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotgx  Các hàm lƣợng giác ngƣợc: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx i. y = arcsinx:   Hàm số y = sinx là hàm tăng nghiêm ngặt trên [ ; ] nên nó có hàm ngƣợc: 2 2 x=arcsiny.   Hàm ngƣợc của y = sinx (  x  ) là y = arcsinx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị 2 2   của hàm y = sinx (  x  ) qua đƣờng thẳng y = x. 2 2 Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 11
ii. y = arccosx: Hàm số y = cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên [0; ] nên nó có hàm ngƣợc x = arccosy. Hàm ngƣợc của hàm y = cosx (0  x  ) là y = arccosx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y = cosx (0  x  ) qua đƣờng thẳng y = x. iii. y = arctgx:   Hàm số y = tgx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ( ; ) nên nó có hàm ngƣợc: x = arctgy. 2 2   Hàm ngƣợc của hàm y = tgx (  x  ) là y = arctgx, đồ thị của nó đối xứng với đồ 2 2   thị của hàm y = tgx (  x  ) qua đƣờng thẳng y = x. 2 2 iv. y = arccotgx: Hàm số y = cotgx giảm nghiêm ngặt trên (0,) nên nó có hàm ngƣợc x = arccotgy. Hàm ngƣợc của hàm y = cotgx (0 < x < ) là y = arccotgx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của y = cotgx (0 < x < ) qua đƣờng thẳng y = x. Định nghĩa 11: Hàm số sơ cấp là những hàm số đƣợc tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán đại số thông thƣờng (cộng, trừ, nhân, chia với mẫu khác không) và phép lấy hàm hợp từ những hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.  y  cos 4 x  sin( x  )  3 4 x Ví dụ 8: Các hàm số sơ cấp: y 2 x 2 4 y  5 x 2  lg 3x  1 2.2. Giới hạn của dãy số 2.2.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên tập N = {1, 2, 3…., n}, khi đó các giá trị của hàm f ứng với n = 1, 2, 3, … lập thành một dãy số: f(1), f(2), f(3),…, f(n). Nếu ta đặt xn = f(n), n = 1, 2, 3,... thì dãy số nói trên đƣợc viết thành: x1,x2,x3,…,xn hay viết gọn {xn}. Mỗi x1, x2, x3, … đƣợc gọi là số hạng của dãy số {xn}, xn gọi là số hạng tổng quát. Ví dụ 1: a. {xn}, với xn = a n: a, a, a…. b. {xn}, với xn = (–1)n : –1, 1, –1, 1, … , (– 1)n Định nghĩa 2: Số a đƣợc gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếu  > 0 cho trƣớc (bé tùy ý), tồn tại số tự nhiên N sao cho:  n > N thì xn  a   . Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 12
Ký hiệu: lim x n  a hay xn  a khi n   . n Định nghĩa 3: - Nếu dãy {xn} có giới hạn là một số hữu hạn a thì ta nói dãy số {xn} hội tụ hay hội tụ về a. - Nếu dãy {xn} không hội tụ thì ta nói dãy số{xn} phân kì. Ví dụ 2: Chứng minh rằng lim x n  lim n n 1 n n  1 n 1 1 Với mọi   0, ta xét x n  1  1   ε  n  1 n 1 n 1 ε 1 n Vậy   0 (bé tùy ý), N  [ -1]sao cho n  N  1  ε ε n 1 n Vậy lim xn  lim 1 n n n  1 Định nghĩa 4: Dãy số {xn} đƣợc gọi là dãy số dần tới  khi n  nếu M > 0, lớn tùy ý, Nsao cho n  N thì x n  M . Ký hiệu: lim xn   hay xn  khi n  . n Ví dụ 3: Chứng minh rằng lim x n  lim 5n   n n Xét x  5n  5n  M  n  log M n 5 M  0 , lớn tùy ý: N  [log M ] : n  N  5n > M . 5 Vậy: lim 5n   n 2.2.2. Các tính chất 1. Nếu dãy số {xn} có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. 2. Nếu dãy số {xn} có lim x n  a và a > p (hay a < q) thì tồn tại số dƣơng N sao n cho  n  N  x n  p (hay xn < q). 3. Nếu dãy {xn} có giới hạn thì nó bị chặn, tức là tồn tại số M > 0 sao cho Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 13
x n  M, n . 4. Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} thõa xn  yn  zn n. Khi đó, nếu lim xn  lim zn  a thì lim yn  a . n n n 5. Giả sử {xn}, {yn} là các dãy số hội tụ, khi đó ta có: Dãy số {xn  yn} cũng hội tụ và lim (x n  y n )  lim x n  lim y n . n n n Dãy số {xn . yn} cũng hội tụ và lim x .y  lim xn . lim yn . n n n n n Dãy số {xn . yn} cũng hội tụ và lim x .y  lim xn . lim yn . n n n n n Dãy số {k.xn} cũng hội tụ và lim kx  k lim x n . n n n x  lim x n x Dãy số  n  cũng hội tụ và lim n  n   ( lim y n  0 ) y n y lim y  n  n n n n  Bài tập cũng cố: 1) Chứng minh rằng khi n → ∞ dãy: 1 1 1 1 3, 2 + , 2 + , 2 + , … 2 + , có giới hạn bằng 2. 2 3 4 n 2) Chứng minh rằng lim x n = 0 với: n  (1) n 1 2n a) xn = . b) xn = . c) xn = (-1)n.0,999n. n n 1 3 Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 14
Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ  Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, ngƣời học có thể: Nắm đƣợc một cách có hệ thống về giới hạn hàm số để ứng dụng về sau. Làm đƣợc các bài tập về giới hạn bằng cách tính trực tiếp hoặc sử dụng giới hạn cơ bản. 3.1. Các định nghĩa Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số đƣợc xác định trong lân cận điểm x0, không nhất thiết phải xác định tại x0. Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L nếu với mọi dãy số {x n} trong lân cận của x0 thõa: xn  x0 n và lim xn  x thì lim f(xn )  L . n 0 n Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x  x0. xx 0 Định nghĩa 2: Số L đƣợc gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x  x0 nếu với mọi ε  0 cho trƣớc (bé tùy ý) tồn tại số δ dƣơng sao cho với mọi x thỏa: 0  x  x  δ ta có f(x)  L  ε . 0 Định nghĩa 3: Số L đƣợc gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f(x) khi x  x0 nếu với mọi ε  0 cho trƣớc (bé tùy ý) tồn tại số δ dƣơng sao cho với mọi x thỏa x  x  x  δ ( x    x  x ) ta có f(x)  L  ε . 0 0 0 0 Kí hiệu: lim f(x)  L ( lim f(x)  L ).   xx xx 0 0 Định nghĩa 4: Số L đƣợc gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x   nếu với mọi ε  0 (bé tùy ý) tồn tại số M  0 (lớn tùy ý) sao cho với mọi x thõa x  M ta có f(x)  L  ε . Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L khi x   . x Mệnh đề: limf (x)  L  limf (x)  limf (x)  L x a x a  x a  Tƣơng tự, ta có các định nghĩa giới hạn vô tận Ví dụ 1: a) Chứng minh: lim sin x  0 . x0 Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 15
π Vì x  0 ta có thể chỉ rút: x   sinx  x  ε  ε  0, bé tùy ý: 2 δ  ε  0 : 0  x  0  x  δ  sinx  0  sinx  x  ε Vậy lim sin x  0 x0 x2  9 b) Chứng minh: lim  6. x3 x  3 x2  9 Khi x  3  x – 3  0 ta có:  6  (x  3)  6  x  3  ε x 3 x2  9 ε  0, δ  ε : 0  x  3  δ  6  ε. x 3 x2  9 Vậy: lim 6 x  3 x 3 1 c) Chứng minh: lim  0. x x 1 1 1 1 Xét:  0    ε  x  , với mọi  > 0 (bé tùy ý), x x x  1 1 M   0 : x  M   0  ε . ε x 1 Vậy lim 0 x x Qua các ví dụ trên. Ta thấy việc tìm giới hạn theo định nghĩa khá phức tạp. Thông thƣờng ta sẽ sử dụng các quy tắc tìm giới hạn và dựa trên các giới hạn đã biết để tính giới hạn. 3.2. Các tính chất Dựa vào giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra các tính chất sau: 1. Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. 2. Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x  x0 và L > a (hay L < a) thì trong một lân cận nào đó của x0 (không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x) < a). 3. Nếu f(x)  g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 16
lim f(x)  a , lim g(x)  b thì b  a. xx xx 0 0 4. Nếu f(x) = C (với C là hằng số) thì lim f(x)  lim f(x)  C . xx x 0 5. Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận x0 thì lim f(x)  f(x ) . 0 xx 0 6. Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số đƣợc xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0, không nhất thiết xác định tại x0. Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) thỏa mãn điều kiện: g(x)  f(x)  h(x) và lim g(x)  lim h(x)  L thì lim f(x)  L . xx xx xx 0 0 0 7. Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dƣơng lớn tùy ý, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x  +  8. Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt đối, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dƣới thì f(x) có giới hạn khi x  -  . 9. xlim f ( x)  L  lim f(x)  L = lim f(x)  L . x  0  xx xx 0 0 10. Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi xx0 thì các hàm [f(x)  g(x)], f(x) f(x).g(x), cũng có giới hạn và ta có: g(x) lim [f(x)  g(x)] = lim f(x)  lim g(x). lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x). f(x) limf(x) lim  ; lim g ( x)  0 g(x) limg(x) x  x 0 11. Xét hàm hợp f(u) và u = u(x), khi đó ta có: Nếu xlim u ( x)  u 0 , f(u) xác định trong một lân cận của u0 và lim f (u )  L thì x 0 u u 0 lim f [u ( x)]  L . x x0 Ví dụ 2: Tính: lim 2 x (x2  3x  5) x2 Đặt f (u )  u ; u(x) = 2x(x2 + 3x – 5), ta có Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 17
lim u( x)  lim 2 x ( x 2  3x  5)  20 x2 x2 lim f (u)  lim u  20  2 5 u  20 u  20 Vậy lim 2 x (x2  3x  5)  2 5 x2 3.3. Các giới hạn cơ bản sin x lim  1. x0 x ln(1  x) lim  1. x0 x ax  1 ex 1 . lim  ln a . Đặt biệt lim 1 x0 x x0 x (1  x)  1 lim  1. x0 x 1 1 lim (1  x) x  e hay lim (1  ) x  e . x0 x x Chú ý: Khi tính giới hạn của hàm số chúng ta thƣờng gặp các dạng vô định nhƣ : 0  , ,    , 1 . sau đây là một vài ví dụ minh họa.  0  Ví du 3: a). Tính: lim 1  x  x2  1 . x0 x Có: lim 1  x  x2  1 ( 1  x  x2  1)( 1  x  x2  1)  lim x0 x x0 x( 1  x  x2  1) x2  x 1 x 1  lim  lim  x( 1  x  x2  1) 1  x  x2  1 2 x0 x0 x 2  7x  6 b). Tính: lim . x1 2 x  3x  2 Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 18
x2  7x  6 (x  1)(x  6) x6 Có: lim  lim  lim 5 x1 2 x1 (x  1)(x  2) x1 x  2 x  3x  2 tgx c). Tính: lim x0 . x tgx sin x sin x 1 Có: lim x 0  lim x0 x. cos x  lim x 0 . lim  1.1  1 x x x0 cos x 1  cos x d). Tính: lim . x 0 x2 x x 2 sin 2 sin 1  cos x 2 ) 2 . 1  1. Có: lim  lim 2  lim ( x 0 x2 x 0 x2 x 0 x 2 /2 2 e). Tính: lim x x . x x 1 1 1 x x Có: lim = lim x  1. x x  1 x 1 1 x f). Tính: lim ( x  x  x ) . x x Có: lim ( x  x  x ) = lim = lim 1 1  . x x x x x  x 1 1 1 2 x 1 g). Tính: lim (1  sin x) 2 x . x0 1 1 sin x 1 Có: lim (1  sin x) 2 x  lim [(1  sin x) sin x ] 2x  e2  e . x0 x0 Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 19
 Bài tập cũng cố: 1). Tìm các giới hạn: x2 x2  2 x  x 1  (n  1)(n  2)(n  3) a) lim . b) lim c) lim   d) lim x 2 x 2  1 x 2 2  x x  2 x  1   n  3n3 e) lim  n  1  2n  . 2 2 f) lim (n  1)! g) lim  1  2 3 n 1   2  2  ...  2  . n  ( n  1)! n!  n  2 n  3 n6  2 n  n n n 1 1 1 1   ...  n 2 4 2 4 x2  x  1 h) lim 1 . i) lim 3 . j) lim( x 2  2 x  x 2  2 x ) n  1 1 x  x  7 x  5 x 1    ...  n 3 9 3 2). Tìm các giới hạn: x 3  3x 2  2 x  1 3  x  a  xa a) xlim . b) lim   3 . c) lim . 2 x2  x  6 x 1 1 x 1 x  x a x2  a2 9  2x  5 1  x 1 1  x 1 n m x 1 d) lim . e) lim . f) lim g) lim x 8 3 x 2 x 0 3 1  x  1 x 0 x x 1 n x 1 3). Tìm các giới hạn: a). lim x   x  2x  2 2 x2  x  x .  b) xlim  3  x 3  3x 2  x 2  2 x .  4). Tìm các giới hạn: cos(a  x)  cos(a  x) 2  1  cos x a) lim . b) lim . x 0 x x 0 x2 sin 5 x  sin 3x ln(cos x ) cot gx  cot ga c) lim e) lim f) lim . x 0 sin x x 0 x2 x a xa 2 arcsin x 1 g) lim . h) lim (  cot gx ) x 0 3x x 0 sin x 5). Tìm các giới hạn: x 1  x2  2x 1  lim (1  x 2 ) cot g x . 2 a) lim   . b) lim (cos x) x2 x   x 2  4 x  2  x 0 . c) x 0   1 3x  4  1  tgx  sin x  x  2 d) x0  lim  . e) xlim   x  3   1  sin x    Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 20