Luận văn "Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích) - Bài 2: Tích phân hàm một biến số" trình bày các nội dung: Nguyên hàm và tích phân, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Bài 2 - Nguyễn Phương
- Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích
Bài 2. Tích phân hàm một biến số
Nguyễn Phương
Đại học Ngân hàng TPHCM
Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Ngày 3 tháng 12 năm 2024
1
- NỘI DUNG
1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 3
Định nghĩa 3
Công thức cơ bản của tích phân bất định 5
Các phương pháp tính tích phân 6
2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 13
Định nghĩa 13
Tính chất 18
Các phương pháp tính tích phân 23
3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 28
Tích phân suy rộng loại 1 31
Tích phân suy rộng loại 2 47
4 Ứng dụng trong kinh tế 53
Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên 53
Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định 54
2
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x)
trên D nếu
F ′ (x) = f (x).
Ví dụ 1.1.
1 sin x là nguyên hàm của cos x.
2 x2 là nguyên hàm của 2x.
3 x2 + 2022 là nguyên hàm của 2x.
Định lý 1.1. Nếu hàm số F (x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trên D thì
1 Hàm số F (x) + C, với C là hằng số bất kỳ, cũng là nguyên hàm của
hàm số f (x).
2 Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều biểu diễn được dưới
dạng số F (x) + C, với C là một hằng số.
3
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a, b).
Khi đó biểu thức
F (x) + C với C là hằng số
được gọi là tích phân bất định của hàm f (x) trên khoảng (a, b) và được ký
hiệu là
f (x)dx
Ví dụ 1.2.
1 cos xdx = sin x + C
2 2xdx = x2 + C
Tính chất
′
1) f (x)dx = f (x); 2) F ′ (x)dx = F (x) + C;
3) af (x)dx = a f (x)dx; 4) [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx.
5) Nếu f (x)dx = F (x) + C thì f (u)du = F (u) + C, ∀u = u(x).
4
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Công thức cơ bản của tích phân bất định
Các công thức tính tích phân cơ bản
xα+1
1) xα dx = +C (α ̸= −1) dx
α+1 8) = − cot x + C
sin2 x
dx dx 1 x
2) = ln |x| + C 9) = arctan + C
x x 2 + a2 a a
ax
3) ax dx = +C dx 1 a+x
ln a 10) = ln +C
a2 − x2 2a a−x
4) ex dx = ex + C
dx x
5) sin xdx = − cos x + C 11) √ = arcsin + C
a2 − x2 a
6) cos xdx = sin x + C √
dx
dx 12) √ = ln x + x2 + a +C
7) = tan x + C x2 + a
cos2 x
Ví dụ 1.3. Tính các tích phân sau:
1) (x2 + 2x)dx
x3 − 1
2) dx
x2
5
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân
Phương pháp đổi biến
Nếu f (u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
f (u(x))u′ (x)dx = F (u(x)) + C.
Ví dụ 1.4. Tính các tích phân sau:
arctan x ex
I= e−2x dx, J= dx, K= dx.
1 + x2 ex + 1
Phương pháp tích phân từng phần
Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục và có nguyên hàm trên (a, b). Khi ấy
hàm u′ (x)v(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và
u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x)
thường viết gọn là udv = uv − vdu
6
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân
Dạng 1
ex
P (x) cos x dx
sin x
Đặt:
du = P ′ (x)dx
u = P
(x)
ex ex
=⇒
dv = cos x dx
v = cos x dx
sin x sin x
Ví dụ 1.5. Tính các tích phân sau:
I= xex dx, J= x cos xdx, K= (2x + 1) sin xdx.
7
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân
Dạng 2
ln x
P (x) arcsin x dx
...
Đặt:
′
ln x
ln x
u = arcsin x
du = arcsin x dx
=⇒
...
...
dv = P (x)dx
v = P (x)dx
Ví dụ 1.6. Tính các tích phân sau:
I= ln xdx, J= x ln xdx, K= arctan xdx.
8
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân
Phương pháp tính tích phân các phân thức tối giản
Adx Adx Mx + N
; ;
x−a (x − a)m x2 + px + q
dx
1 = ln |x − a| + C
x−a
dx 1 1
m =− . +C
2
(x − a) m − 1 (x − a)m−1
dx 1 x−a
3 = ln +C
x2 − a2 2a x+a
dx 1 x − x2
4 = ln +C
(x − x1 )(x − x2 ) x2 − x1 x − x1
dx 1 x
5 = arctan + C
x2 + a2 a a
9
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân
Tích phân phân thức hữu tỉ
Pn (x)
Định nghĩa 1.3. Phân thức hữu tỉ với n < m được gọi là phân
Qm (x)
thức hữu tỉ thực sự.
Phương pháp tính tích phân các phân thức hữu tỉ
Giả sử Qm (x) có thể khai triển thành tích các thừa số bậc 1 và bậc 2
Qm (x) = a0 (x − a)k . . . (x2 + px + q)r . . .
Pn (x)
Ta công nhận điều sau : Phân thức hữu tỉ thực sự khai triển được
Qm (x)
thành tổng của phân thức tối giản
Pn (x) A1 A2 Ak M 1 x + N1
= + 2
+ ... + k
+ ... + 2
Qm (x) x − a (x − a) (x − a) x + px + q
M 2 x + N2 M s x + Ns
+ 2 + ... + 2 + ... (1)
(x + px + q)2 (x + px + q)s
10
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân
Để tìm A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . . có 2 phương pháp
1 Phương pháp 1. (hệ số bất định) Quy đồng mẫu số (1), sau đó cân bằng
lũy thừa theo biến x, dẫn đến hệ phương trình tìm
A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . .
2 Phương pháp 2. Có thể tìm A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . . khi thay thế x trong
(1), bằng một cách chọn phù hợp.
11
- NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân
Phương pháp tính tích phân hàm lượng giác
R(cosx, sinx)dx
x 2dt
Đặt t = tan =⇒ x = 2 arctan t; dx = và
2 1 + t2
1 − t2 2t
cos x = 2
; sin x =
1+t 1 + t2
từ đây ta đưa tích phân trên về tích phân hàm hữu tỉ.
Trong một số trường hợp riêng, ta có thể tìm ra nột phép thế thích hợp
1 Nếu R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = sin x
2 Nếu R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = cos x
3 Nếu R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = tan x
4 Nếu sinq x cosp xdx, đặt t = sin x hoặc t = cos x
12
- TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa
Ví dụ 2.1. Tìm diện tích miền phẳng S giới hạn bởi đường cong
y = f (x) = x2 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 1.
Hình 2.1
13
- TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa
Chia S thành 4 miền
Hình 2.2
14
- TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa
Hình 2.5 Hình 2.6
15
- TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa
Cho hàm số f xác định trên [a, b] và phân hoạch của đoạn [a, b] với các điểm
x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
Trên mỗi miền con S1 , S2 , S3 , . . . , Sn lấy tùy ý 1 điểm (tương ứng là
x∗ , x∗ , x∗ , . . . , x∗ )
1 2 3 n
16
- TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Định nghĩa
∆xi = xi − xi−1 với i = 0, n
n
Nếu I = lim f (x∗ )∆xi
i tồn tại và không phụ thuộc vào cách chia và
∆xi →0 i=1
cách lấy điểm x∗ , thì I được gọi là tích phân xác định của hàm y = f (x) trên
i
đoạn [a; b].
Ký hiệu:
n b
lim f (x∗ )∆xi
i = f (x)dx
∆xi →0 a
i=1
: dấu tích phân , a : cận dưới, b : cận trên, f (x) : biểu thức dưới dấu tích
phân
17
- TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất
Tính chất 2.1. Với f, g là hàm số liên tục
b
1) a
cdx = c(b − a) với c là hằng số
b b
2) a
cf (x)dx = c a f (x)dx với c là hằng số
b b b
3) a
[f (x) + g(x)]dx = a f (x)dx + a g(x)dx
b b b
4) a
[f (x) − g(x)]dx = a f (x)dx − a g(x)dx
b c b
5) ∀c ∈ [a; b], a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx
b
6) Nếu f (x) ≥ 0 khi a ≤ x ≤ b thì a f (x)dx ≥ 0
b b
7) Nếu f (x) ≥ g(x) khi a ≤ x ≤ b thì a f (x)dx ≥ a
g(x)dx
18
- TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất
Tính chất 2.2. Với f, g là hàm số liên tục
8) Nếu m ≤ f (x) ≤ M với a ≤ x ≤ b thì
b
m(b − a) ≤ f (x) ≤ M (b − a)
a
a
9) Nếu f (x) lẻ (tức f (−x) = −f (x)) thì −a
f (x)dx = 0
a a
10) Nếu f (x) chẳn (tức f (−x) = f (x)) thì −a f (x)dx = 2 0 f (x)dx
11) Nếu f (x) tuần hoàn chu kỳ T (tức f (x + T ) = f (x)) thì
a+T T
f (x)dx = f (x)dx
a 0
19
- TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tính chất
Định lý 2.1 (Công thức Newton - Leibnitz). Nếu f (x) liên tục trên
[a; b] thì
b
f (x)dx = F (x)|b = F (b) − F (a)
a
a
với F (x) là nguyên hàm của f (x) hay F ′ (x) = f (x)
Định lý 2.2 (Công thức đạo hàm theo cận trên). Nếu f (x) liên tục
trên [a; b] thì với mọi nguyên hàm F (x)
′ ′
x φ(x)
f (t)dt = f (x); f (t)dt = f (φ(x))φ′ (x)
a a
20
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
