Bài giảng Giải tích cao cấp: Chương 2

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

AN GIANG University

Ngày 22 tháng 7 năm 2013

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

AN GIANG University

Ngày 22 tháng 7 năm 2013

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

BASIC MATHEMATICS Chương II. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM 1 BIẾN 1.ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 1 BIẾN 2.QUY TẮC L’HOSPITAL 3.ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f (x)−f (x0)

Cho hàm f xác định trong khoảng I, x0 ∈ I . Giả sử lim

x−x0 x→x0

tồn tại hữu hạn.

(def ) f (x)−f (x0)

= lim

f (cid:48)(x0)

: đạo hàm của hàm f tại x0.

x−x0 x→x0 (def ) f (x)−f (x0)

f (cid:48)

= lim

: đạo hàm bên phải,bên trái tại x0.

±(x0) x−x0 x→x ± (def )

df (x0)

= f (cid:48)(x0)dx:vi phân của f tại x0.(dx:vi phân của x)

1. ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 1 BIẾN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f (x)−f (x0)

Giả sử lim

x−x0 x→x0

tồn tại hữu hạn.

(def ) f (x)−f (x0)

= lim

f (cid:48)(x0)

: đạo hàm của hàm f tại x0.

x−x0 x→x0 (def ) f (x)−f (x0)

f (cid:48)

= lim

: đạo hàm bên phải,bên trái tại x0.

±(x0) x−x0 x→x ± (def )

df (x0)

= f (cid:48)(x0)dx:vi phân của f tại x0.(dx:vi phân của x)

1. ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 1 BIẾN

Cho hàm f xác định trong khoảng I, x0 ∈ I .

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def ) f (x)−f (x0)

= lim

f (cid:48)(x0)

: đạo hàm của hàm f tại x0.

x−x0 x→x0 (def ) f (x)−f (x0)

f (cid:48)

= lim

: đạo hàm bên phải,bên trái tại x0.

±(x0) x−x0 x→x ± (def )

df (x0)

= f (cid:48)(x0)dx:vi phân của f tại x0.(dx:vi phân của x)

1. ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 1 BIẾN

f (x)−f (x0) x−x0

Cho hàm f xác định trong khoảng I, x0 ∈ I . Giả sử lim x→x0

tồn tại hữu hạn.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def ) f (x)−f (x0)

f (cid:48)

= lim

: đạo hàm bên phải,bên trái tại x0.

±(x0) x−x0 x→x ± (def )

df (x0)

= f (cid:48)(x0)dx:vi phân của f tại x0.(dx:vi phân của x)

1. ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 1 BIẾN

f (x)−f (x0) x−x0

Cho hàm f xác định trong khoảng I, x0 ∈ I . Giả sử lim x→x0

f (cid:48)(x0)

: đạo hàm của hàm f tại x0.

f (x)−f (x0) x−x0

tồn tại hữu hạn. (def ) = lim x→x0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

df (x0)

= f (cid:48)(x0)dx:vi phân của f tại x0.(dx:vi phân của x)

1. ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 1 BIẾN

f (x)−f (x0) x−x0

Cho hàm f xác định trong khoảng I, x0 ∈ I . Giả sử lim x→x0

f (cid:48)(x0)

: đạo hàm của hàm f tại x0.

f (x)−f (x0) x−x0

tồn tại hữu hạn. (def ) = lim x→x0

: đạo hàm bên phải,bên trái tại x0.

f (cid:48) ±(x0)

f (x)−f (x0) x−x0 (def ) = lim x→x ± 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1. ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 1 BIẾN

f (x)−f (x0) x−x0

Cho hàm f xác định trong khoảng I, x0 ∈ I . Giả sử lim x→x0

f (cid:48)(x0)

: đạo hàm của hàm f tại x0.

f (x)−f (x0) x−x0

tồn tại hữu hạn. (def ) = lim x→x0

: đạo hàm bên phải,bên trái tại x0.

f (cid:48) ±(x0)

f (x)−f (x0) x−x0 (def ) = lim x→x ± 0

df (x0)

(def ) = f (cid:48)(x0)dx:vi phân của f tại x0.(dx:vi phân của x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1. ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 1 BIẾN

f (x)−f (x0) x−x0

Cho hàm f xác định trong khoảng I, x0 ∈ I . Giả sử lim x→x0

f (cid:48)(x0)

: đạo hàm của hàm f tại x0.

f (x)−f (x0) x−x0

tồn tại hữu hạn. (def ) = lim x→x0

: đạo hàm bên phải,bên trái tại x0.

f (cid:48) ±(x0)

f (x)−f (x0) x−x0 (def ) = lim x→x ± 0

df (x0)

(def ) = f (cid:48)(x0)dx:vi phân của f tại x0.(dx:vi phân của x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:26) ∃f (cid:48)

±(x0)

1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

f (cid:48)

+(x0) = l = f (cid:48) −(x0)

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒

f liên tục tại x0

(cid:54)⇐

3)

√ √

(arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2

x ln x

Thí dụ 1:Tính I = lim

x−1 x→1 x ln x−1 ln(1)

I = lim

= f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x−1 x→1

Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π

2 )

( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 )

Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x)

⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒

f liên tục tại x0

(cid:54)⇐

3)

√ √

(arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2

x ln x

Thí dụ 1:Tính I = lim

x−1 x→1 x ln x−1 ln(1)

I = lim

= f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x−1 x→1

Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π

2 )

( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 )

Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x)

⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3)

√ √

(arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2

x ln x

Thí dụ 1:Tính I = lim

x−1 x→1 x ln x−1 ln(1)

I = lim

= f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x−1 x→1

Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π

2 )

( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 )

Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x)

⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x ln x

Thí dụ 1:Tính I = lim

x−1 x→1 x ln x−1 ln(1)

I = lim

= f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x−1 x→1

Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π

2 )

( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 )

Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x)

⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

√ √

3) (arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x) 1+u2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x ln x−1 ln(1)

I = lim

= f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x−1 x→1

Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π

2 )

( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 )

Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x)

⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

√ √

3) (arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x) 1+u2

x ln x x−1

Thí dụ 1:Tính I = lim x→1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π

2 )

( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 )

Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x)

⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

√ √

3) (arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x) 1+u2

x ln x x−1

Thí dụ 1:Tính I = lim x→1 = f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x ln x−1 ln(1) x−1

I = lim x→1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x)

⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

√ √

3) (arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x) 1+u2

x ln x x−1

Thí dụ 1:Tính I = lim x→1 = f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x ln x−1 ln(1) x−1

I = lim x→1 Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π 2 ) ( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

√ √

3) (arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x) 1+u2

x ln x x−1

Thí dụ 1:Tính I = lim x→1 = f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x ln x−1 ln(1) x−1

I = lim x→1 Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π 2 ) ( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 ) Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

= ln(sin x)

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

√ √

3) (arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x) 1+u2

x ln x x−1

Thí dụ 1:Tính I = lim x→1 = f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x ln x−1 ln(1) x−1

I = lim x→1 Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π 2 ) ( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 ) Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x) ⇒ y (cid:48)

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

⇒ y (cid:48) =

(sin x)arctan x

1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

√ √

3) (arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x) 1+u2

x ln x x−1

Thí dụ 1:Tính I = lim x→1 = f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x ln x−1 ln(1) x−1

LaTex

I = lim x→1 Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π 2 ) ( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 ) Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x) ⇒ y (cid:48) = ln(sin x)

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48) 1+x 2 + arctan x. cot x

LƯU Ý 1)∃f (cid:48)(x0) = l ⇔

(cid:26) ∃f (cid:48) ±(x0) +(x0) = l = f (cid:48) f (cid:48)

−(x0)

f liên tục tại x0

2)f có đạo hàm tại x0 ⇒ (cid:54)⇐

√ √

3) (arcsin u)(cid:48) = u(cid:48)

(arctan u)(cid:48) = u(cid:48)

1−u2 , (arccos u)(cid:48) = − u(cid:48) 1+u2 , (arc cot u)(cid:48) = − u(cid:48) 1−u2 (u:biểu thức biến x) 1+u2

x ln x x−1

Thí dụ 1:Tính I = lim x→1 = f (cid:48)(1) = ln 1 + 1 = 1 ( với f (x) = x ln x )

x ln x−1 ln(1) x−1

(cid:105)

(cid:104) ln(sin x)

I = lim x→1 Thí dụ 2:Tính y (cid:48) với y = sin x arctan x sao cho (0 < x < π 2 ) ( Đạo hàm của y = u(x)v (x) với ( u(x) > 0 ) Từ gt ta có:ln y = arctan x. ln(sin x) ⇒ y (cid:48) = ln(sin x)

LaTex (sin x)arctan x

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

y = (arctan x)(cid:48) ln(sin x) + arctan x[ln(sin x)](cid:48) 1+x 2 + arctan x. cot x ⇒ y (cid:48) = 1+x 2 + arctan x. cot x

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện:

f (x)

1) lim

0 hay ∞ ∞ g (x) có dạng vô định: 0 x→∗ f (cid:48)(x)

2)∃ lim

g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. x→∗ f (x) f (cid:48)(x)

Khi đó lim

g (x) = lim g (cid:48)(x) = l x→∗ x→∗

Lưu ý

(cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ±

0 , ±∞ f (cid:48)(x) f (x)

(cid:63) Khi

(cid:54) ∃ lim

g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim g (x) x→∗ x→∗

Thí dụ 1

Tính I = lim

x ln x

x→0+ 1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f (x)

1) lim

0 hay ∞ ∞ g (x) có dạng vô định: 0 x→∗ f (cid:48)(x)

2)∃ lim

g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. x→∗ f (x) f (cid:48)(x)

Khi đó lim

g (x) = lim g (cid:48)(x) = l x→∗ x→∗

Lưu ý

(cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ±

0 , ±∞ f (cid:48)(x) f (x)

(cid:63) Khi

(cid:54) ∃ lim

g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim g (x) x→∗ x→∗

Thí dụ 1

Tính I = lim

x ln x

x→0+ 1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f (cid:48)(x)

2)∃ lim

g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. x→∗ f (x) f (cid:48)(x)

Khi đó lim

g (x) = lim g (cid:48)(x) = l x→∗ x→∗

Lưu ý

(cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ±

0 , ±∞ f (cid:48)(x) f (x)

(cid:63) Khi

(cid:54) ∃ lim

g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim g (x) x→∗ x→∗

Thí dụ 1

Tính I = lim

x ln x

x→0+ 1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

f (x) ∞

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện: 0 hay ∞ g (x) có dạng vô định: 0 1) lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f (x) f (cid:48)(x)

Khi đó lim

g (x) = lim g (cid:48)(x) = l x→∗ x→∗

Lưu ý

(cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ±

0 , ±∞ f (cid:48)(x) f (x)

(cid:63) Khi

(cid:54) ∃ lim

g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim g (x) x→∗ x→∗

Thí dụ 1

Tính I = lim

x ln x

x→0+ 1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

f (x) ∞

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện: 0 hay ∞ g (x) có dạng vô định: 0 1) lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. 2)∃ lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Lưu ý

(cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ±

0 , ±∞ f (cid:48)(x) f (x)

(cid:63) Khi

(cid:54) ∃ lim

g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim g (x) x→∗ x→∗

Thí dụ 1

Tính I = lim

x ln x

x→0+ 1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

f (x) ∞

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện: 0 hay ∞ g (x) có dạng vô định: 0 1) lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. 2)∃ lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l Khi đó lim x→∗

f (x) g (x) = lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ±

0 , ±∞ f (cid:48)(x) f (x)

(cid:63) Khi

(cid:54) ∃ lim

g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim g (x) x→∗ x→∗

Thí dụ 1

Tính I = lim

x ln x

x→0+ 1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

f (x) ∞

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện: 0 hay ∞ g (x) có dạng vô định: 0 1) lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. 2)∃ lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l Khi đó lim x→∗

f (x) g (x) = lim x→∗

Lưu ý

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f (cid:48)(x) f (x)

(cid:63) Khi

(cid:54) ∃ lim

g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim g (x) x→∗ x→∗

Thí dụ 1

Tính I = lim

x ln x

x→0+ 1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

f (x) ∞

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện: 0 hay ∞ g (x) có dạng vô định: 0 1) lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. 2)∃ lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l Khi đó lim x→∗

f (x) g (x) = lim x→∗

Lưu ý (cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ±

0 , ±∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 1

Tính I = lim

x ln x

x→0+ 1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

f (x) ∞

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện: 0 hay ∞ g (x) có dạng vô định: 0 1) lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. 2)∃ lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l Khi đó lim x→∗

f (x) g (x) = lim x→∗

0 , ±∞

f (x) g (x)

Lưu ý (cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ± f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim (cid:63) Khi x→∗

(cid:54) ∃ lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1 ln x x

Giải: I = lim

x ln x = lim

= lim

(−x) = 0

1 −1 x→0+ x→0+ x→0+ x→0+ x x 2

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

f (x) ∞

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện: 0 hay ∞ g (x) có dạng vô định: 0 1) lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. 2)∃ lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l Khi đó lim x→∗

f (x) g (x) = lim x→∗

0 , ±∞

f (x) g (x)

Lưu ý (cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ± f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim (cid:63) Khi x→∗

(cid:54) ∃ lim x→∗

x ln x

Thí dụ 1 Tính I = lim x→0+

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2. QUY TẮC L’HOSPITAL

L’HOSPITAL’s RULE

f (x) ∞

Giả sử hàm f,g thỏa các điều kiện: 0 hay ∞ g (x) có dạng vô định: 0 1) lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l : hữu hạn hay vô hạn. 2)∃ lim x→∗ f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) = l Khi đó lim x→∗

f (x) g (x) = lim x→∗

0 , ±∞

f (x) g (x)

Lưu ý (cid:63) Quy tắc đúng cho ∗ = x0 , x ± f (cid:48)(x) g (cid:48)(x) ta vẫn chưa thể kết luận: (cid:54) ∃ lim (cid:63) Khi x→∗

(cid:54) ∃ lim x→∗

x ln x

Thí dụ 1 Tính I = lim x→0+

(−x) = 0

LaTex

x ln x = lim x→0+

Giải: I = lim x→0+

= lim x→0+

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

ln x 1 x 1 x −1 x 2 GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 2

x+sin x

Tính J = lim

2x x→+∞

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital :

1+cos x

J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ :

1 1

J = lim

2 + 1 2 x sin x = 1 2 + 0 = 1 2 x→+∞ 1

(cid:12)

( vì 0 ≤ (cid:12)

lim

(cid:12) 1

(cid:12) |sin x| ≤ 1

x |x| , |x| = 0) x→+∞

Thí dụ 3

Tính K = lim

(cos x)

x 2 ( Dạng U V ) x→0

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x+sin x

Tính J = lim

2x x→+∞

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital :

1+cos x

J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ :

1 1

J = lim

2 + 1 2 x sin x = 1 2 + 0 = 1 2 x→+∞ 1

(cid:12)

( vì 0 ≤ (cid:12)

lim

(cid:12) 1

(cid:12) |sin x| ≤ 1

x |x| , |x| = 0) x→+∞

Thí dụ 3

Tính K = lim

(cos x)

x 2 ( Dạng U V ) x→0

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital :

1+cos x

J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ :

1 1

J = lim

2 + 1 2 x sin x = 1 2 + 0 = 1 2 x→+∞ 1

(cid:12)

( vì 0 ≤ (cid:12)

lim

(cid:12) 1

(cid:12) |sin x| ≤ 1

x |x| , |x| = 0) x→+∞

Thí dụ 3

Tính K = lim

(cos x)

x 2 ( Dạng U V ) x→0

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

= lim

cos2 x

2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ :

1 1

J = lim

2 + 1 2 x sin x = 1 2 + 0 = 1 2 x→+∞ 1

(cid:12)

( vì 0 ≤ (cid:12)

lim

(cid:12) 1

(cid:12) |sin x| ≤ 1

x |x| , |x| = 0) x→+∞

Thí dụ 3

Tính K = lim

(cos x)

x 2 ( Dạng U V ) x→0

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

1+cos x 2 x→+∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Nhưng kết quả của J cần tìm từ :

1 1

J = lim

2 + 1 2 x sin x = 1 2 + 0 = 1 2 x→+∞ 1

(cid:12)

( vì 0 ≤ (cid:12)

lim

(cid:12) 1

(cid:12) |sin x| ≤ 1

x |x| , |x| = 0) x→+∞

Thí dụ 3

Tính K = lim

(cos x)

x 2 ( Dạng U V ) x→0

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:12)

( vì 0 ≤ (cid:12)

lim

(cid:12) 1

(cid:12) |sin x| ≤ 1

x |x| , |x| = 0) x→+∞

Thí dụ 3

Tính K = lim

(cos x)

x 2 ( Dạng U V ) x→0

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ : 1 J = lim

x sin x = 1 2 + 1 2 + 0 = 1 2 2 x→+∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 3

Tính K = lim

(cos x)

x 2 ( Dạng U V ) x→0

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ : 1 J = lim x→+∞ ( vì 0 ≤ (cid:12) (cid:12) 1 x

x sin x = 1 2 + 1 2 (cid:12) (cid:12) |sin x| ≤ 1 |x| , 2 1 |x| = 0) 2 + 0 = 1 lim x→+∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tính K = lim

(cos x)

x 2 ( Dạng U V ) x→0

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ : 1 J = lim x→+∞ ( vì 0 ≤ (cid:12) (cid:12) 1 x

x sin x = 1 2 + 1 2 (cid:12) (cid:12) |sin x| ≤ 1 |x| , 2 1 |x| = 0) 2 + 0 = 1 lim x→+∞

Thí dụ 3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải:

1 ln(cos x)

ln K = lim

ln[(cos x)

x 2 ]= lim x 2 x→0 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ : 1 J = lim x→+∞ ( vì 0 ≤ (cid:12) (cid:12) 1 x

x sin x = 1 2 + 1 2 (cid:12) (cid:12) |sin x| ≤ 1 |x| , 2 1 |x| = 0) 2 + 0 = 1 lim x→+∞

Thí dụ 3

(cos x)

1 x 2 ( Dạng U V )

Tính K = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

ln(cos x)

= lim

x 2 x→0 −1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ : 1 J = lim x→+∞ ( vì 0 ≤ (cid:12) (cid:12) 1 x

x sin x = 1 2 + 1 2 (cid:12) (cid:12) |sin x| ≤ 1 |x| , 2 1 |x| = 0) 2 + 0 = 1 lim x→+∞

Thí dụ 3

(cos x)

1 x 2 ( Dạng U V )

Tính K = lim x→0

Giải:

ln[(cos x)

1 x 2 ]

ln K = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

−1 (L(cid:48)hospital)

⇒ K = e

2 = 1√ sin x 1 e

=

− lim

2x cos x = − 1 2 x→0

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ : 1 J = lim x→+∞ ( vì 0 ≤ (cid:12) (cid:12) 1 x

x sin x = 1 2 + 1 2 (cid:12) (cid:12) |sin x| ≤ 1 |x| , 2 1 |x| = 0) 2 + 0 = 1 lim x→+∞

Thí dụ 3

(cos x)

1 x 2 ( Dạng U V )

Tính K = lim x→0

Giải:

ln[(cos x)

ln(cos x) x 2 1 x 2 ]= lim x→0

ln K = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

−1

⇒ K = e

2 = 1√ e

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ : 1 J = lim x→+∞ ( vì 0 ≤ (cid:12) (cid:12) 1 x

x sin x = 1 2 + 1 2 (cid:12) (cid:12) |sin x| ≤ 1 |x| , 2 1 |x| = 0) 2 + 0 = 1 lim x→+∞

Thí dụ 3

(cos x)

1 x 2 ( Dạng U V )

Tính K = lim x→0

Giải:

ln[(cos x)

1 x 2 ]= lim x→0 1

ln K = lim x→0 (L(cid:48)hospital) =

ln(cos x) x 2 cos x = − 1 sin x 2x 2

− lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 2 Tính J = lim

x+sin x 2x x→+∞

1+cos x

Giải: Áp dụng quy tắc L’hospital : J = lim

cos2 x

2 = lim 2 =?!!((cid:54) ∃ lim 2 ) x→+∞ x→+∞ x→+∞

Nhưng kết quả của J cần tìm từ : 1 J = lim x→+∞ ( vì 0 ≤ (cid:12) (cid:12) 1 x

x sin x = 1 2 + 1 2 (cid:12) (cid:12) |sin x| ≤ 1 |x| , 2 1 |x| = 0) 2 + 0 = 1 lim x→+∞

Thí dụ 3

(cos x)

1 x 2 ( Dạng U V )

Tính K = lim x→0

Giải:

ln[(cos x)

⇒ K = e

1 x 2 ]= lim x→0 1 −1 2 = 1√ e

ln K = lim x→0 (L(cid:48)hospital) =

ln(cos x) x 2 cos x = − 1 sin x 2x 2

− lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tính các giới hạn sau:

(cid:0) 1

(cid:0) π

1)

lim

x x 2)

lim

x (x x ) 3)

lim

(cid:1) 4)

lim

x − 2 sin x 2 arctan x(cid:1)x x→+∞ x→0+ x→0+ x→0+ 1 1

(cid:34)

(cid:35)

x 1 x (1+x) 1

(cid:0) sin x

(cid:1)

x 2 6) lim

5) lim

7) lim

(

e x ln(1+x) )x x→0 x→0+ x→0+

(cid:16)

(cid:17) 1

1−x )

x 9)

8)

lim

tan πx

x( 1

lim

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2x+1 x→+∞ x→1+

LaTex

(cid:1) 4)

x x 2)

x (x x ) 3)

(cid:0) 1 x − 2

sin x 2 arctan x(cid:1)x (cid:0) π

lim x→+∞

Tính các giới hạn sau: lim 1) x→0+

lim x→0+

(cid:34)

lim x→0+ 1 (cid:35) x

1 x

(cid:1)

(

(cid:0) sin x x

(1+x) e 1 ln(1+x) )x

5) lim x→0

7) lim x→0+

1 x 2 6) lim x→0+ (cid:17) 1

(cid:16)

1−x )

LaTex

8)

x 9)

x( 1

tan πx 2x+1

lim x→+∞

lim x→1+

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng:

(cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm

cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị

sản phẩm)

(cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm

cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng.

Các hàm kinh tế thông dụng:

(cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC

( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí )

(cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q

(cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm

cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị

sản phẩm)

(cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm

cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng.

Các hàm kinh tế thông dụng:

(cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC

( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí )

(cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q

(cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm

cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng.

Các hàm kinh tế thông dụng:

(cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC

( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí )

(cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q

(cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Các hàm kinh tế thông dụng:

(cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC

( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí )

(cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q

(cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC

( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí )

(cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q

(cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí )

(cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q

(cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng: (cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q

(cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng: (cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC ( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng: (cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC ( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí ) (cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng: (cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC ( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí ) (cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q (cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng: (cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC ( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí ) (cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q (cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q) Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu

( lợi nhuận ) đạt tối đa.

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng: (cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC ( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí ) (cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q (cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q) Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p. Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng: (cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC ( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí ) (cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q (cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q) Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p. Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng: 1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu ( lợi nhuận ) đạt tối đa.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3. ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH TRONG KINH TẾ

LaTex

Trong kinh tế, lượng sản phẩm q(quantity) thường có 2 dạng: (cid:63) Lượng sản phẩm tiêu thụ qd (quantity demanded), định bởi hàm cầu qd = f (p) = ap + b(a<0):hàm giãm.(với p(price): giá 1 đơn vị sản phẩm) (cid:63) Lượng sản phẩm cung cấp qs (quantity supplied), định bởi hàm cung qs = g (p) = cp + d (c>0):hàm tăng. Các hàm kinh tế thông dụng: (cid:63) Hàm chi phí TC(Total Cost):TC (q) = VC (q) + FC ( VC(variable cost): biến phí, FC(fix cost): định phí ) (cid:63) Hàm doanh thu TR(Total revenue):TR(q) = p.q (cid:63) Hàm lợi nhuận Pr(profit)hay π: π(q) = TR(q) − TC (q) Rõ ràng TC,TR,π là các hàm biến q hoặc p. Để giải quyết các bài toán cơ bản tối ưu trong kinh tế có dạng: 1) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để doanh thu ( lợi nhuận ) đạt tối đa. 2) Tìm lượng sản phẩm q hay mức giá p để tổng chi phí thấp nhất.

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Ta áp dụng cơ sở toán học sau:

Cho hàm f: y = f(x)

(cid:41)

f (cid:48)(x0) = 0

⇒ f đạt cực tiểu ( đại )tại x0

0 f (cid:48)(cid:48)(x0) >

(<)

Thí dụ Phòng kinh doanh của Hảng BOEING sản xuất máy bay

dân dụng cung cấp thông tin sau:

Định phí FC:750.000 tỉ (USD).Biến phí VC(q)= 4860

q + 15q

(q:lượng máy bay sx).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:41)

f (cid:48)(x0) = 0

⇒ f đạt cực tiểu ( đại )tại x0

0 f (cid:48)(cid:48)(x0) >

(<)

Thí dụ Phòng kinh doanh của Hảng BOEING sản xuất máy bay

dân dụng cung cấp thông tin sau:

Định phí FC:750.000 tỉ (USD).Biến phí VC(q)= 4860

q + 15q

(q:lượng máy bay sx).

Ta áp dụng cơ sở toán học sau:

Cho hàm f: y = f(x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇒ f đạt cực tiểu ( đại )tại x0

Thí dụ Phòng kinh doanh của Hảng BOEING sản xuất máy bay

dân dụng cung cấp thông tin sau:

Định phí FC:750.000 tỉ (USD).Biến phí VC(q)= 4860

q + 15q

(q:lượng máy bay sx).

Ta áp dụng cơ sở toán học sau:

(cid:41)

Cho hàm f: y = f(x) f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0 (<)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ Phòng kinh doanh của Hảng BOEING sản xuất máy bay

dân dụng cung cấp thông tin sau:

Định phí FC:750.000 tỉ (USD).Biến phí VC(q)= 4860

q + 15q

(q:lượng máy bay sx).

Ta áp dụng cơ sở toán học sau:

(cid:41)

⇒ f đạt cực tiểu ( đại )tại x0

Cho hàm f: y = f(x) f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0 (<)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Phòng kinh doanh của Hảng BOEING sản xuất máy bay

dân dụng cung cấp thông tin sau:

Định phí FC:750.000 tỉ (USD).Biến phí VC(q)= 4860

q + 15q

(q:lượng máy bay sx).

Ta áp dụng cơ sở toán học sau:

(cid:41)

⇒ f đạt cực tiểu ( đại )tại x0

Cho hàm f: y = f(x) f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0 (<)

Thí dụ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Định phí FC:750.000 tỉ (USD).Biến phí VC(q)= 4860

q + 15q

(q:lượng máy bay sx).

Ta áp dụng cơ sở toán học sau:

(cid:41)

⇒ f đạt cực tiểu ( đại )tại x0

Cho hàm f: y = f(x) f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0 (<)

Thí dụ Phòng kinh doanh của Hảng BOEING sản xuất máy bay dân dụng cung cấp thông tin sau:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Ta áp dụng cơ sở toán học sau:

(cid:41)

⇒ f đạt cực tiểu ( đại )tại x0

Cho hàm f: y = f(x) f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0 (<)

q + 15q

Thí dụ Phòng kinh doanh của Hảng BOEING sản xuất máy bay dân dụng cung cấp thông tin sau: Định phí FC:750.000 tỉ (USD).Biến phí VC(q)= 4860 (q:lượng máy bay sx).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Ta áp dụng cơ sở toán học sau:

(cid:41)

⇒ f đạt cực tiểu ( đại )tại x0

Cho hàm f: y = f(x) f (cid:48)(x0) = 0 f (cid:48)(cid:48)(x0) > 0 (<)

q + 15q

Thí dụ Phòng kinh doanh của Hảng BOEING sản xuất máy bay dân dụng cung cấp thông tin sau: Định phí FC:750.000 tỉ (USD).Biến phí VC(q)= 4860 (q:lượng máy bay sx).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất.

Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860

q + 15q + 750000

Do đó

TC (cid:48)(q) = −4860

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

q3 183 > 0

Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18.

BÀI TẬP

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860

q + 15q + 750000

Do đó

TC (cid:48)(q) = −4860

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

q3 183 > 0

Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18.

BÀI TẬP

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860

q + 15q + 750000

Do đó

TC (cid:48)(q) = −4860

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

q3 183 > 0

Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18.

BÀI TẬP

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất. Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó

TC (cid:48)(q) = −4860

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

q3 183 > 0

Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18.

BÀI TẬP

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất. Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860

q + 15q + 750000

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

q3 183 > 0

Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18.

BÀI TẬP

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

q + 15q + 750000

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất. Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860 Do đó TC (cid:48)(q) = −4860

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

183 > 0

Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18.

BÀI TẬP

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

q + 15q + 750000

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

,

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất. Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860 Do đó TC (cid:48)(q) = −4860 Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720 q3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18.

BÀI TẬP

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

q + 15q + 750000

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất. Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860 Do đó TC (cid:48)(q) = −4860 Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720 q3

183 > 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

BÀI TẬP

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

q + 15q + 750000

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

183 > 0

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất. Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860 Do đó TC (cid:48)(q) = −4860 Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720 q3 Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và

hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng

lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau:

Định phí FC:600 tỉ đồng

Biến phí VC(q)= 1

8 q2 + 6q

Hàm cầu q(p)=− 8

7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

q + 15q + 750000

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

183 > 0

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất. Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860 Do đó TC (cid:48)(q) = −4860 Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720 q3 Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18. BÀI TẬP

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

q + 15q + 750000

q2 + 15 , TC (cid:48)(q) = 0 ⇔ q = 18 ∨ q = −18 (loại)

, nên TC (cid:48)(cid:48)(18) = 9720

183 > 0

8 q2 + 6q 7 p + 100, p: giá bán 1 xe do Hảng quy định.

Tìm lượng máy bay sx để chi phí thấp nhất. Giải: Từ gt ta có TC(q)=VC (q) + FC = 4860 Do đó TC (cid:48)(q) = −4860 Nhưng TC (cid:48)(cid:48)(q) = 9720 q3 Vậy số máy bay cần sx theo ycbt là 18. BÀI TẬP Một nhóm sinh viên xuất sắc của khoa Công nghệ môi trường và hảng AutoVina hợp tác sản xuất xe auto mini chạy bằng năng lượng mặt trời, có thông tin kinh doanh như sau: Định phí FC:600 tỉ đồng Biến phí VC(q)= 1 Hàm cầu q(p)=− 8 Tìm số lượng xe cần sản xuất để Hảng đạt lợi nhuận tối đa.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bài giảng Giải tích cao cấp: Chương 2 - Lê Thái Duy