GIẢI TÍCH B1
GV: CAO NGHI THỤC
EMAIL: cnthuc@hcmus.edu.vn
Chương 1 Phép tính vi phân hàm một biến
I. Giới hạn của hàm số II. Sự liên tục của hàm số III. Vô cùng bé, vô cùng lớn IV. Đạo hàm và vi phân V. Đạo hàm và vi phân cấp cao VI. Quy tắc L’Hospital VII.Công thức Taylor
Giới hạn của hàm số
Giới hạn của hàm số Định nghĩa 1
Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D. Ta nói L
là giới hạn của hàm f khi x tiến tới x 0 nếu với bất
nx
x→ 0
kỳ dãy xn trong D\{x 0} mà
L
=
f x lim ( )n n →∞
Page § 3
thì
Giới hạn của hàm số
Page § 4
Giới hạn của hàm số
B
=
=
x 0
=
Các tính chất của giới hạn
c A . i. với c là hằng số
x 0
f x ( )
g x ( )]
A B
+
= +
◦ Định lý 1 g x , lim ( ) A f x lim ( ) Cho . Khi đó x x x → → 0 c f x lim . ( ) x →
lim[ x x → 0
f x g x
( ). ( )]
A B .
=
lim[ x x → 0
ii.
,
B
0
lim x x → 0
f x ( ) g x ( )
A =≠ B
iii.
Page § 5
iv.
Giới hạn của hàm số
2
n
... + +
a x n
§Nhận xét
a x a x + 1 2 P x ( ) = n 0
P x ( ) a + = n 0 P x lim ( ) n x →
3
x
1)
2 1
1 1) 3
§Cho Khi đó
2 x x +−+ =
x 0 lim(2 x 1 →
3 lim(2.1 +−+ = 1 x →
R x
( )
=
§Thí dụ 1
=
R x lim ( ) x →
x 0
) )
Page § 6
P x ( ) n Q x ( ) m P x ( n 0 Q x ( m 0
§Cho Khi đó
Giới hạn của hàm số
B , = +∞ =−∞ §Khi thì g x f x ( )] ( ) +→ ∞ −∞
A lim[ x x → 0
2
dạng vô định thứ nhất
x
4
x
x
−
−
lim x →+∞
§VD1 Tính
)
(
x
x
x
+−
lim x →+∞
§VD2 Tính
)
(
Page § 7
Giới hạn của hàm số
A
0
B , =∞ =
A
0, B= =∞
f x g x ( ). ( )]
0. → ∞
§Khi hoặc
lim[ x x → 0
Page § 8
thì dạng vô định thứ hai
Giới hạn của hàm số
A
A
=
B , =∞ =∞
§Khi hoặc
0 0 → ⎜ 0
B= 0, f x ( ) lim g x ( ) x x → 0 §VD3 Tính
∞⎛ ∞⎝ 1
1
lim x 0 →
⎞ ⎟ ⎠ x +− x
x
thì dạng vô định thứ ba(tư)
lim x →+∞
+ x
x 1
2
4
x
+ 2
§VD4 Tính
7 x −+ 2 x 8 −
Page § 9
§VD5 Tính lim x →+∞
Giới hạn của hàm số
f x ( )
g x ( )
h x ( ),
a b ( , )
≤
A
A
=
=
x ∀ ∈ g x lim ( ) x →
x 0
≤ Nếu thì h x lim ( ) = x x → 0
f x lim ( ) x x → 0
§Định lý 2 Cho 3 hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa
x
1
=
lim x 0 →
sin x
Page § 10
§Áp dụng ĐL2, ta CM được
Giới hạn của hàm số
x
lim x 0 →
tan x
x
§VD6 Tính
2
lim x 0 →
1 cos − x
§VD7 Tính
lim x 0 →
sin 4 sin 3
x x
Page § 11
§VD8 Tính
Giới hạn của hàm số
§Định lý 3:
f x lim ( ) x →+∞ x ( ) →−∞
Cho f(x) là hàm số xác định trên R. Khi đó nếu f(x) tăng(giảm) và bị chặn trên (dưới) thì tồn tại
x
e
+
=
lim 1 x →∞
1 x
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Page § 12
Áp dụng ĐL này, ta CM được
Giới hạn của hàm số
1 x 3
x
)
0
( lim 1 sin + x →
Page § 13
§VD9 Tính
Giới hạn của hàm số
§Giới hạn một phía
x
x→ §Giới hạn bên trái của f(x) tại x0 là giới hạn khi 0 mà
x
x< 0
−
)
=
f x 0(
f x lim ( ) x →
− x 0
x
x→ §Giới hạn bên phải của f(x) tại x0 là giới hạn khi 0 mà
x
+
)
=
x> 0 f x 0(
f x lim ( ) x →
+ x 0
Page § 14
§Định nghĩa
Giới hạn của hàm số
A
A =⇔
f x lim ( ) x →
lim ( ) f x = x →
x 0
lim ( ) f x = x →
+ x 0
_ x 0
§
=
f
+− (0 ),
f
(0 )
x x
f
+ (0 )
=
+
0
f x lim ( ) x →
f
− (0 )
=
−
0
f x lim ( ) x →
Page § 15
§VD10 Cho Tìm f x ( )
Vô cùng bé, vô cùng lớn
§Vô cùng bé, vô cùng lớn
§Định nghĩa vô cùng bé(VCB)
=
f x lim ( ) 0 x →
x 0
Hàm f(x) được gọi là VCB khi x→x0 nếu
VD11 sinx là VCB (x→0)
x
0
=
lim sin x 0
→
Page § 16
Vì
Vô cùng bé, vô cùng lớn
§Các tính chất
Page § 17
§Nếu f(x), g(x) là các VCB (x→x0 ) thì f(x)±g(x), f(x).g(x) là các VCB (x→x0 ) §Nếu f(x) là VCB (x→x0 ) và g(x) bị chặn trong lân cận x0 thì f(x).g(x) là VCB (x→x0 )
Vô cùng bé, vô cùng lớn
k
=
lim x x → 0
So sánh các vô cùng bé Cho f(x), g(x) là các VCB (x→x0 ) và f x ( ) g x ( )
Page § 18
Khi đó, nếu § k=0: f(x) là VCB bậc cao hơn g(x),KH f(x)=o(g(x)) § k≠0, k ≠∞: f(x), g(x) là các VCB cùng bậc
Vô cùng bé, vô cùng lớn
2
2 sin
x
x 2
=
lim x 0 →
lim x 0 →
1 cos − sin x
x 2 sin cos 2
x 2
sin
0
=
=
lim x 0 →
cos
x 2 x 2
Page § 19
§VD12 1-cosx là VCB bậc cao hơn sinx (x →0)
Vô cùng bé, vô cùng lớn
x 0
§Định nghĩa vô cùng lớn(VCL)
Page § 20
VD13: ex là VCL khi Hàm f(x) được gọi là VCL khi x→x0 nếu f x lim ( ) =∞ x → x →+∞
Vô cùng bé, vô cùng lớn
Chú ý TTt
n m =
n
n
a n b m n
m
=
m
lim x →∞
lim ∞> = x →∞
+ +
L + L +
a 0 b 0
a x 1 b x 1
a x + n m b x + m
a x n b x m
0 n
m
<
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩
Page § 21
Ta có quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp và thay thế VCL tương đương
Vô cùng bé, vô cùng lớn
3
4
lim x →∞
2 4
x x
5 6
x x
+ −
Page § 22
VD14 Tính
Sự liên tục của hàm số
§Sự liên tục của hàm số
)
a b∈ ( , )
=
f x ( 0
f x lim ( ) x →
x 0
0
sin 0 0 §VD15: nên sin x liên tục tại
x
x = 0
=
=
limsin x 0 →
Page § 23
nếu §Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số xác định trong (a,b), ta nói rằng f(x) liên tục tại x 0
Sự liên tục của hàm số
)
− = ) + = )
f x ( 0 f x ( 0
f x ( ) 0 f x ( 0
§Sự liên tục của hàm số
)
)
−+ = )
=
f x ( 0
f x ( 0
f x ( 0
Page § 24
§Hàm f(x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu §Hàm f(x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu § Hàm f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi
Sự liên tục của hàm số
x
0
x
,
≠
y
§VD16
sin x x ,
A
0
=
⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ Với giá trị nào của A thì hàm số liên tục tại x=0
Page § 25
§Cho hàm số
Đạo hàm
§Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b), giới hạn (nếu
0
xΔ →
)
f x ( 0
f x ( 0
=
y Δ x Δ
có) của khi
a b∈ ( , )
x 0
f x ( ) )
là đạo hàm của hàm số tại
)
) x +Δ − x Δ y = f xʹ′ 0(
y xʹ′ 0(
Page § 26
và ký hiệu hay
Đạo hàm
Page § 27
§Bảng đạo hàm cơ bản
![Xác định các hệ số trong công thức Taylor khi gia công hợp kim nhôm [AlSi5Zn4Cu] sử dụng dao có lớp phủ tin trên máy tiện CNC](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250519/vijiraiya/135x160/331747713408.jpg)
