Bài giảng Giải tích cao cấp: Chương 3 - Lê Thái Duy

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

AN GIANG University

Ngày 28 tháng 10 năm 2014

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

AN GIANG University

Ngày 28 tháng 10 năm 2014

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

BASIC MATHEMATICS Chương III. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1.HÀM NHIỀU BIẾN 2.GIỚI HẠN-LIÊN TỤC 3.ĐẠO HÀM-VI PHÂN 4.CỰC TRỊ 5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định của hàm F. Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df . G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

1− 2014(cid:113) 5

2 x+4y −x 2−y 2

√ Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

x 2+y 2−9

f xác định (cid:26) 5 (cid:26) (x − 5

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ ⇔ x 2 + y 2 > 32 x 2 + y 2 > 32

1.HÀM NHIỀU BIẾN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định của hàm F. Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df . G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

1− 2014(cid:113) 5

2 x+4y −x 2−y 2

√ Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

x 2+y 2−9

f xác định (cid:26) 5 (cid:26) (x − 5

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ ⇔ x 2 + y 2 > 32 x 2 + y 2 > 32

1.HÀM NHIỀU BIẾN

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

D:Tập xác định của hàm F. Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df . G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

1− 2014(cid:113) 5

2 x+4y −x 2−y 2

√ Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

x 2+y 2−9

f xác định (cid:26) 5 (cid:26) (x − 5

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ ⇔ x 2 + y 2 > 32 x 2 + y 2 > 32

1.HÀM NHIỀU BIẾN

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df . G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

1− 2014(cid:113) 5

2 x+4y −x 2−y 2

√ Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

x 2+y 2−9

f xác định (cid:26) 5 (cid:26) (x − 5

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ ⇔ x 2 + y 2 > 32 x 2 + y 2 > 32

1.HÀM NHIỀU BIẾN

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định của hàm F.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

1− 2014(cid:113) 5

2 x+4y −x 2−y 2

√ Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

x 2+y 2−9

f xác định (cid:26) 5 (cid:26) (x − 5

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ ⇔ x 2 + y 2 > 32 x 2 + y 2 > 32

1.HÀM NHIỀU BIẾN

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định của hàm F. Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df .

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1− 2014(cid:113) 5

2 x+4y −x 2−y 2

√ Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

x 2+y 2−9

f xác định (cid:26) 5 (cid:26) (x − 5

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ ⇔ x 2 + y 2 > 32 x 2 + y 2 > 32

1.HÀM NHIỀU BIẾN

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định của hàm F. Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df . G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f xác định (cid:26) 5 (cid:26) (x − 5

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ ⇔ x 2 + y 2 > 32 x 2 + y 2 > 32

1.HÀM NHIỀU BIẾN

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định của hàm F. Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df . G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

1− 2014(cid:113) 5 √

Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

2 x+4y −x 2−y 2 x 2+y 2−9

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:26) (x − 5

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ x 2 + y 2 > 32

1.HÀM NHIỀU BIẾN

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định của hàm F. Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df . G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

1− 2014(cid:113) 5 √

Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

2 x+4y −x 2−y 2 x 2+y 2−9

f xác định (cid:26) 5 ⇔

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0 x 2 + y 2 > 32

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1.HÀM NHIỀU BIẾN

Quy tắc F : D(⊂ Rn) → R cho ứng mỗi bộ (x1, x2, ..., xn) ∈ D với phần tử duy nhất y = F (x1, x2, ..., xn) ∈ R ;được gọi là hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định của hàm F. Trong kg Oxyz, cho hàm 2 biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df . G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f. THÍ DỤ 1

1− 2014(cid:113) 5 √

Tìm tập xác định của hàm f : z = f (x, y ) =

2 x+4y −x 2−y 2 x 2+y 2−9

f xác định (cid:26) 5 (cid:26) (x − 5

4 )2 + (y − 2)2 ≤ 89

16

⇔ ⇔

2 x + 4y − x 2 − y 2 ≥ 0 x 2 + y 2 > 32

x 2 + y 2 > 32

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Trong mp Oxy, dựng 2 đường tròn (C1):x 2 + y 2 = 32 và (C2):(x − 5

4 )2 + (y − 2)2 = 89

16 .

Phần màu đỏ biểu diển tập điểm (x,y) thỏa hệ bpt điều kiện xác định. Do đó phần hình trăng khuyết( bỏ biên trên (C1)) biểu diễn tập xác định của f

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Phần màu đỏ biểu diển tập điểm (x,y) thỏa hệ bpt điều kiện xác định. Do đó phần hình trăng khuyết( bỏ biên trên (C1)) biểu diễn tập xác định của f

Trong mp Oxy, dựng 2 đường tròn (C1):x 2 + y 2 = 32 và (C2):(x − 5

4 )2 + (y − 2)2 = 89 16 .

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó phần hình trăng khuyết( bỏ biên trên (C1)) biểu diễn tập xác định của f

4 )2 + (y − 2)2 = 89 16 .

Trong mp Oxy, dựng 2 đường tròn (C1):x 2 + y 2 = 32 và (C2):(x − 5 Phần màu đỏ biểu diển tập điểm (x,y) thỏa hệ bpt điều kiện xác định.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

4 )2 + (y − 2)2 = 89 16 .

Trong mp Oxy, dựng 2 đường tròn (C1):x 2 + y 2 = 32 và (C2):(x − 5 Phần màu đỏ biểu diển tập điểm (x,y) thỏa hệ bpt điều kiện xác định. Do đó phần hình trăng khuyết( bỏ biên trên (C1)) biểu diễn tập xác định của f

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Đồ thị của hàm hai biến f: f (x, y ) = xe−x 2−y 2

THÍ DỤ 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

THÍ DỤ 2 Đồ thị của hàm hai biến f: f (x, y ) = xe−x 2−y 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:62)

2.GIỚI HẠN HÀM 2 BIẾN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2.GIỚI HẠN HÀM 2 BIẾN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:62)

lim f (x, y ) = a

(x,y )→(x0,y0)

⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), (xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a Lưu ý: 1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0 2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t.

Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại.

Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Lưu ý: 1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0 2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t.

Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại.

Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

f (x, y ) = a

lim (x,y )→(x0,y0) ⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), (xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0 2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t.

Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại.

Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

f (x, y ) = a

(xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a lim (x,y )→(x0,y0) ⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), Lưu ý:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t.

Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại.

Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

f (x, y ) = a

(xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a

lim (x,y )→(x0,y0) ⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), Lưu ý: 1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t.

Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại.

Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

f (x, y ) = a

(xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a

lim (x,y )→(x0,y0) ⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), Lưu ý: 1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0 2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t.

Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại.

Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

f (x, y ) = a

(xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a

lim (x,y )→(x0,y0) ⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), Lưu ý: 1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0 2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại.

Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

f (x, y ) = a

(xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a

lim (x,y )→(x0,y0) ⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), Lưu ý: 1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0 2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

f (x, y ) = a

(xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a

lim (x,y )→(x0,y0) ⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), Lưu ý: 1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0 2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t. Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f (x, y ) = a

(xn, yn) → (x0, y0) ⇒ f (xn, yn) → a

lim (x,y )→(x0,y0) ⇔ ∀(xn, yn) ∈ D(I ), Lưu ý: 1)(x, y ) → ∗ , |f (x, y )| → 0 ⇔ f (x, y ) → 0 2)Định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và nguyên lý kẹp của hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm 2 biến.

Phương pháp tìm giới hạn hàm 2 biến:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 1: Đặt biến phụ t cho các đại lượng giống nhau và áp dụng các pp tìm giới hạn cho hàm 1 biến t. Bước 2: Phát hiện điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên 2 đường thích hợp sao cho f(x,y) dần về 2 kết quả khác nhau. Từ đó kết luận giới hạn cần tìm không tồn tại. Bước 3: Cho điểm (x,y) di động qua điểm (x0, y0) trên nhiều đường khác nhau, nhưng f(x,y) cũng chỉ dần về cùng giá trị a. Trong trường hợp nầy, áp dụng bất đẳng thức và nguyên lý kẹp chứng tỏ kết quả giới hạn là a.

2

tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

Tính I = lim (cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1)

(x,y )→(0,0)

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

1

2t

I = lim [(1 + t)

t ]

tan t = e2

t→0

Thí dụ 2

xy 2

Tính J = lim

x 2+y 4

(x,y )→(0,0)

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x

x 3

x

J = lim

x 2+x 4 = lim

1+x 2 = 0

x→0

x→0

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

1

2t

I = lim [(1 + t)

t ]

tan t = e2

t→0

Thí dụ 2

xy 2

Tính J = lim

x 2+y 4

(x,y )→(0,0)

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x

x 3

x

J = lim

x 2+x 4 = lim

1+x 2 = 0

x→0

x→0

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

1

2t

I = lim [(1 + t)

t ]

tan t = e2

t→0

Thí dụ 2

xy 2

Tính J = lim

x 2+y 4

(x,y )→(0,0)

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x

x 3

x

J = lim

x 2+x 4 = lim

1+x 2 = 0

x→0

x→0

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0) Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

1

2t

I = lim [(1 + t)

t ]

tan t = e2

t→0

Thí dụ 2

xy 2

Tính J = lim

x 2+y 4

(x,y )→(0,0)

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x

x 3

x

J = lim

x 2+x 4 = lim

1+x 2 = 0

x→0

x→0

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 2

xy 2

Tính J = lim

x 2+y 4

(x,y )→(0,0)

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x

x 3

x

J = lim

x 2+x 4 = lim

1+x 2 = 0

x→0

x→0

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

2t

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

[(1 + t)

1 t ]

tan t = e2

I = lim t→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

xy 2

Tính J = lim

x 2+y 4

(x,y )→(0,0)

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x

x 3

x

J = lim

x 2+x 4 = lim

1+x 2 = 0

x→0

x→0

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

2t

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

[(1 + t)

1 t ]

tan t = e2

I = lim t→0 Thí dụ 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x

x 3

x

J = lim

x 2+x 4 = lim

1+x 2 = 0

x→0

x→0

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

2t

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

[(1 + t)

1 t ]

tan t = e2

I = lim t→0 Thí dụ 2 Tính J =

xy 2 x 2+y 4

lim (x,y )→(0,0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x

x 3

x

J = lim

x 2+x 4 = lim

1+x 2 = 0

x→0

x→0

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

2t

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

[(1 + t)

1 t ]

tan t = e2

I = lim t→0 Thí dụ 2 Tính J =

xy 2 x 2+y 4

lim (x,y )→(0,0) Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2

y 4

J = lim

2 (cid:54)= 0

2y 4 = 1

y →0

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

2t

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

[(1 + t)

1 t ]

tan t = e2

I = lim t→0 Thí dụ 2 Tính J =

xy 2 x 2+y 4

lim (x,y )→(0,0)

x 3

x

1+x 2 = 0

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x x 2+x 4 = lim J = lim x→0 x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó không tồn tại J.

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

2t

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

[(1 + t)

1 t ]

tan t = e2

I = lim t→0 Thí dụ 2 Tính J =

xy 2 x 2+y 4

lim (x,y )→(0,0)

x 3

x

1+x 2 = 0

y 4 2y 4 = 1

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x x 2+x 4 = lim J = lim x→0 x→0 Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2 2 (cid:54)= 0 J = lim y →0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2 tan(x2+y 6)

Thí dụ 1

(cid:0)sin2 x 5 + x 2 + y 6 + cos2 x 5(cid:1) Tính I = lim (x,y )→(0,0)

2t

Giải: Đặt t = x 2 + y 6.Khi đó (x, y ) → (0, 0) ⇔ t → 0

[(1 + t)

1 t ]

tan t = e2

I = lim t→0 Thí dụ 2 Tính J =

xy 2 x 2+y 4

lim (x,y )→(0,0)

x 3

x

1+x 2 = 0

Giải: Khi (x, y ) → (0, 0) trên d: y = x x 2+x 4 = lim J = lim x→0 x→0 Khi (x, y ) → (0, 0) trên (P) : x = y 2 2 (cid:54)= 0 J = lim y →0

y 4 2y 4 = 1 Do đó không tồn tại J.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 3 Tính K = lim (x + y sin 1

x )

(x,y )→(0,0)

Giải: (cid:12) (cid:12) ∀(x, y ) (cid:54)= (0, 0), 0 ≤ (cid:12) (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) ≤ |x| + (cid:12) (cid:12)y sin 1 (cid:12) ≤ |x| + |y |

x

x

nhưng lim |x| + |y | = 0

(x,y )→(0,0)

(cid:12) (cid:12) Áp dụng nguyên lý kẹp, ta có lim (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) = 0

x

(x,y )→(0,0)

Vậy K = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tính K = lim (x + y sin 1

x )

(x,y )→(0,0)

Giải: (cid:12) (cid:12) ∀(x, y ) (cid:54)= (0, 0), 0 ≤ (cid:12) (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) ≤ |x| + (cid:12) (cid:12)y sin 1 (cid:12) ≤ |x| + |y |

x

x

nhưng lim |x| + |y | = 0

(x,y )→(0,0)

(cid:12) (cid:12) Áp dụng nguyên lý kẹp, ta có lim (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) = 0

x

(x,y )→(0,0)

Vậy K = 0

Thí dụ 3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: (cid:12) (cid:12) ∀(x, y ) (cid:54)= (0, 0), 0 ≤ (cid:12) (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) ≤ |x| + (cid:12) (cid:12)y sin 1 (cid:12) ≤ |x| + |y |

x

x

nhưng lim |x| + |y | = 0

(x,y )→(0,0)

(cid:12) (cid:12) Áp dụng nguyên lý kẹp, ta có lim (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) = 0

x

(x,y )→(0,0)

Vậy K = 0

Thí dụ 3 Tính K = (x + y sin 1 x ) lim (x,y )→(0,0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:12) (cid:12) ∀(x, y ) (cid:54)= (0, 0), 0 ≤ (cid:12) (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) ≤ |x| + (cid:12) (cid:12)y sin 1 (cid:12) ≤ |x| + |y |

x

x

nhưng lim |x| + |y | = 0

(x,y )→(0,0)

(cid:12) (cid:12) Áp dụng nguyên lý kẹp, ta có lim (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) = 0

x

(x,y )→(0,0)

Vậy K = 0

Thí dụ 3 Tính K = (x + y sin 1 x ) lim (x,y )→(0,0) Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nhưng lim |x| + |y | = 0

(x,y )→(0,0)

(cid:12) (cid:12) Áp dụng nguyên lý kẹp, ta có lim (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) = 0

x

(x,y )→(0,0)

Vậy K = 0

Thí dụ 3 Tính K = (x + y sin 1 x ) lim (x,y )→(0,0)

Giải: ∀(x, y ) (cid:54)= (0, 0), 0 ≤ (cid:12) (cid:12) ≤ |x| + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ |x| + |y | (cid:12)x + y sin 1 x (cid:12)y sin 1 x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:12) (cid:12) Áp dụng nguyên lý kẹp, ta có lim (cid:12)x + y sin 1 (cid:12) = 0

x

(x,y )→(0,0)

Vậy K = 0

Thí dụ 3 Tính K = (x + y sin 1 x ) lim (x,y )→(0,0)

(cid:12) ≤ |x| + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ |x| + |y | (cid:12)x + y sin 1 x (cid:12)y sin 1 x Giải: ∀(x, y ) (cid:54)= (0, 0), nhưng 0 ≤ (cid:12) |x| + |y | = 0 lim (x,y )→(0,0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Vậy K = 0

Thí dụ 3 Tính K = (x + y sin 1 x ) lim (x,y )→(0,0)

(cid:12) ≤ |x| + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ |x| + |y | (cid:12)x + y sin 1 x (cid:12)y sin 1 x Giải: ∀(x, y ) (cid:54)= (0, 0), nhưng 0 ≤ (cid:12) |x| + |y | = 0 lim (x,y )→(0,0)

Áp dụng nguyên lý kẹp, ta có (cid:12) (cid:12) = 0 (cid:12) (cid:12)x + y sin 1 x lim (x,y )→(0,0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 3 Tính K = (x + y sin 1 x ) lim (x,y )→(0,0)

(cid:12) ≤ |x| + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ |x| + |y | (cid:12)x + y sin 1 x (cid:12)y sin 1 x Giải: ∀(x, y ) (cid:54)= (0, 0), nhưng 0 ≤ (cid:12) |x| + |y | = 0 lim (x,y )→(0,0)

Áp dụng nguyên lý kẹp, ta có (cid:12) (cid:12) = 0 (cid:12) (cid:12)x + y sin 1 x lim (x,y )→(0,0) Vậy K = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2) 3) Tính các giới hạn sau: x arctan y 1) x

y (x 2+y 2) y 2+(x 2+y 2)2

xy 2 √ 4+xy 2

2−

lim (x,y )→(0,0) lim (x,y )→(0,0) lim x→0 y →0

4) 5) 6) (1 + y

x )x

x+y x 2−xy +y 2

x 3−y 3 x 2+y 2

lim (x,y )→(0,0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

lim x→−∞ y →−∞ lim x→+∞ y →2

 ∃f (x0, y0)

(def )

 ∃ lim f (x, y ) ⇔ f liên tục tại (x0, y0)

(x,y )→(x0,y0)

lim f (x, y ) = f (x0, y0) 

(x,y )→(x0,y0)

(def )

f gián đoạn tại (x0, y0) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

(def )

f liên tục trên E ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E Lưu ý: Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến. Thí dụ: Cho hàm f :

1

(cid:26) (x 2 + y 2) sin ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 )

x 2+y 2

f (x, y ) = |sin m| − |m| (khi x 2 + y 2 = 0 )

Định m để f liên tục trên R2

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

f gián đoạn tại (x0, y0) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

(def )

f liên tục trên E ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E Lưu ý: Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến. Thí dụ: Cho hàm f :

1

(cid:26) (x 2 + y 2) sin ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 )

x 2+y 2

f (x, y ) = |sin m| − |m| (khi x 2 + y 2 = 0 )

Định m để f liên tục trên R2

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

  f (x, y )

(def ) ⇔

f liên tục tại (x0, y0) ∃f (x0, y0) lim ∃ (x,y )→(x0,y0) f (x, y ) = f (x0, y0)  lim (x,y )→(x0,y0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

f liên tục trên E ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E Lưu ý: Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến. Thí dụ: Cho hàm f :

1

(cid:26) (x 2 + y 2) sin ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 )

x 2+y 2

f (x, y ) = |sin m| − |m| (khi x 2 + y 2 = 0 )

Định m để f liên tục trên R2

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

  f (x, y )

(def ) ⇔

f liên tục tại (x0, y0) ∃f (x0, y0) lim ∃ (x,y )→(x0,y0) f (x, y ) = f (x0, y0)  lim (x,y )→(x0,y0)

f gián đoạn tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Lưu ý: Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến. Thí dụ: Cho hàm f :

1

(cid:26) (x 2 + y 2) sin ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 )

x 2+y 2

f (x, y ) = |sin m| − |m| (khi x 2 + y 2 = 0 )

Định m để f liên tục trên R2

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

  f (x, y )

(def ) ⇔

f liên tục tại (x0, y0) ∃f (x0, y0) lim ∃ (x,y )→(x0,y0) f (x, y ) = f (x0, y0)  lim (x,y )→(x0,y0)

f gián đoạn tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

f liên tục trên E

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến. Thí dụ: Cho hàm f :

1

(cid:26) (x 2 + y 2) sin ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 )

x 2+y 2

f (x, y ) = |sin m| − |m| (khi x 2 + y 2 = 0 )

Định m để f liên tục trên R2

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

  f (x, y )

(def ) ⇔

f liên tục tại (x0, y0) ∃f (x0, y0) lim ∃ (x,y )→(x0,y0) f (x, y ) = f (x0, y0)  lim (x,y )→(x0,y0)

f gián đoạn tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E

f liên tục trên E Lưu ý:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Cho hàm f :

1

(cid:26) (x 2 + y 2) sin ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 )

x 2+y 2

f (x, y ) = |sin m| − |m| (khi x 2 + y 2 = 0 )

Định m để f liên tục trên R2

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

  f (x, y )

(def ) ⇔

f liên tục tại (x0, y0) ∃f (x0, y0) lim ∃ (x,y )→(x0,y0) f (x, y ) = f (x0, y0)  lim (x,y )→(x0,y0)

f gián đoạn tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E

f liên tục trên E Lưu ý: Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Cho hàm f :

1

(cid:26) (x 2 + y 2) sin ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 )

x 2+y 2

f (x, y ) = |sin m| − |m| (khi x 2 + y 2 = 0 )

Định m để f liên tục trên R2

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

  f (x, y )

(def ) ⇔

f liên tục tại (x0, y0) ∃f (x0, y0) lim ∃ (x,y )→(x0,y0) f (x, y ) = f (x0, y0)  lim (x,y )→(x0,y0)

f gián đoạn tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E

f liên tục trên E Lưu ý: Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến. Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Định m để f liên tục trên R2

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

  f (x, y )

(def ) ⇔

f liên tục tại (x0, y0) ∃f (x0, y0) lim ∃ (x,y )→(x0,y0) f (x, y ) = f (x0, y0)  lim (x,y )→(x0,y0)

f gián đoạn tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E

f liên tục trên E Lưu ý: Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến. Thí dụ: Cho hàm f : (cid:26) (x 2 + y 2) sin

1 x 2+y 2

f (x, y ) = |sin m| − |m| ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 ) (khi x 2 + y 2 = 0 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

HÀM 2 BIẾN LIÊN TỤC

  f (x, y )

(def ) ⇔

f liên tục tại (x0, y0) ∃f (x0, y0) lim ∃ (x,y )→(x0,y0) f (x, y ) = f (x0, y0)  lim (x,y )→(x0,y0)

f gián đoạn tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f không liên tục tại (x0, y0)

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi (x0, y0) ∈ E

f liên tục trên E Lưu ý: Khái niệm hàm sơ cấp, tính liên tục của hàm sơ cấp của hàm 1 biến vẫn còn áp dụng cho hàm 2 biến. Thí dụ: Cho hàm f : (cid:26) (x 2 + y 2) sin

1 x 2+y 2

f (x, y ) = ( khi x 2 + y 2 (cid:54)= 0 ) (khi x 2 + y 2 = 0 )

|sin m| − |m| Định m để f liên tục trên R2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1

Hàm f:f (x, y ) = (x 2 + y 2) sin liên tục trên R2\ {(0, 0)}

x 2+y 2

Do đó f liên tục trên R2 khi và chỉ khi f liên tục tại (0, 0) ⇔ lim f (x, y ) = f (0, 0) ⇔ 0 = |sin m| − |m|

(x,y )→(0,0)

(vì áp dụng nguyên lý kẹp suy từ (cid:12) (cid:12)

1

(cid:12) (cid:12) 0 ≤ lim x 2 + y 2 = 0 )

x 2+y 2

(cid:12)(x 2 + y 2) sin (cid:12) ≤ x 2 + y 2 và

(x,y )→(0,0)

⇔ |sin m| = |m| ⇔ m = 0

Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó f liên tục trên R2 khi và chỉ khi f liên tục tại (0, 0) ⇔ lim f (x, y ) = f (0, 0) ⇔ 0 = |sin m| − |m|

(x,y )→(0,0)

(vì áp dụng nguyên lý kẹp suy từ (cid:12) (cid:12)

1

(cid:12) (cid:12) 0 ≤ lim x 2 + y 2 = 0 )

x 2+y 2

(cid:12)(x 2 + y 2) sin (cid:12) ≤ x 2 + y 2 và

(x,y )→(0,0)

⇔ |sin m| = |m| ⇔ m = 0

Giải: Hàm f:f (x, y ) = (x 2 + y 2) sin liên tục trên R2\ {(0, 0)}

1 x 2+y 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(vì áp dụng nguyên lý kẹp suy từ (cid:12) (cid:12)

1

(cid:12) (cid:12) 0 ≤ lim x 2 + y 2 = 0 )

x 2+y 2

(cid:12)(x 2 + y 2) sin (cid:12) ≤ x 2 + y 2 và

(x,y )→(0,0)

⇔ |sin m| = |m| ⇔ m = 0

liên tục trên R2\ {(0, 0)}

1 x 2+y 2

Giải: Hàm f:f (x, y ) = (x 2 + y 2) sin Do đó f liên tục trên R2 khi và chỉ khi f liên tục tại (0, 0) ⇔ lim f (x, y ) = f (0, 0) ⇔ 0 = |sin m| − |m|

(x,y )→(0,0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

liên tục trên R2\ {(0, 0)}

1 x 2+y 2

Giải: Hàm f:f (x, y ) = (x 2 + y 2) sin Do đó f liên tục trên R2 khi và chỉ khi f liên tục tại (0, 0) ⇔ lim f (x, y ) = f (0, 0) ⇔ 0 = |sin m| − |m|

(x,y )→(0,0)

x 2 + y 2 = 0 ) (vì áp dụng nguyên lý kẹp suy từ 0 ≤

1 x 2+y 2

(cid:12) (cid:12) ≤ x 2 + y 2 và (cid:12) lim (x,y )→(0,0) (cid:12) (cid:12)(x 2 + y 2) sin (cid:12) ⇔ |sin m| = |m| ⇔ m = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3.ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 2 BIẾN

3.1. ĐẠO HÀM RIÊNG và VI PHÂN CẤP 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3.ĐẠO HÀM - VI PHÂN HÀM 2 BIẾN

3.1. ĐẠO HÀM RIÊNG và VI PHÂN CẤP 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký hiệu: f (cid:48)

x (x0, y0) hoặc ∂f

y (x0, y0) hoặc ∂f

∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48)

∂y (x0, y0))

(def )

f (x,y0)−f (x0,y0)

∂f

= lim

∂x (x0, y0)

x−x0

x→x0

định bởi:

(def )

f (x0,y)−f (x0,y0)

∂f

= lim

∂y (x0, y0)

y −y0

y →y0

3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

Thí dụ: Cho hàm f (x, y ) = arctan x

y . Hãy tính các đạo hàm riêng

1

y

cấp 1 của f tại (1,1).Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

x

−

y 2

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

∂f

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1

2 ,

∂y (1, 1) = − 1

2 ,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

f (x,y0)−f (x0,y0)

∂f

= lim

∂x (x0, y0)

x−x0

x→x0

định bởi:

(def )

f (x0,y)−f (x0,y0)

∂f

= lim

∂y (x0, y0)

y −y0

y →y0

3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

Thí dụ: Cho hàm f (x, y ) = arctan x

y . Hãy tính các đạo hàm riêng

1

y

cấp 1 của f tại (1,1).Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

x

−

y 2

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

∂f

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1

2 ,

∂y (1, 1) = − 1

2 ,

y (x0, y0) hoặc ∂f

x (x0, y0) hoặc ∂f

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký ∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48) hiệu: f (cid:48) ∂y (x0, y0))

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

Thí dụ: Cho hàm f (x, y ) = arctan x

y . Hãy tính các đạo hàm riêng

1

y

cấp 1 của f tại (1,1).Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

x

−

y 2

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

∂f

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1

2 ,

∂y (1, 1) = − 1

2 ,

x (x0, y0) hoặc ∂f

y (x0, y0) hoặc ∂f

∂f ∂x (x0, y0)

f (x,y0)−f (x0,y0) x−x0

định bởi:

∂f ∂y (x0, y0)

f (x0,y)−f (x0,y0) y −y0

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký ∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48) hiệu: f (cid:48) ∂y (x0, y0)) (def ) = lim x→x0 (def ) = lim y →y0 3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Cho hàm f (x, y ) = arctan x

y . Hãy tính các đạo hàm riêng

1

y

cấp 1 của f tại (1,1).Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

x

−

y 2

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

∂f

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1

2 ,

∂y (1, 1) = − 1

2 ,

x (x0, y0) hoặc ∂f

y (x0, y0) hoặc ∂f

∂f ∂x (x0, y0)

f (x,y0)−f (x0,y0) x−x0

định bởi:

∂f ∂y (x0, y0)

f (x0,y)−f (x0,y0) y −y0

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký ∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48) hiệu: f (cid:48) ∂y (x0, y0)) (def ) = lim x→x0 (def ) = lim y →y0 3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Cho hàm f (x, y ) = arctan x

y . Hãy tính các đạo hàm riêng

1

y

cấp 1 của f tại (1,1).Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

x

−

y 2

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

∂f

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1

2 ,

∂y (1, 1) = − 1

2 ,

x (x0, y0) hoặc ∂f

y (x0, y0) hoặc ∂f

∂f ∂x (x0, y0)

f (x,y0)−f (x0,y0) x−x0

định bởi:

∂f ∂y (x0, y0)

f (x0,y)−f (x0,y0) y −y0

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký ∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48) hiệu: f (cid:48) ∂y (x0, y0)) (def ) = lim x→x0 (def ) = lim y →y0 3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Hãy tính các đạo hàm riêng

1

y

cấp 1 của f tại (1,1).Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

x

−

y 2

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

∂f

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1

2 ,

∂y (1, 1) = − 1

2 ,

x (x0, y0) hoặc ∂f

y (x0, y0) hoặc ∂f

∂f ∂x (x0, y0)

f (x,y0)−f (x0,y0) x−x0

định bởi:

∂f ∂y (x0, y0)

f (x0,y)−f (x0,y0) y −y0

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký ∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48) hiệu: f (cid:48) ∂y (x0, y0)) (def ) = lim x→x0 (def ) = lim y →y0 3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

Thí dụ: Cho hàm f (x, y ) = arctan x y .

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1

y

Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

x

−

y 2

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

(cid:16) x

1+

y

∂f

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1

2 ,

∂y (1, 1) = − 1

2 ,

x (x0, y0) hoặc ∂f

y (x0, y0) hoặc ∂f

∂f ∂x (x0, y0)

f (x,y0)−f (x0,y0) x−x0

định bởi:

∂f ∂y (x0, y0)

f (x0,y)−f (x0,y0) y −y0

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký ∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48) hiệu: f (cid:48) ∂y (x0, y0)) (def ) = lim x→x0 (def ) = lim y →y0 3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

Thí dụ: Cho hàm f (x, y ) = arctan x

y . Hãy tính các đạo hàm riêng

cấp 1 của f tại (1,1).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

∂f

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1

2 ,

∂y (1, 1) = − 1

2 ,

x (x0, y0) hoặc ∂f

y (x0, y0) hoặc ∂f

∂f ∂x (x0, y0)

f (x,y0)−f (x0,y0) x−x0

định bởi:

∂f ∂y (x0, y0)

f (x0,y)−f (x0,y0) y −y0

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký ∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48) hiệu: f (cid:48) ∂y (x0, y0)) (def ) = lim x→x0 (def ) = lim y →y0 3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

Thí dụ: Cho hàm f (x, y ) = arctan x

y . Hãy tính các đạo hàm riêng

cấp 1 của f tại (1,1).Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

1+

1 y (cid:16) x y

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

1+

x − y 2 (cid:16) x y

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x (x0, y0) hoặc ∂f

y (x0, y0) hoặc ∂f

∂f ∂x (x0, y0)

f (x,y0)−f (x0,y0) x−x0

định bởi:

∂f ∂y (x0, y0)

f (x0,y)−f (x0,y0) y −y0

Đạo hàm riêng theo biến x( hay theo biến y )của f tại (x0, y0),ký ∂x (x0, y0) ( hay f (cid:48) hiệu: f (cid:48) ∂y (x0, y0)) (def ) = lim x→x0 (def ) = lim y →y0 3.2. Phương pháp tính đạo hàm riêng

Method

Khi tính đạo hàm riêng, mọi biến khác với biến đang tính đạo hàm đều xem như hằng số.

Thí dụ: Cho hàm f (x, y ) = arctan x

y . Hãy tính các đạo hàm riêng

cấp 1 của f tại (1,1).Giải: ∂f

x =

(cid:17)2

∂x (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

1+

1 y (cid:16) x y

∂f

y =

(cid:17)2

∂y (x, y ) = (arctan x

y )(cid:48)

1+

x − y 2 (cid:16) x y

∂f

LaTex

Do đó ∂f

∂x (1, 1) = 1 2 ,

∂y (1, 1) = − 1 2 ,

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

∂f ∂f df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂x ∂y

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

∂f ∂f df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂x ∂y

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

∂f ∂f df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂x ∂y

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

∂f ∂f df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂x ∂y

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

∂x , ∂f

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂f ∂x ∂f ∂y

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂f ∂x ∂f ∂y

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Rõ ràng ∂f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂f ∂x ∂f ∂y

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Rõ ràng ∂f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂f ∂x ∂f ∂y

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nên f

khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂f ∂x ∂f ∂y

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Mặt khác ∂f

∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂f ∂x ∂f ∂y

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f

∂x = 3x 2 − 3y , ∂f

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f khả vi trên R2.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó df (1, 0) = ∂f

∂x (1, 0)dx + ∂f

∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂f ∂x ∂f ∂y

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f ∂x = 3x 2 − 3y , ∂f khả vi trên R2. Mặt khác ∂f

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f ∂x (1, 0) = 3 , ∂f

∂y (1, 0) = −3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

∂x , ∂f

∂y liên tục tại (x0, y0)

3.3. Điều kiện cần và đủ để hàm 2 biến f khả vi (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇒ f liên tục tại (x0, y0) (cid:63) f khả vi tại (x0, y0) ⇐ ∂f Khi f khả vi tại (x0, y0):

Vi phân ( cấp 1) toàn phần của f tại (x0, y0)

df (x0, y0) = (x0, y0)dx + (x0, y0)dy ∂f ∂x ∂f ∂y

∂y = −3x + 3y 2 liên tục trên R2nên f ∂x (1, 0) = 3 , ∂f

Thí dụ: Chứng minh f: f(x,y) = x 3 − 3xy + y 3 khả vi tại mọi (x,y) ∈ R2 và tính df(1,0). Giải: Rõ ràng ∂f ∂x = 3x 2 − 3y , ∂f khả vi trên R2. Mặt khác ∂f Do đó df (1, 0) = ∂f

∂y (1, 0) = −3 ∂y (1, 0)dy = 3dx − 3dy

∂x (1, 0)dx + ∂f

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

(def )

(cid:0) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) (cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x.

xx

∂x

∂x

∂x 2

(def )

(def )

(cid:17) (cid:16) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y.

yy

∂y

∂y

∂y 2

(def )

(def )

(cid:17) (cid:16) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp.

yx

∂y ∂x

∂x

∂y

(def )

(def )

(cid:0) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) (cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp.

xy

∂x∂y

∂y

∂x

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) Giải: f (cid:48) f (cid:48)

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

y = x 2 cos(x 2y ) (2)

Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48)

xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

(def )

(cid:17) (cid:16) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y.

yy

∂y

∂y

∂y 2

(def )

(def )

(cid:17) (cid:16) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp.

yx

∂y ∂x

∂x

∂y

(def )

(def )

(cid:0) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) (cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp.

xy

∂x∂y

∂y

∂x

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) Giải: f (cid:48) f (cid:48)

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

y = x 2 cos(x 2y ) (2)

Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48)

xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (cid:0) ∂f ∂x

(def ) = ∂2f ∂x 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

(def )

(cid:17) (cid:16) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp.

yx

∂y ∂x

∂x

∂y

(def )

(def )

(cid:0) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) (cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp.

xy

∂x∂y

∂y

∂x

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) Giải: f (cid:48) f (cid:48)

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

y = x 2 cos(x 2y ) (2)

Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48)

xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. (cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) yy ∂y (cid:0) ∂f ∂x (cid:16) ∂f ∂y

(def ) = ∂2f ∂x 2 (def ) = ∂2f ∂y 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

(def )

(cid:0) ∂f = ∂2f = ∂ f (cid:48)(cid:48) (cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp.

xy

∂x∂y

∂y

∂x

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) Giải: f (cid:48) f (cid:48)

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

y = x 2 cos(x 2y ) (2)

Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48)

xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. (cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) yy ∂y

(def ) = ∂2f ∂x 2 (def ) = ∂2f ∂y 2

(cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) yx

(def ) = ∂2f ∂y ∂x

(def ) = ∂ ∂x

(cid:0) ∂f ∂x (cid:16) ∂f ∂y (cid:16) ∂f ∂y

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) Giải: f (cid:48) f (cid:48)

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

y = x 2 cos(x 2y ) (2)

Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48)

xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. (cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) yy ∂y

(def ) = ∂2f ∂x 2 (def ) = ∂2f ∂y 2

(cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) yx

(def ) = ∂2f ∂y ∂x

(def ) = ∂ ∂x

(cid:0) ∂f ∂x (cid:16) ∂f ∂y (cid:16) ∂f ∂y

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) xy

(def ) = ∂2f ∂x∂y

(def ) = ∂ ∂y

(cid:0) ∂f ∂x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) Giải: f (cid:48) f (cid:48)

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

y = x 2 cos(x 2y ) (2)

Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48)

xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. (cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) yy ∂y

(def ) = ∂2f ∂x 2 (def ) = ∂2f ∂y 2

(cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) yx

(def ) = ∂2f ∂y ∂x

(def ) = ∂ ∂x

(cid:0) ∂f ∂x (cid:16) ∂f ∂y (cid:16) ∂f ∂y

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) xy

(def ) = ∂2f ∂x∂y

(def ) = ∂ ∂y

(cid:0) ∂f ∂x

Thi dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: f (cid:48) f (cid:48)

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

y = x 2 cos(x 2y ) (2)

Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48)

xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. (cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) yy ∂y

(def ) = ∂2f ∂x 2 (def ) = ∂2f ∂y 2

(cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) yx

(def ) = ∂2f ∂y ∂x

(def ) = ∂ ∂x

(cid:0) ∂f ∂x (cid:16) ∂f ∂y (cid:16) ∂f ∂y

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) xy

(def ) = ∂2f ∂x∂y

(def ) = ∂ ∂y

(cid:0) ∂f ∂x

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48)

xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. (cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) yy ∂y

(def ) = ∂2f ∂x 2 (def ) = ∂2f ∂y 2

(cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) yx

(def ) = ∂2f ∂y ∂x

(def ) = ∂ ∂x

(cid:0) ∂f ∂x (cid:16) ∂f ∂y (cid:16) ∂f ∂y

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) xy

(def ) = ∂2f ∂x∂y

(def ) = ∂ ∂y

(cid:0) ∂f ∂x

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) y = x 2 cos(x 2y ) (2) f (cid:48) Giải: f (cid:48)

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48)

yy = −x 4 sin(x 2y )

f (cid:48)(cid:48)

yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. (cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) yy ∂y

(def ) = ∂2f ∂x 2 (def ) = ∂2f ∂y 2

(cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) yx

(def ) = ∂2f ∂y ∂x

(def ) = ∂ ∂x

(cid:0) ∂f ∂x (cid:16) ∂f ∂y (cid:16) ∂f ∂y

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) xy

(def ) = ∂2f ∂x∂y

(def ) = ∂ ∂y

(cid:0) ∂f ∂x

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) Giải: f (cid:48) y = x 2 cos(x 2y ) (2) f (cid:48) Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48) xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y ) xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y ) f (cid:48)(cid:48)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 theo biến x. (cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y. 3.4. Đạo hàm và vi phân cấp 2 (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) xx ∂x (def ) = ∂ f (cid:48)(cid:48) yy ∂y

(def ) = ∂2f ∂x 2 (def ) = ∂2f ∂y 2

(cid:17) : đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) yx

(def ) = ∂2f ∂y ∂x

(def ) = ∂ ∂x

(cid:0) ∂f ∂x (cid:16) ∂f ∂y (cid:16) ∂f ∂y

(cid:1): đạo hàm riêng cấp 2 hổn hợp. f (cid:48)(cid:48) xy

(def ) = ∂2f ∂x∂y

(def ) = ∂ ∂y

(cid:0) ∂f ∂x

x = 2xy cos(x 2y ) (1),

Thi dụ: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f:f (x, y ) = sin(x 2y ) Giải: f (cid:48) y = x 2 cos(x 2y ) (2) f (cid:48) Từ (1) ta có: f (cid:48)(cid:48) xx = 2y cos(x 2y ) − 4x 2y 2 sin(x 2y ) f (cid:48)(cid:48) xy = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y ) Từ (2) ta có: f (cid:48)(cid:48) yy = −x 4 sin(x 2y ) yx = 2x cos(x 2y ) − 2x 3y sin(x 2y ) f (cid:48)(cid:48)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Lưu ý:

∂2f

(cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

∂2f ∂2f (x0, y0) = (x0, y0) ∂x∂y ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2

d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

∂2f

(cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

∂2f ∂2f (x0, y0) = (x0, y0) ∂x∂y ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2

d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

thì

∂2f ∂2f (x0, y0) = (x0, y0) ∂x∂y ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2

d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2

d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2 d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2 d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2 d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2 d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Ta có f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2 d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48)

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nên f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48)

x 2(1, 0) = 0 ,

y 2(1, 0) = 1

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2 d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48) Ta có f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48)

xy = exy (1 + xy ) ,

yy = x 2exy f (cid:48)(cid:48)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2 d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48) Ta có f (cid:48)(cid:48) nên f (cid:48)(cid:48)

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48) xy = exy (1 + xy ) , xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

yy = x 2exy f (cid:48)(cid:48) y 2(1, 0) = 1

x 2(1, 0) = 0 ,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Lưu ý: (cid:63) Nếu ∂2f

∂x∂y ,

∂2f ∂y ∂x liên tục tại (x0, y0) thì

(x0, y0) = (x0, y0) ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y ∂x

Khi đó:

(cid:63) Vi phân cấp 2 d 2f (x0, y0) = ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy + ∂2f

∂x 2 (x0, y0)dx 2 + 2 ∂2f

∂y 2 (x0, y0)dy 2

x = yexy , f (cid:48)

y = xexy

xx = y 2exy , f (cid:48)(cid:48) xy = exy (1 + xy ) , xy (1, 0) = 1 , f (cid:48)(cid:48) f (cid:48)(cid:48)

yy = x 2exy f (cid:48)(cid:48) y 2(1, 0) = 1

x 2(1, 0) = 0 ,

Thí dụ: Cho f (x, y ) = exy .Tính d 2f (1, 0) Giải: Từ f (cid:48) Ta có f (cid:48)(cid:48) nên f (cid:48)(cid:48) Do đó d 2f (1, 0) = 2dxdy + dy 2.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(x > 0, y > 0 ) b) f (x, y ) = ln(x + (cid:112)x 2 + y 2)

1√

1) Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f: a) f (x, y ) = x ln y 2) Chứng minh: ∂x 2 + ∂2u ∂2u

∂y 2 = 0 với u(x, y ) = ln

x 2+y 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(≤)

f (x, y ) ∀(x, y ) ∈ V (x0, y0), ≥ f (x0, y0)

⇔ f đạt cực tiểu (đại) tại (x0, y0)

4.BÀI TOÁN CỰC TRỊ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

4.BÀI TOÁN CỰC TRỊ

f (x, y ) ∀(x, y ) ∈ V (x0, y0),

(≤) ≥ f (x0, y0)

⇔ f đạt cực tiểu (đại) tại (x0, y0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

4.BÀI TOÁN CỰC TRỊ

f (x, y ) ∀(x, y ) ∈ V (x0, y0),

(≤) ≥ f (x0, y0)

⇔ f đạt cực tiểu (đại) tại (x0, y0)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 1: Tìm tọa độ điểm dừng (điểm nghi ngờ là cực trị) thỏa (cid:26) f (cid:48) (cid:26) x = x0

x = 0

hệ: ⇔ ... ⇔ f (cid:48) y = y0

y = 0

Bước 2:Tại (x0, y0): Tính A = f (cid:48)(cid:48)

xx (x0, y0) , B = f (cid:48)(cid:48)

xy (x0, y0) , C = f (cid:48)(cid:48)

yy (x0, y0)

và ∆ = AC − B 2 Bước 3: Kiểm tra ∆ < 0 :k.luận f không có điểm cực trị. ∆ > 0 + A > 0(< 0):k.luận f đạt điểm cực tiểu (đại) tại (x0, y0) ∆ = 0 :khảo sát dấu của f (x, y ) − f (x0, y0) trong lân cận của (x0, y0)− >k.luận.

Áp dụng: Tìm cực trị của hàm f : f (x, y ) = (x − 1)2 + 2y 2

4.1. Bài toán 1: Tìm cực trị( địa phương ) của hàm f: z = f(x,y)

Phương pháp:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 2:Tại (x0, y0): Tính A = f (cid:48)(cid:48)

xx (x0, y0) , B = f (cid:48)(cid:48)

xy (x0, y0) , C = f (cid:48)(cid:48)

yy (x0, y0)

và ∆ = AC − B 2 Bước 3: Kiểm tra ∆ < 0 :k.luận f không có điểm cực trị. ∆ > 0 + A > 0(< 0):k.luận f đạt điểm cực tiểu (đại) tại (x0, y0) ∆ = 0 :khảo sát dấu của f (x, y ) − f (x0, y0) trong lân cận của (x0, y0)− >k.luận.

Áp dụng: Tìm cực trị của hàm f : f (x, y ) = (x − 1)2 + 2y 2

4.1. Bài toán 1: Tìm cực trị( địa phương ) của hàm f: z = f(x,y)

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm dừng (điểm nghi ngờ là cực trị) thỏa

hệ: ⇔ ... ⇔ (cid:26) x = x0 y = y0 (cid:26) f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 3: Kiểm tra ∆ < 0 :k.luận f không có điểm cực trị. ∆ > 0 + A > 0(< 0):k.luận f đạt điểm cực tiểu (đại) tại (x0, y0) ∆ = 0 :khảo sát dấu của f (x, y ) − f (x0, y0) trong lân cận của (x0, y0)− >k.luận.

Áp dụng: Tìm cực trị của hàm f : f (x, y ) = (x − 1)2 + 2y 2

4.1. Bài toán 1: Tìm cực trị( địa phương ) của hàm f: z = f(x,y)

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm dừng (điểm nghi ngờ là cực trị) thỏa

⇔ ... ⇔ hệ: (cid:26) x = x0 y = y0

xx (x0, y0) , B = f (cid:48)(cid:48)

xy (x0, y0) , C = f (cid:48)(cid:48)

yy (x0, y0)

(cid:26) f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 Bước 2:Tại (x0, y0): Tính A = f (cid:48)(cid:48) và ∆ = AC − B 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Áp dụng: Tìm cực trị của hàm f : f (x, y ) = (x − 1)2 + 2y 2

4.1. Bài toán 1: Tìm cực trị( địa phương ) của hàm f: z = f(x,y)

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm dừng (điểm nghi ngờ là cực trị) thỏa

hệ: ⇔ ... ⇔ (cid:26) x = x0 y = y0

xx (x0, y0) , B = f (cid:48)(cid:48)

xy (x0, y0) , C = f (cid:48)(cid:48)

yy (x0, y0)

(cid:26) f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 Bước 2:Tại (x0, y0): Tính A = f (cid:48)(cid:48) và ∆ = AC − B 2 Bước 3: Kiểm tra ∆ < 0 :k.luận f không có điểm cực trị. ∆ > 0 + A > 0(< 0):k.luận f đạt điểm cực tiểu (đại) tại (x0, y0) ∆ = 0 :khảo sát dấu của f (x, y ) − f (x0, y0) trong lân cận của (x0, y0)− >k.luận.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

4.1. Bài toán 1: Tìm cực trị( địa phương ) của hàm f: z = f(x,y)

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm dừng (điểm nghi ngờ là cực trị) thỏa

hệ: ⇔ ... ⇔ (cid:26) x = x0 y = y0

xx (x0, y0) , B = f (cid:48)(cid:48)

xy (x0, y0) , C = f (cid:48)(cid:48)

yy (x0, y0)

(cid:26) f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 Bước 2:Tại (x0, y0): Tính A = f (cid:48)(cid:48) và ∆ = AC − B 2 Bước 3: Kiểm tra ∆ < 0 :k.luận f không có điểm cực trị. ∆ > 0 + A > 0(< 0):k.luận f đạt điểm cực tiểu (đại) tại (x0, y0) ∆ = 0 :khảo sát dấu của f (x, y ) − f (x0, y0) trong lân cận của (x0, y0)− >k.luận.

Áp dụng: Tìm cực trị của hàm f : f (x, y ) = (x − 1)2 + 2y 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

4.2. Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm f: z = f(x,y) có điều kiện ϕ(x, y ) = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

4.2. Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm f: z = f(x,y) có điều kiện ϕ(x, y ) = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 1:Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y )  L(cid:48)

x = 0

 L(cid:48) Tìm tọa độ điểm dừng thỏa hệ: ( 3 ẩn: x, y , λ)

y = 0

 ϕ(x, y ) = 0

Bước 2: Tại điểm dừng (xi , yi ) ứng với λi (i = 1, n) Tìm d 2L(xi , yi ) và phát hiện quan hệ giữa dx, dy khi cần thiết ( suy từ 0 = d ϕ(xi , yi ) = ϕ(cid:48)

x (xi , yi )dx + ϕ(cid:48)

y (xi , yi )dy )

(<)

> 0 và kết luận f đạt cực tiểu (đại) Bước 3:Kiểm tra d 2L(xi , yi ) tại (xi , yi )

Phương pháp:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 2: Tại điểm dừng (xi , yi ) ứng với λi (i = 1, n) Tìm d 2L(xi , yi ) và phát hiện quan hệ giữa dx, dy khi cần thiết ( suy từ 0 = d ϕ(xi , yi ) = ϕ(cid:48)

x (xi , yi )dx + ϕ(cid:48)

y (xi , yi )dy )

(<)

> 0 và kết luận f đạt cực tiểu (đại) Bước 3:Kiểm tra d 2L(xi , yi ) tại (xi , yi )

Phương pháp:

  Tìm tọa độ điểm dừng thỏa hệ: ( 3 ẩn: x, y , λ)  Bước 1:Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(<)

> 0 và kết luận f đạt cực tiểu (đại) Bước 3:Kiểm tra d 2L(xi , yi ) tại (xi , yi )

Phương pháp:

  Tìm tọa độ điểm dừng thỏa hệ: ( 3 ẩn: x, y , λ)  Bước 1:Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0

Bước 2: Tại điểm dừng (xi , yi ) ứng với λi (i = 1, n) Tìm d 2L(xi , yi ) và phát hiện quan hệ giữa dx, dy khi cần thiết ( suy từ 0 = d ϕ(xi , yi ) = ϕ(cid:48)

x (xi , yi )dx + ϕ(cid:48)

y (xi , yi )dy )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Phương pháp:

  Tìm tọa độ điểm dừng thỏa hệ: ( 3 ẩn: x, y , λ)  Bước 1:Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0

Bước 2: Tại điểm dừng (xi , yi ) ứng với λi (i = 1, n) Tìm d 2L(xi , yi ) và phát hiện quan hệ giữa dx, dy khi cần thiết ( suy từ 0 = d ϕ(xi , yi ) = ϕ(cid:48)

y (xi , yi )dy )

x (xi , yi )dx + ϕ(cid:48) (<) > 0 và kết luận f đạt cực tiểu (đại)

Bước 3:Kiểm tra d 2L(xi , yi ) tại (xi , yi )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:  2x(1 + λ) = 1   L(cid:48) 2x(1 + λ) = 1

x = 0

   (cid:20) y = 0 L(cid:48) 2y (2 + λ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔

y = 0

λ = −2   x 2 + y 2 = 1 ϕ(x, y ) = 0  x 2 + y 2 = 1     x = −1 x = −1 x = 1 x = −1

2

2

√

√

   

3

3

y = 0 y = 0 ∨ ∨ ∨ y = y = −

2

2

    λ = − 1 λ = − 3 λ = −2 λ = −2

2

2

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:  2x(1 + λ) = 1   L(cid:48) 2x(1 + λ) = 1

x = 0

   (cid:20) y = 0 L(cid:48) 2y (2 + λ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔

y = 0

λ = −2   x 2 + y 2 = 1 ϕ(x, y ) = 0  x 2 + y 2 = 1     x = −1 x = −1 x = 1 x = −1

2

2

√

√

   

3

3

y = 0 y = 0 ∨ ∨ ∨ y = y = −

2

2

    λ = − 1 λ = − 3 λ = −2 λ = −2

2

2

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:  2x(1 + λ) = 1   L(cid:48) 2x(1 + λ) = 1

x = 0

   (cid:20) y = 0 L(cid:48) 2y (2 + λ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔

y = 0

λ = −2   x 2 + y 2 = 1 ϕ(x, y ) = 0  x 2 + y 2 = 1     x = −1 x = −1 x = 1 x = −1

2

2

√

√

   

3

3

y = 0 y = 0 ∨ ∨ ∨ y = y = −

2

2

    λ = − 1 λ = − 3 λ = −2 λ = −2

2

2

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:  2x(1 + λ) = 1   L(cid:48) 2x(1 + λ) = 1

x = 0

   (cid:20) y = 0 L(cid:48) 2y (2 + λ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔

y = 0

λ = −2   x 2 + y 2 = 1 ϕ(x, y ) = 0  x 2 + y 2 = 1     x = −1 x = −1 x = 1 x = −1

2

2

√

√

   

3

3

y = 0 y = 0 ∨ ∨ ∨ y = y = −

2

2

    λ = − 1 λ = − 3 λ = −2 λ = −2

2

2

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:  2x(1 + λ) = 1   L(cid:48) 2x(1 + λ) = 1

x = 0

   (cid:20) y = 0 L(cid:48) 2y (2 + λ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔

y = 0

λ = −2   x 2 + y 2 = 1 ϕ(x, y ) = 0  x 2 + y 2 = 1     x = −1 x = −1 x = 1 x = −1

2

2

√

√

   

3

3

y = 0 y = 0 ∨ ∨ ∨ y = y = −

2

2

    λ = − 1 λ = − 3 λ = −2 λ = −2

2

2

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

 2x(1 + λ) = 1  2x(1 + λ) = 1   (cid:20) y = 0 2y (2 + λ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ λ = −2  x 2 + y 2 = 1  x 2 + y 2 = 1     x = −1 x = −1 x = 1 x = −1

2

2

√

√

   

3

3

y = 0 y = 0 ∨ ∨ ∨ y = − y =

2

2

    λ = − 1 λ = − 3 λ = −2 λ = −2

2

2

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:  

 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

 2x(1 + λ) = 1  (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔ λ = −2  x 2 + y 2 = 1     x = −1 x = −1 x = 1 x = −1

2

2

√

√

   

3

3

y = 0 y = 0 ∨ ∨ ∨ y = − y =

2

2

    λ = − 1 λ = − 3 λ = −2 λ = −2

2

2

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇔

    x = −1 x = −1 x = 1 x = −1

2

2

√

√

   

3

3

y = 0 y = 0 ∨ ∨ ∨ y = y = −

2

2

    λ = − 1 λ = − 3 λ = −2 λ = −2

2

2

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     2x(1 + λ) = 1 (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0    λ = −2 x 2 + y 2 = 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48)

xy = 0 , L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     2x(1 + λ) = 1 (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔ ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0   

      ∨ ∨ ∨     x = −1 2 √ 3 y = 2 λ = −2 λ = −2 x 2 + y 2 = 1  x = −1 2  √ 3 y = − 2 λ = −2 x = 1 y = 0 λ = − 1 2 x = −1 y = 0 λ = − 3 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     2x(1 + λ) = 1 (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔ ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0   

      ∨ ∨ ∨   x = −1 2 √ 3 y = 2 λ = −2 λ = −2 x 2 + y 2 = 1  x = −1 2  √ 3 y = − 2 λ = −2

x = −1 x = 1 y = 0 y = 0   λ = − 3 λ = − 1 2 2 xy = 0 , L(cid:48)(cid:48) xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48) Rõ ràng L(cid:48)(cid:48)

yy = 4 + 2λ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     2x(1 + λ) = 1 (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔ ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0   

      ∨ ∨ ∨   x = −1 2 √ 3 y = 2 λ = −2 λ = −2 x 2 + y 2 = 1  x = −1 2  √ 3 y = − 2 λ = −2

yy = 4 + 2λ

x = −1 x = 1 y = 0 y = 0   λ = − 3 λ = − 1 2 2 xy = 0 , L(cid:48)(cid:48) xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48) Rõ ràng L(cid:48)(cid:48) Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

√

√

3

3

Tại K ( −1

2 ,

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     2x(1 + λ) = 1 (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔ ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0   

      ∨ ∨ ∨   x = −1 2 √ 3 y = 2 λ = −2 λ = −2 x 2 + y 2 = 1  x = −1 2  √ 3 y = − 2 λ = −2

yy = 4 + 2λ

x = −1 x = 1 y = 0 y = 0   λ = − 3 λ = − 1 2 2 xy = 0 , L(cid:48)(cid:48) xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48) Rõ ràng L(cid:48)(cid:48) Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

√

√

3

3

Tại M( −1

2 , −

2 ) : d 2L( −1

2 ,

2 ) = −2dx 2 < 0.

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     2x(1 + λ) = 1 (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔ ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0   

      ∨ ∨ ∨   λ = −2 x 2 + y 2 = 1  x = −1 2  √ 3 y = − 2 λ = −2 x = −1 2 √ 3 y = 2 λ = −2

yy = 4 + 2λ

√

x = −1 x = 1 y = 0 y = 0   λ = − 3 λ = − 1 2 2 xy = 0 , L(cid:48)(cid:48) xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48) Rõ ràng L(cid:48)(cid:48) Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx) √ 3 3 2 ) : d 2L( −1 Tại K ( −1 2 ) = −2dx 2 < 0 2 , 2 ,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     2x(1 + λ) = 1 (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔ ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0   

      ∨ ∨ ∨   λ = −2 x 2 + y 2 = 1  x = −1 2  √ 3 y = − 2 λ = −2 x = −1 2 √ 3 y = 2 λ = −2

yy = 4 + 2λ

√

3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x = −1 x = 1 y = 0 y = 0   λ = − 3 λ = − 1 2 2 xy = 0 , L(cid:48)(cid:48) xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48) Rõ ràng L(cid:48)(cid:48) Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx) √ 3 3 2 ) : d 2L( −1 Tại K ( −1 2 ) = −2dx 2 < 0 2 , 2 , √ √ 2 , − 3 2 ) : d 2L( −1 Tại M( −1 2 ) = −2dx 2 < 0. 2 ,

Thí dụ: Tìm cực trị của f: z = f (x, y ) = x 2 + 2y 2 − x với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x 2 + 2y 2 − x + λ(x 2 + y 2 − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:     2x(1 + λ) = 1 (cid:20) y = 0 ⇔ ⇔ ⇔   2x(1 + λ) = 1 2y (2 + λ) = 0 x 2 + y 2 = 1 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0   

      ∨ ∨ ∨   λ = −2 x 2 + y 2 = 1  x = −1 2  √ 3 y = − 2 λ = −2 x = −1 2 √ 3 y = 2 λ = −2

yy = 4 + 2λ

√

3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x = −1 x = 1 y = 0 y = 0   λ = − 3 λ = − 1 2 2 xy = 0 , L(cid:48)(cid:48) xx = 2 + 2λ , L(cid:48)(cid:48) Rõ ràng L(cid:48)(cid:48) Tại I(1,0):d 2L(1, 0) = dx 2 + 3dy 2 > 0 Tại J(-1,0):d 2L(−1, 0) = −dx 2 + dy 2 = dy 2 > 0 (vì 0 = d ϕ(−1, 0) = −2dx) √ 3 3 2 ) : d 2L( −1 Tại K ( −1 2 ) = −2dx 2 < 0 2 , 2 , √ √ 2 , − 3 2 ) : d 2L( −1 Tại M( −1 2 ) = −2dx 2 < 0. 2 ,

Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu tại I,J; cực đại tại K,M.

Cách 2 Với điều kiện x 2 + y 2 = 1 , z = −x 2 − x + 2 ( x ∈ [−1, 1]) nên z (cid:48)

x = −2x − 1 , z (cid:48)

x = 0 ⇔ x = − 1

2

x = 1 ⇒ y = 0 x = −1 ⇒ y = 0

√

3

x = − 1

2 ⇒ y = ±

2

Do đó f đạt cực tiểu tại (1,0),(-1,0); đạt cực đại tại

√

√

3

3

(− 1

2 ,

2 ), (− 1

2 , −

2 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Với điều kiện x 2 + y 2 = 1 , z = −x 2 − x + 2 ( x ∈ [−1, 1]) nên z (cid:48)

x = −2x − 1 , z (cid:48)

x = 0 ⇔ x = − 1

2

x = 1 ⇒ y = 0 x = −1 ⇒ y = 0

√

3

x = − 1

2 ⇒ y = ±

2

Do đó f đạt cực tiểu tại (1,0),(-1,0); đạt cực đại tại

√

√

3

3

(− 1

2 ,

2 ), (− 1

2 , −

2 )

Cách 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nên z (cid:48)

x = −2x − 1 , z (cid:48)

x = 0 ⇔ x = − 1

2

x = 1 ⇒ y = 0 x = −1 ⇒ y = 0

√

3

x = − 1

2 ⇒ y = ±

2

Do đó f đạt cực tiểu tại (1,0),(-1,0); đạt cực đại tại

√

√

3

3

(− 1

2 ,

2 ), (− 1

2 , −

2 )

Cách 2 Với điều kiện x 2 + y 2 = 1 , z = −x 2 − x + 2 ( x ∈ [−1, 1])

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x = 1 ⇒ y = 0 x = −1 ⇒ y = 0

√

3

x = − 1

2 ⇒ y = ±

2

Do đó f đạt cực tiểu tại (1,0),(-1,0); đạt cực đại tại

√

√

3

3

(− 1

2 ,

2 ), (− 1

2 , −

2 )

x = −2x − 1 , z (cid:48)

Cách 2 Với điều kiện x 2 + y 2 = 1 , z = −x 2 − x + 2 ( x ∈ [−1, 1]) x = 0 ⇔ x = − 1 nên z (cid:48) 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó f đạt cực tiểu tại (1,0),(-1,0); đạt cực đại tại

√

√

3

3

(− 1

2 ,

2 ), (− 1

2 , −

2 )

x = −2x − 1 , z (cid:48)

Cách 2 Với điều kiện x 2 + y 2 = 1 , z = −x 2 − x + 2 ( x ∈ [−1, 1]) x = 0 ⇔ x = − 1 nên z (cid:48) 2

√

x = 1 ⇒ y = 0 x = −1 ⇒ y = 0 x = − 1 2 ⇒ y = ±

3 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x = −2x − 1 , z (cid:48)

Cách 2 Với điều kiện x 2 + y 2 = 1 , z = −x 2 − x + 2 ( x ∈ [−1, 1]) x = 0 ⇔ x = − 1 nên z (cid:48) 2

√

x = 1 ⇒ y = 0 x = −1 ⇒ y = 0 x = − 1 2 ⇒ y = ±

3 2

√

3

Do đó f đạt cực tiểu tại (1,0),(-1,0); đạt cực đại tại (− 1 2 ,

2 ), (− 1

√ 3 2 )

2 , −

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

HOMEWORK 1) Tìm cực trị của hàm f: f (x, y ) = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 2) Tìm cực trị của hàm f: f (x, y ) = 2x 4 + y 4 − x 2 − 2y 2 3) Tìm cực trị của hàm f: f (x, y ) = 6 − 4x − 3y với điều kiện : x 2 + y 2 = 1 4) Tìm cực trị của hàm f: f (x, y ) = x + 2y với điều kiện : x 2 + y 2 = 5

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

4.2. Bài toán 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm f: z = f(x,y) trên tập compact D = ∂D ∪ D(dạng tập có biên) với ∂D : ϕ(x, y ) = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

4.2. Bài toán 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm f: z = f(x,y) trên tập compact D = ∂D ∪ D(dạng tập có biên) với ∂D : ϕ(x, y ) = 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa  f (cid:48)

x = 0

 (cid:26) x = xi f (cid:48) ⇔ ... ⇔ (i = 1, n)

y = 0

y = yi  (x, y ) ∈ D

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n ) Bước 2: (cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) (cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa   L(cid:48) x = xj

x = 0

  L(cid:48) hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m) y = yj

y = 0

  ϕ(x, y ) = 0 λ = λj

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m ) Bước 3: Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

D

Phương pháp:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n ) Bước 2: (cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) (cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa   L(cid:48) x = xj

x = 0

  L(cid:48) hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m) y = yj

y = 0

  ϕ(x, y ) = 0 λ = λj

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m ) Bước 3: Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

D

Phương pháp:

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa   ⇔ ... ⇔ (i = 1, n) (cid:26) x = xi y = yi  f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 2: (cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) (cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa   L(cid:48) x = xj

x = 0

  L(cid:48) hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m) y = yj

y = 0

  ϕ(x, y ) = 0 λ = λj

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m ) Bước 3: Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

D

Phương pháp:

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa   ⇔ ... ⇔ (i = 1, n) (cid:26) x = xi y = yi  f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) (cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa   L(cid:48) x = xj

x = 0

  L(cid:48) hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m) y = yj

y = 0

  ϕ(x, y ) = 0 λ = λj

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m ) Bước 3: Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

D

Phương pháp:

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa   ⇔ ... ⇔ (i = 1, n) (cid:26) x = xi y = yi  f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n ) Bước 2:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa   L(cid:48) x = xj

x = 0

  L(cid:48) hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m) y = yj

y = 0

  ϕ(x, y ) = 0 λ = λj

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m ) Bước 3: Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

D

Phương pháp:

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa   ⇔ ... ⇔ (i = 1, n) (cid:26) x = xi y = yi  f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n ) Bước 2: (cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m ) Bước 3: Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

D

Phương pháp:

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa   ⇔ ... ⇔ (i = 1, n) (cid:26) x = xi y = yi  f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n ) Bước 2: (cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) (cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa

    hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m)   L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0 x = xj y = yj λ = λj

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Bước 3: Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

D

Phương pháp:

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa   ⇔ ... ⇔ (i = 1, n) (cid:26) x = xi y = yi  f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n ) Bước 2: (cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) (cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa

    hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m)   L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0 x = xj y = yj λ = λj

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

D

Phương pháp:

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa   ⇔ ... ⇔ (i = 1, n) (cid:26) x = xi y = yi  f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n ) Bước 2: (cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) (cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa

    hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m)   L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0 x = xj y = yj λ = λj

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m ) Bước 3:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Phương pháp:

Bước 1: (cid:63) Tìm tọa độ điểm dừng trong D thỏa   ⇔ ... ⇔ (i = 1, n) (cid:26) x = xi y = yi  f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

(cid:63) Tìm giá trị điểm dừng f (xi , yi ) , (i = 1, n ) Bước 2: (cid:63) Đặt L(x, y ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) (cid:63) Tìm tọa độ điểm nghi ngờ trên ∂D : ϕ(x, y ) = 0 thỏa

    hệ: ⇔ ... ⇔ (j = 1, m)   L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 ϕ(x, y ) = 0 x = xj y = yj λ = λj

(cid:63) Tìm giá trị điểm nghi ngờ f (xj , yj ) , (j = 1, m ) Bước 3: Tìm Maxf (x, y ) = max {f (xi , yi ), f (xj , yj )} ,

D

và Minf (x, y ) = min {f (xi , yi ), f (xj , yj )}

LaTex

D

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ   f (cid:48) 1 = 0

x = 0

  f (cid:48) 2 = 0 ⇔ (v .n.)

y = 0

  x 2 + y 2 < 5 (x, y ) ∈ D Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:     L(cid:48) x = −1 x = 1 1 + 2λx = 0

x = 0

    L(cid:48) y = −2 y = 2 2 + 2λy = 0 ⇔ ⇔ ∨

y = 0

    x 2 + y 2 = 5 λ = 1 λ = − 1 (x, y ) ∈ ∂D

2

2

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ   f (cid:48) 1 = 0

x = 0

  f (cid:48) 2 = 0 ⇔ (v .n.)

y = 0

  x 2 + y 2 < 5 (x, y ) ∈ D Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:     L(cid:48) x = −1 x = 1 1 + 2λx = 0

x = 0

    L(cid:48) y = −2 y = 2 2 + 2λy = 0 ⇔ ⇔ ∨

y = 0

    x 2 + y 2 = 5 λ = 1 λ = − 1 (x, y ) ∈ ∂D

2

2

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ   f (cid:48) 1 = 0

x = 0

  f (cid:48) 2 = 0 ⇔ (v .n.)

y = 0

  x 2 + y 2 < 5 (x, y ) ∈ D Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:     L(cid:48) x = −1 x = 1 1 + 2λx = 0

x = 0

    L(cid:48) y = −2 y = 2 2 + 2λy = 0 ⇔ ⇔ ∨

y = 0

    x 2 + y 2 = 5 λ = 1 λ = − 1 (x, y ) ∈ ∂D

2

2

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ   f (cid:48) 1 = 0

x = 0

  f (cid:48) 2 = 0 ⇔ (v .n.)

y = 0

  x 2 + y 2 < 5 (x, y ) ∈ D Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:     L(cid:48) x = −1 x = 1 1 + 2λx = 0

x = 0

    L(cid:48) y = −2 y = 2 2 + 2λy = 0 ⇔ ⇔ ∨

y = 0

    x 2 + y 2 = 5 λ = 1 λ = − 1 (x, y ) ∈ ∂D

2

2

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:     L(cid:48) x = −1 x = 1 1 + 2λx = 0

x = 0

    L(cid:48) y = −2 y = 2 2 + 2λy = 0 ⇔ ⇔ ∨

y = 0

    x 2 + y 2 = 5 λ = 1 λ = − 1 (x, y ) ∈ ∂D

2

2

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ     ⇔ (v .n.)   1 = 0 2 = 0 x 2 + y 2 < 5 f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:     L(cid:48) x = −1 x = 1 1 + 2λx = 0

x = 0

    L(cid:48) y = −2 y = 2 2 + 2λy = 0 ⇔ ⇔ ∨

y = 0

    x 2 + y 2 = 5 λ = 1 λ = − 1 (x, y ) ∈ ∂D

2

2

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ     ⇔ (v .n.) 1 = 0 2 = 0 x 2 + y 2 < 5 f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D   Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

   x = −1 x = 1 1 + 2λx = 0    y = −2 y = 2 2 + 2λy = 0 ⇔ ⇔ ∨    x 2 + y 2 = 5 λ = 1 λ = − 1

2

2

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ     ⇔ (v .n.) 1 = 0 2 = 0 x 2 + y 2 < 5 f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

  Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:  

 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ ∂D

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

  x = −1 x = 1   y = −2 y = 2 ⇔ ∨   λ = 1 λ = − 1

2

2

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ     ⇔ (v .n.) 1 = 0 2 = 0 x 2 + y 2 < 5 f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

  Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:     ⇔   1 + 2λx = 0 2 + 2λy = 0 x 2 + y 2 = 5 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ ∂D

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

max f (x, y ) = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

D

Do đó min f (x, y ) = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5

D

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ     ⇔ (v .n.) 1 = 0 2 = 0 x 2 + y 2 < 5 f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

  Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:         ⇔ ⇔ ∨     1 + 2λx = 0 2 + 2λy = 0 x 2 + y 2 = 5 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ ∂D x = −1 y = −2 λ = 1 2 x = 1 y = 2 λ = − 1 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ: Tìm gtln,gtnn (nếu có) của hàm f : f (x, y ) = x + 2y trên D : x 2 + y 2 ≤ 5 Giải: Tọa độ diểm dừng trong D thỏa hệ     ⇔ (v .n.) 1 = 0 2 = 0 x 2 + y 2 < 5 f (cid:48) x = 0 f (cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ D

  Đặt L(x, y ) = x + 2y + λ(x 2 + y 2 − 5) Tọa độ điểm nghi ngờ trên biên ∂D thỏa hệ:         ⇔ ⇔ ∨     1 + 2λx = 0 2 + 2λy = 0 x 2 + y 2 = 5 L(cid:48) x = 0 L(cid:48) y = 0 (x, y ) ∈ ∂D x = −1 y = −2 λ = 1 2 x = 1 y = 2 λ = − 1 2 = max {f (1, 2), f (−1, −2)} = 5

Do đó = min {f (1, 2), f (−1, −2)} = −5 max f (x, y ) D min f (x, y ) D

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Thông thường trong kinh tế, sản lượng q phụ thuộc vào 5 yếu tố:K(capital: vốn hay các yếu tố đầu tư ngoài nhân công) ,L(labour:nhân công),N(nature: yếu tố tự nhiên ),S(science: k.h.k. thuật),E( environment: môi trường).

5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Thông thường trong kinh tế, sản lượng q phụ thuộc vào 5 yếu tố:K(capital: vốn hay các yếu tố đầu tư ngoài nhân công) ,L(labour:nhân công),N(nature: yếu tố tự nhiên ),S(science: k.h.k. thuật),E( environment: môi trường).

5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

K(capital: vốn hay các yếu tố đầu tư ngoài nhân công) ,L(labour:nhân công),N(nature: yếu tố tự nhiên ),S(science: k.h.k. thuật),E( environment: môi trường).

5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

(cid:63) Thông thường trong kinh tế, sản lượng q phụ thuộc vào 5 yếu tố:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

L(labour:nhân công),N(nature: yếu tố tự nhiên ),S(science: k.h.k. thuật),E( environment: môi trường).

5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

(cid:63) Thông thường trong kinh tế, sản lượng q phụ thuộc vào 5 yếu tố:K(capital: vốn hay các yếu tố đầu tư ngoài nhân công) ,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

N(nature: yếu tố tự nhiên ),S(science: k.h.k. thuật),E( environment: môi trường).

5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

(cid:63) Thông thường trong kinh tế, sản lượng q phụ thuộc vào 5 yếu tố:K(capital: vốn hay các yếu tố đầu tư ngoài nhân công) ,L(labour:nhân công),

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

S(science: k.h.k. thuật),E( environment: môi trường).

5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

(cid:63) Thông thường trong kinh tế, sản lượng q phụ thuộc vào 5 yếu tố:K(capital: vốn hay các yếu tố đầu tư ngoài nhân công) ,L(labour:nhân công),N(nature: yếu tố tự nhiên ),

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

E( environment: môi trường).

5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

(cid:63) Thông thường trong kinh tế, sản lượng q phụ thuộc vào 5 yếu tố:K(capital: vốn hay các yếu tố đầu tư ngoài nhân công) ,L(labour:nhân công),N(nature: yếu tố tự nhiên ),S(science: k.h.k. thuật),

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

(cid:63) Thông thường trong kinh tế, sản lượng q phụ thuộc vào 5 yếu tố:K(capital: vốn hay các yếu tố đầu tư ngoài nhân công) ,L(labour:nhân công),N(nature: yếu tố tự nhiên ),S(science: k.h.k. thuật),E( environment: môi trường).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ:

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ: Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2

2 .

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ: Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ: Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2

1 + q1q2 + q2 2 .

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1 + q1q2 + q2 2 .

Giả sử N,S,E không thay đổi: Hàm sản xuất q = f(K,L) Hàm doanh thu TR = pq ( p : giá đơn vị sản phẩm ) Hàm chi phí TC = g(q) Hàm lợi nhuận π = TR − TC Theo cách nhìn nầy, TR, TC và π là các biểu thức xác định hàm 2 biến K,L. (cid:63) Tuy nhiên theo cách phân tích khác, TR,TC và π xác định hàm n biến q1, q2, ..., qn với qi :lượng sản phẩm thứ i (i=1,...,n). Thí dụ: Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm có số lượng q1, q2( trong 1 đơn vị thời gian ) với mức giá p1 = 60, p2 = 75.Hàm TR = p1q1 + p2q2 và hàm TC = q2 Tìm mức sản lượng q1, q2 để công ty đạt lợi nhuận tối đa.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1)Công ty sản xuất pin Laptop có thông tin sau: Hàm sản xuất q = f (K , L) = −K 2 − L2 + 25K + 60L Hàm chi phí TC= 10K + 20L + 150 Giá bán p = 2 (triệu) Vậy ban giám đốc công ty cần phối hợp yếu tố K,L như thế nào để đạt lợi nhuận tối đa.(p116-NQH) 2)Trong mùa tuyển sinh ĐH, một trường ĐH đã tuyển 5000 sinh viên, được đào tạo tại 2 cơ sở: Cơ sở I với số lượng x sinh viên, hàm chi phí định bởi :CI = 0, 01x 2 + 70x + 9300 Cơ sở II với số lượng y sinh viên, hàm chi phí định bởi :CII = 0, 015y 2 + 72y + 5200 Lãnh đạo nhà trường nên phân bố sinh viên ở mỗi cơ sở như thế nào để chi phí đào tạo thấp nhất.(p122-NQH)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2)Trong mùa tuyển sinh ĐH, một trường ĐH đã tuyển 5000 sinh viên, được đào tạo tại 2 cơ sở: Cơ sở I với số lượng x sinh viên, hàm chi phí định bởi :CI = 0, 01x 2 + 70x + 9300 Cơ sở II với số lượng y sinh viên, hàm chi phí định bởi :CII = 0, 015y 2 + 72y + 5200 Lãnh đạo nhà trường nên phân bố sinh viên ở mỗi cơ sở như thế nào để chi phí đào tạo thấp nhất.(p122-NQH)

BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1)Công ty sản xuất pin Laptop có thông tin sau: Hàm sản xuất q = f (K , L) = −K 2 − L2 + 25K + 60L Hàm chi phí TC= 10K + 20L + 150 Giá bán p = 2 (triệu) Vậy ban giám đốc công ty cần phối hợp yếu tố K,L như thế nào để đạt lợi nhuận tối đa.(p116-NQH)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1)Công ty sản xuất pin Laptop có thông tin sau: Hàm sản xuất q = f (K , L) = −K 2 − L2 + 25K + 60L Hàm chi phí TC= 10K + 20L + 150 Giá bán p = 2 (triệu) Vậy ban giám đốc công ty cần phối hợp yếu tố K,L như thế nào để đạt lợi nhuận tối đa.(p116-NQH) 2)Trong mùa tuyển sinh ĐH, một trường ĐH đã tuyển 5000 sinh viên, được đào tạo tại 2 cơ sở: Cơ sở I với số lượng x sinh viên, hàm chi phí định bởi :CI = 0, 01x 2 + 70x + 9300 Cơ sở II với số lượng y sinh viên, hàm chi phí định bởi :CII = 0, 015y 2 + 72y + 5200 Lãnh đạo nhà trường nên phân bố sinh viên ở mỗi cơ sở như thế nào để chi phí đào tạo thấp nhất.(p122-NQH)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )