Bài giảng Giải tích cao cấp: Chương 1

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

AN GIANG University

Ngày 22 tháng 9 năm 2014

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

AN GIANG University

Ngày 22 tháng 9 năm 2014

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

LÝ THUYẾT : (cid:63) Toán cao cấp ( Khối Kinh Tế )- Đậu Thế Cấp (cid:63) Toán cao cấp ( Kh. Kinh Tế - Tài Chính - Ngân Hàng ) - Lê Sĩ Đồng (cid:63) Tài liệu Việt ngữ - Anh ngữ được truy cập : • Từ mục Toán Cao Cấp trong website : http://staff.agu.edu.vn/ltduy • Từ mục CALCULUS trong website : http://staff.agu.edu/vn/∼ltduy/Index.htm

GIẢI TÍCH CAO CẤP

BÀI TẬP : (cid:63) Bài tập Toán Cao Cấp - Nguyễn Đình Trí (cid:63) Ngân hàng câu hỏi Toán B1 trong mục Toán Cao Cấp của website : http://staff.agu.edu.vn/ltduy

TÀI LIỆU THAM KHẢO ( REFERENCES)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

BÀI TẬP : (cid:63) Bài tập Toán Cao Cấp - Nguyễn Đình Trí (cid:63) Ngân hàng câu hỏi Toán B1 trong mục Toán Cao Cấp của website : http://staff.agu.edu.vn/ltduy

TÀI LIỆU THAM KHẢO ( REFERENCES)

LÝ THUYẾT :

(cid:63) Toán cao cấp ( Khối Kinh Tế )- Đậu Thế Cấp (cid:63) Toán cao cấp ( Kh. Kinh Tế - Tài Chính - Ngân Hàng ) - Lê Sĩ Đồng

(cid:63) Tài liệu Việt ngữ - Anh ngữ được truy cập : • Từ mục Toán Cao Cấp trong website : http://staff.agu.edu.vn/ltduy • Từ mục CALCULUS trong website : http://staff.agu.edu/vn/∼ltduy/Index.htm

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

TÀI LIỆU THAM KHẢO ( REFERENCES)

LÝ THUYẾT :

(cid:63) Toán cao cấp ( Khối Kinh Tế )- Đậu Thế Cấp (cid:63) Toán cao cấp ( Kh. Kinh Tế - Tài Chính - Ngân Hàng ) - Lê Sĩ Đồng

BÀI TẬP :

(cid:63) Bài tập Toán Cao Cấp - Nguyễn Đình Trí (cid:63) Ngân hàng câu hỏi Toán B1 trong mục Toán Cao Cấp của website : http://staff.agu.edu.vn/ltduy

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN: Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm : • Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3 • Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP ) (cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2 Đề tài SEMINAR : 1/Giới hạn - đạo hàm hàm 1 biến và ứng dung trong bài toán kinh tế. 2/Cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng trong bài toán kinh tế. 3/Tích phân và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm : • Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3 • Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP ) (cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2 Đề tài SEMINAR : 1/Giới hạn - đạo hàm hàm 1 biến và ứng dung trong bài toán kinh tế. 2/Cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng trong bài toán kinh tế. 3/Tích phân và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

• Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3 • Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP ) (cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2 Đề tài SEMINAR : 1/Giới hạn - đạo hàm hàm 1 biến và ứng dung trong bài toán kinh tế. 2/Cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng trong bài toán kinh tế. 3/Tích phân và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN: Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm :

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

• Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP ) (cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2 Đề tài SEMINAR : 1/Giới hạn - đạo hàm hàm 1 biến và ứng dung trong bài toán kinh tế. 2/Cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng trong bài toán kinh tế. 3/Tích phân và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN:

Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm : • Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

(cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2 Đề tài SEMINAR : 1/Giới hạn - đạo hàm hàm 1 biến và ứng dung trong bài toán kinh tế. 2/Cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng trong bài toán kinh tế. 3/Tích phân và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN:

Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm : • Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3 • Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP )

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

Đề tài SEMINAR : 1/Giới hạn - đạo hàm hàm 1 biến và ứng dung trong bài toán kinh tế. 2/Cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng trong bài toán kinh tế. 3/Tích phân và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN:

Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm : • Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3

• Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP ) (cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

2/Cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng trong bài toán kinh tế. 3/Tích phân và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN:

Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm : • Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3

• Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP ) (cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2

Đề tài SEMINAR : 1/Giới hạn - đạo hàm hàm 1 biến và ứng dung trong bài toán kinh tế.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

3/Tích phân và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN:

Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm : • Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3

• Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP ) (cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2

Đề tài SEMINAR : 1/Giới hạn - đạo hàm hàm 1 biến và ứng dung trong bài toán kinh tế. 2/Cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng trong bài toán kinh tế.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

TÍNH ĐIỂM HỌC PHẦN:

Điểm học phần được tính từ 2 loại điểm : • Điểm trung bình thường xuyên ( ĐTBTX ) : ĐTBTX = ( Seminar + Giải bài tập + Kiểm tra 1 tiết ) /3

• Điểm thi kết thúc học phần ( ĐTHP ) (cid:63) Điểm học phần = ( ĐTBTX + ĐTHP ) /2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

BASIC MATHEMATICS Chương I. HÀM 1 BIẾN 1.KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN 2.GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN 3.GIỚI HẠN CƠ BẢN 4.NGUYÊN LÝ KẸP 5.VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG 6.HÀM SỐ LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Cho tập X sao cho ∅ (cid:54)= X ⊂ R. Quy tắc f:X → R cho ứng mỗi

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

x∈ X với y = f(x)∈ R duy nhất, được gọi là hàm số f biến x. X: tập xác định của f. f (X ) = {y = f (x)|x ∈ X }: tập giá trị của f. Lưu ý: • Hàm phần nguyên: y = [x] có txđ:R; ∀x ∈ R, x − 1 < [x] ≤ x [1, 25] = 1, [2] = 2, [−0, 37] = −1, [−1, 79] = −2

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Quy tắc f:X → R cho ứng mỗi

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

Cho tập X sao cho ∅ (cid:54)= X ⊂ R.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

được gọi là hàm số f biến x. X: tập xác định của f. f (X ) = {y = f (x)|x ∈ X }: tập giá trị của f. Lưu ý: • Hàm phần nguyên: y = [x] có txđ:R; ∀x ∈ R, x − 1 < [x] ≤ x [1, 25] = 1, [2] = 2, [−0, 37] = −1, [−1, 79] = −2

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

Cho tập X sao cho ∅ (cid:54)= X ⊂ R. Quy tắc f:X → R cho ứng mỗi x∈ X với y = f(x)∈ R duy nhất,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

X: tập xác định của f. f (X ) = {y = f (x)|x ∈ X }: tập giá trị của f. Lưu ý: • Hàm phần nguyên: y = [x] có txđ:R; ∀x ∈ R, x − 1 < [x] ≤ x [1, 25] = 1, [2] = 2, [−0, 37] = −1, [−1, 79] = −2

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

Cho tập X sao cho ∅ (cid:54)= X ⊂ R. Quy tắc f:X → R cho ứng mỗi x∈ X với y = f(x)∈ R duy nhất, được gọi là hàm số f biến x.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

f (X ) = {y = f (x)|x ∈ X }: tập giá trị của f. Lưu ý: • Hàm phần nguyên: y = [x] có txđ:R; ∀x ∈ R, x − 1 < [x] ≤ x [1, 25] = 1, [2] = 2, [−0, 37] = −1, [−1, 79] = −2

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

Cho tập X sao cho ∅ (cid:54)= X ⊂ R. Quy tắc f:X → R cho ứng mỗi x∈ X với y = f(x)∈ R duy nhất, được gọi là hàm số f biến x. X: tập xác định của f.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Lưu ý: • Hàm phần nguyên: y = [x] có txđ:R; ∀x ∈ R, x − 1 < [x] ≤ x [1, 25] = 1, [2] = 2, [−0, 37] = −1, [−1, 79] = −2

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

Cho tập X sao cho ∅ (cid:54)= X ⊂ R. Quy tắc f:X → R cho ứng mỗi x∈ X với y = f(x)∈ R duy nhất, được gọi là hàm số f biến x. X: tập xác định của f. f (X ) = {y = f (x)|x ∈ X }: tập giá trị của f.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm phần nguyên: y = [x] có txđ:R; ∀x ∈ R, x − 1 < [x] ≤ x [1, 25] = 1, [2] = 2, [−0, 37] = −1, [−1, 79] = −2

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

Cho tập X sao cho ∅ (cid:54)= X ⊂ R. Quy tắc f:X → R cho ứng mỗi x∈ X với y = f(x)∈ R duy nhất, được gọi là hàm số f biến x. X: tập xác định của f. f (X ) = {y = f (x)|x ∈ X }: tập giá trị của f. Lưu ý:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

Cho tập X sao cho ∅ (cid:54)= X ⊂ R. Quy tắc f:X → R cho ứng mỗi x∈ X với y = f(x)∈ R duy nhất, được gọi là hàm số f biến x. X: tập xác định của f. f (X ) = {y = f (x)|x ∈ X }: tập giá trị của f. Lưu ý: • Hàm phần nguyên: y = [x] có txđ:R; ∀x ∈ R, x − 1 < [x] ≤ x [1, 25] = 1, [2] = 2, [−0, 37] = −1, [−1, 79] = −2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. KHÁI NIỆM HÀM 1 BIẾN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm định bởi y = arcsinx, y = arccosx xác định ⇔ |x| ≤ 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm định bởi y = arcsinx, y = arccosx xác định ⇔ |x| ≤ 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm định bởi y = arcsinx, y = arccosx xác định ⇔ |x| ≤ 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm định bởi y = arcsinx, y = arccosx xác định ⇔ |x| ≤ 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

• Hàm định bởi y = arctanx, y = arccotx xác định ⇔ x ∈ R

lim arctan x = π lim arctan x = − π

2 ,

2 x→+∞

x→−∞

lim arccotx = 0 , lim arccotx = π

x→+∞

x→−∞

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

lim arctan x = π lim arctan x = − π

2 ,

2 x→+∞

x→−∞

lim arccotx = 0 , lim arccotx = π

x→+∞

x→−∞

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm định bởi y = arctanx, y = arccotx xác định ⇔ x ∈ R

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

• Hàm định bởi y = arctanx, y = arccotx xác định ⇔ x ∈ R

arctan x = π

2 ,

arctan x = − π 2 lim x→+∞ lim x→−∞

arccotx = 0 , arccotx = π lim x→+∞ lim x→−∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

√

x−e−1 )

Tìm tập xác định của hàm f : y = arc sin(ln(x−1))−arctan3(

sin[x]+cos[x]+2

Giải: f xác định  |ln(x − 1)| ≤ 1 √  x − 1 > 0 ⇔ (do sin[x] + cos[x] + 2 ≥ 2− 2 > 0)  x − e − 1 ≥ 0

1

 (cid:26) 1

e ≤ x − 1 ≤ e



e + 1 ≤ x ≤ e + 1

⇔ ⇔ ⇔ x = e + 1 x > 1 x ≥ e + 1  x ≥ e + 1

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Vậy tập xác định cần tìm là D = {e + 1}

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: f xác định  |ln(x − 1)| ≤ 1 √  x − 1 > 0 ⇔ (do sin[x] + cos[x] + 2 ≥ 2− 2 > 0)  x − e − 1 ≥ 0

1

 (cid:26) 1

e ≤ x − 1 ≤ e



e + 1 ≤ x ≤ e + 1

⇔ ⇔ ⇔ x = e + 1 x > 1 x ≥ e + 1  x ≥ e + 1

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Vậy tập xác định cần tìm là D = {e + 1}

x−e−1 )

Thí dụ: √ Tìm tập xác định của hàm f : y = arc sin(ln(x−1))−arctan3( sin[x]+cos[x]+2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f xác định  |ln(x − 1)| ≤ 1 √  x − 1 > 0 ⇔ (do sin[x] + cos[x] + 2 ≥ 2− 2 > 0)  x − e − 1 ≥ 0

1

 (cid:26) 1

e ≤ x − 1 ≤ e



e + 1 ≤ x ≤ e + 1

⇔ ⇔ ⇔ x = e + 1 x > 1 x ≥ e + 1  x ≥ e + 1

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Vậy tập xác định cần tìm là D = {e + 1}

x−e−1 )

Thí dụ: √ Tìm tập xác định của hàm f : y = arc sin(ln(x−1))−arctan3( sin[x]+cos[x]+2 Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1

 (cid:26) 1

e ≤ x − 1 ≤ e



e + 1 ≤ x ≤ e + 1

⇔ ⇔ ⇔ x = e + 1 x > 1 x ≥ e + 1  x ≥ e + 1

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Vậy tập xác định cần tìm là D = {e + 1}

x−e−1 )

√ Thí dụ: √ Tìm tập xác định của hàm f : y = arc sin(ln(x−1))−arctan3( sin[x]+cos[x]+2 Giải: f xác định   2 > 0) ⇔ (do sin[x] + cos[x] + 2 ≥ 2−  |ln(x − 1)| ≤ 1 x − 1 > 0 x − e − 1 ≥ 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:26) 1

e + 1 ≤ x ≤ e + 1

⇔ ⇔ x = e + 1 x ≥ e + 1

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Vậy tập xác định cần tìm là D = {e + 1}

x−e−1 )

√ Thí dụ: √ Tìm tập xác định của hàm f : y = arc sin(ln(x−1))−arctan3( sin[x]+cos[x]+2 Giải: f xác định   2 > 0) ⇔ (do sin[x] + cos[x] + 2 ≥ 2−

   ⇔  |ln(x − 1)| ≤ 1 x − 1 > 0 x − e − 1 ≥ 0 1 e ≤ x − 1 ≤ e x > 1 x ≥ e + 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇔ x = e + 1

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Vậy tập xác định cần tìm là D = {e + 1}

x−e−1 )

√ Thí dụ: √ Tìm tập xác định của hàm f : y = arc sin(ln(x−1))−arctan3( sin[x]+cos[x]+2 Giải: f xác định   2 > 0) ⇔ (do sin[x] + cos[x] + 2 ≥ 2−

(cid:26) 1    ⇔ ⇔

e + 1 ≤ x ≤ e + 1 x ≥ e + 1

 |ln(x − 1)| ≤ 1 x − 1 > 0 x − e − 1 ≥ 0 1 e ≤ x − 1 ≤ e x > 1 x ≥ e + 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

x−e−1 )

√ Thí dụ: √ Tìm tập xác định của hàm f : y = arc sin(ln(x−1))−arctan3( sin[x]+cos[x]+2 Giải: f xác định   2 > 0) ⇔ (do sin[x] + cos[x] + 2 ≥ 2−

(cid:26) 1    ⇔ ⇔ ⇔ x = e + 1

e + 1 ≤ x ≤ e + 1 x ≥ e + 1

 |ln(x − 1)| ≤ 1 x − 1 > 0 x − e − 1 ≥ 0 1 e ≤ x − 1 ≤ e x > 1 x ≥ e + 1

Vậy tập xác định cần tìm là D = {e + 1}

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

x−e−1 )

√ Thí dụ: √ Tìm tập xác định của hàm f : y = arc sin(ln(x−1))−arctan3( sin[x]+cos[x]+2 Giải: f xác định   2 > 0) ⇔ (do sin[x] + cos[x] + 2 ≥ 2−

(cid:26) 1    ⇔ ⇔ ⇔ x = e + 1

e + 1 ≤ x ≤ e + 1 x ≥ e + 1

 |ln(x − 1)| ≤ 1 x − 1 > 0 x − e − 1 ≥ 0 1 e ≤ x − 1 ≤ e x > 1 x ≥ e + 1

Vậy tập xác định cần tìm là D = {e + 1}

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

√

x 4−x+1

2014√ 1+arccos(ex ) xác định

BÀI TẬP 3 sin x 1/ Tìm tập giá trị của hàm f: y = cosx+2 và định m để f (x) ≤ m, , với mọi x ∈ R 2/ Tìm giá trị lớn nhất của x để f : y =

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

3/ Tiệm bán cơm tấm ở cạnh trường ĐH có chi phí như sau: Tiền thuê mặt bằng, điện, nước, nhân viên phục vụ (FC(fixed cost)):50 ngàn đồng/1 ngày; phí cho 1 dĩa cơm tấm (VC(variable cost)):10 ngàn đồng. Giá bán 1 dĩa cơm tấm (p(price)): 15 ngàn đồng. Tiệm phải bán bao nhiêu dĩa mỗi ngày để lời được 100 ngàn đồng/ngày ?

Cho hàm f xác định trên D, x0 ∈ D

lim f (x) = l

x→x0

(def )

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − l | < ε

(def )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ ∀(xn), xn (cid:54)= x0 ; (xn → x0 ⇒ f (xn) → l )

2. GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

lim f (x) = l

x→x0

(def )

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − l | < ε

(def )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ ∀(xn), xn (cid:54)= x0 ; (xn → x0 ⇒ f (xn) → l )

2. GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN

Cho hàm f xác định trên D, x0 ∈ D

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − l | < ε

(def )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ ∀(xn), xn (cid:54)= x0 ; (xn → x0 ⇒ f (xn) → l )

2. GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN

Cho hàm f xác định trên D, x0 ∈ D

f (x) = l lim x→x0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ ∀(xn), xn (cid:54)= x0 ; (xn → x0 ⇒ f (xn) → l )

2. GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN

Cho hàm f xác định trên D, x0 ∈ D

f (x) = l lim x→x0

(def ) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − l | < ε

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ ∀(xn), xn (cid:54)= x0 ; (xn → x0 ⇒ f (xn) → l )

2. GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN

Cho hàm f xác định trên D, x0 ∈ D

f (x) = l lim x→x0

(def ) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − l | < ε

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

2. GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN

Cho hàm f xác định trên D, x0 ∈ D

f (x) = l lim x→x0

(def ) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 (0 < |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − l | < ε

LaTex

(def ) ⇔ ∀(xn), xn (cid:54)= x0 ; (xn → x0 ⇒ f (xn) → l )

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1/Để chứng minh không tồn tại f (x) ta cần chỉ ra 2 dãy lim

x→xo

(xn), (x (cid:48)

n) sao cho xn → x0, x (cid:48)

n → x0 nhưng

lim f (x (cid:48) f (xn) (cid:54)= lim

n)

n→+∞

2/ lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0

x→x0

lim g (x) 3/∀x ∈ V (x0):lân cận x0, f (x) < g (x) ⇒ lim f (x) ≤

x→x0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Lưu ý:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(xn), (x (cid:48)

n) sao cho xn → x0, x (cid:48)

n → x0 nhưng

lim f (x (cid:48) f (xn) (cid:54)= lim

n)

n→+∞

2/ lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0

x→x0

lim g (x) 3/∀x ∈ V (x0):lân cận x0, f (x) < g (x) ⇒ lim f (x) ≤

x→x0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Lưu ý: 1/Để chứng minh không tồn tại f (x) ta cần chỉ ra 2 dãy lim x→xo

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nhưng

lim f (x (cid:48) f (xn) (cid:54)= lim

n)

n→+∞

2/ lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0

x→x0

lim g (x) 3/∀x ∈ V (x0):lân cận x0, f (x) < g (x) ⇒ lim f (x) ≤

x→x0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

f (x) ta cần chỉ ra 2 dãy

Lưu ý: 1/Để chứng minh không tồn tại n) sao cho xn → x0, x (cid:48) (xn), (x (cid:48) lim x→xo n → x0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2/ lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0

x→x0

lim g (x) 3/∀x ∈ V (x0):lân cận x0, f (x) < g (x) ⇒ lim f (x) ≤

x→x0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

f (x) ta cần chỉ ra 2 dãy lim x→xo Lưu ý: 1/Để chứng minh không tồn tại n) sao cho xn → x0, x (cid:48) (xn), (x (cid:48)

n → x0 nhưng

f (xn) (cid:54)= lim f (x (cid:48) n) lim n→+∞

n→+∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

lim g (x) 3/∀x ∈ V (x0):lân cận x0, f (x) < g (x) ⇒ lim f (x) ≤

x→x0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

f (x) ta cần chỉ ra 2 dãy lim x→xo Lưu ý: 1/Để chứng minh không tồn tại n) sao cho xn → x0, x (cid:48) (xn), (x (cid:48)

n → x0 nhưng

f (xn) (cid:54)= lim f (x (cid:48) n) lim n→+∞

n→+∞

|f (x)| = 0 2/ lim x→x0 f (x) = 0 ⇔ lim x→x0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

f (x) ta cần chỉ ra 2 dãy lim x→xo Lưu ý: 1/Để chứng minh không tồn tại n) sao cho xn → x0, x (cid:48) (xn), (x (cid:48)

n → x0 nhưng

f (xn) (cid:54)= lim f (x (cid:48) n) lim n→+∞

n→+∞

|f (x)| = 0 2/ lim x→x0 f (x) = 0 ⇔ lim x→x0

3/∀x ∈ V (x0):lân cận x0, f (x) < g (x) ⇒ lim f (x) ≤

x→x0

lim g (x) x→x0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Để khử các dạng vô định : 0

0 , ∞

∞ , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞, ∞0, 00

ta thường làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu, nhân chia lượng liên hiệp khi biểu thức chứa căn, đổi biến hay sử dụng các giới hạn cơ bản: Giả sử α(x) → 0, khi x → ∗

sin α(x)

tan α(x)

lim lim

α(x) = 1,

α(x) = 1

x→∗

α(x) = e

[1 + α(x)] lim

x→∗

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

sin α(x)

tan α(x)

lim lim

α(x) = 1,

α(x) = 1

x→∗

α(x) = e

[1 + α(x)] lim

x→∗

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

Để khử các dạng vô định : 0

0 , ∞

∞ , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞, ∞0, 00

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nhân chia lượng liên hiệp khi biểu thức chứa căn, đổi biến hay sử dụng các giới hạn cơ bản: Giả sử α(x) → 0, khi x → ∗

sin α(x)

tan α(x)

lim lim

α(x) = 1,

α(x) = 1

x→∗

α(x) = e

[1 + α(x)] lim

x→∗

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

∞ , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞, ∞0, 00

0 , ∞

Để khử các dạng vô định : 0 ta thường làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

đổi biến hay sử dụng các giới hạn cơ bản: Giả sử α(x) → 0, khi x → ∗

sin α(x)

tan α(x)

lim lim

α(x) = 1,

α(x) = 1

x→∗

α(x) = e

[1 + α(x)] lim

x→∗

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

Để khử các dạng vô định : 0 0 , ∞ ∞ , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞, ∞0, 00 ta thường làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu, nhân chia lượng liên hiệp khi biểu thức chứa căn,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

hay sử dụng các giới hạn cơ bản: Giả sử α(x) → 0, khi x → ∗

sin α(x)

tan α(x)

lim lim

α(x) = 1,

α(x) = 1

x→∗

α(x) = e

[1 + α(x)] lim

x→∗

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

Để khử các dạng vô định : 0 0 , ∞ ∞ , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞, ∞0, 00 ta thường làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu, nhân chia lượng liên hiệp khi biểu thức chứa căn, đổi biến

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giả sử α(x) → 0, khi x → ∗

sin α(x)

tan α(x)

lim lim

α(x) = 1,

α(x) = 1

x→∗

α(x) = e

[1 + α(x)] lim

x→∗

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

Để khử các dạng vô định : 0 0 , ∞ ∞ , 0.∞, ∞ − ∞, 1∞, ∞0, 00 ta thường làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu, nhân chia lượng liên hiệp khi biểu thức chứa căn, đổi biến hay sử dụng các giới hạn cơ bản:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

sin α(x)

tan α(x)

lim lim

α(x) = 1,

α(x) = 1

x→∗

α(x) = e

[1 + α(x)] lim

x→∗

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

α(x) = e

[1 + α(x)] lim

x→∗

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

sin α(x) α(x) = 1,

tan α(x) α(x) = 1

lim x→∗ lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Hệ quả:

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

sin α(x) α(x) = 1,

tan α(x) α(x) = 1

lim x→∗ lim x→∗

1 α(x) = e

[1 + α(x)] lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

α(x)

(cid:63) lim

sin α(x) = 1 = lim

tan α(x)

x→∗

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

sin α(x) α(x) = 1,

tan α(x) α(x) = 1

lim x→∗ lim x→∗

1 α(x) = e

[1 + α(x)] lim x→∗

Hệ quả:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

sin α(x) α(x) = 1,

tan α(x) α(x) = 1

lim x→∗ lim x→∗

1 α(x) = e

[1 + α(x)] lim x→∗

Hệ quả:

α(x) tan α(x)

(cid:63) lim x→∗

α(x) sin α(x) = 1 = lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

lim

[u(x)−1]v (x)

x→∗

u(x)v (x) = e lim

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

sin α(x) α(x) = 1,

tan α(x) α(x) = 1

lim x→∗ lim x→∗

1 α(x) = e

[1 + α(x)] lim x→∗

Hệ quả:

α(x) tan α(x)

α(x) (cid:63) lim sin α(x) = 1 = lim x→∗ x→∗ (cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ :

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

3. GIỚI HẠN CƠ BẢN

sin α(x) α(x) = 1,

tan α(x) α(x) = 1

lim x→∗ lim x→∗

1 α(x) = e

[1 + α(x)] lim x→∗

Hệ quả:

α(x) tan α(x)

[u(x)−1]v (x)

α(x) (cid:63) lim sin α(x) = 1 = lim x→∗ x→∗ (cid:63) Khi x → ∗ , u(x)v (x) có dạng vô định 1∞ : lim x→∗

u(x)v (x) = e lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ:

sin mx

Tính I = lim (Cosx)

tan nx (m, n ∈ Z ∗) , J = lim

x→0

Giải:

sin mx

nx

m

I = lim

mx

tan nx

n = m

n

x→0

cos x−1 × cos x−1

(C1)

J = lim [1 + (cos x − 1)]

x→0

−2 sin2 x

4[ x

2 ]2

cos x−1

(cid:104) (cid:105) [1 + (cos x − 1)] = lim

x→0

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

2 = 1√

(cid:105) −1 (cid:104) [1 + (cos x − 1)] = e = lim

e

x→0

(C2) Khi x → 0 : cos x → 1, 1

x 2 → +∞; g.h. có dạng vô định 1∞.

Áp dụng giới hạn cơ bản cho kq e ta có

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

lim

−1

lim

x→0

x2 = e

2 = 1√

J = e = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

sin mx

Tính I = lim (Cosx)

tan nx (m, n ∈ Z ∗) , J = lim

x→0

Giải:

sin mx

nx

m

I = lim

mx

tan nx

n = m

n

x→0

cos x−1 × cos x−1

(C1)

J = lim [1 + (cos x − 1)]

x→0

−2 sin2 x

4[ x

2 ]2

cos x−1

(cid:104) (cid:105) [1 + (cos x − 1)] = lim

x→0

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

2 = 1√

(cid:105) −1 (cid:104) [1 + (cos x − 1)] = e = lim

e

x→0

(C2) Khi x → 0 : cos x → 1, 1

x 2 → +∞; g.h. có dạng vô định 1∞.

Áp dụng giới hạn cơ bản cho kq e ta có

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

lim

−1

lim

x→0

x2 = e

2 = 1√

J = e = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải:

sin mx

nx

m

I = lim

mx

tan nx

n = m

n

x→0

cos x−1 × cos x−1

(C1)

J = lim [1 + (cos x − 1)]

x→0

−2 sin2 x

4[ x

2 ]2

cos x−1

(cid:104) (cid:105) [1 + (cos x − 1)] = lim

x→0

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

2 = 1√

(cid:105) −1 (cid:104) [1 + (cos x − 1)] = e = lim

e

x→0

(C2) Khi x → 0 : cos x → 1, 1

x 2 → +∞; g.h. có dạng vô định 1∞.

Áp dụng giới hạn cơ bản cho kq e ta có

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

lim

−1

lim

x→0

x2 = e

2 = 1√

J = e = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 x2

(Cosx) Thí dụ: Tính I = lim x→0

sin mx tan nx (m, n ∈ Z ∗) , J = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

sin mx

nx

m

I = lim

mx

tan nx

n = m

n

x→0

cos x−1 × cos x−1

(C1)

J = lim [1 + (cos x − 1)]

x→0

−2 sin2 x

4[ x

2 ]2

cos x−1

(cid:104) (cid:105) [1 + (cos x − 1)] = lim

x→0

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

2 = 1√

(cid:105) −1 (cid:104) [1 + (cos x − 1)] = e = lim

e

x→0

(C2) Khi x → 0 : cos x → 1, 1

x 2 → +∞; g.h. có dạng vô định 1∞.

Áp dụng giới hạn cơ bản cho kq e ta có

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

lim

−1

lim

x→0

x2 = e

2 = 1√

J = e = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 x2

(Cosx) Thí dụ: Tính I = lim x→0

sin mx tan nx (m, n ∈ Z ∗) , J = lim x→0

Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

cos x−1 × cos x−1

(C1)

J = lim [1 + (cos x − 1)]

x→0

−2 sin2 x

4[ x

2 ]2

cos x−1

(cid:104) (cid:105) = lim [1 + (cos x − 1)]

x→0

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

2 = 1√

(cid:104) (cid:105) −1 = lim [1 + (cos x − 1)] = e

e

x→0

(C2) Khi x → 0 : cos x → 1, 1

x 2 → +∞; g.h. có dạng vô định 1∞.

Áp dụng giới hạn cơ bản cho kq e ta có

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

lim

−1

lim

x→0

x2 = e

2 = 1√

J = e = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 x2

(Cosx) Thí dụ: Tính I = lim x→0

sin mx tan nx (m, n ∈ Z ∗) , J = lim x→0

Giải:

m

sin mx mx

nx tan nx

n = m

n

I = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(C2) Khi x → 0 : cos x → 1, 1

x 2 → +∞; g.h. có dạng vô định 1∞.

Áp dụng giới hạn cơ bản cho kq e ta có

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

lim

−1

lim

x→0

x2 = e

2 = 1√

J = e = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 x2

(Cosx)

sin mx tan nx (m, n ∈ Z ∗) , J = lim x→0

Thí dụ: Tính I = lim x→0 Giải:

m

sin mx mx

nx tan nx

n = m

n

cos x−1 × cos x−1

I = lim x→0 (C1)

[1 + (cos x − 1)]

−2 sin2 x 2 4[ x 2 ]2

1 cos x−1

J = lim x→0 (cid:104) (cid:105) [1 + (cos x − 1)] = lim x→0

(cid:21)2

−1

(cid:104) (cid:105) −1

(cid:20) sin x 2 x 2

1 cos x−1

2 = 1√ e

[1 + (cos x − 1)] = e = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Áp dụng giới hạn cơ bản cho kq e ta có

(cid:21)2

(cid:20) sin x

−1

cos x−1

lim

−1

lim

x→0

x2 = e

2 = 1√

J = e = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 x2

(Cosx)

sin mx tan nx (m, n ∈ Z ∗) , J = lim x→0

Thí dụ: Tính I = lim x→0 Giải:

m

sin mx mx

nx tan nx

n = m

n

cos x−1 × cos x−1

I = lim x→0 (C1)

[1 + (cos x − 1)]

−2 sin2 x 2 4[ x 2 ]2

1 cos x−1

J = lim x→0 (cid:104) (cid:105) [1 + (cos x − 1)] = lim x→0

(cid:21)2

−1

(cid:104) (cid:105) −1

(cid:20) sin x 2 x 2

1 cos x−1

2 = 1√ e

[1 + (cos x − 1)] = e = lim x→0

(C2) Khi x → 0 : cos x → 1, 1

x 2 → +∞; g.h. có dạng vô định 1∞.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

1 x2

(Cosx)

sin mx tan nx (m, n ∈ Z ∗) , J = lim x→0

Thí dụ: Tính I = lim x→0 Giải:

m

sin mx mx

nx tan nx

n = m

n

cos x−1 × cos x−1

I = lim x→0 (C1)

[1 + (cos x − 1)]

−2 sin2 x 2 4[ x 2 ]2

1 cos x−1

J = lim x→0 (cid:104) (cid:105) [1 + (cos x − 1)] = lim x→0

(cid:21)2

−1

(cid:104) (cid:105) −1

(cid:20) sin x 2 x 2

1 cos x−1

2 = 1√ e

[1 + (cos x − 1)] = e = lim x→0

x 2 → +∞; g.h. có dạng vô định 1∞.

(C2) Khi x → 0 : cos x → 1, 1 Áp dụng giới hạn cơ bản cho kq e ta có

(cid:21)2

cos x−1

−1

−1 2

lim x→0

(cid:20) sin x 2 x 2

lim x→0

x2 = e

2 = 1√ e

J = e = e

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

sin x

1) Tính giới hạn: (cid:17)x 2 (cid:17) 1 (cid:16) x 2+1 (cid:16) tan x+1 a/ lim b/ lim

sin x+1

x 2−2

x→+∞

x→0

2)Chứng minh công thức lãi kép liên tục:V = V0 er0t bằng lý thuyết giới hạn (V0:vốn gởi vào ngân hàng,r0: lãi suất mỗi năm, V:tiền vốn và lãi thu về sau t năm )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Ứng dụng: Với số vốn 2 tỉ gởi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% mỗi năm. Sau bao lâu thì vốn và lãi thu về là 2 tỉ 5.

BÀI TẬP

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Ứng dụng: Với số vốn 2 tỉ gởi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% mỗi năm. Sau bao lâu thì vốn và lãi thu về là 2 tỉ 5.

BÀI TẬP 1) Tính giới hạn: (cid:17)x 2 (cid:17) 1 sin x a/ lim (cid:16) tan x+1 sin x+1 (cid:16) x 2+1 x 2−2

x→+∞

b/ lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI TẬP 1) Tính giới hạn: (cid:17)x 2 (cid:17) 1 sin x a/ lim (cid:16) x 2+1 x 2−2

x→+∞

b/ lim x→0

(cid:16) tan x+1 sin x+1 2)Chứng minh công thức lãi kép liên tục:V = V0 er0t bằng lý thuyết giới hạn (V0:vốn gởi vào ngân hàng,r0: lãi suất mỗi năm, V:tiền vốn và lãi thu về sau t năm ) Ứng dụng: Với số vốn 2 tỉ gởi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% mỗi năm. Sau bao lâu thì vốn và lãi thu về là 2 tỉ 5.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ V (x0), & lim g (x) = l = lim h(x)

x→x0

⇒ lim f (x) = l

x→x0

sin x 5 cos 1

Thí dụ: Tính A = lim

x 3

x→0

Giải: (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∀x (cid:54)= 0, 0 ≤ = (cid:12) (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12)cos 1 (cid:12) ≤ (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

x 3

x 5

x 4

x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ( vì (cid:12) (cid:12)cos 1 (cid:12) ≤ 1 )

x 4

(cid:12) (cid:12)

sin x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) Nhưng lim (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) = 0 .Áp dụng nguyên lý kẹp ta có :

x 5

(cid:12) (cid:12)

x→0

(cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) lim = 0 . Vậy A=0 (cid:12) (cid:12)

x 3

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

(cid:12) (cid:12)

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

lim g (x) = l = lim h(x)

x→x0

⇒ lim f (x) = l

x→x0

sin x 5 cos 1

Thí dụ: Tính A = lim

x 3

x→0

Giải: (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5

x 3

x 5

x 4

x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ( vì (cid:12) (cid:12)cos 1 (cid:12) ≤ 1 )

x 4

(cid:12) (cid:12)

sin x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) Nhưng lim (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) = 0 .Áp dụng nguyên lý kẹp ta có :

x 5

(cid:12) (cid:12)

x→0

(cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) lim = 0 . Vậy A=0 (cid:12) (cid:12)

x 3

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

(cid:12) (cid:12)

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ V (x0), &

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇒ lim f (x) = l

x→x0

sin x 5 cos 1

Thí dụ: Tính A = lim

x 3

x→0

Giải: (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5

x 3

x 5

x 4

x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ( vì (cid:12) (cid:12)cos 1 (cid:12) ≤ 1 )

x 4

(cid:12) (cid:12)

sin x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) Nhưng lim (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) = 0 .Áp dụng nguyên lý kẹp ta có :

x 5

(cid:12) (cid:12)

x→0

(cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) lim = 0 . Vậy A=0 (cid:12) (cid:12)

x 3

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

(cid:12) (cid:12)

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

∀x ∈ V (x0), h(x) & lim x→x0 g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) g (x) = l = lim x→x0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

sin x 5 cos 1

Thí dụ: Tính A = lim

x 3

x→0

Giải: (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5

x 3

x 5

x 4

x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ( vì (cid:12) (cid:12)cos 1 (cid:12) ≤ 1 )

x 4

(cid:12) (cid:12)

sin x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) Nhưng lim (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) = 0 .Áp dụng nguyên lý kẹp ta có :

x 5

(cid:12) (cid:12)

x→0

(cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) lim = 0 . Vậy A=0 (cid:12) (cid:12)

x 3

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

(cid:12) (cid:12)

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

∀x ∈ V (x0), h(x) g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) g (x) = l = lim x→x0 & lim x→x0 ⇒ f (x) = l lim x→x0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải: (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = ∀x (cid:54)= 0, 0 ≤ (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12)cos 1 (cid:12) ≤ (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

x 3

x 5

x 4

x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ( vì (cid:12) (cid:12)cos 1 (cid:12) ≤ 1 )

x 4

(cid:12) (cid:12)

sin x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) Nhưng lim (cid:12) = 0 .Áp dụng nguyên lý kẹp ta có : (cid:12)x 2(cid:12)

x 5

(cid:12) (cid:12)

x→0

(cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) lim = 0 . Vậy A=0 (cid:12) (cid:12)

x 3

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

(cid:12) (cid:12)

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

∀x ∈ V (x0), h(x) g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) g (x) = l = lim x→x0 & lim x→x0 ⇒ f (x) = l lim x→x0

sin x 5 cos 1 x4 x 3

Thí dụ: Tính A = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:12) (cid:12)

sin x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) Nhưng lim (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) = 0 .Áp dụng nguyên lý kẹp ta có :

x 5

(cid:12) (cid:12)

x→0

(cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) lim = 0 . Vậy A=0 (cid:12) (cid:12)

x 3

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

(cid:12) (cid:12)

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

∀x ∈ V (x0), h(x) g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) g (x) = l = lim x→x0 & lim x→x0 ⇒ f (x) = l lim x→x0

sin x 5 cos 1 x4 x 3

Thí dụ: Tính A = lim x→0 Giải:

= (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1 x4 x 3

sin x 5 x 5

(cid:12) (cid:12)cos 1 x 4

sin x 5 x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∀x (cid:54)= 0, ( vì (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ 1 ) (cid:12)cos 1 x 4

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

.Áp dụng nguyên lý kẹp ta có : (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1

(cid:12) (cid:12) lim = 0 . Vậy A=0 (cid:12) (cid:12)

x 3

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

(cid:12) (cid:12)

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

∀x ∈ V (x0), h(x) g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) g (x) = l = lim x→x0 & lim x→x0 ⇒ f (x) = l lim x→x0

sin x 5 cos 1 x4 x 3

Thí dụ: Tính A = lim x→0 Giải:

= (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1 x4 x 3

sin x 5 x 5

(cid:12) (cid:12)cos 1 x 4

sin x 5 x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) = 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ 1 ) (cid:12) sin x 5 (cid:12) (cid:12) x 5 ∀x (cid:54)= 0, ( vì (cid:12) (cid:12)cos 1 x 4 Nhưng lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Vậy A=0

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

∀x ∈ V (x0), h(x) g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) g (x) = l = lim x→x0 & lim x→x0 ⇒ f (x) = l lim x→x0

sin x 5 cos 1 x4 x 3

Thí dụ: Tính A = lim x→0 Giải:

= (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1 x4 x 3

sin x 5 x 5

(cid:12) (cid:12)cos 1 x 4

sin x 5 x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) = 0 .Áp dụng nguyên lý kẹp ta có : (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= 0 .

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

lim x→0 ∀x (cid:54)= 0, ( vì (cid:12) (cid:12)cos 1 x 4 Nhưng lim x→0 (cid:12) sin x 5 cos 1 (cid:12) x4 (cid:12) x 3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ 1 ) (cid:12) sin x 5 (cid:12) (cid:12) x 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

4. NGUYÊN LÝ KẸP (Sandwich Principle)

Theorem

∀x ∈ V (x0), h(x) g (x) ≤ f (x) ≤ h(x) g (x) = l = lim x→x0 & lim x→x0 ⇒ f (x) = l lim x→x0

sin x 5 cos 1 x4 x 3

Thí dụ: Tính A = lim x→0 Giải:

= (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

sin x 5 cos 1 x4 x 3

sin x 5 x 5

(cid:12) (cid:12)cos 1 x 4

sin x 5 x 5

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) = 0 .Áp dụng nguyên lý kẹp ta có : (cid:12)x 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= 0 . Vậy A=0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tính các giới hạn sau:

[x]

1) lim sin 1 2) lim ( [x]:phần nguyên của x ),

x−1 ,

x

x→+∞

x→1

√ √ (cid:16) (cid:17) sin (cid:112)x x + 1 − sin (cid:112)x x 3) lim

x→+∞

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tính các giới hạn sau:

[x]

1) lim sin 1 2) lim ( [x]:phần nguyên của x ),

x−1 ,

x

x→+∞

x→1

√ √ (cid:16) (cid:17) sin (cid:112)x x + 1 − sin (cid:112)x x 3) lim

x→+∞

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

( [x]:phần nguyên của x ),

[x] x

x→+∞

√ (cid:17) Tính các giới hạn sau: sin 1 x−1 , 1) lim x→1 (cid:16) sin (cid:112)x 3) lim 2) lim √ x + 1 − sin (cid:112)x x

x→+∞

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

(cid:63) A(x) : vcb ⇔ lim A(x) = 0

x→∗

Cho A(x), B(x): vcb,

(def )

A(x)

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x) ⇔ lim

B(x) = 0(∞)

x→∗

(i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗)

(def )

A(x)

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) ⇔ lim

B(x) = 1

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Thí dụ: Khi x → 0, Sin(x 3 − x 2 + x) ∼ (x 3 − x 2 + x) Khi x → 1, (ln x + 1 − x)9: vcb bậc thấp hơn [1 − cos(x − 1)]2013 √ Khi x → 0, (cid:0) 5 1 + x − 1(cid:1)10: vcb bậc cao hơn (ex + x − 1)2

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

A(x)

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x) ⇔ lim

B(x) = 0(∞)

x→∗

(i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗)

(def )

A(x)

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) ⇔ lim

B(x) = 1

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

(cid:63) A(x) : vcb A(x) = 0

(def ) ⇔ lim x→∗ Cho A(x), B(x): vcb,

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗)

(def )

A(x)

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) ⇔ lim

B(x) = 1

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

(cid:63) A(x) : vcb A(x) = 0

(def ) ⇔ lim x→∗ Cho A(x), B(x): vcb,

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x)

A(x) B(x) = 0(∞)

(def ) ⇔ lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

A(x)

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) ⇔ lim

B(x) = 1

x→∗

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

(cid:63) A(x) : vcb A(x) = 0

(def ) ⇔ lim x→∗ Cho A(x), B(x): vcb,

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x)

A(x) B(x) = 0(∞)

(def ) ⇔ lim x→∗

(i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

(cid:63) A(x) : vcb A(x) = 0

(def ) ⇔ lim x→∗ Cho A(x), B(x): vcb,

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x)

A(x) B(x) = 0(∞)

(def ) ⇔ lim x→∗

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) (i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗) A(x) B(x) = 1

(def ) ⇔ lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Khi x → 0, Sin(x 3 − x 2 + x) ∼ (x 3 − x 2 + x) Khi x → 1, (ln x + 1 − x)9: vcb bậc thấp hơn [1 − cos(x − 1)]2013 √ Khi x → 0, (cid:0) 5 1 + x − 1(cid:1)10: vcb bậc cao hơn (ex + x − 1)2

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

(cid:63) A(x) : vcb A(x) = 0

(def ) ⇔ lim x→∗ Cho A(x), B(x): vcb,

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x)

A(x) B(x) = 0(∞)

(def ) ⇔ lim x→∗

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) (i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗) A(x) B(x) = 1

(def ) ⇔ lim x→∗

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Khi x → 1, (ln x + 1 − x)9: vcb bậc thấp hơn [1 − cos(x − 1)]2013 √ Khi x → 0, (cid:0) 5 1 + x − 1(cid:1)10: vcb bậc cao hơn (ex + x − 1)2

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

(cid:63) A(x) : vcb A(x) = 0

(def ) ⇔ lim x→∗ Cho A(x), B(x): vcb,

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x)

A(x) B(x) = 0(∞)

(def ) ⇔ lim x→∗

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) (i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗) A(x) B(x) = 1

(def ) ⇔ lim x→∗

Thí dụ: Khi x → 0, Sin(x 3 − x 2 + x) ∼ (x 3 − x 2 + x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

√ Khi x → 0, (cid:0) 5 1 + x − 1(cid:1)10: vcb bậc cao hơn (ex + x − 1)2

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

(cid:63) A(x) : vcb A(x) = 0

(def ) ⇔ lim x→∗ Cho A(x), B(x): vcb,

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x)

A(x) B(x) = 0(∞)

(def ) ⇔ lim x→∗

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) (i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗) A(x) B(x) = 1

(def ) ⇔ lim x→∗

Thí dụ: Khi x → 0, Sin(x 3 − x 2 + x) ∼ (x 3 − x 2 + x) Khi x → 1, (ln x + 1 − x)9: vcb bậc thấp hơn [1 − cos(x − 1)]2013

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

5. VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG

Definition

(cid:63) A(x) : vcb A(x) = 0

(def ) ⇔ lim x→∗ Cho A(x), B(x): vcb,

(cid:63) A(x) :vcb bậc cao (thấp) hơn B(x)

A(x) B(x) = 0(∞)

(def ) ⇔ lim x→∗

(cid:63) A(x) ∼ B(x)(A(x)tương đương B(x)) (i.e. A(x) → 0 nhanh (chậm) hơn B(x) khi x → ∗) A(x) B(x) = 1

(def ) ⇔ lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giả sử A(x), B(x), Ao(x), Bo(x), C (x) : vcb khi x → ∗ A(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) ⇒ B(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) & B(x) ∼ C (x) ⇒ A(x) ∼ C (x) (cid:26) A(x) ∼ Ao(x) Khi đó ta có :a)kA(x) ∼ kAo(x) (k (cid:54)= 0) B(x) ∼ Bo(x)

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x)

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

c) An(x) ∼ An

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

A(x)

Ao (x)

d ) lim

B(x) = lim

Bo (x)

x→∗

Khi Ak (x):vcb bậc thấp nhất trong các vcb Ai (x), i = 1, n, : A1(x) + A2(x) + A3(x) + ... + Ak (x) + ... + An(x) ∼ Ak (x) Lưu ý: 1) Không được thay thế vcb t.đương khi gặp hiệu 2 vcb t.đương 2) Giả sử α:vcb sin α, tan α, arcsin α, arctan α, ln(1 + α), eα − 1 ∼ α ( 1 − cos α ) ∼ α2

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

A(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) ⇒ B(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) & B(x) ∼ C (x) ⇒ A(x) ∼ C (x) (cid:26) A(x) ∼ Ao(x) Khi đó ta có :a)kA(x) ∼ kAo(x) (k (cid:54)= 0) B(x) ∼ Bo(x)

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x)

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

c) An(x) ∼ An

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

A(x)

Ao (x)

d ) lim

B(x) = lim

Bo (x)

x→∗

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

Giả sử A(x), B(x), Ao(x), Bo(x), C (x) : vcb khi x → ∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(cid:26) A(x) ∼ Ao(x) Khi đó ta có :a)kA(x) ∼ kAo(x) (k (cid:54)= 0) B(x) ∼ Bo(x)

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x)

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

c) An(x) ∼ An

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

A(x)

Ao (x)

d ) lim

B(x) = lim

Bo (x)

x→∗

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

Giả sử A(x), B(x), Ao(x), Bo(x), C (x) : vcb khi x → ∗ A(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) ⇒ B(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) & B(x) ∼ C (x) ⇒ A(x) ∼ C (x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi đó ta có :a)kA(x) ∼ kAo(x) (k (cid:54)= 0)

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x)

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

c) An(x) ∼ An

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

A(x)

Ao (x)

d ) lim

B(x) = lim

Bo (x)

x→∗

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

Giả sử A(x), B(x), Ao(x), Bo(x), C (x) : vcb khi x → ∗ A(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) ⇒ B(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) & B(x) ∼ C (x) ⇒ A(x) ∼ C (x) (cid:26) A(x) ∼ Ao(x) B(x) ∼ Bo(x)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

Khi đó ta có :a)kA(x) ∼ kAo(x) (k (cid:54)= 0) Giả sử A(x), B(x), Ao(x), Bo(x), C (x) : vcb khi x → ∗ A(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) ⇒ B(x) ∼ A(x); A(x) ∼ B(x) & B(x) ∼ C (x) ⇒ A(x) ∼ C (x) (cid:26) A(x) ∼ Ao(x) B(x) ∼ Bo(x)

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

Ao (x) Bo (x)

A(x) B(x) = lim x→∗

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x) c) An(x) ∼ An d ) lim x→∗

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

A1(x) + A2(x) + A3(x) + ... + Ak (x) + ... + An(x) ∼ Ak (x) Lưu ý: 1) Không được thay thế vcb t.đương khi gặp hiệu 2 vcb t.đương 2) Giả sử α:vcb sin α, tan α, arcsin α, arctan α, ln(1 + α), eα − 1 ∼ α ( 1 − cos α ) ∼ α2

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

Ao (x) Bo (x)

A(x) B(x) = lim x→∗

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x) c) An(x) ∼ An d ) lim x→∗ Khi Ak (x):vcb bậc thấp nhất trong các vcb Ai (x), i = 1, n, :

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1) Không được thay thế vcb t.đương khi gặp hiệu 2 vcb t.đương 2) Giả sử α:vcb sin α, tan α, arcsin α, arctan α, ln(1 + α), eα − 1 ∼ α ( 1 − cos α ) ∼ α2

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

Ao (x) Bo (x)

A(x) B(x) = lim x→∗

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x) c) An(x) ∼ An d ) lim x→∗ Khi Ak (x):vcb bậc thấp nhất trong các vcb Ai (x), i = 1, n, :

A1(x) + A2(x) + A3(x) + ... + Ak (x) + ... + An(x) ∼ Ak (x) Lưu ý:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2) Giả sử α:vcb sin α, tan α, arcsin α, arctan α, ln(1 + α), eα − 1 ∼ α ( 1 − cos α ) ∼ α2

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

Ao (x) Bo (x)

A(x) B(x) = lim x→∗

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x) c) An(x) ∼ An d ) lim x→∗ Khi Ak (x):vcb bậc thấp nhất trong các vcb Ai (x), i = 1, n, :

A1(x) + A2(x) + A3(x) + ... + Ak (x) + ... + An(x) ∼ Ak (x) Lưu ý: 1) Không được thay thế vcb t.đương khi gặp hiệu 2 vcb t.đương

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

TÍNH CHẤT

B(x) ∼ Ao (x)

Bo (x)

o(x) & n(cid:112)A(x) ∼ n(cid:112)Ao(x)

Ao (x) Bo (x)

A(x) B(x) = lim x→∗

b) A(x).B(x) ∼ Ao(x).Bo(x) , A(x) c) An(x) ∼ An d ) lim x→∗ Khi Ak (x):vcb bậc thấp nhất trong các vcb Ai (x), i = 1, n, :

LaTex

2 , ( 1 + α )µ − 1 ∼ µα (µ > 0)

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

tan x−sin x

Tính I = lim

x 3

x→0

Giải:

sin x[1−cos x]

I = lim (1)

x 3 cos x

x→0

Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có

(cid:17)

(cid:16) x2

x

sin x[1−cos x]

I = lim

2 x 3 cos x = 1

x 3 cos x = lim

x→0

Thí dụ 2: Tính J = lim [cos x]

x→0

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] )

Giải:

x2 = lim

J = lim e e

x→0

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Thí dụ 1:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải:

sin x[1−cos x]

I = lim (1)

x 3 cos x

x→0

Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có

(cid:17)

(cid:16) x2

x

sin x[1−cos x]

I = lim

2 x 3 cos x = 1

x 3 cos x = lim

x→0

Thí dụ 2: Tính J = lim [cos x]

x→0

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] )

Giải:

x2 = lim

J = lim e e

x→0

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có

(cid:17)

(cid:16) x2

x

sin x[1−cos x]

I = lim

2 x 3 cos x = 1

x 3 cos x = lim

x→0

Thí dụ 2: Tính J = lim [cos x]

x→0

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] )

Giải:

x2 = lim

J = lim e e

x→0

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

(1)

sin x[1−cos x] x 3 cos x

Giải: I = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có

(cid:17)

(cid:16) x2

x

sin x[1−cos x]

I = lim

2 x 3 cos x = 1

x 3 cos x = lim

x→0

Thí dụ 2: Tính J = lim [cos x]

x→0

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] )

Giải:

x2 = lim

J = lim e e

x→0

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Từ (1),(2),(3) ta có

(cid:17)

(cid:16) x2

x

sin x[1−cos x]

I = lim

2 x 3 cos x = 1

x 3 cos x = lim

x→0

Thí dụ 2: Tính J = lim [cos x]

x→0

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] )

Giải:

x2 = lim

J = lim e e

x→0

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2 nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

2 ](3).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ 2: Tính J = lim [cos x]

x→0

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] )

Giải:

x2 = lim

J = lim e e

x→0

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2 nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

(cid:17)

x

sin x[1−cos x]

2 2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có (cid:16) x2 x 3 cos x = 1 2

I = lim x→0

x 3 cos x = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tính J = lim [cos x]

x→0

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] )

Giải:

x2 = lim

J = lim e e

x→0

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2 nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

(cid:17)

x

sin x[1−cos x]

2 2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có (cid:16) x2 x 3 cos x = 1 2

I = lim x→0

x 3 cos x = lim x→0

Thí dụ 2:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] )

Giải:

x2 = lim

J = lim e e

x→0

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2 nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

(cid:17)

x

sin x[1−cos x]

2 2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có (cid:16) x2 x 3 cos x = 1 2

I = lim x→0

x 3 cos x = lim x→0

1 x2

[cos x] Thí dụ 2: Tính J = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2 nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

(cid:17)

x

sin x[1−cos x]

2 2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có (cid:16) x2 x 3 cos x = 1 2

I = lim x→0

x 3 cos x = lim x→0

1 x2

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] ) x2

[cos x] Thí dụ 2: Tính J = lim x→0 Giải:

x2 = lim x→0

e e J = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

−x 2

ln(1+[cos x−1] )

2

nên lim = lim

2 x 2

x 2 = − 1

x→0

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2 nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

(cid:17)

x

sin x[1−cos x]

2 2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có (cid:16) x2 x 3 cos x = 1 2

I = lim x→0

x 3 cos x = lim x→0

1 x2

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] ) x2

[cos x] Thí dụ 2: Tính J = lim x→0 Giải:

x2 = lim x→0

e e

J = lim x→0 Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

−1

2 = 1√

Do đó J = e

e

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2 nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

(cid:17)

x

sin x[1−cos x]

2 2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có (cid:16) x2 x 3 cos x = 1 2

I = lim x→0

x 3 cos x = lim x→0

1 x2

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] ) x2

[cos x] Thí dụ 2: Tính J = lim x→0 Giải:

x2 = lim x→0

e e

J = lim x→0 Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

2 ln(1+[cos x−1] ) x 2

−x 2 x 2 = − 1 2

nên lim x→0 = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

tan x−sin x x 3

Thí dụ 1: Tính I = lim x→0

sin x[1−cos x] x 3 cos x

2 , x 3 cos x ∼ x 3 cos x (2)

Giải: I = lim (1) x→0 Khi x → 0 :, sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ x 2 nên sin x[1 − cos x] ∼ x[ x 2

(cid:17)

x

sin x[1−cos x]

2 2 ](3). Từ (1),(2),(3) ta có (cid:16) x2 x 3 cos x = 1 2

I = lim x→0

x 3 cos x = lim x→0

1 x2

ln(cos x)

ln( 1+[cos x−1] ) x2

[cos x] Thí dụ 2: Tính J = lim x→0 Giải:

x2 = lim x→0

e e

J = lim x→0 Khi x → 0 : ln( 1 + [cos x − 1] ) ∼ [cos x − 1] ∼ − x 2

2 ; x 2 ∼ x 2

2 −x 2 x 2 = − 1 2

−1

= lim x→0 nên lim x→0 Do đó J = e

ln(1+[cos x−1] ) x 2 2 = 1√ e

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

2014

√

(1+x)2+ex2

−2

Tính K = lim

x 3+arctan x

x→0

1007 − 1 ∼ x

Giải: Khi x → 0 : 2014(cid:112)(1 + x)2 − 1 = (1 + x)

1007 ,

ex 2 − 1 ∼ x 2 , x 3 ∼ x 3 , arctan x ∼ x Do đó 2014(cid:112)(1 + x)2 + ex 2 − 2 ∼ x

1007 , x 3 + arctan x ∼ x

x

1007

Vì vậy K = lim

x = 1

1007

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Thí dụ 3:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1007 − 1 ∼ x

Giải: Khi x → 0 : 2014(cid:112)(1 + x)2 − 1 = (1 + x)

1007 ,

ex 2 − 1 ∼ x 2 , x 3 ∼ x 3 , arctan x ∼ x Do đó 2014(cid:112)(1 + x)2 + ex 2 − 2 ∼ x

1007 , x 3 + arctan x ∼ x

x

1007

Vì vậy K = lim

x = 1

1007

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

√ 2014

−2

(1+x)2+ex2 x 3+arctan x

Thí dụ 3:Tính K = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

1007 − 1 ∼ x

Khi x → 0 : 2014(cid:112)(1 + x)2 − 1 = (1 + x)

1007 ,

ex 2 − 1 ∼ x 2 , x 3 ∼ x 3 , arctan x ∼ x Do đó 2014(cid:112)(1 + x)2 + ex 2 − 2 ∼ x

1007 , x 3 + arctan x ∼ x

x

1007

Vì vậy K = lim

x = 1

1007

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

√ 2014

−2

(1+x)2+ex2 x 3+arctan x

Thí dụ 3:Tính K = lim x→0 Giải:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó 2014(cid:112)(1 + x)2 + ex 2 − 2 ∼ x

1007 , x 3 + arctan x ∼ x

x

1007

Vì vậy K = lim

x = 1

1007

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

√ 2014

−2

(1+x)2+ex2 x 3+arctan x

1007 − 1 ∼ x

Thí dụ 3:Tính K = lim x→0

1007 ,

Giải: Khi x → 0 : 2014(cid:112)(1 + x)2 − 1 = (1 + x) ex 2 − 1 ∼ x 2 , x 3 ∼ x 3 , arctan x ∼ x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x

1007

Vì vậy K = lim

x = 1

1007

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

√ 2014

−2

(1+x)2+ex2 x 3+arctan x

1007 − 1 ∼ x

Thí dụ 3:Tính K = lim x→0

1007 ,

Giải: Khi x → 0 : 2014(cid:112)(1 + x)2 − 1 = (1 + x) ex 2 − 1 ∼ x 2 , x 3 ∼ x 3 , arctan x ∼ x Do đó 2014(cid:112)(1 + x)2 + ex 2 − 2 ∼ x

1007 , x 3 + arctan x ∼ x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

√ 2014

−2

(1+x)2+ex2 x 3+arctan x

1007 − 1 ∼ x

Thí dụ 3:Tính K = lim x→0

1007 ,

1007 , x 3 + arctan x ∼ x

Giải: Khi x → 0 : 2014(cid:112)(1 + x)2 − 1 = (1 + x) ex 2 − 1 ∼ x 2 , x 3 ∼ x 3 , arctan x ∼ x Do đó 2014(cid:112)(1 + x)2 + ex 2 − 2 ∼ x x 1007

x = 1

1007

Vì vậy K = lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tính các giới hạn sau :

√

4√

ln(1+x 2)

sin2(π2x )

cos x− 3√

cos x

16+3x−2

3√

, 4) lim 1) lim

ln(cos 2x) , 2) lim

ln | cos π2x | , 3) lim

sin2 x

8+2x−2

x→0

(cid:17) 1

ln(1+x+x 3)+5x 5+(cos x−1)2013

sin x 6) lim

(cid:16) 1+tan x 5) lim

1+sin x

arcsin 2x+(ex −1)6+x 3 ln(1+x)

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Tính các giới hạn sau :

√

4√

ln(1+x 2)

sin2(π2x )

cos x− 3√

cos x

16+3x−2

3√

, 4) lim 1) lim

ln(cos 2x) , 2) lim

ln | cos π2x | , 3) lim

sin2 x

8+2x−2

x→0

(cid:17) 1

ln(1+x+x 3)+5x 5+(cos x−1)2013

sin x 6) lim

(cid:16) 1+tan x 5) lim

1+sin x

arcsin 2x+(ex −1)6+x 3 ln(1+x)

x→0

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

√

cos x

cos x− 3√ sin2 x

4√ 16+3x−2 3√ 8+2x−2

sin2(π2x ) ln | cos π2x | , 3) lim x→0

, 4) lim x→0 (cid:17) 1

ln(1+x+x 3)+5x 5+(cos x−1)2013 arcsin 2x+(ex −1)6+x 3 ln(1+x)

Tính các giới hạn sau : ln(1+x 2) ln(cos 2x) , 2) lim 1) lim x→0 x→0 (cid:16) 1+tan x sin x 6) lim 1+sin x x→0 5) lim x→0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

 ∃f (x0)

(def )

 ∃ lim f (x) ⇔ Hàm f liên tục tại x0

x→x0

lim f (x) = f (x0) 

x→x0

⇔ lim f (x) f (x) = f (x0) = lim

x→x +

x→x −

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

6. HÀM SỐ LIÊN TỤC

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

⇔ lim f (x) f (x) = f (x0) = lim

x→x +

x→x −

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

6. HÀM SỐ LIÊN TỤC

  f (x)

(def ) ⇔

Hàm f liên tục tại x0 f (x) = f (x0)  ∃f (x0) ∃ lim x→x0 lim x→x0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

6. HÀM SỐ LIÊN TỤC

  f (x)

(def ) ⇔

Hàm f liên tục tại x0 f (x) = f (x0)  ∃f (x0) ∃ lim x→x0 lim x→x0

f (x) ⇔ lim x→x + 0 f (x) = f (x0) = lim x→x − 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

6. HÀM SỐ LIÊN TỤC

  f (x)

(def ) ⇔

Hàm f liên tục tại x0 f (x) = f (x0)  ∃f (x0) ∃ lim x→x0 lim x→x0

f (x) ⇔ lim x→x + 0 f (x) = f (x0) = lim x→x − 0

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

(def )

f liên tục trên (a,b) ⇔ f liên tục tại mọi x ∈ (a, b) f liên tục trên [a,b]

(def )

liên tục trên (a, b) (cid:26) f ⇔ f liên tục bên phải tại a và bên trái tại b Lưu ý Mọi hàm số sơ cấp(hàm định bởi 1 công thức tạo từ 6 hàm số:

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

hàm hằng, lũy thừa, mũ, log, lượng giác, lượng giác ngược bởi các phép toán ±, ×, ÷và phép lấy hàm hợp) đều liên tục trên tập xác định.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

f liên tục trên [a,b]

(def )

liên tục trên (a, b) (cid:26) f ⇔ f liên tục bên phải tại a và bên trái tại b Lưu ý Mọi hàm số sơ cấp(hàm định bởi 1 công thức tạo từ 6 hàm số:

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

hàm hằng, lũy thừa, mũ, log, lượng giác, lượng giác ngược bởi các phép toán ±, ×, ÷và phép lấy hàm hợp) đều liên tục trên tập xác định.

f liên tục trên (a,b)

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi x ∈ (a, b)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Lưu ý Mọi hàm số sơ cấp(hàm định bởi 1 công thức tạo từ 6 hàm số:

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

hàm hằng, lũy thừa, mũ, log, lượng giác, lượng giác ngược bởi các phép toán ±, ×, ÷và phép lấy hàm hợp) đều liên tục trên tập xác định.

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi x ∈ (a, b)

f liên tục trên (a,b) f liên tục trên [a,b] (def ) ⇔ (cid:26) f f liên tục trên (a, b) liên tục bên phải tại a và bên trái tại b

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Mọi hàm số sơ cấp(hàm định bởi 1 công thức tạo từ 6 hàm số:

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

hàm hằng, lũy thừa, mũ, log, lượng giác, lượng giác ngược bởi các phép toán ±, ×, ÷và phép lấy hàm hợp) đều liên tục trên tập xác định.

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi x ∈ (a, b)

f liên tục trên (a,b) f liên tục trên [a,b] (def ) ⇔ liên tục trên (a, b) liên tục bên phải tại a và bên trái tại b (cid:26) f f Lưu ý

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

đều liên tục trên tập xác định.

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi x ∈ (a, b)

f liên tục trên (a,b) f liên tục trên [a,b] (def ) ⇔ (cid:26) f f liên tục trên (a, b) liên tục bên phải tại a và bên trái tại b

Lưu ý Mọi hàm số sơ cấp(hàm định bởi 1 công thức tạo từ 6 hàm số: hàm hằng, lũy thừa, mũ, log, lượng giác, lượng giác ngược bởi các phép toán ±, ×, ÷và phép lấy hàm hợp)

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

(def ) ⇔ f liên tục tại mọi x ∈ (a, b)

f liên tục trên (a,b) f liên tục trên [a,b] (def ) ⇔ (cid:26) f f liên tục trên (a, b) liên tục bên phải tại a và bên trái tại b

Lưu ý Mọi hàm số sơ cấp(hàm định bởi 1 công thức tạo từ 6 hàm số: hàm hằng, lũy thừa, mũ, log, lượng giác, lượng giác ngược bởi các phép toán ±, ×, ÷và phép lấy hàm hợp) đều liên tục trên tập xác định.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Thí dụ:

ln(1+x)

 ( khi x > 0 )

x

 Cho hàm f định bởi: f (x) = m ( khi x = 0 )

arcsin x

 ( khi x < 0 )

x

Định m để f liên tục trên R. Giải Trên (−∞, 0), (0, +∞); f là hàm sơ cấp nên f liên tục trên (−∞, 0), (0, +∞). Do đó f liên tục trên R ⇔ f liên tục tại x=0 ⇔ lim f (x) = f (0) = lim f (x)

x→0+

ln(1+x)

arcsin x

⇔ lim

x = f (0) = lim

x

x→0+

x→0−

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ m = 1

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

ln(1+x)

 ( khi x > 0 )

x

 Cho hàm f định bởi: f (x) = m ( khi x = 0 )

arcsin x

 ( khi x < 0 )

x

x→0+

ln(1+x)

arcsin x

⇔ lim

x = f (0) = lim

x

x→0+

x→0−

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ m = 1

Thí dụ:

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

x→0+

ln(1+x)

arcsin x

⇔ lim

x = f (0) = lim

x

x→0+

x→0−

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ m = 1

Thí dụ:

  Cho hàm f định bởi: f (x) =  ( khi x > 0 ) ( khi x = 0 ) ( khi x < 0 )

ln(1+x) x m arcsin x x

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Giải Trên (−∞, 0), (0, +∞); f là hàm sơ cấp nên f liên tục trên (−∞, 0), (0, +∞). Do đó f liên tục trên R ⇔ f liên tục tại x=0 ⇔ lim f (x) = f (0) = lim f (x)

x→0+

ln(1+x)

arcsin x

⇔ lim

x = f (0) = lim

x

x→0+

x→0−

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ m = 1

Thí dụ:

  Cho hàm f định bởi: f (x) =  ( khi x > 0 ) ( khi x = 0 ) ( khi x < 0 )

ln(1+x) x m arcsin x x

Định m để f liên tục trên R.

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Trên (−∞, 0), (0, +∞); f là hàm sơ cấp nên f liên tục trên (−∞, 0), (0, +∞). Do đó f liên tục trên R ⇔ f liên tục tại x=0 ⇔ lim f (x) = f (0) = lim f (x)

x→0+

ln(1+x)

arcsin x

⇔ lim

x = f (0) = lim

x

x→0+

x→0−

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ m = 1

Thí dụ:

  Cho hàm f định bởi: f (x) =  ( khi x > 0 ) ( khi x = 0 ) ( khi x < 0 )

ln(1+x) x m arcsin x x

Định m để f liên tục trên R. Giải

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

Do đó f liên tục trên R ⇔ f liên tục tại x=0 ⇔ lim f (x) = f (0) = lim f (x)

x→0+

ln(1+x)

arcsin x

⇔ lim

x = f (0) = lim

x

x→0+

x→0−

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

⇔ m = 1

Thí dụ:

  Cho hàm f định bởi: f (x) =  ( khi x > 0 ) ( khi x = 0 ) ( khi x < 0 )

ln(1+x) x m arcsin x x

Định m để f liên tục trên R. Giải Trên (−∞, 0), (0, +∞); f là hàm sơ cấp nên f liên tục trên (−∞, 0), (0, +∞).

LaTex

Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email :

ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 )

GIỚI HẠN HÀM 1 BIẾN GIỚI HẠN CƠ BẢN NGUYÊN LÝ KẸP VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG HÀM SỐ LIÊN TỤC

Thí dụ:

  Cho hàm f định bởi: f (x) =  ( khi x > 0 ) ( khi x = 0 ) ( khi x < 0 )

ln(1+x) x m arcsin x x

f (x)

ln(1+x)

arcsin x x

f (x) = f (0) = lim x→0+ x = f (0) = lim x→0− Định m để f liên tục trên R. Giải Trên (−∞, 0), (0, +∞); f là hàm sơ cấp nên f liên tục trên (−∞, 0), (0, +∞). Do đó f liên tục trên R ⇔ f liên tục tại x=0 ⇔ lim x→0+ ⇔ lim x→0+ ⇔ m = 1