Review
Lecture 4
Nguyen Van Thuy
Định lý. Nếu khi x gần a và
thì
ĐẠO HÀM, VI PHÂN
Định lý.
HÀM MỘT BIẾN
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-2
Review
Review
Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu
Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền
xác định
Hàm đa thức
f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a
Hàm phân thức hữu tỷ
f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi
Hàm căn thức
điểm thuộc khoảng đó
Hàm mũ
Ví dụ. Tìm a để hàm số sau
Hàm logarithm
liên tục tại x=1
Hàm lượng giác
Hàm lượng giác ngược
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-4
Review
Hệ số góc của tiếp tuyến
7 dạng vô định
Mối liên hệ giữa hệ số a với góc tạo bởi trục hoành
và đường thẳng (d): y = ax+b?
Hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA,yA)
Các giới hạn cơ bản
và B(xB,yB)?
Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C):
y=f(x) tại điểm P(a,f(a))?
Ví dụ. Tính
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-5 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-6
1
Hệ số góc của tiếp tuyến
Vận tốc tức thời
Một chất điểm chuyển động cách gốc O tại thời
điểm t là s = f(t)
Vận tốc trung bình từ thời điểm t=a đến thời điểm
t=a+h
Vận tốc tức thời tại thời điểm t=a
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-7 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-8
Vận tốc tức thời
Đạo hàm
Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu
f’(a), được xác định bởi
nếu giới hạn đó tồn tại
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
y=f(x) tại điểm P(a,f(a))
y = f’(a)(x-a) + f(a)
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-9 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-10
Đạo hàm
Đạo hàm
Ví dụ. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Ký hiệu đạo hàm của hàm số y = f(x)
1) f(x) = x2 + x, tính f’(3).
Chú ý. f’(a) nghĩa là giá trị tại x=a của hàm f’
Ví dụ. f(x) = sinx, phát biểu “f’(0) = 0 bởi vì f(0)=0 là hằng số, và đạo hàm của hằng số là zero” đúng hay sai?
2) . Tính f’(2).
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-11 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-12
2
Đạo hàm
Đạo hàm
Các công thức đạo hàm cơ bản
Các tính chất của đạo hàm
Ví dụ
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-13 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-14
Khi nào đạo hàm tồn tại?
Đạo hàm
Ví dụ
f(x)=|x| có và không có đạo hàm
tại x=0.
Giới hạn này có thể không tồn tại
Nếu f’(a) tồn tại hữu hạn, f được gọi là khả vi tại a
Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a.
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-15 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-16
Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao
Công thức Leibniz
Công thức
Tổng quát
Ví dụ. a) Tính b) Tính
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-17 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-18
3
Vi phân
Quy tắc L’Hospital
Định lý. Nếu có dạng khi xa và tồn tại
Vi phân của hàm số y=f(x) tại x: dy=f’(x)dx
Vi phân cấp n
thì
Chú ý. Quá trình xa có thể thay bởi xa+, xa-,
x, x-
Ví dụ
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-19 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-20
Đạo hàm của hàm ẩn
Quy tắc L’Hospital
Ví dụ
Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho bởi phương trình F(x,y) = 0 được gọi là hàm ẩn.
Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi
phương trình x2 + y2 = 2.
Phương trình trên xác định hai hàm ẩn
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-21 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-22
Đạo hàm của hàm ẩn
Đạo hàm của hàm ẩn
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của
Để tính đạo hàm của hàm ẩn, chú ý rằng
đường cong cardioid
tại (0, 1/2)
Chú ý. y là hàm số theo x, còn x là biến số
Ví dụ. Tính y’(x) biết x2 + y2 = 2
Lấy đạo hàm theo x cả hai vế, ta được
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-23 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-24
4
Đạo hàm của hàm ẩn
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của
đường cong lemniscate
Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho dưới dạng x = x(t), y = y(t) được gọi là hàm số cho dưới dạng tham số
tại (3, 1)
Ví dụ. Hàm số y = y(x) cho bởi x = sint, y =
y
cost, –/2 t /2
Đó là hàm số
x
0
-1
1
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham
Ví dụ. (câu 89) Tìm y’(x) tại x0 = 2 của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số
số
a) 1/2 b) 1 c) 5/e2 d) đều sai
Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi
Giải. x0=2=2et t=0
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-25 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-26
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số
Đạo hàm cấp 2 của hàm số cho dưới dạng
Ví dụ (câu 86). Tìm đạo hàm y’=y’(x) của hàm số y=y(x) được cho bởi pt tham số
tham số
Ví dụ (câu 92). Tính y’’(x) tại x0 = /4 của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham số
a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 – 16/2
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-27 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-28
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-29 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-30
5
Bài tập
Câu 85 câu 104
10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-31
