Tài liệu ôn thi môn: Toán vào lớp 10

Chia sẻ: Nguyen Viet Ha | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

128
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu học tập và ôn thi Toán vào lớp 10, mời các bạn cùng tham khảo "Tài liệu ôn thi môn: Toán vào lớp 10" dưới đây. Nội dung tài liệu cung cấp cho các bạn những kiến thức: Toán rút gọn, hàm số bậc nhất, hệ phương trình, hình học,... Hy vọng tài liệu giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi môn: Toán vào lớp 10

Ph©n 1. To¸n rót gän �x+2 x-7 x-1 � � 1 1 � Bµi 1: Cho biÓu thøc: P = � + �: � - � � x-9 3- x � � x +3 x-1 � a/ Rót gän P b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x = 19 − 8 3 c/ T×m c¸c gi¸ trÞ x nguyªn ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn d/ T×m x ®Ó P < 1 �x + 2 x − 2 x −1 1 � Bµi 2: Cho biÓu P = 1: � − + � thøc: � x x +1 x − x +1 x +1� a/ Rót gän P b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x = 7 − 4 3 c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P d/ T×m x ®Ó P = 2 x 1 � x −1 x + 1 �� 3 1 2 � Bµi 3: Cho biÓu P = � + �: � + − � thøc � x + 1 1 − x �� x − 1 x +1 x − 1 � a/ Rót gän P b/ T×m x ®Ó P x 1 2 x 2 1 x Bµi 4: Cho biÓu thøc P : 1 x x x x 1 x 1 x 1 a/ Rót gän P b/ T×m c¸c gi¸ trÞ x nguyªn ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn 1 c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P d/ T×m x ®Ó P > 1 2 x 1 x Bµi 5: Cho biÓu P : 1 thøc x x x x 1 x 1 x 1 a/ Rót gän P. 53 b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x 9 2 7 c/ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 1 P x x 2 x 3 x 2 Bµi 6 : Cho biÓu thøc P 1 : x 1 x 3 2 x x x 6 a) Rót gän P 3 5 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x 2 c) T×m c¸c gi¸ trÞ x nguyªn ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn d) T×m x ®Ó P < 1 e) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P x 3
15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bµi 7 : Cho biÓu thøc P x 2 x 3 1 x x 3 a) Rót gän P 1 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho P 2 2 c) Chøng minh P 3 �1 x x x + 2 �� 2 1 x � Bµi 8 : Cho biÓu thøc P = � � + : �� + � � � x 2 1 x x 3 x + 2 �� x 2 x 2 x � a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x 6 2 5 P c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña x 2 5 x 1 x 1 Bµi 9 : Cho biÓu thøc P 1 : x 2 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x = 1 1 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P 2 d) T×m c¸c gi¸ tri x nguyªn ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn x 1 1 2 Bµi 10 : Cho biÓu thøc P : x 1 x x x 1 1 x a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÕt x 7 4 3 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó cã c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n P. x m x � 2 x 1− 2 x � �6 x + 5 � Bµi 11 : Cho biÓu thøc P = � 1− � − � : � � �3 x + 1 − 2 � � � 3 x + 1 1 − 9x �� a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P x 2( m 1) x 2m 5 c) Cho P (x lµ Èn). T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 3 x 1 cïng dÊu. X¸c ®Þnh dÊu cña hai nghiÖm ®ã. 3 x 3 x 2 x Bµi 12 : Cho biÓu thøc P : x 1 x 1 x x 2 x 2 a) Rót gän P 2 3 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt x 2 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó cã gi¸ trÞ x tho¶ m·n : ( x 1) P mx mx x 4 1 1 x 1 Bµi 13: Cho biÓu thøc P : x x x 1 x 2 x 1 a) Rót gän P
2 x 1 b) T×m c¸c gi¸ tri cña x ®Ó P 5 c) So s¸nh P víi 1 x 3 x 2 x x 1 1 Bµi 14 : Cho biÓu thøc P : ( x 2)( x 1) x 1 x 1 x 1 a) Rót gän P 1 x 1 b) T×m x ®Ó 1 P 8 2 x 1 3 x Bµi 15 : Cho biÓu thøc P : 2 2x 5 x 3 x 1 1 x a) Rót gän P b) T×m x ®Ó P < 0 c) T×m x ®Ó – P = P x x 4 x 1 x 3 Bµi 16 : Cho biÓu P : 1 thøc x 2 x 3 3 x x 2 a/ Rót gän P b/ T×m x ®Ó P < 0 c/ T×m x ®Ó P < 1 x 3 x 7 x 3 x 2 Bµi 17: Cho biÓu P : 1 thøc x 3 x 4 x 4 x 1 a/ Rót gän P b/ T×m x ®Ó P x 3 1 1 2x x 1 2x x x x Bµi 18 : Cho biÓu thøc : P : 1 x x 1 x 1 x x a)Rót gän . b) TÝnh P víi x = 7 4 3 . c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a ®Ó P > a
Bµi 19: Cho biÓu thøc: x 2 x 1 x 1 A : x x 1 x x 1 1 x 2 a) Rót gän A. b) Chøng minh A > 0 víi mäi x thuéc TX§ Bµi 20 : Cho biÓu thøc: 2 x x 1 x 2 A : x x 1 x 1 x x 1 a) Rót gän A . b) TÝnh A khi x = 5 + 2 6 Bµi 21: Cho biÓu thøc: x 5 x 25 x x 3 x 5 M 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a) Rót gän M . b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× M < 1 ? Bµi 22: Cho biÓu thøc: 3 a 3a 1 a 1 a b M : a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b a) Rót gän M . b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó M cã gi¸ trÞ nguyªn . Bµi 23: Cho biÓu thøc: x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 Q x x x x x x x 1 x 1 a) Rót gän Q . b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó Q = 6 . Bµi 24: Cho biÓu thøc: 1 1 a 1 a 2 A : a 1 a a 2 a 1 a) Rót gän A . 1 b) T×m gi¸ trÞ cña a A ®Ó 6 Bµi 25: Cho biÓu thøc: 2a 2 4 1 1 A 3 1 a 1 a 1 a a) Rót gän A . b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A . Bµi 26 : Cho biÓu thøc : 2 x. 1 x 1 x x 1 x x P : x . x x 1 1 x 1 x
a) Rót gän P. b) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó ( x + 1 ).P = x – 1 1 x 3 c) BiÕt Q P T×m x ®Ó Q cã gi¸ trÞ lín nhÊt. x d) T×m x ®Ó P 2 3 Bµi 27 : Cho biÓu thøc : 2 x x 3x 3 2 x 2 P : 1 x 3 x 3 x 9 x 3 a) Rót gän P. 1 b) T×m x ®Ó P 2 c) T×m x ®Ó : P. x 3 2 x 2 x 2 d) T×m m ®Ó cã 1 gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n : P. x 3 x x m x x 3 m Bµi 28 : Cho biÓu thøc : 2 xy x 2 xy y 2 xy 2 xy P 1 : x y x xy y xy a) Rót gän P b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh P = m – 1 cã nghiÖm x , y tho¶ m·n : x y 6 Bµi 29 : Cho biÓu thøc : 2x x x x x x x 1 x P . x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1 a) Rót gän P 5 x 3 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A P. x x c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó mäi x > 2 ta cã : P. x x 1 3 m x 1 x 1 5 x 4 2 x x Bµi 30 : Cho biÓu thøc : P . x 2 2 x x x x 2 3 5 9x a) Rót gän. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = . d) Gi¶i pt: x 2 7 2 P 4 c ) T×m m ®Ó cã x tho¶ m·n P = mx x 2mx 1 e) T×m m ®Ó cã x tho¶ m·n: f) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña pt: x m 2 P 2 x x P y 1 y2 4y 1
PhÇn 2. Hµm sè bËc nhÊt Bµi 1 : X¸c ®Þnh hµm sè bËc nhÊt y = ax + b trong mçi trêng hîp sau: a) a = - 1 vµ ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng – 2 b) a = 3 vµ ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm A(2; 5) c) §å thÞ cña hµm sè song song víi ®êng th¼ng y = 2 x vµ ®i qua ®iÓm B(1; 2 +3) d) §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm A(-1; 2) vµ B(2;-3) e) §å thÞ hµm sè ®i qua M(2;- 3) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = x – 2 Bµi 2: Víi ®iÒu kiÖn nµo cña k vµ m th× hai ®êng th¼ng : y = (k – 2)x + m – 1 vµ y = (6 – 2k)x + 5 – 2m. a) Trïng nhau b) Song song c) C¾t nhau Bµi 3 : Cho hµm sè y = (a – 1)x + a a) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng - 3 b) X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 2 c) VÏ ®å thÞ cña hai hµm sè øng víi gi¸ trÞ cña a t×m ®îc ë c¸c c©u a vµ b trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng võa vÏ ®îc. Bµi 4 : Cho ®êng th¼ng y = (m – 2)x + n (m 2) (d) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n trong c¸c trêng hîp sau: a) §êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;4) b) §êng th¼ng (d) c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng 1 + 2 vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2 + 2 c) §êng th¼ng (d) c¾t ®êng th¼ng 2y + x – 3 = 0 d) §êng th¼ng (d) trïng víi ®êng th¼ng y – 2x + 3 = 0 Bµi 5 : a) VÏ trªn cïng hÖ trôc to¹ ®é Oxy ®å thÞ c¸c hµm sè sau : y = x (d1) ; y = 2x (d2) ; y = - x + 3 (d3) b) ®êng th¼ng (d3) c¾t hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) theo thø tù t¹i A , B. T×m to¹ ®é cña c¸c ®iÓm A vµ B. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB. Bµi 6 : Cho hµm sè y = (1 – 2m)x + m + 1 (1) a) T×m m ®Ó hµm sè (1) ®ång biÕn, nghÞch biÕn. b) T×m m ®Ó hµm sè (1) song song víi ®êng th¼ng y = 3x - 1 + m c) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m th× ®êng th¼ng (1) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh duy nhÊt. T×m ®iÓm cè ®Þnh ®ã. Bµi 7 : Cho hai ®êng th¼ng 4 y = - 4x + m – 1 (d1) vµ y = x + 15 − 3m (d2) 3 a) T×m m ®Ó hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i ®iÓm trªn trôc tung. b) Víi m ë trªn h·y t×m to¹ ®é giao ®iÓm A, B cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2) víi trôc hoµnh.
c) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC d) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. Bµi 8 : T×m to¹ ®é cña M(x1; y1) thuéc ®êng th¼ng 2x + 3y = 5 sao cho kho¶ng c¸ch tõ gèc to¹ ®é O ®Õn M nhá nhÊt. Quan hÖ gi÷a Parabol y = ax2 vµ ®êng th¼ng y = mx + n Bµi 1 : Cho hai hµm sè y = x2 (P) vµ y = 2x + 3 (d) a) VÏ trªn cïng hÖ trôc to¹ ®é hai hµm sè (P) vµ (d). b) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A vµ B cña (P) vµ (d). c) Gäi C vµ D thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A vµ B trªn trôc hoµnh. TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABCD. Bµi 2 : Cho Parabol y = x2 (P) vµ ®êng th¼ng y = 2x – m (d) a) T×m m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt, tiÕp xóc nhau, kh«ng giao nhau. b) Khi (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B, h·y x¸c ®Þnh to¹ ®é hai ®iÓm A vµ B víi m = - 3 . c) T×m to¹ ®é trung ®iÓm cña AB. Bµi 3 : Cho Parabol y = x2 (P) vµ ®êng th¼ng y = mx – m (d) a) Víi gi¸ trÞ nµo cu¶ m th× (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. b) T×m to¹ ®é trung ®iÓm M cña AB. Suy ra mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c to¹ ®é cña m, ®éc lËp víi m. x2 Bµi 4: Cho Parabol (P): y = − vµ ®êng th¼ng y = mx + n. X¸c ®Þnh hÖ sè m vµ 4 n ®Ó ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(1; 2) vµ tiÕp xóc víi (P). T×m to¹ ®é giao ®iÓm vµ vÏ ®å thÞ cña (P) vµ ®êng th¼ng. x2 1 Bµi 5: Cho Parabol (P): y = vµ ®êng th¼ng y = − x + n 2 2 a) T×m gi¸ trÞ cña n ®Ó ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (P). b) T×m gi¸ trÞ cña n ®Ó ®êng th¼ng c¾t (P) t¹i hai ®iÓm. c) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng víi (P) nÕu n = 1. VÏ ®å thÞ cña (P) víi ®êng th¼ng trong trêng hîp Êy. Bµi 6: Cho Parabol (P): y = ax 2 vµ ®êng th¼ng y = mx + n. X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a, m, n biÕt r»ng (P) ®i qua ®iÓm A(-2; 2), ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm B(1; 0) vµ tiÕp xóc víi (P). Bµi 7: Cho hµm sè y = 2x2 (P). a) VÏ ®å thÞ (P). b) T×m trªn ®é thÞ c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai trôc to¹ ®é. c) Tuú theo m h·y xÐt sè giao ®iÓm cña ®êng th¼ng y = mx – 1 víi (P).
d) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(0; 2) vµ tiÕp xóc víi (P). e) T×m tËp hîp ®iÓm M sao cho qua M cã thÓ kÎ ®îc hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau vµ cïng tiÕp xóc víi (P). f) T×m trªn (P) c¸c ®iÓm cã kho¶ng c¸ch ®Õn gèc to¹ ®é b»ng 5 Bµi 8: Cho hµm sè y = (2m - 1) x2 (P). a) T×m m ®Ó (P) ®i qua ®iÓm A(2; -2). VÏ ®å thÞ hµm sè (P) võa t×m ®îc. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua B(-1; 1) vµ tiÕp xóc víi (P) c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua gèc to¹ ®é vµ ®i qua ®iÓm T thuéc (P) 1 Cã tung ®é − . 16 d) T×m trªn (P) c¸c ®iÓm cã kho¶ng c¸ch ®Õn gèc to¹ ®é b»ng 1. Bµi 9: Cho Parabol y = ax2 vµ ®êng th¼ng d cã hÖ sè gãc k ®i qua ®iÓm M(0; 1) a) Chøng minh r»ng: Víi mäi gi¸ trÞ cña k, ®êng th¼ng d lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. b) Gäi hoµnh ®é cña A,B lÇn lît lµ x1, x2. CMR: x1 − x2 > 2 c) Chøng minh r»ng: OAB vu«ng. x2 Bµi 10: Cho Cho Parabol (P): y = vµ ®êng th¼ng (d): mx + y = 2. 2 a)Chøng minh r»ng: Khi m thay ®æi th× ®êng th¼ng d lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh. b)Chøng minh r»ng: (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt c) X¸c ®Þnh m ®Ó AB cã ®é dµi nhá nhÊt. TÝnh diÖn tÝch AOB øng víi gi¸ trÞ t×m ®îc cña m. d)Chøng minh r»ng: Trung ®iÓm I cña AB khi m thay ®æi lu«n n»m trªn Parabol cè ®Þnh. Bµi 11: Cho Parabol (P): y = - x 2 ®êng th¼ng y = m c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A vµ B. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó AOB ®Òu. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ®Òu ®ã. 1 Bµi 12: Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy tõ ®iÓm M n»m phÝa díi ®êng th¼ng y = − 4 ngêi ta kÎ c¸c ®êng th¼ng MN, MP tiÕp xóc víi Parabol y = x 2 t¹i ®iÓm N, P. Chøng minh gãc NMP nhän. x2 1 Bµi 13: Cho Parabol (P): y = vµ ®êng th¼ng y = x + 3 2 2 a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm A, B cña Parabol vµ ®êng th¼ng.
b) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm C thuéc cung AB cña Parabol sao cho ABC cã diÖn tÝch lín nhÊt. Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn – HÖ thøc Vi-et Bµi 1 : Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 – 4mx + 4m – 1 = 0 (x lµ Èn, m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 2 b)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. c)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x12 + x22 = 1. Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(k – 1)x + k – 4 (1) . (x lµ Èn, k lµ tham sè). a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi k = 1. b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k. c) T×m k ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu. Khi ®ã hai nghiÖm mang dÊu g× ? d) Chøng minh r»ng biÓu thøc A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña k (x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)) Bµi 3 : Cho ph¬ng tr×nh (m + 3)2 + 2mx + m – 3 = 0 (1) víi x lµ Èn, m lµ tham sè. a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai. b) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 3 c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. d) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x12 + x22 = 4. e) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã 2 nghiÖm lµ nghÞch ®¶o cña 2 nghiÖm ph¬ng tr×nh (1). Bµi 4 : Cho ph¬ng tr×nh x2 – 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0. a) Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu. Khi ®ã 2 nghiÖm mang dÊu g× ? Bµi 5 : Cho ph¬ng tr×nh (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 víi m lµ tham sè. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m ≠ 1. b) T×m m ®Ó tÝch hai nghiÖm b»ng 5. Tõ ®ã h·y tÝnh tæng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m. Bµi 6 : Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2x – 5 = 0 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh : a) Tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. b) Tæng c¸c b×nh ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh c) Tæng c¸c nghÞch ®¶o hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh d) Tæng c¸c nghÞch ®¶o b×nh ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh e) Tæng c¸c lËp ph¬ng hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Bµi 7 : Cho ph¬ng tr×nh x 2 − ( m − 1) x − m 2 + m − 2 = 0 (1) (víi m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh trªn víi m = 2 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu ∀ m c) Gäi 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ x 1 , x 2 T×m m ®Ó biÓu thøc
3 3 �x � � x � A = �1 �+ �2 �®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt �x2 � �x1 � Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh x 2 − 2(m + 1) x + m = 0 ( mlµ tham sè) a)Chøng minh : Ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n lu«n cã nghiÖm víi mäi m b)Trong trêng hîp m > 0 vµ x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nãi trªn h·y t×m x12 + x2 2 − 3( x1 + x2 ) + 6 GTNN cña biÓu thøc A= x1 x2 Bµi 9: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh x2 + mx + 12 = 0 cã hai nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x2 − x1 = 1 Bµi 10:XÐt phu¬ng tr×nh mx 2 + (2m -1) x + m -2 = 0 (1) víi m lµ tham sè a ) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x 1 , x 2 tho¶ m·n x12 + x22 − x1 x2 = 4 b) Chøng minh r»ng nÕu m lµ tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm sè h÷u tØ 2 2x 10 x 3 Bµi 11: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm sè f(x) = 2 víi x R. 3x 2x 1 Bµi 12. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) 6x 4 7x 3 36x 2 7x 6 0 b) x x 1 x 2 x 3 1 0 c) ( x − 4) ( x − 5) ( x − 8) ( x − 10) = 72x 2 4 4 d) x 3 x 5 2 e) x 4 10x 3 26x 2 10x 1 0 f) x 4 2x x 2 x 1 0 3 2 x2 x 5 3x g) 4 0 h) x2 3x 3 + x2 3x 6 = 3 x x x 5 2 x2 3x 5 2x 1 i) 25 - 19 2 =6 j) (x+ 4)(x+ 1)- 3 x 2 5 x 2 = 6 2x 1 x 3x 5 x 1 k) (x- 3)(x+ 1)+ 4(x- 3) = -3 l) x 1+ 8 x+ (1 x)(8 x) = 3 x 3 m) 3 24 + x + 12 x = 6 p) 3 13 − x + 3 x + 22 = 5 PhÇn 4. HÖ ph¬ng tr×nh : Bµi 1 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh :
(m + 2) x + y = m mx − y = 1 a) Gi¶i hÖ víi m = 1 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm tho¶ m·n x = y. Bµi 2 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx + y = n x + y =1 a) Gi¶i hÖ víi m = -1, n = 1 b) T×m n ®Ó hÖ cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m 2x − 3y = 2 m + 6 Bµi 3. Cho hÖ ph¬ng tr×nh (víi m lµ tham sè vµ m 0) x− y = m +2 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 4. b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn sao cho x + y nhá nhÊt. ( m + 1) x − y = 3 Bµi 4. Cho hÖ ph¬ng tr×nh mx + y = m a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = − 2 b) X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y > 0. Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: a. Gi¶i hÖ víi m = 5/2. 2 x y xy 2 3m 5 b. X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ v« nghiÖm. c. X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã mét nghiÖm duy x y xy m 1 nhÊt. d. X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 6: Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x 2 xy m( y 1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -1 y 2 xy m ( x 1) b)T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. PhÇn 5. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh Bµi 1: Mét ngêi ®i xe ®¹p xuÊt ph¸t tõ A. Sau 4 giê, mét ngêi ®i xe m¸y còng ®i tõ A vµ ®uæi theo trªn cïng mét con ®êng vµ gÆp ngêi ®i xe ®¹p c¸ch A lµ 60 km. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi biÕt vËn tèc cña ngêi ®i xe m¸y lín h¬n vËn tèc cña ngêi ®i xe ®¹p lµ 20 km/h. Bµi 2: Hai bÕn tµu A vµ B c¸ch nhau 48 km.Mét tµu thuû ®i tõ bÕn A ®Õn bÕn B råi trë l¹i, c¶ ®i lÉn vÒ hÕt 5 giê. TÝnh vËn tèc riªng cña tµu, biÕt vËn tèc dßng níc kh«ng ®æi vµ vËn tèc riªng cña tµu c¶ ®i lÉn vÒ lµ kh«ng ®æi. Bµi 3: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch nhau 20km trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i ®îc mét giê víi vËn tèc dù ®Þnh, ngêi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 2 km/h trªn qu·ng ®êng
cßn l¹i, nªn ®· ®Õn B chËm 15 phót so víi dù ®Þnh. TÝnh vËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ®i xe ®¹p. Bµi 4 : Mét c«ng nh©n ®îc giao kho¸n s¶n xuÊt 120 s¶n phÈm trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. Sau khi lµm ®îc mét nöa sè lîng ®îc giao, nhê hîp lý ho¸ mét sè thao t¸c nªn mçi giê ngêi ®ã lµm thªm ®îc 3 s¶n phÈm n÷a. Nhê ®ã, møc kho¸n ®îc giao ®· ®îc ngêi c«ng nh©n hoµn thµnh sím 1 giê. TÝnh n¨ng suÊt vµ thêi gian dù ®Þnh cña ngêi c«ng nh©n ®ã. Bµi 5 : Mét nhãm thî ®Æt kÕ ho¹ch lµm 4000 s¶n phÈm. Trong 8 ngµy ®Çu hä thùc hiÖn ®óng møc ®Ò ra. Nh÷ng ngµy cßn l¹i hä lµm vît møc mçi ngµy 40 s¶n phÈm nªn ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch sím 2 ngµy. Hái theo kÕ ho¹ch mçi ngµy nhãm thî ph¶i lµm bao nhiªu s¶n phÈm. Bµi 6 : Mét ®oµn xe ®îc giao chë 30 tÊn hµng. Khi s¾p khëi hµnh th× ®îc nhËn thªm hai xe n÷a nªn mçi xe chë Ýt h¬n 0.5 tÊn sao víi dù ®Þnh. Hái lóc ®Çu ®oµn cã bao nhiªu xe ? 3 Bµi 7 : Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng chiÒu réng. NÕu bít mçi chiÒu ®i 5cm 2 th× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ®ã gi¶m ®i 16 % . TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Bµi 8 : Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B víi vËn tèc trung b×nh 40km/h. Lóc ®Çu «t« ®i víi vËn tèc dù ®Þnh, khi cßn 40km n÷a th× ®îc nöa qu·ng ®êng AB do trêi m- a nªn ngêi l¸i xe gi¶m vËn tèc 10km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i. Do ®ã «t« ®Õn tØnh B muén h¬n mét giê so víi dù ®Þnh. TÝnh qu·ng ®êng AB. Bµi 9 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau 2 giê 55 phót bÓ ®Çy. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê. Hái mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong bao l©u ? Bµi 10 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét bÓ chøa kh«ng cã níc sau 6 giê th× ®Çy bÓ. NÕu 2 më riªng vßi thø nhÊt trong 2 giê, vßi thø hai trong 3 giê th× ®îc bÓ. Hái mçi vßi ch¶y 5 mét m×nh sau bao l©u th× ®Çy bÓ ? Bµi 11 : Mét phßng häp 300 ghÕ ngåi nhng ph¶i xÕp cho 357 ngêi ®Õn dù häp, do ®ã ban tæ chøc ®· kª thªm mét hµng ghÕ vµ mçi hµng ghÕ xÕp nhiÒu h¬n quy ®Þnh 2 ghÕ míi ®ñ chç ngåi. Hái lóc ®Çu phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ, mçi d·y bao nhiªu ghÕ ? Bµi 12 : Theo kÕ ho¹ch hai tæ s¶n xuÊt 600 s¶n phÈm trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. Do ¸p dông kü thuËt míi nªn tæ I ®· vît møc 18% vµ tæ II vît møc 21%. V× vËy trong thêi gian quy ®Þnh hä ®· hoµn thµnh vît møc 120 s¶n phÈm. Hái sè s¶n phÈm ®îc giao cña mçi t«t theo kÕ ho¹ch ? Bµi 13: Tæng cña hai ch÷ sè hµng chôc vµ hai lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña mét sè cã hai ch÷ sè lµ 18. NÕu ®æi chç ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ th× sÏ ®îc sè míi lín h¬n sè ban ®Çu 54 ®¬n vÞ. T×m sè ban ®Çu. Bµi 14: Mét « t« kh¸ch ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 200km. Sau ®ã 30 phót mét « t« con khëi hµnh tõ tØnh B ®Õn tØnh A trªn cïng con ®êng Êy, ®i ®îc 2 giê th× gÆp « t«
kh¸ch. TÝnh vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng vËn tèc cña « t« con lín h¬n vËn tèc cña « t« kh¸ch lµ 10km/h. Bµi 15: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B víi vËn tèc 15km/h. Sau ®ã mét thêi gian, mét ng- êi kh¸c ®i xe m¸y còng xuÊt ph¸t tõ A víi vËn tèc 30km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay ®æi sÏ ®uæi kÞp ngêi ®i xe ®¹p t¹i B. Nhng sau khi ®i ®îc mét nöa qu·ng ®êng AB, ngêi ®i xe ®¹p gi¶m bít vËn tèc 3km/h nªn hai ngêi gÆp nhau t¹i C c¸ch B 10 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Bµi 16: Hai tæ s¶n xuÊt ph¶i hoµn thµnh 90 s¶n phÈm. Tæ I ®· vît møc 15% kÕ ho¹ch cña tæ, tæ II vît møc 12% kÕ ho¹ch cña tæ. Do ®ã c¶ hai tæ lµm ®îc 102 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch mçi tæ ph¶i lµm bao nhiªu s¶n phÈm. Bµi 17: Mét ca n« ch¹y trªn khóc s«ng dµi 95 km. Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng- îc lµ 1giê 12 phót. TÝnh vËn tèc cña ca n« khi níc yªn lÆng, biÕt r»ng vËn tèc cña dßng níc lµ 3km/h. Bµi 18: Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B trong mét thêi gian qui ®Þnh vµ víi mét vËn tèc x¸c ®Þnh. NÕu ngêi ®ã t¨ng vËn tèc 3km/h th× sÏ ®Õn B sím 1 giê, nÕu ngêi ®ã gi¶m vËn tèc 2km/h th× sÏ ®Õn B muén 1 giê. TÝnh kho¶ng c¸ch AB, vËn tèc vµ thêi gian ®i cña ngêi ®ã. Bµi 19: Sau khi nhËn møc kho¸n, mét c«ng nh©n dù kiÕn sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc trong 10 giê. Lóc ®Çu mçi giê ngêi ®ã lµm ®îc 12 s¶n phÈm. Sau khi lµm ®îc mét nöa sè lîng ®îc giao, nhê hîp lý ho¸ mét sè thao t¸c nªn mçi giê ngêi ®ã lµm thªm ®îc 3 s¶n phÈm n÷a. TÝnh sè lîng s¶n phÈm ®îc giao. Bµi 20: Hai ngêi cïng lµm chung mét c«ng viÖc th× sÏ hoµn thµnh trong 4 ngµy. NÕu ngêi thø nhÊt lµm mét nöa c«ng viÖc, sau ®ã ngêi thø hai lµm nèt c«ng viÖc cßn l¹i th× sÏ hoµn thµnh toµn bé c«ng viÖc trong 9 ngµy. Hái nÕu mçi ngêi lµm riªng th× sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc trong mÊy ngµy. Bµi 21: Mét chiÕc xe t¶i ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B víi vËn tèc 40km/h. Sau ®ã 1giê 30 phót, mét chiÕc xe con còng khëi hµnh tõ tØnh A ®Õn tØnh B víi vËn tèc 60 km/h. Hai xe gÆp nhau khi chóng ®· ®i ®îc mét nöa qu·ng ®êng AB. TÝnh qu·ng ®êng AB. Bµi 22: Mét phßng häp cã 100 chç ngåi, nhng sè ngêi ®Õn häp lµ 144 ngêi. Do ®ã, ngêi ta ph¶i kª thªm 2 d·y ghÕ vµ mçi d·y ghÕ ph¶i thªm 2 ngêi ngåi. Hái phßng häp lóc ®Çu cã bao nhiªu d·y ghÕ. Bµi 23: Cho mét sè cã hai ch÷ sè. T×m c¸c ch÷ sè cña sè ®ã biÕt r»ng sè ®ã b»ng tæng b×nh ph¬ng c¸c ch÷ sè cña nã trõ ®i 11, vµ sè ®ã còng b»ng hai lÇn tÝch cña hai ch÷ sè cña nã céng thªm 5. Bµi 24: Líp 9A cã 14 häc sinh giái to¸n, 13 häc sinh giái v¨n, sè häc sinh võa giái to¸n võa giái v¨n b»ng nöa sè häc sinh kh«ng giái to¸n mµ còng kh«ng giái v¨n. Hái cã bao nhiªu häc sinh võa giái to¸n võa giái v¨n, biÕt r»ng sÜ sè cña líp 9A lµ 35. Bµi 25 : Mét ca n« xu«i dßng 45km råi ngîc dßng 18km. BiÕt vËn tèc xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ngîc dßng lµ 6km/h vµ thêi gian xu«i dßng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 1 giê TÝnh vËn tèc xu«i dßng vµ vËn tèc ngîc dßng cña ca n«. Bµi 26 : Mét ca n« ch¹y trªn mét khóc s«ng trong 8 giê, xu«i dßng 81km, ngîc dßng 105km. Mét lÇn kh¸c còng trªn dßng s«ng ®ã, ca n« nµy ch¹y trong 4 giê, xu«i dßng 54 km, ngîc dßng 42km. H·y tÝnh vËn tèc khi xu«i dßng vµ vËn tèc khi ngîc dßng cña ca n«, biÕt vËn tèc níc vµ vËn tèc riªng cña ca n« kh«ng ®æi.
Bµi 27 : Mét ca n« ch¹y trªn mét khóc s«ng trong 8 giê, xu«i dßng 81km, ngîc dßng 105km. Mét lÇn kh¸c còng trªn dßng s«ng ®ã, ca n« nµy ch¹y trong 4 giê, xu«i dßng 54 km, ngîc dßng 42km. H·y tÝnh vËn tèc riªng cña ca n« vµ v©n tèc cña dßng níc, biÕt vËn tèc níc lµ vµ vËn tèc riªng cña ca n« kh«ng ®æi. Bµi 28 : Hai «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B dµi 120km. Lóc 5 giê 30 phót «t« thø nhÊt b¾t ®Çu xuÊt ph¸t, sau ®ã 15 phót «t« thø hai xuÊt ph¸t vµ ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc «t« thø nhÊt 10km/h. Trªn ®êng ®i «t« thø hai nghØ 45 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi «t« vµ hai «t« dÕn B lóc mÊy giê, biÕt chóng ®Õn B cïng mét lóc. Bµi 29 : Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B dµi 30 km trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. Sau khi ®i ®uîc mét nöa qu·ng ®êng ngêi ®ã nghØ 15 phót. §Ó ®Õn B ®óng dù ®Þnh ngêi ®ã t¨ng vËn tèc trªn qu·ng ®ên cßn l¹i 2 km/h. TÝnh vËn tèc xe ®¹p lóc ban ®Çu vµ thêi gian dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B. Bµi 30 : Mét tæ cã kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 350 s¶n phÈm theo n¨ng suÊt dù kiÕn. NÕu t¨ng n¨ng suÊt thªm 10 s¶n phÈm mçi ngµy th× tæ hoµn thµnh sím 2 ngµy so víi gi¶m n¨ng suÊt 10 s¶n phÈm mçi ngµy. TÝnh n¨ng suÊt dù kiÕn. PhÇn 6. H×nh häc : Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B. Mét ®iÓm M bÊt kú trªn c¹nh BC, ®êng trßn ®êng kÝnh MC c¾t tia AM t¹i ®iÓm thø hai N vµ c¾t tia Bn t¹i ®iÓm thø hai D. a) Chøng minh A, B, N, C cïng n»m trªn mét ®êng trßn b) Chøng minh CB lµ tia ph©n gi¸c gãc ACD c) Gäi H lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua AB, K lµ ®iÓm ®èi xøng víi M qua AC. Chøng minh tø gi¸c AHCK néi tiÕp d) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AHCK cã ®êng kÝnh nhá nhÊt cã thÓ ®îc. Bµi 2 : Cho (O;R) ®êng kÝnh AB, M lµ mét ®iÓm thuéc (O) vµ MA < MB. Tõ M kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i H vµ c¾t (O) t¹i ®iÓm thø hai N. Trªn tia ®èi cña tia MN lÊy ®iÓm C. Nèi C víi B c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai I. Giao ®iÓm cña AI víi MN lµ K. a) Chøng minh tø gi¸c BHIK néi tiÕp b) Chøng minh : CI. CB = CK . CH c) Chøng minh IC lµ tia ph©n gi¸c gãc ngoµi cña tam gi¸c IMN d) Cho MN = R 3 vµ AN // BC. TÝnh MC. Bµi 3 : Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R, ®iÓm M bÊt n»m trªn cung AB. Gäi H lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AM. Tia BH c¾t AM t¹i I vµ c¾t tiÕp tuyÕn t¹i A cña ® êng trßn (O) t¹i K. C¸c tia AH, BM c¾t nhau S. a) Chøng minh tam gi¸c BAS c©n. Tõ ®ã suy ra S n»m trªn ®êng trßn cè ®Þnh. b) Chøng minh KS lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t©m B, b¸n kÝnh BA c) Tia AI c¾t ®êng trßn t©m B, b¸n kÝnh BA t¹i N. Chøng minh tø gi¸c BINS néi tiÕp. d) ﾷ X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M sao cho MKA = 90o Bµi 4 : Cho nöa ®êng trßn (O;R) ®êng kÝnh AB vµ mét ®iÓm C trªn nöa ®êng trßn ®ã (AC < BC), D lµ mét ®iÓm trªn d©y BC nhng kh«ng trïng víi B vµ C. AD c¾t nöa ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ E, BE c¾t ®êng th¼ng AC t¹i F. a) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp.
b) ﾷ Chøng minh CDF ﾷ = BAC c) Gäi giao ®iÓm thø hai cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BED víi ®êng trßn ®êng kÝnh AB lµ G. Chøng minh FD ®i qua G. d) BiÕt d©y AC = a, d©y CB = b, tÝnh tæng BE. BF + AC. AF theo a vµ b. Bµi 5 : Cho (O) vµ mét ®iÓm A cè ®Þnh ë ngoµi ®êng trßn. Qua A kÎ mét c¸t tuyÕn d c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm B vµ C (B n»m gi÷a A vµ C). TiÕp tuyÕn AM, AN tiÕp xóc víi ®- êng trßn t¹i M vµ M, gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. a) Chøng minh : AM2 = AB. AC b) Chøng minh c¸c tø gi¸c OMAN vµ IMAN néi tiÕp ®îc. c) §êng th¼ng qua B song song víi AM c¾t MN t¹i E. Chøng minh IE // MC d) Khi d quay quanh A th× träng t©m G cña tam gi¸c MBC ch¹y trªn ®êng nµo ? Bµi 6 : Tõ ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn (O ; R) kÎ hai tiÕp tuyÕn MB, MC víi ®êng trßn, gäi I lµ trung ®iÓm cña MC tai BI c¾t ®ên trßn t¹i A, tia MA c¾t ®êng trßn t¹i D. a) So s¸nh tam gi¸c AIC vµ tam gi¸c IBC b) Chøng minh : IM2 = IA. IB c) Chøng minh BD // MC d) Chøng minh IM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MAB. e) ﾷ Khi BMC = 60o th× tø gi¸c IBDC lµ h×nh g× ? TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c ®ã theo R. Bµi 7 : Cho ®êng trßn (O;R), ®êng kÝnh AB. Gäi C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB, M lµ mét ®iÓm trªn cung CB, kÎ ®êng cao CH cña tam gi¸c ACM. a) ﾷ Chøng minh r»ng tam gi¸c HCM vu«ng c©n vµ OH lµ ph©n gi¸c cña COM b) Gäi giao ®iÓm cña tia OH víi Cb lµ I vµ giao ®iÓm thø hai cña ®êng th¼ng MI víi nöa ®êng trßn (O) lµ D. Chøng minh MC // BD. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M sao cho D, B, H th¼ng hµng. d) Gäi giao ®iÓm cña OH vµ BM lµ N. T×m tËp hîp ®iÓm N. Bµi 8 : Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh BC, A lµ mét ®iÓm thuéc cung BC sao cho ﾷAB < ﾷAC . Tia ph©n gi¸c cña BAC ﾷ c¾t (O) t¹i M, c¾t BC t¹i I. a) Chøng minh AB. IC = AI. MB b) Trªn tia AB lÊy ®iÓm D sao cho AD = AC. KÎ Dx vu«ng gãc víi DA c¾t tia AM t¹i E. Tø gi¸c ADEC lµ h×nh g× ? Chøng minh. c) TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C c¾t tia DE t¹i G. Chøng minh r»ng tø gi¸c BDGC néi tiÕp. d) Chøng minh r»ng B; M; G th¼ng hµng. Bµi 9 : Tõ mét ®iÓm S ë ngoµi ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R, kÎ tiÕp tuyÕn SA vµ c¸t ﾷ tuyÕn SBC tíi ®êng trßn sao cho BAC o ﾷ < 90 . Tia ph©n gi¸c cña BAC c¾t d©y BC t¹i D vµ c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm thø hai E. C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C vµ E c¾t nhau t¹i N. Gäi P vµ Q theo thø tù lµ giao ®iÓm cña c¸c cÆp ®êng th¼ng AB vµ CE; AE vµ CN. a) Chøng minh SA = SD b) Chøng minhEN // SD c) So s¸nh tam gi¸c QCB vµ tam gi¸c PCE
1 1 1 d) Chøng minh : = + CN CD CP Bµi 10 : Cho tam gi¸c ADC ( ﾷA = 90o ). §iÓm B n»m gi÷a A vµ C (B ≠ A, B ≠ C). §êng trßn (O) ®êng kÝnh BC giao CD t¹i M. Tia MA giao víi (O) t¹i N. kÎ NP vu«ng gãc víi AC (P (O)). a) Chøng minh CM. CD = CB. CA b) Chøng minh D, B, P th¼ng hµng c) Chøng minh tø gi¸c ADCP néi tiÕp . d) Khi B di ®éng trªn do¹n AC vµ tia MA giao ®êng trßn ®êng kÝnh BC t¹i N. Chøng minh r»ng trùc t©m cña tam gi¸c BCD lu«n n»m trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh. Bµi 11 : Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) sao cho AB < AC. TiÕp tuyÕn cña ®- êng trßn t¹i A c¾t ®êng th¼ng BC t¹i S. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC vµ I lµ giao ®iÓm cña OM víi ®êng trßn ( I thuéc cung BC). a) Chøng minh SA2 = SB. SC. ﾷ b) Chøng minh BIC = ﾷABC + ﾷACB c) H¹ IN vu«ng gãc víi AC. Chøng minh: Tø gi¸c MNCI néi tiÕp . d) H¹ IP vu«ng gãc víi AB. Chøng minh ba ®iÓm M, N, P th¼ng hµng. Bµi 12: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A( AB > AC) ; ®êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa A vÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E; nöa ®êng trßn ®êng kÝnh CH c¾t AC t¹i F. a) Chøng minh tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt. b) Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp ®- îc. c) Chøng minh AE.AB = AF.AC d*) Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn. Bµi 13 :Cho ®êng trßn (O) , AB lµ d©y cung cña (O) ; ®êng kÝnh PQ cña ®êng trßn vu«ng gãc víi AB t¹i I ( P thuéc cung nhá AB) .Trªn tia ®èi cña tia BA lÊy ®iÓm M (gãc AQM ≠ 90o), MQ c¾t (O) t¹i E, PE c¾t AB t¹i D a) Chøng minh tø gi¸c DIQE néi tiÕp ®îc ®êng trßn b) Chøng minh PE. PD = PI. PQ c) Qua A kÎ ®êng th¼ng song song víi PE c¾t (O) t¹i F. Chøng minh BE vu«ng gãc víi QF d) Tõ D kÎ DH vu«ng gãc víi PM. Chøng minh: IP, ME, DH ®ång qui. e*) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó D lµ trung ®iÓm cña BI Bµi 14: Cho tam gi¸c ABC ( gãc A nhän) néi tiÕp ®êng trßn (O). Hai ®êng cao BE, CF thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i E’ vµ F’ ; BE c¾t CF t¹i H . a) Chøng minh : Tø gi¸c AEHF ; tø gi¸c BCEF néi tiÕp ®îc trong ®êng trßn. b) Chøng minh : EF // E’F’ c) Chøng minh : OA E’F’ d) Tia AO c¾t ®êng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai D.Chøng minh tø gi¸c BHCD lµ h×nh b×nh hµnh. e) Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BC. Chøng minhr»ng : H, I, D th¼ng hµng vµ AH = 2. IO Bµi 15: Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän. Giao ®iÓm cña ba ®êng cao AH, BK, CI lµ S. a) Chøng minh:Tø gi¸c CKSH, tø gi¸c AKHB néi tiÕp ®îc trong ®êng trßn. b) Chøng minh: CK. CA = CH. CB c) Chøng minh: S lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c HIK. d) BiÕt gãc ACB = 60o . So s¸nh ®é dµi ®o¹n KH vµ ®o¹n AB
Bµi 16: Cho ®êng trßn (O), tõ ®iÓm A n»m ngoµi ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®- êng trßn ( B vµ C lµ tiÕp ®iÓm). M thuéc cung BC ( phÇn trong tam gi¸c) , tõ M kÎ MI, MK, MH thø tù vu«ng gãc víi BC, AB, AC. MB c¾t IK t¹i E , MC c¾t HI t¹i F. a) Chøng minh: Tø gi¸c BIMK , CIMH néi tiÕp ®îc trong ®êng trßn. b) Chøng minh MI2 = MH. MK c) Chøng minh : EF vu«ng gãc víi MI d) Gäi giao thø hai cña ®êng trßn (MEK) vµ (MFH) lµ N. Chøng minh : MN lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 17:Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB , M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn cung AB ( M kh¸c A vµ B).Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax. Tia BM c¾t tia Ax t¹i I. Tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E, c¾t tia BM t¹i F. Tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K. a) Chøng minh : IA2 = IM. IB b) Chøng minh : FK // AI c) Chøng minh : gãc HAF = gãc EBA.Tam gi¸c BAF lµ tam gi¸c g× ?V× sao? d) Chøng minh : Tø gi¸c AHFK lµ h×nh thoi. e)Chøng minhBK.BE + AK.AM kh«ng ®æi khi M ch¹y trªn nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Bµi 18: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). D vµ E theo thø tù lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña c¸c cung AB, AC. Gäi giao ®iÓm cña DE víi AB, AC theo thø tù lµ H vµ K. a) Chøng minh : Tam gi¸c AHK c©n b) BE c¾t CD t¹i I. Chøng minh AI vu«ng gãc víi DE. c) Chøng minh tø gi¸c CEKI néi tiÕp d) Tam gi¸c ABC cÇn ®iÒu kiÖn g× th× AI // EC. Bµi 19 :Cho ®êng trßn (O ; R) vµ mét ®iÓm P n»m ngoµi ®êng trßn. Tõ P kÎ hai tiÕp tuyÕn PA vµ PM víi ®êng trßn(A, M lµ hai tiÕp ®iÓm). Nèi OA kÐo dµi c¾t ®êng trßn t¹i B. a) Chøng minh : BM // OP b) §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i O c¾t BM t¹i N. Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh. c) §êng th¼ng AN c¾t PO t¹i K, PM c¾t ON t¹i I, PN c¾t OM t¹i J. Chøng minh I, J, K th¼ng hµng. d) H·y tÝnh diÖn tam gi¸c PJO, biÕt r»ng tam gi¸c nµy ®Òu. Bµi 20: Cho tam gi¸c ABC (AC > AB, gãc BAC tï). Gäi I vµ K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB, AC. C¸c ®êng trßn ®êng kÝnh AB, AC c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai D; tia BA c¾t ®êng trßn (K) t¹i ®iÓm thø hai E ; tia CA c¾t ®êng trßn (I) t¹i ®iÓm thø hai F. a) Chøng minh ba ®iÓm B, C, D th¼ng hµng. b) Chøng minh tø gi¸c BFEC néi tiÕp. c) Chøng minh AD, BF, CE ®ång quy d) Gäi H lµ giao ®iÓm thø hai víi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AEF. H·y so s¸nh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng DH, DE.