1
BðT và cc tr thưng gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ðH – Cð . Trong bài
vit này tôi xin gii thiu vi các bn mt kĩ thut quen thuc mà chúng ta thưng gp trong chng
minh BDT ñó là kĩ thut “ðưa v mt bin”
Ví d 1. Cho

> > + = . Chng minh :
+ ≥ (1)
Li gii: Ta có
+ = ⇒= −
⇒⇔ + ≥
−.
Xét
( )
= + ∈
−
( ) ( ) ( )
⇒= − + = ⇔ =
−
T bng bin thiên ta ñưc:
( ) ( )

= = , t ñó suy ra
+ ≥ .
ðng thc xy ra khi
= = .
Ví d 2. Cho
∈ −
tha
+ = . Tìm GTLN, GTNN ca biu thc
= + .
Li gii.
T gi thit ta suy ra ñưc
= − thay vào P ta ñưc
()
= − + = − + =
Trong ñó ta ñã ñt
=. Vì
  
∈ − ⇒∈ − ⇒
− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤
,
do 
∈ − ⇒∈ −
.
Xét hàm s trên
= −
, ta có:


= − −
 ⇒
= ⇔ − = ⇔ =
.
Da vào bng bin thiên ta có ñưc
  
= = = =
ðt ñưc khi
{
}
∈.
   
= = − = + . ðt ñưc khi
{
}
 ∈ − .
Nhn xét:
* Cách gii trên ch ñòi hi chúng ta kĩ thut kho sát hàm s. Cái khó ca bài toán trên là ñiu kin
hn ch ca
∈ −
! Nu không b ràng buc bi ñiu kin này thì bài toán tr nên ñơn
gin và ta có th gii bài toán trên theo cách chuyn qua tng và tích ca .
−
−
|| + 0
|| +
Nguyn Tt Thu
2
ðt


−
=
− = −
= + = ⇒⇔⇒≤ ⇔ < ≤
≥ −
≥
Khi ñó:
−
= − = − = + = .
Xét hàm s vi  ∈ = có:

−
= − =
 ⇒= ⇔ = . Lp b ng bin thiên ta có ngay
 = =
ðt ñưc khi
{
}
∈.

+
→= +∞ ⇒ không có GTLN.
* Khi gp bài toán mà các biu thc có trong bài toán là các biu thc ñi xng hai bin thì ta có th
chuyn v bài toán ca tng và tích hai bin ñó vi lưu ý ≥.
Ví d 3. Cho là các s thc dương tha mãn:  + + = . Chng minh:

+ + ≤ + +
+ + + (1).
Li gii.
Nhn thy các biu thc có trong bài toán là các biu thc ñi xng hai bin nên ta ñt
 = + ⇒= − và
 + = − − = + −
Vì
   + ≥ ⇒
≥ − ⇔ + − ≥ ⇔ ≥
(do >)
Khi ñó :


+ + +
⇔ + − + ≤
+ + +

+ − + −
⇔ + − − + ≤ 
⇔ − + + ≤ (1.1)
Xét hàm s : 
= − + + vi ≥. Ta có :

 
= − + − < ∀ ≥
   ⇒≥ = ∀ ≥ ⇒ ñúng⇒ñpcm. ðng thc xy ra ⇔ = = .
Ví d 4. Cho các s thc x, y thay ñi và tho mãn + + ≥
 . Tìm giá tr nh nht ca
biu thc : = + + − + +
.
Li gii.
Ta có:


+ + ≥
⇒+ + + − ≥
+ − ≥
⇒+ ≥ .
(
)
= + + − + +
= + − − + +
+
≥ + − − + +
= + − + +
Nguyn Tt Thu
3
ðt
+
= + ≥ ≥
⇒≥ và
≥ − + .
Xét hàm s:
= − + ≥ có


= − > ∀ ≥ ⇒≥ =

⇒≥. ðng th c xy ra
⇔ = = . Vy giá tr nh nht ca b ng
 .
Ví d 5. Cho hai s thc ≥. Chng minh :
+ ≥ + (1).
Li gii :
* Nu mt trong hai s b ng 0 thì (1) luôn ñúng.
* Vi ≠, ñt =. Khi ñó (1) tr thành
+ ≥ + ⇔ − − + ≥ .
Xét hàm s
= − − + , có :
  = − − = − + + ⇒= ⇔ = .
Lp bng bin thiên, t ñó suy ra  ≥ = ñpcm.
Nhn xét : * Bài toán trên ta ch c!n bin ñi trc tip là có ñưc kt qu
* Cách gii trên ñưc trình bày ñ lưu ý vi chung ta v mt tính cht ñó là tính cht ca biu thc
ñng cp hai bin.
C" th :Biu thc ñưc g#i là biu thc ñng cp bc nu :
 =.
Khi gp bài toán chng minh BðT hai bin có dng :
≥, trong ñó và là
nh$ng biu thc ñng cp bc hai bin, ta có th ñt   = ≠ . Khi ñó BðT c!n chng
minh tr thành :
≥ ñây là BðT mt bin. ð chng minh BðT này ta có th s% d"ng
phương pháp kho sát hàm s.
* Khi gp biu thc ñng cp ba bin ta có th ñt = = và chuyn v bài toán hai
bin.
Ví d 6. Cho hai s thc thay ñi và tha mãn h thc + = . Tìm GTLN, GTNN ca
biu thc


+
=+ + ( B – 2008 ).
Li gii:
Ta có:
 
 
+ +
= =
+ + + +
* Nu =⇒=.
* Nu ≠thì ñt :
( )


+ +
=⇒= = =
+ + + +
Ta có :
( )
()
( )

− + +
=
= ⇔ = = −
+ +
,
( )
lim 1
→±∞ =
tf t
Nguyn Tt Thu
4
Lp bng bin thiên ta ñưc:
( ) ( ) ( )
− ≤ ≤ ∀ ⇒− ≤ ≤
.
Vy  = − ñt ñưc khi


= ±
+ =
⇔
= −
=
∓
.

= ñt ñưc khi


= ±
+ =
⇔
=
= ±
.
Ví d 7. Cho các s thc tha + + ≤ . Tìm GTLN, GTNN ca biu thc
 = − + .
Li gii.
ðt
 = + + ⇒≤ ≤
* Nu = ⇔ = = ⇒= (1)
* Nu ≠, ta gi s% ≠. ðt =

− + − +
⇒= = =
+ + + +
Kho sát hàm s ta có:
 
− − ±
= = ⇔ =
+ +
T ñó ta có ñưc

+ −
= = ;

− +
= =
− + − +
⇒≤ ≤ ⇒≤ ≤ ≤ + .
Vy  =;  = + .
Ví d 8. Chng minh r ng vi m#i s thc dương tho + + = (*), ta luôn có:
  + + + + + + + ≤ + (1).
Li gii.
Vì gi thit và BðT (1) là nh$ng biu thc ñng cp ñ&ng thi gi thit và BðT c!n chng minh
ñi xng ñi vi y và z nên ta nghĩ ti cách ñt  = = .
Khi ñó (*) tr thành:
 + + = ⇔ + + = (**) và (1) tr thành:
       + + + + + + + ≤ +
  ⇔ + + + + + + + ≤ + (2).
Vì (**) và (2) là nh$ng biu thc ñi xng ñi vi nên ta nghĩ ti cách ñt = + =
M'i quan h gi$a và là
+
=
≥
⇔
+ =
− − ≥
+
=
⇔
≥
.
Khi ñó :

 + +
+ + = + + + = + + =
Nguyn Tt Thu
5
(
)
 
 
+ + + = + + − + + + +
= + − + +
Nên
  ⇔ + − + + + + ≤
  ⇔ − − ≥ ⇔ + − ≥ luôn ñúng do ≥.
Vy bài toán ñã ñưc chng minh.
Ví d 9. Cho là s thc tha mãn + + = . Tìm giá tr ln nht, nh nht ca biu
thc:
= + + − .
Li gii:
T các ñng thc :
   + + + + + = + +
  + + − = + + + + − − −
và ñiu kin ta có:
   = + + + + − − −
+ + −
= + + −
ðt = + + ⇒− ≤ ≤ . Ta có:
−
= − = − + =
Xét hàm s vi − ≤ ≤ .
Ta có:
 
= − + ⇒= ⇔ = ±
  
− −
⇒= = = − = −
Vy  = ñ t ñưc khi  = = =
 = − ñt ñưc khi  = − = = .
Ví d 10. Cho < < < . Chng minh r ng:
   − > − .
Li gii.
Bt ñng thc c!n chng minh
 
⇔ >
+ +
Xét hàm s

= < <
+ . Ta có:
 

+ − + −
= =
+ +
Do
( )
  < < ⇒<⇒> ∀ ∈
⇒ là hàm ñ&ng bin trên nên vi > > > thì ta có
 
> ⇔ >
+ +
(ñpcm).
Lưu ý: Khi gp BðT có dng  ≥ ≥ ( ≤) ta liên tưng ti tính ñơn ñiu ca hàm
s. Khi ñó ta ñi chng minh hàm là hàm ñ&ng bin (nghch bin).
Ví d 11. Cho là các s thc thay ñi. Tìm giá tr nh nht ca biu thc:
(
)
(
)
= − + + + + + − .
Li gii. Trong h t#a ñ Oxy, xét
(
)
(
)
− +
.