intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu tham khảo môn Toán: Bất đẳng thức

Chia sẻ: Paradise9 Paradise9 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
80
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu giảng dạy về toán đã được giảng dạy với mục đích cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất, có tính hệ thống liên quan tới toán học. Thông qua tài liệu này giúp các bạn hệ thống lại kiến thức. Chúc các bạn thành công

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tham khảo môn Toán: Bất đẳng thức

  1. BðT và c c tr thư ng gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ðH – Cð . Trong bài vi t này tôi xin gi i thi u v i các b n m t kĩ thu t quen thu c mà chúng ta thư ng g p trong ch ng minh BDT ñó là kĩ thu t “ðưa v m t bi n” 5 4 1 Ví d 1. Cho x > 0, y > 0 và x + y = . Ch ng minh : + ≥ 5 (1) 4 x 4y 5 4 1 L i gi i: Ta có x + y = ⇒ 4y = 5 − 4x ⇒ (1) ⇔ + ≥ 5. x 5 − 4x 4  5 () () () 4 1 4 4 Xét f x = + , x ∈  0;  ⇒ f ' x = − + ,f ' x = 0 ⇔ x =1 x 5 − 4x ( ) x2 2  4 5 − 4x () () 4 1 T b ng bi n thiên ta ñư c: min f x = f 1 = 5 , t ñó suy ra ≥ 5. + x 4y  5  0;   4 1 ð ng th c x y ra khi x = 1, y = . 4 Ví d 2. Cho x , y ∈  −3;2  th a x 3 + y 3 = 2 . Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c   P = x 2 + y2 . L i gi i. T gi thi t ta suy ra ñư c x = 3 2 − y 3 thay vào P ta ñư c () 2 3 P = 3 (2 − y 3 )2 + y3 = 3 (2 − t )2 + t 2 = f (t ) 3 Trong ñó ta ñã ñ t t = y 3 . Vì x ∈  −3;2  ⇒ x 3 ∈  −27; 8  ⇒ −27 ≤ 2 − y 3 ≤ 8 ⇔ −6 ≤ y 3 ≤ 29 ,     do y 3 ∈  −27; 8  ⇒ t ∈  −6; 8  .     2 2 Xét hàm s f (t ) trên D =  −6; 8  , ta có: f '(t ) = −   33 t 3.3 2 − t −6 ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ 3 2 − t = 3 t ⇔ t = 1 . 0 1 2 8 t − − || +0 || + f' D a vào b ng bi n thiên ta có ñư c min P = min f (t ) = f (0) = f (2) = 3 4 f D {} ð t ñư c khi x , y ∈ 0, 3 2 . { } max P = max f (t ) = f (−6) = 4 + 3 36 . ð t ñư c khi x , y ∈ − 3 3;2 . D Nh n xét: * Cách gi i trên ch ñòi h i chúng ta kĩ thu t kh o sát hàm s . Cái khó c a bài toán trên là ñi u ki n h n ch c a x , y ∈  −3;2  ! N u x , y không b ràng bu c b i ñi u ki n này thì bài toán tr nên ñơn   gi n và ta có th gi i bài toán trên theo cách chuy n qua t ng và tích c a x , y . 1
  2. Nguy n T t Thu  a3 − 2 b = a 3 − 3ab = 2 a3 − 8   3a ð t a = x + y, b = xy ⇒  2 ⇔ ≤ 0 ⇔ 0 0 ) 3(a 2 + b2 ) + 3(a + b) 3 ab − (a 2 + b2 ) ≤ Khi ñó : (1) ⇔ + (a + 1)(b + 1) a +b 2 3t 2 + 6t − 18 + 3t 3 − t 12 3 − t 2 − 2t + 6 ≤ ⇔ −t 2 + t + ≤ 4 (1.1) ⇔ + 4 2 t t 12 12 Xét hàm s : f (t ) = −t 2 + t + v i t ≥ 2 . Ta có : f '(t ) = −2t + 1 − < 0 ∀t ≥ 2 2 t t ⇒ f (t ) ≥ f (2) = 4 ∀t ≥ 2 ⇒ (1.1) ñúng ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = 1 . Ví d 4. Cho các s th c x, y thay ñ i và tho mãn (x + y )2 + 4xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : A = 3(x 4 + y 4 + x 2y 2 ) − 2(x 2 + y 2 ) + 1 . L i gi i.  (x + y ) + 4xy ≥ 2 3 ⇒ (x + y )3 + (x + y )2 − 2 ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 1 . Ta có:  (x + y ) − 4xy ≥ 0 2  ) ( A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2(x 2 + y 2 ) + 1 = 3 (x 2 + y 2 )2 − x 2y 2  − 2(x 2 + y 2 ) + 1      (x 2 + y 2 )2  9 ≥ 3 (x 2 + y 2 )2 −  − 2(x 2 + y 2 ) + 1 = (x 2 + y 2 )2 − 2(x 2 + y 2 ) + 1 4 4     2
  3. Nguy n T t Thu (x + y )2 1 1 9 ð t t = x 2 + y2 ≥ ≥ ⇒ t ≥ và A ≥ t 2 − 2t + 1 . 2 2 2 4 9 1 9 1 1 9 Xét hàm s : f (t ) = t 2 − 2t + 1, t ≥ có f '(t ) = t − 2 > 0 ∀ t ≥ ⇒ f (t ) ≥ f ( ) = 4 2 2 2 2 16 9 1 9 .ð n g th c x y ra ⇔ x = y = . V y giá tr nh nh t c a A b ng . ⇒A≥ 16 2 16 Ví d 5. Cho hai s th c a, b ≥ 0 . Ch ng minh : a 4 + b 4 ≥ a 3b + b 3a (1). L i gi i : * N u m t trong hai s a, b b ng 0 thì (1) luôn ñúng. * V i a ≠ 0 , ñ t b = ta . Khi ñó (1) tr thành a 4 (1 + t 4 ) ≥ a 4 (t + t 3 ) ⇔ t 4 − t 3 − t + 1 ≥ 0 . Xét hàm s f (t ) = t 4 − t 3 − t + 1 , có : f '(t ) = 4t 3 − 3t 2 − 1 = (t − 1)(4t 2 + t + 1) ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 . L p b ng bi n thiên, t ñó suy ra f (t ) ≥ f (0) = 0 ñpcm. Nh n xét : * Bài toán trên ta ch c n bi n ñ i tr c ti p là có ñư c k t qu * Cách gi i trên ñư c trình bày ñ lưu ý v i chung ta v m t tính ch t ñó là tính ch t c a bi u th c ñ ng c p hai bi n. C th :Bi u th c f (x, y ) ñư c g i là bi u th c ñ ng c p b c k n u : f (mx , my ) = m k f (x , y ) . f (x , y ) Khi g p bài toán ch ng minh BðT hai bi n có d ng : ≥ p , trong ñó f (x , y ) và g(x , y ) là g(x , y ) nh ng bi u th c ñ ng c p b c k hai bi n, ta có th ñ t x = ty (y ≠ 0) . Khi ñó BðT c n ch ng f (t,1) ≥ p ñây là BðT m t bi n. ð ch ng minh BðT này ta có th s d ng minh tr thành : g(t,1) phương pháp kh o sát hàm s . * Khi g p bi u th c ñ ng c p ba bi n a, b, c ta có th ñ t b = xa, c = ya và chuy n v bài toán hai bi n. Ví d 6. Cho hai s th c x , y thay ñ i và th a mãn h th c x 2 + y 2 = 1 . Tìm GTLN, GTNN c a x 2 + 6xy bi u th c P = ( ). B – 2008 2 1 + 2xy + 2y L i gi i: x 2 + 6xy x 2 + 6xy Ta có: P = = 1 + 2xy + 2y 2 x 2 + 2xy + 3y 2 * N u y = 0 ⇒ P = 1. t 2y 2 + 6ty 2 t 2 + 6t () * N u y ≠ 0 thì ñ t : x = ty ⇒ P = = =f t t 2y 2 + 2ty 2 + 3y 2 t 2 + 2t + 3 −4t 2 + 6t + 18 () () , f ' t = 0 ⇔ t1 = 3, t2 = − , lim f ( t ) = 1 3 Ta có : f ' t = ) (t 2 t →±∞ 2 2 + 2t + 3 3
  4. Nguy n T t Thu  3 () () () 3 L p b ng bi n thiên ta ñư c: f  −  ≤ f t ≤ f 3 , ∀t ⇒ −3 ≤ f t ≤ .  2 2  2 y = ± x 2 + y 2 = 1   13 . V y min P = −3 ñ t ñư c khi  ⇔ 3 x = ∓ 3 x = − y  2   13  1 y = ± x 2 + y 2 = 1   3 10 . max P = ñ t ñư c khi  ⇔ x = 3y x = ± 3 2     10 Ví d 7. Cho các s th c x , y th a x 2 + xy + y 2 ≤ 3 . Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c P = x 2 − xy + 2y 2 . L i gi i. ð t a = x 2 + xy + y 2 ⇒ 0 ≤ a ≤ 2 * N u a = 0 ⇔ x = y = 0 ⇒ P = 0 (1) * N u a ≠ 0 , ta gi s y ≠ 0 . ð t x = ty P x 2 − xy + 2y 2 t 2 − t + 2 = = = f (t ) ⇒ x 2 + xy + y 2 t2 + t + 1 a 2t 2 − 2t − 3 1± 7 Kh o sát hàm s f (t ) ta có: f '(t ) = , f '(t ) = 0 ⇔ t = (t 2 + t + 1)2 2 1+ 7 7 −2 7 1− 7 7+2 7 T ñó ta có ñư c min f (t ) = f ( ; max f (t ) = f ( )= )= 2 3 2 3 7 −2 7 P 7 +2 7 7 −2 7 7+2 7 ≤ ≤ a ≤P ≤ a ≤7+2 7. ⇒ ⇒ 3 3 3 3 a max P = 7 + 2 7 . V y min P = 0 ; Ví d 8. Ch ng minh r ng v i m i s th c dương x , y, z tho x (x + y + z ) = 3yz (*), ta luôn có: (x + y )3 + (x + z )3 + 3(x + y )(y + z )(z + x ) ≤ 5(y + z )3 (1). L i gi i. Vì gi thi t và BðT (1) là nh ng bi u th c ñ ng c p ñ ng th i gi thi t và BðT c n ch ng minh ñ i x ng ñ i v i y và z nên ta nghĩ t i cách ñ t y = ax ; z = bx . Khi ñó (*) tr thành: x (x + ax + bx ) = 3abx 2 ⇔ 1 + a + b = 3ab (**) và (1) tr thành: (x + ax )3 + (x + bx )3 + 3(x + ax )(ax + bx )(bx + x ) ≤ 5(ax + bx )3 ⇔ (1 + a )3 + (1 + b )3 + 3(1 + a )(1 + b)(a + b) ≤ (a + b )3 (2). Vì (**) và (2) là nh ng bi u th c ñ i x ng ñ i v i a, b nên ta nghĩ t i cách ñ t S = a + b; P = ab    P = 1 + S  P = 1 + S S 2 ≥ 4P    ⇔  M i quan h gi a S và P là  . ⇔ 3  S ≥ 2 3 1 + S = 3P 2  3S − 4S − 4 ≥ 0          1+S 4(1 + S ) Khi ñó : (1 + a )(1 + b) = 1 + a + b + ab = 1 + S + = 3 3 4
  5. Nguy n T t Thu 3 (1 + a )3 + (1 + b)3 = (2 + a + b ) − 3(1 + a )(1 + b)(2 + a + b) = (2 + S )3 − 4(1 + S )(2 + S ) Nên (2) ⇔ (2 + S )3 − 4(S 2 + 3S + 2) + 4S (1 + S ) ≤ 5S 3 ⇔ 2S 2 − 3S − 2 ≥ 0 ⇔ (2S + 1)(S − 2) ≥ 0 luôn ñúng do S ≥ 2 . V y bài toán ñã ñư c ch ng minh. Ví d 9. Cho x , y, z là s th c th a mãn x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c: P = x + y + z − 3xyz . 3 3 3 L i gi i: T các ñ ng th c : x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx ) = (x + y + z )2 x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = (x + y + z )(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) và ñi u ki n ta có:  (x + y + z )2 − 2  P = (x + y + z )(x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = (x + y + z ) 2 −    2   t2 − 2 t3 ð t t = x + y + z ⇒ − 6 ≤ t ≤ 6 . Ta có: P = t(2 − ) = − + 3t = f (t ) 2 2 Xét hàm s f (t ) v i − 6 ≤ t ≤ 6 . 32 Ta có: f '(t ) = (−t + 2) ⇒ f '(t ) = 0 ⇔ t = ± 2 2 ⇒ max f (t ) = f ( 2) = 2 2; min f (t ) = f (− 2) = −2 2  − 6; 6   − 6; 6          V y max P = 2 2 ñ t ñư c khi x = 2; y = z = 0 min P = −2 2 ñ t ñư c khi x = − 2; y = z = 0 . Ví d 10. Cho 0 < a < b < 1 . Ch ng minh r ng: a 2 ln b − b 2 ln a > ln a − ln b . L i gi i. ln b ln a B t ñ ng th c c n ch ng minh ⇔ > 2 1 + a2 1 +b 1 (1 + t 2 ) − 2t ln t 1 + t 2 − 2t 2 ln t ln t , 0 < t < 1 . Ta có: f '(t ) = t Xét hàm s f (t ) = = 1 + t2 (1 + t 2 )2 t(1 + t 2 )2 () Do 0 < t < 1 ⇒ ln t < 0 ⇒ f '(t ) > 0 ∀t ∈ 0;1 ln b ln a ⇒ f (t ) là hàm ñ ng bi n trên (0;1) nên v i 1 > b > a > 0 thì ta có f (b) > f (a ) ⇔ > 2 1 + a2 1+b (ñpcm). Lưu ý: Khi g p BðT có d ng f (a ) ≥ f (b), a ≥ b ( a ≤ b ) ta liên tư ng t i tính ñơn ñi u c a hàm s . Khi ñó ta ñi ch ng minh hàm f (t ) là hàm ñ ng bi n (ngh ch bi n). Ví d 11. Cho x , y là các s th c thay ñ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2 2 (x − 1) + y 2 + (x + 1) + y 2 + y − 2 . P= L i gi i. Trong h t a ñ Oxy, xét u (x − 1; y ), v (x + 1; y ) . 5
  6. Nguy n T t Thu Do u + v ≥ u + v nên ta có: 2 2 + y 2 ≥ 4 + 4y 2 = 2 1 + y 2 . + y2 + (x − 1) (x + 1) Do ñó A ≥ 2 1 + y 2 + y − 2 = f (y ) * V i y ≤ 2 ⇒ f (y ) = 2 1 + y 2 + 2 − y . 1 L p b ng bi n thiên suy ra ngay f (y ) ≥ f ( )=2+ 3. 3 * V i y > 2 ⇒ f (y ) = 2 1 + y 2 + y − 2 > 2 1 + y 2 > 2 5 > 2 + 3 V y giá tr nh nh t c a P b ng 2 + 3 . Lưu ý: Khi g p bi u th c trong căn có d ng t ng hai bình phương ta liên tư ng ñ n phương pháp hình h c v i ñánh giá quen thu c sau: k k ∑ ui ≥ ∑ ui . Cho k véc tơ u1, u2,..., uk , khi ñó ta có: i =1 i =1 4 Ví d 12. Cho a, b, c là các s th c dương tho ab + bc + ca ≥ . Ch ng minh r ng 3 1 1 1 181 a2 + + b2 + + c2 + ≥ (1) (b + 1) 2 (c + 1) 2 (a + 1) 2 5 L i gi i. G i P là bi u th c v trái c a (1)  1  1 1     Xét ba véc tơ sau: u = (a; , m = c; a + 1 .   ), v = b;  c + 1    b +1    Áp d ng BðT u + v + m ≥ u + v + m ta có: 2 1 1 1 81  ≥ (a + b + c)2 + 2  P ≥ (a + b + c) +  + +   b + 1 c + 1 a + 1 (a + b + c + 3)2  ð t t = a + b + c ⇒ t ≥ 3(ab + bc + ca ) = 2 81 162 2[g(t ) + 169] Xét hàm s f (t ) = t 2 + , t ≥ 2 . Ta có: f '(t ) = 2t − = 2 3 (t + 3)3 (t + 3) (t + 3) Trong ñó: g(t ) = (t − 2)(t 3 + 11t 2 + 49t + 125) + 169 181 181 . ∀t ≥ 2 ⇒ P ≥ ⇒ g(t ) ≥ 0 ∀t ≥ 2 ⇒ f '(t ) ≥ 0 ∀t ≥ 2 ⇒ f (t ) ≥ f (2) = 5 25 4 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 9 ( ) 3 Ví d 13. Cho các s th c dương a, b, c th a mãn a + b + c = 32abc 383 − 165 5 a 4 + b 4 + c 4 9 Ch ng minh r ng : (1). ≤ ≤ ( ) 4 2 128 a +b +c 6
  7. Nguy n T t Thu L i gi i : Không m t tính t ng quát, ta gi s : a + b + c = 4 ⇒ abc = 2 ) ( 383 − 165 5 1 9 a 4 + b4 + c4 ≤ Khi ñó (1) ⇔ ≤ 2 256 128 ð t t = ab + bc + ca . Ta có : ) − 2 (a b ) ( 2 P = a 2 + b2 + c2 22 + b2c 2 + c2a 2 2     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 =  a + b + c − 2 ab + bc + ca  − 2  ab + bc + ca − 2abc a + b + c      ) − 2 (t )( ) ( 2 = 42 − 2t 2 − 16 = 2 t 2 − 32t + 144 . ( ) ( ) 2 2 = −a 2 + 4a + t = ab + bc + ca = a b + c + bc = a 4 − a + a a ) )( ( ) ( ) ( 8 2 2 ⇔ a − 2 a 2 − 6a + 4 ≥ 0 Mà b + c ≥ 4bc ⇔ 4 − a ≥ a ⇔ 3 − 5 ≤ a ≤ 2 (vì 0 < a < 4) 5 5 −1 2 Xét t = −a 2 + 4a + , a ∈ [3 − 5; 2] ⇒ 5 ≤ t ≤ 2 a ) ( 5 5 −1 () Xét f t = 2 t 2 − 32t + 144 , t ∈ [5; ] ⇒ ñi u c n ch ng minh. 2 Trong m t s bài toán ta ph i ñánh giá r i m i ñ t n ph ñư c. Ví d 14. Cho các s dương a, b, c v i a + b + c ≤ 1 .  1 1 1 ( ) Ch ng minh r ng : 3 a + b + c + 2  + +  ≥ 21 . a b c   1 1 1 1 ( ) 111 9 L i gi i: Ta có: a + b + c  + +  ≥ 3 3 abc  3 3  =9⇒ + + ≥ .  abc  a b c a +b +c a b c    1 1 1  6 ( ) ( ) () 18 Do ñó : 3 a + b + c + 2  + +  ≥ 3 a + b + c + = 3  t +  = 3f t a +b +c a b c  t  () 6 Trong ñó 0 < t = a + b + c ≤ 1 và f t = t + . t t2 − 6 () 6 Ta có : f ' t = 1 − = < 0, ∀t ∈ (0;1] , nên hàm s ngh ch bi n trên (0;1] t2 t2 () () ⇒ f t ≥ f 1 = 7, ∀t ∈ (0;1] . Ví d 15: Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng: ( ) 111 + + − a +b +c ≥ 2 3. abc ) ( L i gi i. ð t t = a + b + c ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 ⇒ 0 < t ≤ 3 . 111 9 Ta có: ++≥ a b c a +b +c 7
  8. Nguy n T t Thu ( ) ( ) () 111 9 9 − a +b +c = −t = f t . + + − a +b +c ≥ ⇒ a +b +c abc t () () 9 9 Xét: f t = − t, t ∈ (0; 3] ⇒ f ' t = − − 1 < 0 v y hàm s ngh ch bi n t2 t ( 3) = 2 () trên (0; 3] ⇒ f t ≥ f 3, ∀t ∈ (0; 3] . Ví d 16: Cho 4 s th c a,b,c,d tho mãn: a 2 + b 2 = 1; c − d = 3 . 9+6 2 Ch ng minh r ng: F = ac + bd − cd ≤ . 4 L i gi i: Ta có: F ≤ (a 2 + b2 )(c2 + d 2 ) − cd = 2d 2 + 6d + 9 − d 2 − 3d = f (d ) 3 9 1 − 2(d + )2 + 2 2. Ta có f '(d ) = (2d + 3) 2d 2 + 6d + 9 3 9 1 − 2(d + )2 + 2 < 0 nên f (d ) ≤ f (− 3 ) = 9 + 6 2 ta có ñpcm. 2 Vì 2 4 2d 2 + 6d + 9 Ví d 17. Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn a + b + c = 1 . ( )( )( ) 3 3 Ch ng minh r ng: − ≤ a −b b −c c −a ≤ 18 18 ( ) ( )( )( ) L i gi i: Kí hi u: F a; b; c = a − b b − c c − a Vì F (a; c; b ) = (a − c )(c − b )(b − a ) = −F (a; b; c ) suy ra mi n giá tr c a F là t p ñ i x ng vì v y ( ) 3 ta ch c n ch ng minh : F a; b; c ≤ . 18 ( ) 3 * N u trong ba s a, b, c có hai s b ng nhau thì F a; b; c = 0 < 18 { } * N u a, b, c ñôi m t khác nhau thì không m t tính t ng quát gi s a = max a; b; c nhi ñó k u ( ) 3 b > c thì F a; b; c < 0 < do v y ta ch c n xét a > c > b . ð t x = a + b ⇒ c = 1 − x . 18 Ta có: F (a;b;c ) = (a − b )(c − b )(a − c ) ≤ (a + b ) c (a + b − c ) = x (1 − x )( 2x − 1) = h ( x ) 3+ 3 () ( )(2x − 1) , () 1 < x ≤ 1 , h ' x = −6x 2 + 6x − 1 = 0 ⇔ x = Xét h x = x 1 − x . 2 6 3 + 3  () 3 1 L p b ng bi n thiên ta ñư c: h x ≤ h  = i x ∈ ( ;1] . mi v  6  18 2   3+ 3 3− 3 ð ng th c x y ra khi a = , b = 0, c = . 6 6 Ví d 18. Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn : 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 . 8
  9. Nguy n T t Thu 1 2 3 15 Ch ng minh r ng: . ++≥ 2 abc 1 2 3 L i gi i: ð t: x = , y = , z = ⇒ x , y, z > 0 . a b c 2 2 3 123 Khi ñó: 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 ⇔ + 4. + 7. ≤ 2. . . ⇔ 2x + 4y + 7z ≤ 2xyz a b c abc 15 Ta c n ch ng minh: x + y + z ≥ . 2 2x + 4y ( ) T : 2x + 4y + 7z ≤ 2xyz ⇒ z 2xy − 7 ≥ 2x + 4y ⇒ z ≥ 2xy − 7 ( ) 2 14 2x + 2xy − 7 + 2x + 4y 2xy − 7 7 x x x +y +z ≥ x +y + =x + + + 2xy − 7 2xy − 7 2x 2x ( ) 2 14 14 2x + 2xy − 7 + 2x + 2xy − 7 7 11 2xy − 7 x x =x + x =x + + + + + 2xy − 7 2xy − 7 2x 2x 2x 2x Áp d ng b t ñ ng th c AM-GM ta có: 14 14 2x + 2x + 2xy − 7 2xy − 7 x = 2 1+ 7 x ≥2 + . 2xy − 7 2xy − 7 x2 2x 2x () 11 7 Do ñó : x + y + z ≥ x + =f x . +2 1+ x2 2x () 11 14 Ta có: f ' x = 1 − − . 2 7 2x 3 x 1+ x2 () () () 15 Ta th y f ' x tăng khi x > 0 và f ' 3 = 0 . ⇒ x + y + z ≥ f 3 = . 2 x = 3  1 a =  x = 3 14  3 2x +    2xy − 7   5 4 x ⇔ y= ⇔ b= . ð ng th c x y ra khi:  =   2xy − 7 2x 2 5    z =2 2x + 4y c = 3    z=   2xy − 7 2   Bài t p. 1) Cho x + y = 2 . Ch ng minh r ng: x 2010 + y 2010 ≥ 2 . )≤ ( 2 y2 + − 2a xy bx 2 2 2 2 a 2 + b2 2) Cho x + y ≠ 0 . Ch ng minh: − a + b ≤ x 2 + y2 3) Cho các s th c x , y thay ñ i và th a mãn x 2 − xy + y 2 ≤ 3 . Ch ng minh r ng: −1 − 2 7 ≤ x 2 + xy − 2y 2 ≤ −1 + 2 7 . 9
  10. Nguy n T t Thu 4) Ch ng minh v i tam giác ABC nh n ta có: a) tan A + tan B + tan C + sin A + sin B + sin C > 2π ( ) ( ) 1 2 tan A + tan B + tan C + sin A + sin B + sin C > π b) 3 3 5) Ch ng minh m i tam giác ABC ta luôn có: A B C 1 + cos 1 + cos 1 + cos 2+ 2+ 2 >3 3 a) A B C 1 1 1 b) cot A + cot B + cot C + 3 3 ≤ 2  + +   sin A sin B sin C  1 13 c) cos A + cos B + cos C + ≤ cos A + cos B + cos C 6 1 65 A B C d) sin sin sin + ≥ 2 2 2 8 A B C sin sin sin 2 2 2 6) Cho tam giác ABC có 0 < A ≤ B ≤ C < 900 . Ch ng minh: 2 cos 3C − 4 cos 2C + 1 ≥ 2. cos C 7) Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1. th a: 3x + 2y + z ≤ 4 .Ch ng minh r ng : 16 3x 2 + 2y 2 + z 2 ≤ . 3 16 a 3 + b 3 + 16c 3 8) Ch ng minh: ≤ 16 v i a, b, c ≥ 0 và a + b + c > 0 . ≤ ( ) 3 81 a +b +c 9) Cho a, b, c là ba c nh c a m t tam giác có chu vi b ng 3. Ch ng minh : ) ( 3 a 2 + b 2 + c 2 + 4abc ≥ 13 10) Cho b n s nguyên a, b, c, d thay ñ i th a: 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 53 ac +≥ Ch ng minh: . b d 175 4xy 2 1 ≤ 11) Cho x , y > 0 . Ch ng minh r ng : . 3 8  2 2  x + x + 4y    12) Cho hai s th c a, b > 0 th a a + b = 1 và 1 ≤ k ≤ 2 . Ch ng minh r ng: ) ( ( ). 3 1− k a k bk a k + bk ≤ 2 ( ) 13) Cho hai s x , y ≠ 0 thay ñ i th a mãn x + y xy = x 2 + y 2 − xy . Ch ng minh: 1 1 + ≤ 16 . x3 y3  x 2 y2  x y x4 y4 + − +  + + ≥ −2 14) V i x,y khác không ch ng minh r ng: y 4 x 4  y2 x 2  y x   15) V i x,y,z là s dương và xyz ≥ 1 . Ch ng minh: 10
  11. Nguy n T t Thu 3 x y z . + + ≥ x + yz y + xz z + xy 2 9 x y z 16) Cho x , y, z ≥ 0 & x + y + z = 1 Cmr: + + ≤ . 1 + x2 1 + y2 1 + z2 10  x , y, z ≥ 0  1 17) Cho  Cmr : x (y − z )4 + y(z − x )4 + z (x − y )4 ≤ . x + y + z = 1 12  b a  1 b 1 18) Cho hai s th c a ≥ b > 0 . Ch ng minh r ng:  2a + (D-2007).  ≤ 2 + b  2a    2 19) Cho x , y, z > 0 th a x + y + z ≤ 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 x2 + + y2 + + z2 + ≥ 82 (A – 2003 ). 2 2 z2 x y )( ). (x 3 + y 3 − x 2 + y2 nh t c a bi u th c: P = 20) Cho x , y ∈ R và x , y > 1 . Tìm giá tr nh (x − 1)(y − 1) π π 21) Cho các s th c x , y tho mãn 0 ≤ x ≤ . Ch ng minh r ng: ,0 ≤ y ≤ 3 3 () cos x + cos y ≤ 1 + cos xy (D1-2008) 22) Cho các s th c không âm x, y thay ñ i và th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr )( ) ( nh nh t c a bi u th c: S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy .(D-2009). Chúc các em h c gi i Tác gi : Nguy n T t Thu – GV Trư ng THPT Lê H ng Phong Biên Hòa Tr n Văn Thương – GV Trư ng THPT Tr n Hưng ð o – Bà R a Vũng Tàu 11
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2