Thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo này trình bày một phương pháp để thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực cho các hệ tuyến tính dừng. Để dịch chuyển một hoặc một số điểm cực không mong muốn của hệ hở sang bên trái mặt phẳng phức trong khi các điểm cực còn lại không bị thay đổi, các ma trận trọng số của phiếm hàm tối ưu LQR được chọn dựa trên các vector riêng bên trái tương ứng với các giá trị riêng không mong muốn. Sau đó, chúng tôi chỉ ra miền xác định của các điểm cực mới. Một ví dụ minh họa được giới thiệu để minh chứng các kết quả lý thuyết đã đề xuất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR DỊCH CHUYỂN CÓ CHỌN LỌC CÁC ĐIỂM CỰC Nguyễn Đình Hòa Đại học Bách khoa Hà Nội TÓM TẮT: Bài báo này trình bày một phương pháp để thiết kế bộ điều khiển LQR dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực cho các hệ tuyến tính dừng. Để dịch chuyển một hoặc một số điểm cực không mong muốn của hệ hở sang bên trái mặt phẳng phức trong khi các điểm cực còn lại không bị thay đổi, các ma trận trọng số của phiếm hàm tối ưu LQR được chọn dựa trên các vector riêng bên trái tương ứng với các giá trị riêng không mong muốn. Sau đó, chúng tôi chỉ ra miền xác định của các điểm cực mới. Một ví dụ minh họa được giới thiệu để minh chứng các kết quả lý thuyết đã đề xuất. Từ khóa: Phương pháp gán điểm cực; Phương pháp LQR; Dịch chuyển điểm cực có chọn lọc; Hệ tuyến tính dừng. ĐẶT VẤN ĐỀ Xét một hệ tuyến tính dừng có mô hình trạng thái: xɺ = Ax + Bu, x ∈ ℝ n , u ∈ ℝ m . (0.1) Hiện nay, các phương pháp phổ biến để thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực cho các hệ tuyến tính dừng (0.1) bao gồm phương pháp trực tiếp, phương pháp Ackerman, phương pháp modal [1]. Mỗi phương pháp lại có ưu hoặc nhược điểm riêng, chẳng hạn phương pháp trực tiếp thì rất thủ công và không tổng quát. Phương pháp Ackerman có công thức tổng quát nhưng chỉ áp dụng được cho các hệ có một đầu vào. Phương pháp modal có thể áp dụng cho hệ có nhiều đầu vào nhưng cần một giả thiết quan trọng là ma trận hệ thống có thể biến đổi thành dạng đường chéo (diagonal) hoặc khối đường chéo (block- diagonal). Ngoài ra phương pháp modal còn có một đặc điểm nữa là nó chỉ có thể dịch chuyển được một số lượng các điểm cực không vượt quá ( ) rank B , nghĩa là không vượt quá m . Đây có thể coi là nhược điểm mà cũng có thể coi là ưu điểm vì trong nhiều trường hợp ta không cần thiết dịch chuyển hết tất cả các điểm cực của hệ hở. Ngoài các phương pháp trên, ta còn có thể thiết kế bộ điều khiển gán điểm cực dựa trên phương pháp LQR. Điều này có thể thực hiện được bằng cách trước hết thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc một số điểm cực như trong các tài liệu [2-5], sau đó dựa vào các kết quả ấy để tìm các ma trận trọng số sao cho các điểm cực không mong muốn được dịch chuyển chính xác đến các vị trí biết trước. Tuy nhiên, các phương pháp trong [2-5] tồn SĐT :0949823777. Email: hoa.nguyendinh@hust.edu.vn tại một số nhược điểm như cần một số giả thiết về các ma trận trọng số trong phiếm hàm tối ưu LQR. Hơn nữa, các kết quả trong [2-5] mới chỉ xét đến việc thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực không mong muốn và xác định vùng mà chúng chuyển đến, chứ chưa xét đến việc tìm các ma trận trọng số để có thể dịch chuyển các điểm cực một cách chính xác đến các vị trí mong muốn. Để tiện cho việc trình bày, sau đây chúng tôi sẽ định nghĩa cụ thể hai bài toán khác nhau tương ứng với hai bước ở trên để thiết kế một bộ điều khiển gán điểm cực LQR. Bài toán thứ nhất: Thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc một số điểm cực không mong muốn của hệ (0.1) sang bên trái mặt phẳng phức. Bài toán thứ hai: Cho trước một số điểm cực mong muốn bên trái mặt phẳng phức, thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực không mong muốn của hệ (0.1) tới các vị trí biết trước đó. Bài báo này đề xuất một số kết quả mới trong việc sử dụng phương pháp LQR để thiết kế bộ điều khiển dịch chuyển có chọn lọc các điểm cực cho hệ (0.1), từ đó tạo cơ sở để giải bài toán thứ hai hay nói cách khác là tạo cơ sở cho bước tiếp theo để giải bài toán thiết kế bộ điều khiển LQR gán điểm cực. Cụ thể hơn, bài báo chỉ ra cách chọn các ma trận trọng số của phiếm hàm tối ưu LQR sao cho các điểm cực không mong muốn của hệ (0.1) được dịch chuyển có chọn lọc sang bên trái mặt phẳng phức, mà không cần đến các giả thiết như ở trong [2-5]. Tiếp đó, miền bên trái mặt phẳng phức mà các điểm cực có thể được dịch chuyển đến được chỉ ra một cách tường minh. Do khuôn khổ của bài báo nên lời giải cho bài toán thứ hai không được trình bày ở đây mà sẽ được giới thiệu trong các bài báo khác. Các phần tiếp theo của bài báo được trình bày như sau. Phần II giới thiệu các kết quả cho bài toán thuận với ba mục con cho phần dịch chuyển có chọn lọc một điểm cực thực, một cặp điểm cực phức liên hợp và một cặp điểm cực thực. Phần III giới thiệu một ví dụ minh họa. Phần IV là kết luận và các hướng mở rộng của bài báo. điểm cực thực và dịch chuyển hai điểm cực phức liên hợp hoặc hai điểm cực thực. Các kết quả này có thể được tổng quát hóa cho trường hợp dịch chuyển một số lượng bất kì các điểm cực và sẽ được giới thiệu trong các bài báo sau. Ngoài ra, ta cũng có thể lặp lại nhiều lần phương pháp dịch chuyển một hoặc hai điểm cực này để dịch chuyển tất cả các điểm cực không mong muốn. A. Dịch chuyển có chọn lọc một điểm cực thực σ A biểu thị cho tập các giá trị riêng của ma trận Giả sử λ ∈ ℝ là điểm cực thực không mong muốn của hệ (0.1). Gọi v T ≠ 0T là vector riêng bên trái của A tương ứng với λ . Ta chọn ma trận trọng số Q như sau: A . Ký hiệu gạch dưới, chẳng hạn x , là để chỉ các đại lượng vector. Ký hiệu gạch trên, ví dụ v là để Q = v T q1v , q1 ≥ 0. Trong bài báo có sử dụng một số ký tự như sau. ( ) () chỉ giá trị phức liên hợp của v. Ngoài ra, Re a chỉ phần thực của một số phức a. (1.4) Định lý sau chỉ rõ biểu thức của bộ điều khiển LQR và tập các điểm cực của hệ kín. Định lý 2.1. Với các giả thiết A1-A2 và ma trận Q chọn ở (1.4), bộ điều khiển LQR có dạng: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Xét phiếm hàm mục tiêu: ( ) (1.5) , r1 = v T BR −1BT v . (1.6) u = − p1R −1BT vv T x , ∞ J = ∫ (x T ) Qx + uT Ru dt, (1.1) trong đó 0 trong đó Q ∈ ℝ là ma trận đối xứng, bán xác định n dương, R ∈ ℝ m là ma trận đối xứng, xác định dương. Như đã biết trong lý thuyết điều khiển tối ưu [1], [6], bộ điều khiển tối ưu phản hồi trạng thái LQR cho hệ (0.1) được tính bằng: (1.2) u = −Fx , với F = R B P trong đó P là nghiệm của phương trình đại số Riccati: −1 T PA + AT P − PBR −1BT P + Q = 0. (1.3) Ngoài ra, để phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất thì hai giả thiết sau phải được thỏa mãn: ( ) A1: A, B là điều khiển được. ( ) A2: Q 1/2 , A là quan sát được. Vấn đề đặt ra cho bài toán thuận là tìm cách thiết kế bộ điều khiển (1.2) sao cho chỉ một số các điểm cực không mong muốn được dịch chuyển sang bên trái mặt phẳng phức trong khi các điểm cực khác được giữ nguyên. Để đơn giản, chúng tôi chỉ trình bày kết quả cho các trường hợp dịch chuyển một 2 p1 = λ + λ 2 + r1q1 r1 Đồng thời, tập các điểm cực của hệ kín là: ( ) { } { ( ) { }} σ A − BF = − λ 2 + r1q1 ∪ σ A \ λ . (1.7) Chứng minh: Với ma trận Q chọn ở (1.4), dễ thấy P = vp1v T , p1 > 0 là nghiệm của phương trình Riccati (1.3) trong đó p1 tính theo (1.6) thu được bằng cách thay P vào (1.3) và giải phương trình bậc hai. Hơn nữa, với các giả thiết A1-A2, phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất. Điều này có nghĩa là giá trị của P tính ở trên chính là nghiệm duy nhất ấy. Từ đó ta thu được bộ điều khiển LQR như ở (1.5). Giả sử α ≠ λ là một giá trị riêng bất kỳ của A và w là vector riêng bên phải tương ứng với nó. Ta có v T w = 0 , do vậy: (A − BF ) w = (A − p BR 1 = Aw, = α w. ) BT vv T w, −1 Điều này chứng tỏ w cũng là vector riêng bên phải của ma trận hệ kín và tương ứng là giá trị riêng α . { ( ) { }} ⊆ σ (A − BF ) . Ngoài Nói cách khác σ A \ λ ra, ( ( ) ) v T A − BF = v T A − p1BR −1BT vv T , ) = λ − p1r1 v T , 2 Do vậy, v T cũng là vector riêng bên trái của ma trận hệ kín và tương ứng là giá trị riêng − λ 2 + r1q1 . Kết hợp cả hai kết luận trên về các giá trị riêng của hệ kín, ta thu được (1.7). ▄ Từ Định lý 2.1 ta thấy các điểm cực của hệ kín gồm n − 1 điểm cực giống với hệ hở và chỉ có duy nhất một điểm cực không mong muốn của hệ hở là bị thay đổi. Hơn nữa, giá trị của điểm cực mới cho thấy nó nằm bên trái mặt phẳng phức, và cụ thể hơn là bên trái của điểm − λ trên trục thực. B. Dịch chuyển có chọn lọc một cặp điểm cực phức liên hợp ) Giả sử λ, λ là một cặp điểm cực phức không ( ) mong muốn của hệ (0.1) và v T , v T là cặp vector riêng bên trái liên hợp của A tương ứng với chúng. Ta chọn ma trận trọng số Q như sau: v  v  Q2  T  ,  v    T Q = v  Định lý sau chỉ rõ biểu thức của bộ điều khiển LQR và tập các điểm cực của hệ kín.  u = −  R −1BT  v    T = − λ + r1q1 v . ( hiệu q ≜ q11 = q 22 . Định lý 2.2. Với các giả thiết A1-A2 và ma trận Q chọn ở (1.4), bộ điều khiển LQR có dạng: = v T A − p1r1v T , ( Điều này dẫn đến q11 = q22 . Để tránh rườm rà, ta ký (1.8) trong đó Q2 là ma trận Hermitian, bán xác định dương. Giả sử q q  Q2 =  11 12  ; q11, q 22 ≥ 0. q q  12 22  Khi đó, Q = q11vv T + q12 vv T + q12 vv T + q22 vv T . Do Q và q12 vv T + q12 vv T đều là các ma trận thực nên q11vv T + q22 vv T cũng phải là ma trận thực. v T   v  P2  T   x ,  v     (1.9) trong đó P2 là nghiệm của phương trình Riccati (1.10) P2 Γ2 + ΓT2 P2 − P2R2P2 + Q2 = 0, với v T  λ 0  −1 T Γ2 =  , R =  2  T  BR B  v 0 λ v     r v =   r  12 r12  . r   Hơn nữa, các điểm cực không mong muốn của hệ hở được dịch chuyển tới các giá trị µ1, µ2 được tính bằng: µ12 + µ22 = 2  Re λ 2 + Re r12q12 + qr  ,   4 2 2 2 2 µ1 µ2 = λ + 2qr λ + 2 Re r12q12λ ( ) ( ) ( ) (1.11) +  q 2 − q12   r 2 − r12  ,    2 2 trong khi các điểm cực khác được giữ nguyên tại vị trí. Chứng minh: Với ma trận Q chọn ở (1.8), dễ v T   v P2  T  là nghiệm của (1.3) trong  v    đó P2 là nghiệm của (1.10). Do có các giả thiết A1A2 để đảm bảo phương trình Riccati (1.3) có nghiệm duy nhất nên giá trị đó của P chính là nghiệm duy nhất ấy. thấy P = v  Tiếp theo, chứng minh tương tự như ở Định lý 1, ta có thể chỉ ra rằng chỉ có hai điểm cực λ, λ của hệ hở là bị thay đổi, còn các điểm cực khác thì không bị ảnh hưởng. Mặt khác, v T  R2 =  T  BR −1BT  v   v T BR −1BT v = T −1 T  v BR B v v  Tiếp theo, thay các biểu thức của Q2 , R2 vào (1.13), ta tính được v  v T BR −1BT v  . v T BR −1BT v   det sI − H = s 4 − 2  Re λ 2 + Re r12q12 + qr  s 2   4 2 2 + λ + 2qr λ + 2 Re r12q12λ ( liên hợp với nhau nhưng do R2 là ma trận Hermitian nên chúng phải là các giá trị thực, điều này dẫn đến các phần tử trên đường chéo của R2 phải bằng nhau. r r  12 tối ưu [6], ta đã biết µ1, µ2 , −µ1, −µ2 là các giá trị riêng của H . Nói cách khác, )( )( )( ) det sI − H = s − µ1 s − µ2 s + µ1 s + µ2 , ( 2 1 2 2 ) 2 2 1 2 2 =s − µ +µ s +µ µ . (1.12) Mặt khác,  R2 det  T sI + Γ2  sI − Γ2   = det  sI − H  Q2    0 I     I 0   0 I  = det sI − H det   I 0   = det sI − H . ( ( ( ) ) ) Ngoài ra,  R2 sI − Γ2  det   T Q2  sI + Γ2  = det Q2 det R2 − sI − Γ2 Q2−1 sI + ΓT2 ( ( ) ( ) ( ) như sau: ( ) ▄ ( ) qr ≥ q12 r12 ≥ Re r12q12 , 2 2 ( ) qr λ ≥ q12 r12 λ ≥ Re r12q12λ 2 . Vì thế, từ kết quả của Định lý 2, ta thu được miền xác định của các điểm cực mới µ1, µ2 như sau: ( ) µ12 + µ22 ≥ 2 Re λ 2 , (1.15) 4 µ12 µ22 ≥ λ . C. Dịch chuyển có chọn lọc hai điểm cực thực ( ) Giả sử λ1, λ2 là hai điểm cực thực không mong ( muốn của hệ (0.1) và v1T , v2T ) là các vector riêng ( ) bên trái của A tương ứng với λ1, λ2 . Ta chọn ma trận trọng số Q như sau: Q =  v1  v T  v2  Q2  1T  ,  v   2  (1.16) Định lý sau chỉ rõ biểu thức của bộ điều khiển LQR và tập các điểm cực của hệ kín. Định lý 2.3. Với các giả thiết A1-A2 và ma trận Q chọn ở (1.16), bộ điều khiển LQR có dạng: ) ( ( ) ( = det Q2 det R2 − sI − Γ2 Q2−1 sI + ΓT2 )) . (1.13) 4 So sánh (1.13) và (1.14) ta thu được (1.11). q q  Q2 =  11 12  ; q11, q 22 ≥ 0. q12 q22  )) . ( ( (1.14) trong đó Q2 là ma trận đối xứng, bán xác định dương. Giả sử Do đó, ta có cách khác để tính det sI − H det sI − H ) 2 2 +  q 2 − q12   r 2 − r12  .    xác định dương, nên q 2 ≥ q12q12 , r 2 ≥ r12r12 . Do vậy, Γ −R2  Xét ma trận Hamiltonian H =  2 Giả T .  −Q2 −Γ2  sử điểm cực không mong muốn của hệ hở được dịch chuyển tới các giá trị µ1, µ2 . Từ lý thuyết điều khiển 4 ) Vì Q2 , R2 là các ma trận bán xác định dương và r12   , r > 0. r  Để đơn giản, ta ký hiêu lại R2 =  ) ( ( ( Ta thấy các phần tử trên đường chéo chính của R2 là ( ( ) )  u = −  R −1BT  v1    v T   v2  P2  1T   x ,  v    2  (1.17) trong đó P2 là nghiệm của phương trình Riccati (1.18) P2 Γ2 + ΓT2 P2 − P2R2P2 + Q2 = 0, λ 0  với Γ2 =  1 , 0 λ2    vT  R2 =  1T  BR −1BT  v1   v2  r r  v2  =  11 12  .  r r  12 22  Hơn nữa, các điểm cực không mong muốn của hệ hở được dịch chuyển tới các giá trị µ1, µ2 được tính bằng: 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 µ + µ = λ + λ + r11q11 + r22q 22 + 2r12q12 , µ12 µ = λ λ + 2r12q12λ1λ2 + r11q11λ22 + r22q 22λ12 ( )( ) 2 + r11r22 − r122 q11q22 − q12 , (1.19) trong khi các điểm cực khác được giữ nguyên tại vị trí. Chứng minh: Phần chứng minh của Định lý này hoàn toàn tương tự như của Định lý 2.2, nên chúng tôi không trình bày lại ở đây. ▄ Từ tính xác định bán dương và xác định dương 2 của Q2 , R2 , ta có ngay q11q 22 ≥ q12 , r11r22 ≥ r122 . Do vậy, theo định lý Cauchy-Schvartz, ta có: VÍ DỤ MINH HỌA Xét một hệ tuyến tính dừng mô tả bởi (0.1) với:  0 1 0 0      A =  0 0 1  , B = 0  .  −2 −5 3  1      (1.21) Các giá trị riêng của ma trận A là −0.3283,1.6641 ± 1.823i . Do vậy, hệ là không ổn định vì có hai giá trị riêng nằm bên phải mặt phẳng phức. Tiếp theo, sử dụng phương pháp đề xuất trong bài báo, chúng tôi thiết kế bộ điều khiển LQR để dịch chuyển hai điểm cực 1.6641 ± 1.823i sang bên trái mặt phẳng phức trong khi điểm cực còn lại được giữ nguyên. Các ma trận trọng số được chọn như sau: Q2 = I , R = 10. Kết quả mô phỏng trên hình H1 cho thấy điểm cực −0.3283 không bị thay đổi bởi bộ điều khiển LQR trong khi hai điểm cực khác đã được dịch chuyển sang bên trái mặt phẳng phức thành hai điểm cực phức liên hợp ổn định. Cuối cùng, với trạng thái đầu của hệ là [ −1; 2; 3] , hình H2 biểu diễn kết quả mô phỏng thu được và cho thấy hệ kín trở thành ổn định. 2 1.5 r11q11 + r22q22 ≥ 2 r11q11r22q22 ≥ 2r12q12 , Vì thế, từ (1.19) ta thu được: µ12 + µ22 ≥ λ12 + λ22 , µ12 µ22 ≥ λ12λ22 . (1.20) Hai bất đẳng thức trong (1.20) cho ta miền xác định của các điểm cực mới. Chú ý rằng các kết quả của Định lý 2.1, Định lý 2.2 và Định lý 2.3 cũng như miền xác định của các giá trị riêng mới là giống với các kết quả ở [4], [5]. Tuy nhiên, chúng thu được mà không cần thêm bất cứ giả thiết nào, trong khi các kết quả ở [4], [5] cần có một số giả thiết khác về các ma trận trọng số. 1 Imaginary axis r11q11λ22 + r22q 22λ12 ≥ 2 r11q11r22q22 λ1λ2 ≥ 2r12q12λ1λ2 . 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -3 -2 -1 0 1 2 Real axis H1 Sự phân bố các điểm cực của hệ hở (ký hiệu bởi hình vuông màu đỏ ■) và của hệ kín thu được bởi bộ điều khiển LQR đề xuất (ký hiệu bởi hình tròn màu xanh ●).