intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tiểu luận: phép biến hình

Chia sẻ: Chen Banh Chan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:40

Thêm vào BST
Báo xấu
339
lượt xem 76
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong đại số ta biết một khái niệm quan trọng : khái niệm “ Hàm số ” được phát biểu : “ Nếu có một quy tắc để với mỗi số x R thì quy tắc đó gọi là một hàm số xác định trên tập số thực R.”

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiểu luận: phép biến hình

  1. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y Luận văn tốt nghiệp Đề tài: Phép biến hình Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -1-
  2. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y Môc lôc Tªn Môc Trang Ch­¬ng I : C¬ së lý luËn 2 Më ®Çu phÐp biÕn h×nh 2 C¸c phÐp biÕn h×nha 3 Nh×n chung phÐp dêi h×nh 3 PhÐp biÕn h×nh ®ång nhÊt 3 PhÐp tÞnh tiÕn 3 PhÐp ®èi xøng qua t©m 5 PhÐp ®èi xøng trôc 10 PhÐp quay 13 C¸c phÐp biÕn h×nh ®ång d¹ng 14 PhÐp ®ång d¹ng 14 PhÐp vÞ tù 17 KÕt hîp c¸c phÐp biÕn ®æi 19 S¬ ®å mèi liªn hÖ gi÷a c¸c phÐp biÕn h×nh 21 Ch­¬ng II : Thùc hµnh - VËn dông 22 PhÐp tÞnh tiÕn 22 PhÐp ®èi xøng qua t©m 24 PhÐp ®èi xøng trôc 27 PhÐp quay 29 PhÐp vÞ tù 32 PhÐp ®ång d¹ng 33 Mét sè c©u hái tr¾c nghiÖm 34 Tµi liÖu tham kh¶o. - S¸ch gi¸o khoa h×nh häc n©ng cao + c¬ b¶n líp 11. - S¸ch bµi tËp h×nh häc n©ng cao + c¬ b¶n líp 11. - Ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n h×nh häc 11. - Chuyªn ®Ò båi d­ìng häc sinh giái To¸n THPT - PhÐp biÕn h×nh trong mÆt ph¼ng cña §ç Thanh S¬n. - S¸ch gi¸o tr×nh m«n H×nh häc cao cÊp hÖ ®µo t¹o GVTHCS cña V¨n Nh­ C­¬ng (chñ biªn). - Mét sè tµi liÖu s­u tÇm trªn Internet. Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -2-
  3. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y Ch­¬ng I : c¬ së lý luËn A.Më ®Çu vÒ phÐp biÕn h×nh . I. PhÐp biÕn h×nh. 1.1 . §Þnh nghÜa . Trong ®¹i sè ta biÕt mét kh¸i niÖm quan träng : kh¸i niÖm “ Hµm sè ” ®­îc ph¸t biÓu : “ NÕu cã mét quy t¾c ®Ó víi mçi sè x  R th× quy t¾c ®ã gäi lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp sè thùc R.” NÕu trong mÖnh ®Ò trªn tathay sè thùc b»ng ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng th× ta ®­îc kh¸i niÖm vÒ phÐp biÕn h×nh trong mÆt ph¼ng . Cô thÓ lµ : NÕu cã mét quy t¾c ®Ó víi mçi ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng, x¸c ®Þnh ®­îc mét ®iÓm duy nhÊt M’ thuéc mÆt ph¼ng Êy th× quy t¾c ®ã gäi lµ mét phÐp biÕn h×nh ( trong mÆt ph¼ng). VËy ta cã thÓ suy ra ®Þnh nghÜa phÐp biÕn h×nh : §Þnh nghÜa : PhÐp biÕn h×nh (trong mÆt ph¼ng ) lµ mét quy t¾c ®Ó víi mçi ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng, x¸c ®Þnh mét ®iÓm duy nhÊt M’ thuéc mÆt ph¼ng Êy. §iÓm M’ gäi lµ ¶nh cña ®iÓm M qua phÐp biÕn h×nh ®ã. 1.2 C¸c vÝ dô. VÝ dô 1 : Cho ®­êng th¼ng d. Víi mçi ®iÓm M, ta x¸c ®Þnh M’ lµ h×nh chiÕu (vu«ng gãc) cña M trªn d (h×nh 1) th× ta ®­îc mét phÐp biÕn h×nh. PhÐp biÕn h×nh gäi lµ phÐp chiÕu (vu«ng gãc) lªn ®­êng th¼ng M d M' Hinh 1    VÝ dô 2 : Cho vÐc t¬ u , víi mçi ®iÓm M ta x¸c ®Þnh ®iÓm M’ theo quy t¾c MM’ = u (h×nh 2) M  M’ u Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -3-
  4. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y Nh­ vËy, ta còng cã mét phÐp biÕn h×nh. PhÐp biÕn h×nh ®ã gäi lµ phÐp tÞnh tiÕn theo vÐct¬  u. VÝ dô 3 : Víi mçi ®iÓm M, ta x¸c ®Þnh ®iÓm M’ trïng víi M th× ta còng ®­îc mét phÐp biÕn h×nh. PhÐp biÕn h×nh ®ã gäi lµ phÐp ®ång nhÊt. 1.3 KÝ hiÖu vµ thuËt ng÷. NÕu ta kÝ hiÖu mét phÐp biÕn h×nh nµo ®ã lµ F vµ ®iÓm M’ lµ ¶nh cña ®iÓm M qua phÐp biÕn h×nh F th× ta viÕt M’ = F(M), hoÆc F(M) =M’. Khi ®ã, ta cßn nãi phÐp biÕn h×nh F biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M’. Víi mçi h×nh H, ta gäi h×nh H’ gåm c¸c ®iÓm M’ = F(M), trong ®ã M  H, lµ ¶nh cña H qua phÐp biÕn h×nh F, vµ biÕt H’ = F(M). B.C¸c phÐp biÕn h×nh . I. PhÐp dêi h×nh 1.1 §Þnh nghÜa : PhÐp dêi h×nh lµ phÐp biÕn h×nh kh«ng lµm thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. 1.2 §Þnh lý - tÝnh chÊt. a. §Þnh lý : PhÐp dêi h×nh biÕn ba ®iÓm th¼ng hµng thµnh ba ®iÓm th¼ng hµng vµ kh«ng lµm thay ®æi thø tù ba ®iÓm ®ã, biÕn ®­êng th¼ng thµnh ®­êng th¼ng, biÕn tia thµnh tia, biÕn ®o¹n th¼ng thµnh ®o¹n th¼ng b»ng nã, biÕn tam gi¸c thµnh tam gi¸c b»ng nã, biÕn ®­êng trßn thµnh ®­êng trßn cã cïng b¸n kÝnh, biÕn gãc thµnh gãc b»ng nã. b. TÝnh chÊt: NÕu phÐp dêi h×nh f cã ba ®iÓm bÊt ®éng kh«ng th¼ng hµng, th× f lµ mét phÐp ®ång nhÊt. Chøng minh : Ta kÝ hiÖu 1.3 Nhãm c¸c phÐp biÕn h×nh dêi h×nh. 1.3.1 PhÐp ®ång nhÊt. 1.3.1.1 §Þnh nghÜa. PhÐp ®ång nhÊt lµ mét phÐp biÕn h×nh ®Æc biÖt, nã biÕn mäi ®iÓm M thµnh chÝnh ®iÓm M. PhÐp ®ång nhÊt th­êng ®­îc kÝ hiÖu lµ Id víi mäi ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng P, Id(M) = M. F:P  P M M Th× f = Id 1.3.2 PhÐp tÞnh tiÕn. 1.3.2.1 §Þnh nghÜa .  PhÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ u lµ mét phÐp biÕn h×nh biÕn ®iÓm   M thµnh ®iÓm M’ sao cho MM’ = u Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -4-
  5. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y   PhÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ u th­êng ®­îc kÝ hiÖu lµ T hoÆc T u . Vect¬ u ®­îc gäi lµ vect¬ tÞnh tiÕn.  PhÐp tÞnh tiÕn ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt vec t¬ tÞnh tiÕn.    T u : M  M’  MM’ = u   Chó ý khi u = 0 th× phÐp tÞnh tiÕn thµnh phÐp ®ång nhÊt. 1.3.2.2 §Þnh lý, tÝnh chÊt. a. §Þnh lý 1 : NÕu phÐp tinh tiÕn biÕn hai ®iÓm M vµ N lÇn l­ît thµnh hai ®iÓm M’ vµ N’ th× M’N’ = MN. Chøng minh : Gi¶ sö phÐp tÞnh tiÕn theo u biÕn 2 ®iÓm M, N lÇn l­ît thµnh hai ®iÓm M’, N’ ta cã:  T u (M) = M’ T u (N) = N’      V× MM’ = u , NN’ = u nªn MM’ = NN’  MNN’M’ lµ h×nh b×nh hµnh  MN = M’N’ Ng­êi ta diÔn t¶ tÝnh chÊt trªn cña phÐp tÞnh tiÕn lµ : PhÐp tÞnh tiÕn kh«ng lµm thay dæi kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. b. §Þnh lý 2 : PhÐp tÞnh tiÕn ba ®iÓm th¼ng hµng thµnh ba ®iÓm th¼ng hµng vµ kh«ng lµm thay ®æi thø tù ba ®iÓm ®ã. Chøng minh : Gi¶ sö phÐp tÞnh tiÕn ba ®iÓm A, B, C thµnh ba ®iÓm A’, B’, C’ . Theo ®Þnh lý 1, ta cã: A’B’ = AB ; B’C’ = BC vµ A’C’ = AC. NÕu A, B, C th¼ng hµng, B n»m gi÷a A vµ C th× : AB + BC = AC. Do ®ã ta còng cã : A’B’ + B’C’ = A’C’ ; tøc lµ A’, B’, C’ th¼ng hµng, trong ®ã B’ n»m gi÷a A’ vµ C’. Tõ ®Þnh lý trªn ta cã hÖ qu¶ sau ®©y. c. HÖ qu¶ : PhÐp tÞnh tiÕn biÕn ®­êng th¼ng thµnh ®­êng th¼ng, biÕn tia thµnh tia, biÕn ®o¹n th¼ng thµnh ®o¹n th»ng b»ng nã, biÕn tam gi¸c thµnh tam gi¸c b»ng nã, biÕn ®­êng trßn thµnh ®­êng trßn thµnh ®­êng trong cã cïng b¸n kÝnh, biÕn gãc thµnh gãc b»ng nã. d. BiÓu thøc täa ®é cña phÐp tÞnh tiÕn. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy, cho phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ u. y   BiÕt täa ®é cña u (a,b ) u Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -5-
  6. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y Gi¶ sö ®iÓm M(x,y) biÕn thµnh ®iÓm M’ (x’,y’) Khi ®ã ta cã x’ = x + a y’ = y + b C«ng thøc trªn gäi lµ biÓu thøc täa ®é cña phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬  u (a ;b) . 1.3.3 PhÐp ®èi xøng qua t©m. 1.3.3.1 §Þnh nghÜa : Cho tr­íc ®Óm O. PhÐp biÕn ®æi Z O biÕn O thµnh O vµ biÕn mét    ®iÓm M kh¸c O thµnh ®iÓm M’ sao cho OM + OM’ = 0 ®­îc gäi lµ phÐp ®èi xøng qua t©m. §iÓm O ®­îc gäi lµ t©m cña phÐp ®èi xøng hoÆc lµ t©m ®èi xøng. Cho h×nh F. TËp hîp ¶nh cña mäi ®iÓm thuéc F trong phÐp biÕn ®æi Z O lËp thµnh mét h×nh F’ ®­îc gäi lµ ¶nh cña h×nh F trong phÐp ®èi xøng qua t©m O. NÕu F’ trïng víi F, th× ta nãi F lµ h×nh cã t©m ®èi xøng. 1.3.3.2 §Þnh lý - TÝnh chÊt : a. TÝnh chÊt 1 : PhÐp biÕn ®æi Z O cã mét ®iÓm bÊt ®éng duy nhÊt. Chøng minh : NÕu O’ lµ mét ®iÓm bÊt ®éng thø 2 cña Z O , nghÜa lµ :     Z O : O’  O’  OO’ = - OO’  2OO’ = 0  O’  O. b. TÝnh chÊt 2 : NÕu A’ vµ B’ lµ ¶nh cña hai ®iÓm A vµ B trong phÐp biÕn ®æi   Z O , th× A’B’ = - AB . A' B O A B' Chøng minh : Theo ®Þnh nghÜa ta cã :     OA’ = - OA vµ OB’ = - OB Suy ra :        A’B’ = OB’ - OA’ = - OB + OA = - ( OB - OA ) = - AB . Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -6-
  7. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y => §PCM. c. TÝnh chÊt 3 : PhÐp biÕn ®æi Z O lµ phÐp biÕn ®æi 1 - 1. Chøng minh: ThËt vËy, nÕu ®iÓm A’ lµ ¶nh cña c¸c ®iÓm A vµ B trong phÐp       biÕn ®æi Z O , th× ta cã OA’ = - OA vµ OA’ = - OB suy ra OA = OB A B . TÝnh chÊt 3 cho ta thÊy phÐp biÕn ®æi Z O cã phÐp biÕn ®æi ng­îc vµ phÐp biÕn ®æi ng­îc chÝnh lµ Z O . d. TÝnh chÊt 4: PhÐp biÕn ®æi Z O biÕn ba ®iÓm th¼ng hµng thµnh ba ®iÓm th¼ng hµng. Chøng minh : Gi¶ sö A’, B’, C’ lµ ¶nh cña c¸c ®iÓm A, B, C trong phÐp biÕn ®æi Z.     Theo tÝnh chÊt 2 ta cã A’B’ = - AB , B’C’ = - BC . V× A, B, C th¼ng hµng       nªn AB cïng ph­¬ng BC   k sao cho AB = kBC  A’B’ = kB’C’    A’B’ cïng ph­¬ng B’C’ . §iÒu ®ã chøng tá A’, B’, C’ th¼ng hµng. e . hÖ qu¶ : PhÐp biÕn ®æi Z O biÕn : i) §­êng th¼ng d thµnh ®­êng th¼ng d’ vµ d// d’ hoÆc d  d’. ii) Tia Sx thµnh tia S’x’ ng­îc chiÒu nhau. iii) §o¹n EF thµnh ®o¹n E’F’ vµ EF = E’F’.     iv) Gãc xSy thµnh gãc vµ x’S’y’ vµ xSy = x’S’y’. v) §­êng trßn ( I , R) thµnh ®­êng trßn (I’, R). Chøng minh ; ii) LÊy trªn d hai ®iÓm A vµ B ph©n biÖt. Gäi A’ vµ B’ lµ ¶nh cña A vµ B trong phÐp biÕn ®æi Z O . A C B d d' B' C' A' NÕu C lµ ®iÓm bÊt k× thuéc d vµ C’ lµ ¶nh cña C trong phÐp biÕn ®æi Z O , th× A’, B’ , C’ th¼ng hµng. §iÒu ®ã chøng tá C’ thuéc ®­êng th¼ng A’B’ hay thuéc d’. §¶o l¹i, nÕu C’ thuéc ®­êng th¼ng A’B’, th× ta chän ®iÓm C lµ ¶nh cña C’ trong phÐp biÕn ®æi Z O . V× A,B lµ ¶nh cña A’ , B’ trong phÐp biÕn Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -7-
  8. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y ®æi ®ã, nªn C thuéc ®­êng th¼ng AB hay C thuéc d. Nh­ vËy, tån t¹i ®iÓm C trªn d sao cho C’ lµ ¶nh cña C. NÕu A’ kh«ng thuéc d, th× d’//d. NÕu A’ thuéc d, th× d’  d. ii) A B S S' B' A'  LÊy trªn tia Sx ®iÓm A vµ ta x¸c ®Þnh SA . PhÐp biÕn ®æi Z O biÕn     S  S’ , A  A’ SA  S’A’ vµ SA = - S’A’ . NÕu B lµ ®iÓm bÊt k×   thuéc Sx, t× tån t¹i sè m > 0 sao cho SB = mSA . Gäi B’ lµ ¶nh cña B, khi ®ã     S’B’ = - SB = - mSA = mS’A’. §iÒu ®ã chøng tá B’, A’ cïng phÝa víi S’. §iÓm B’ thuéc tia S’A’. §¶o l¹i, nÕu B’ thuéc tia S’A’, th× phÐp ®èi xøng Z O biÕn S’  S , A’  A. B’  B. LËp luËn t­¬ng tù ta suy ra B thuéc tia Sx. Nh­ vËy tån t¹i trªn tia Sx ®iÓm B nhËn B’ lµ ¶nh. iii)Chøng minh t­¬ng tù nh­ tr­êng hîp tia. iv) LÊy trªn hai c¹nh gãc xSy c¸c ®iÓm A vµ B (kh¸c S). gäi A’, B’ , S’ lµ ¶nh cña A, B, S trong phÐp biÕn ®æi Z O . y x S' B A O A' B' S x' y'       Khi ®ã ta cã S’A’ = - SA , S’B’ = - SB , A’B’ = - AB .   VËy  SAB =  S’A’B’ suy ra A’S’B’ = ASB . Theo hÖ qu¶ trªn lµ ¶nh cña SA vµ SB. §ã lµ ®iÒu cÇn chøng minh. Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -8-
  9. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y v) M R I O I' R' M' NÕu M lµ ®iÓm bÊt k× thuéc (I ; R) vµ M’ lµ ¶nh cña M trong phÐp biÕn     ®æi Z O , th× I’M’ = - IM  I’M’ = IM = R kh«ng ®æi. Chøng tá M’ thuéc ( I’ ; R). §¶o l¹i nÕu M’ lµ ®iÓm thuéc (I’;R) th× ¶nh M vµ I thuéc M’ vµ I’ trong phÐp biÕn ®æi Z O tháa m·n ®iÒu kiÖn I’M’ = IM = R. §iÒu ®ã chøng tá tån t¹i ®iÓm M thuéc (I;R) nhËn M’ lµ ¶nh. f. TÝnh chÊt 5: TÝch cña ba phÐp ®èi xøng t©m víi ba t©m ®èi xøng ph©n biÖt lµ mét phÐp ®èi xøng t©m. O1 B A O2 O C Chøng minh: Gäi A, B, C lµ t©m ®èi xøng cña c¸c phÐp biÕn ®æi Z A , Z B , Z C vµ ®Æt Z = Z A . Z B . Z C . Tr­íc hÕt ta cÇn chøng minh r»ng Z cã mét ®iÓm bÊt ®éng duy nhÊt. ThËt vËy, gäi O lµ ®iÓm bÊt ®éng cña Z. Theo ®Þnh nghÜa ta cã.   Z A : O  O 1 vµ AO 1 = - AO ;   Z B : O 1  O 2 vµ BO 2 = - BO 1 ;   ZC : O 2  O vµ CO = - CO 2 ;    Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn ta suy ra BO = BA + BC . HÖ thøc chøng tá O lµ ®iÓm bÊt ®éng duy nhÊt cña Z. Ta cÇn chøng minh r»ng Z lµ mét phÐp ®èi xøng t©m O. Gi¶ sö M lµ mét ®iÓm bÊt k× vµ M’ lµ ¶nh cña M trong phÐp biÕn ®æi Z. Ta cÇn chØ ra r»ng OM’ = OM. ThËt vËy, ta cã . Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B -9-
  10. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y   Z A : M  M 1 , O  O 1 vµ O 1 M 1 = - OM (1)   Z B : M 1  M 2 , O 1  O 2 vµ O 2 M 2 = - O 1 M 1 (2)   Z c : M 2  M’, O 2  O vµ OM’ = - O 2 M 2 (3)   Tõ c¸c kÕt qu¶ (1),(2),(3) ta suy ra OM’ = - OM Tãm l¹i phÐp biÕn ®æi Z lµ phÐp ®èi xøng t©m O, trong ®ã O ®­îc x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc (*) 1.3.3.3 PhÐp ®èi xøng qua t©m trong hÖ täa ®é §Ò - C¸c. y y M(x 0 ; y 0 ) M’(x’, y’) M(x 0 ; y 0 ) x O x M’(x’, y’) Gi¶ sö Z o lµ phÐp ®èi xøng t©m O. Ta chän hÖ to¹n ®é Oxy sao cho O lµ gèc täa ®é. Nh­ vËy, víi ®iÓm M(x 0 ; y 0 ) bÊt k× trong hÖ täa ®é ®ã, ¶nh cña M’ cña M trong phÐp biÕn ®æi Z ocã täa ®é lµ ( - x 0 ;- y 0 ). NÕu t©m ®èi xøng P lµ ®iÓm kh¸c gèc vµ cã täa ®é lµ (a,b), th× víi ®iÓm M (x 0 ; y 0 ) täa ®é ¶nh cña ®iÓm ®ã trong phÐp biÕn ®æi Z o ®­îc x¸c ®Þnh bëi hÖ ph­¬ng tr×nh sau : x’ = 2a - x 0 y’ = 2b - y 0 trong ®ã (x’, y’) lµ täa ®é ¶nh. 1.3.3.4 Nh÷ng h×nh ¶nh thÓ hiÖn phÐp ®èi xøng t©m . AI B Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 10 -
  11. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y a) Các chữ cái H, N, O, I là hình có tâm đối xứng. b) Các hình tứ giác có trục đối xứng như: hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình bình hành,… 1.3.3.5 T©m ®èi xøng cña mét h×nh §Þnh nghÜa : §iÓm I ®­îc gäi lµ t©m ®èi xøng cña h×nh H nÕu qua phÐp ®èi xøng t©m I biÕn H thµnh chÝnh nã. Khi ®ã ta gäi H lµ h×nh cã t©m ®èi xøng. 1.3.4 PhÐp ®èi xøng trôc 1.3.4.1 §Þnh nghÜa : Cho ®­êng th¼ng d. PhÐp biÕn h×nh biÕn mçi ®iÓm M kh«ng thuéc d thµnh chÝnh nã, biÕn mçi ®iÓm M thuéc d thµnh M’ sao cho d lµ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng MM’ ®­îc gäi lµ phÐp ®èi xøng qua ®­êng th¼ng d hay phÐp ®èi xøng trôc d. M M O M' §­êng th¼ng d ®­îc gäi lµ trôc cña phÐp ®èi xøng hoÆc ®¬n gi¶n lad trôc ®èi xøng. PhÐp ®èi xøng trôc d th­êng ®­îc kÝ hiÖu § d. §­êng th¼ng d ®­îc gäi lµ trôc ®èi xøng cña h×nh H nÕu § d biÕn H thµnh chÝnh nã. Khi ®ã H ®­îc gäi lµ h×nh cã trôc ®èi xøng. 1.3.4.2 TÝnh chÊt : a. TÝnh chÊt 1 : PhÐp ®èi xøng trôc b¶o toµn kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. Chøng minh : Träng hÖ trôc Oxy; chän â lµm trôc ®èi xøng. C¸c ®iÓm A(x 1 , y 1 ); B(x 2 , y 2 ) . Gäi A’(x 1 ’ , y 1 ’);B’(x 2 ’ , y 2 ’) lÇn l­ît lµ ¶nh qua phÐp ®èi xøng trôc Ox. y B A O A’ Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 11 -
  12. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y B Ta cã : x1’ = x1 y1’ = y1 A(x 1 , - y 1 ).  x 2’ = - x 2 y2 ’ = - y2  B(x 2 ,- y 2 )  AB = (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 )  A’B’ = (x 2 ’ - x 1 ’ ; y 2 ’ - y 1 ’) = (x 2 - x 1 ; - y 2 + y 1 )    AB = A' B '  ®pcm b. TÝnh chÊt 2 : PhÐp ®èi xøng trôc biÕn ®­êng th¼ng thµnh ®­êng th¼ng, biÕn ®o¹n th¼ng thµnh ®o¹n th¼ng b»ng nã, biÕn tam gi¸c th¸nh tam gi¸c b»ng nã, biÕn ®­êng trßn thµnh ®­êng trßn cã cïng b¸n kÝnh h×nh 1 h×nh 2 Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 12 -
  13. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y O r d r' O' h×nh 3 1.3.4.3 BiÓu thøc täa ®é. - Chän hÖ täa ®ä Oxy sao cho trôc Oy trïng víi ®­êng th¼ng d. Víi mçi ®iÓm M = (x , y). Gäi M’ = § d vµ M = (x’,y’) Th× biÓu thøc trªn ®­îc gäi lµ biÓu thøc täa ®é cña phÐp ®èi xøng qua trôc Oy. x’ = - x y y’ = - y d M’ M X O - Chän hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho trôc Ox trïng víi ®­êng th¼ng d. Víi mçi ®iÓm M’(x’,y’). Th× biÓu thøc trªn ®­îc gäi lµ biÓu thøc täa ®é cña phÐp ®èi xøng qua trôc Ox. y M O x M’ 1.3.4.4 Trôc ®èi xøng cña mét h×nh Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 13 -
  14. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y §Þnh nghÜa : §­êng th¼ng d ®­îc gäi lµ trôc ®èi xøng cña h×nh H nÕu § biÕn H thµnh chÝnh nã. Khi ®ã H ®­îc gäi lµ h×nh cã trôc ®èi xøng. VÝ dô : mçi h×nh sau cã trôc ®èi xøng. HW 1.3.5 PhÐp quay 1.3.5.1 §Þnh nghÜa : Cho ®iÓm O cè ®Þnh vµ mét gãc l­îng gi¸c  ¸nh x¹ F : P  P ®­îc gäi lµ phÐp quay t©m O víi gãc quay  nÕu f biÕn ®iÓm M  M’ sao cho : + OM = OM’ + (OM,OM’) =  víi (OM,OM’) lµ kÝ hiÖu chØ gãc l­îng gi¸c cã tia ®Çu lµ OM tia cuèi lµ OM’. §iÓm O ®­îc gäi lµ t©m quay.  ®­îc gäi lµ gãc quay KÝ hiÖu quay t©m O gãc quay  lµ : Q ( O , ) . O O Quay theo chiÒu ©m quay theo chiÒu d­¬ng Chó ý : Víi k Z + PhÐp quay Q (O , 2k ) lµ phÐp ®ång nhÊt. + PhÐp quay Q ( O, 2 k 1) lµ phÐp ®èi xøng t©m O. 1.3.5.2 TÝnh chÊt. a. TÝnh chÊt 1 : PhÐp quay b¶o toµn kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. Chøng minh : Gi¶ sö ta cã phÐp quay Q vµ hai ®iÓm M,N tïy ý. PhÐp quay Q biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M’ vµ biÕn ®iÓm N thµnh ®iÓm N’ Ta ph¶i chøng minh: M’N’ = MN. XÐt c¸c gãc l­îng gi¸c ( IM,IN) vµ (IM’,IN’) Ta cã : (IM, IN) = (IM,IM’)+ (IM’,IN) Mµ (IM,IM’) = (IN,IN’) =   (IM,IN) = (IN,IN’) + (IM’,IN) = (IM’, IN) + (IN,IN’) = (IM’, IN’) VËy  IMN =  IM’N’ v× : IM = IM’ IN = IN’ (IM,IN) = (IM’,IN’)  M’N’ = MN Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 14 -
  15. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y b. TÝnh chÊt 2 : PhÐp quay biÕn ®­êng th¼ng thµnh ®­êng th¼ng, ®o¹n th¼ng thµnh ®o¹n th¼ng b»ng nhau, tam gi¸c thµnh tam gi¸c b»ng nã, ®­êng trßn thµnh ®­êng trßn cã cïng b¸n kÝnh víi nã.\ * Chó ý : Gi¶ sö phÐp quay t©m I gãc  biÕn ®­êng th¼ng d thµnh ®­êng th¼ng d’. Khi ®ã :  + NÕu 0 <  < th× gãc gi÷a d vµ d’ b»ng  2  + NÕu <  <  th× gãc gi÷a d vµ d’ b»ng (  -  ). 2 II . PhÐp biÕn h×nh ®ång d¹ng 2.1 PhÐp ®ång d¹ng. 2.1.1 §Þnh nghÜa : Cho sè k > 0 . ¸nh x¹ f : P  P ®­îc gäi lµ phÐp ®ång d¹ng tØ sè k nÕu nã biÕn hai ®iÓm M vµ N tïy ý thµnh hai ®iÓm M’= f(M) vµ N = f(N) sao cho kho¶ng c¸ch cña chóng tháa m·n hÖ thøc M’N’ = kMN. Theo ®Þnh nghÜa phÐp ®¼ng cù lµ phÐp ®ång d¹ng tû sè k = 1, cßn phÐp vÞ tù t©m O tØ sè k lµ phÐp ®ång d¹ng tû sè k. Nh­ vËy ta cã: - TÝch hai phÐp ®ång d¹ng víi tû sè k vµ k’ lµ phÐp ®ång d¹ng víi tû sè k.k’. 1 - §¶o ng­îc cña phÐp ®ång d¹ng tû sè k lµ phÐp ®ång d¹ng tû sè . k - TËp hîp c¸c phÐp cña P lµ thµnh mét nhãm, gäi lµ nhãm ®ång d¹ng cña P, kÝ hiÖu lµ § d (P). VÝ dô : Chøng tá r»ng phÐp vÞ tù t©m O tû sè k cña P lµ mét phÐp ®ång d¹ng cña P víi tû sè k . Tr¶ lêi . Trong P phÐp vÞ tù t©m O tû sè k lµ mét phÐp biÕn h×nh biÕn mçi ®iÓm M thuéc thµnh ®iÓm   M’ sao cho SM = kSM’   Tõ ®ã suy ra M’N’ = k MN . VËy phÐp vÞ tù t©m O tû sè k lµ mét phÐp ®ång d¹ng cña P víi tû sè k. 2.1.1 Ph©n tÝch mét phÐp ®ång d¹ng. §Þnh lý : Mäi phÐp ®ång phÐp d¹ng ®Òu ®Òu ®­îc ph©n tÝch thµnh tÝch cña mét phÐp vÞ tù vµ mét phÐp ®¼ng cù ( hoÆc tÝch cña mét phÐp ®¼ng cù víi mét phÐp vÞ tù) Chøng minh : Gi¶ sö f : P  P lµ phÐp ®ång d¹ng tû sè k > 0 Ta lÊy mét ®iÓm O nµo ®ã vµ gäi V lµ phÐp vÞ tù t©m O víi tû sè k. PhÐp ®¶o ng­îc V-1 cña 1 khi ®ã tÝch § = f. V-1 lµ phÐp ®ång d¹ng tû sè 1 nªn lµ V lµ mét phÐp vÞ tù t©m O tû sè k phÐp ®¼ng cù. VËy f. V-1 = D hay f = V.D Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 15 -
  16. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y VËy f lµ tÝch cña phÐp vÞ tù V vµ phÐp ®¼ng cù § . T­¬ng tù tÝch §’ = f. V-1 lµ mét phÐp ®¼ng cù nªn f = §’.V 2.1.2 TÝnh chÊt cña mét phÐp ®ång d¹ng. a. §Þnh lý 1: PhÐp ®ång d¹ng lµ mét phÐp afin. Qua mét phÐp ®ång d¹ng ¶nh cña ®­êng th¼ng lµ ®­êng th¼ng, ¶nh cña tia lµ tia, ¶nh cña ®o¹n th¼ng lµ ®o¹n th¼ng, ¶nh cña mét gãc lµ gãc cã cïng sè ®o, ¶nh cña mét tam gi¸c lµ tam gi¸c ®ång d¹ng víi nã, ¶nh cña ®­êng trßn lµ ®­êng trßn. VÝ dô : Trong (P) CMR : ®­êng trung tuyÕn, ®­êng cao, ®­êng ph©n gi¸c, ®­êng trung trùc cña tam gi¸c lµ c¸c kh¸i niÖm ®ång d¹ng. Tr¶ lêi : - §­êng trung tuyÕn lµ kh¸i niÖm ®ång d¹ng v× phÐp ®ång d¹ng biÕn ®­êng th¼ng thµnh ®­êng th¼ng vµ b¶o toµn trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng. - §­êng cao lµ mét kh¸i niÖm ®ång d¹ng v× phÐp ®ång d¹ng b¶o toµn ®­êng th¼ng vµ b¶o toµn gãc. - §­êng ph©n gi¸c lµ mét kh¸i niÖm ®ång d¹ng v× phÐp ®ång d¹ng b¶o toµn ®­êng th¼ng vµ b¶o toµn gãc. - §­êng trung trùc lµ kh¸i niÖm ®ång d¹ng v× phÐp ®ång d¹ng b¶o toµn gãc vµ b¶o toµn trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng. b. §Þnh lý 2: NÕu A’, B’ lµ ¶nh cña hai ®iÓm A, B trong phÐp ®ång d¹ng V* ( hoÆc V** ), th× A’B’ = k AB . Chøng minh : Ta chøng minh cho tr­êng hîp V**. a xÐt hai ®iÓm A,B bÊt k× . KÝ hiÖu A 1 ,B 1 lµ ¶nh cña A, B trong phÐp biÕn ®æi F, ta cã A 1 B 1 = AB.   PhÐp biÕn ®æi H ( 0,k ) biÕn A 1  A’ , B 1  B’, do ®ã A’B’ = kA 1 B 1 vµ A’B’ = k A 1 B 1 Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn ta suy ra A’B’ = k A 1 B 1 . 2.1.3 BiÓu thøc täa ®é :  Trong mÆt ph¼ng ¥-clit P ®· cho môc tiªu trùc chuÈn (O, i , j ) xÐt phÐp ®ång d¹ng f : P P víi tû sè k > 0, k = 1. Ta ®· biÕt f = §.V trong ®ã V lµ phÐp vÞ tù t©m O víi tû sè k, cßn § lµ phÐp ®¼ng cù . NÕu qua phÐp vÞ tù ¶nh cña ®iÓm M (x,y) lµ ®iÓm M 1 (x 1 ,y 1 ) th× : x 1 = kx y 1 = ky NÕu qua phÐp ®¼ng cù § ¶nh cña ®iÓm M 1 (x 1 ,y 1 ) lµ ®iÓm M’ (x’,y’) th× : x’ = ax 1 + cy 1 + p y’ = bx 1 + dy 1 + q a c lµ ma trËn trùc giao, tøc lµ A t .A = I2 h¬n n÷a DetA = 1 hoÆc Trong ®ã ma trËn A = bd DetA = -1. Nh­ vËy, biÓu thøc täa ®é cña phÐp ®ång d¹ng f ®èi víi môc tiªu ®· cho lµ: Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 16 -
  17. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y x’ = kax + kcy + p y’ = kbx + kby + q 2.1.4 PhÐp ®ång d¹ng thuËn, phÐp ®ång d¹ng nghÞch. 2.1.4.1 §Þnh nghÜa . - PhÐp ®ång d¹ng gäi lµ ®ång d¹ng thuËn nÕu ma trËn cña nã (®èi víi môc tiªu trùc chuÈn) cã ®Þnh thøc d­¬ng : Det(kA) = k2 - PhÐp ®ång d¹ng gäi lµ ®ång d¹ng nghÞch nÕu ma trËn cã ®Þnh thøc ©m : Det (kA) = - k2 . (k > 0) Chó ý : Theo kÕt qu¶ trªn ta cã : PhÐp ®ång d¹ng thuËn lµ tÝch cña mét phÐp vÞ tù vµ mét phÐp dêi h×nh. (hoÆc tÝch cña mét phÐp dêi h×nh vµ mét phÐp vÞ tù). PhÐp ®ång d¹ng nghÞch lµ tÝch cña mét phÐp vÞ tù vµ mét phÐp ph¶n chiÕu (hoÆc tÝch cña mét phÐp ph¶n chiÕu hoÆc mét phÐp vÞ tù). 2.1.5 Ph©n tÝch mét phÐp ®ång d¹ng a. §Þnh lý 1 : Mäi phÐp ®ång d¹ng thuËn f víi tû sè k > 0, k = 1(tøc f kh«ng ph¶i lµ mét phÐp dêi h×nh) ®Òu phËn tÝch ®­îc thµnh tÝch cña mét phÐp vÞ tù t©m O tØ sè k vµ mét phÐp cã t©m quay trung víi t©m O cña phÐp vÞ tù (hoÆc tÝch cña mét phÐp quay cã t©m O vµ mét phÐp vÞ tù tØ sè k, t©m trïng víi t©m O cña phÐp quay) TÝch hai phÐp ®ã ®­îc gäi lµ d¹ng chÝnh t¾c cña phÐp ®ång d¹ng thuËn f. Chøng minh : Gi¶ sö f lµ mét phÐp ®ång d¹ng thuËn tû sè k > 0, k  1. Gäi O lµ ®iÓm bÊt ®éng cña f : f(O) = O ta cã thÓ ph©n tÝch f = D.V, trong ®ã V lµ phÐp vÞ tù t©m O tû sè k, cßn D lµ phÐp dêi. V× V(O) = O nªn D (O) = O, vËy phÐp dêi D cã ®iÓm bÊt ®éng O nªn nã lµ phÐp quay t©m O. HiÓn nhiªn trong tr­êng hîp nµy D.V = V.D. b.§Þnh lý 2 : Mäi phÐp ®ång d¹ng nghÞch f víi tû sè k > 0, k = 1(tøc f kh«ng ph¶i phÐp phµn chiÕu), ®Òu ph©n tÝch ®­îc thµnh tÝch cña mét phÐp vÞ tù t©m O tû sè k vµ mét phÐp ®èi xøng trôc cã trôc d lµ ®­êng th¼ng ®i qua t©m O cña phÐp vÞ tù (hoÆc tÝch cña mét phÐp ®èi xøng trôc d vµ mét phÐp vÞ tù t©m O tû sè k, cã t©m n»m trªn trôc d cña phÐp ®èi xøng. TÝch 2 phÐp ®ã ®­îc gäi lµ chÝnh t¾c cña phÐp ®ång d¹ng nghÞch (víi k>0, k  1)). Chøng minh : Gi¶ sö f lµ phÐp ®ång d¹ng nghÞch víi tû sè k  1. Gäi O lµ ®iÓm bÊt ®éng cña f : f(O) = O. Ta cã thÓ ph©n tÝch f = §.V, trong ®ã V lµ phÐp vÞ tù t©m O tØ sè k, cßn § lµ phÐp ph¶n chiÕu. V× V(O) = O nªn O cïng lµ ®iÓm bÊt ®éng cña phÐp phµn chiÕu §. Suy ra § lµ phÐp ®èi xøng trôc ®i qua O . HiÓn nhiªn §.V = V.§. 2.1.6 Nhãm ®ång d¹ng vµ h×nh häc cña nhãm ®ång d¹ng. 2.1.6.1 Hai h×nh ®ång d¹ng §Þnh nghÜa : H×nh H ®­îc gäi lµ t­¬ng ®­¬ng ®ång d¹ng hay ®ång d¹ng víi h×nh H’ nÕu tån t¹i mét phÐp ®ång d¹ng f biÕn H thµnh H’ V× §d (P) lµ mét nhãm nªn: i) Mäi h×nh H ®Òu ®ång d¹ng víi chinh nã. ii) NÕu h×nh H ®ång d¹ng víi h×nh H’ th× h×nh H’ ®ång d¹ng víi h×nh H. iii) Hai h×nh cïng ®ång d¹ng víi h×nh thø ba th× ®ång d¹ng víi nhau. a. BÊt biÕn ®ång d¹ng. §Þnh nghÜa : + Mét tÝnh chÊt cña h×nh H ®­îc gäi lµ tÝnh chÊt ®ång d¹ng nÕu mäi h×nh ®ång d¹ng víi H ®Òu cã tÝnh chÊt ®ã. Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 17 -
  18. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y + Mét kh¸i niÖm ®­îc gäi lµ kh¸i niÖm ®ång d¹ng nÕu nã kh«ng thay ®æi qua bÊt k× phÐp ®ång d¹ng nµo. + C¸c tÝnh chÊt ®ång d¹ng vµ c¸c kh¸i niÖm ®ång d¹ng ®­îc gäi chung lµ c¸c bÊt biÕn cña nhãm ®ång d¹ng hay bÊt biÕn ®ång d¹ng. 2.1.6.2 H×nh häc cña nhãm ®ång d¹ng . §Þnh nghÜa : M«n häc nghiªn cøu c¸c bÊt biÕn ®ång d¹ng gäi lµ h×nh häc cña nhãm ®ång d¹ng (hay h×nh häc ®ång d¹ng). Ta còng gäi tËp hîp tÊt c¶ c¸c bÊt biÕn ®ång d¹ng lµ h×nh häc ®ång d¹ng. 2.2 PhÐp vÞ tù 2.2.1 §Þnh nghÜa : Cho ®iÓm O vµ tØ sè k  0. PhÐp biÕn h×nh biÕn mçi ®iÓm M thµnh ®iÓm   M’ sao cho OM’ = k OM ®­îc gäi lµ phÐp vÞ tù t©m O, tØ sè k. PhÐp vÞ tù t©m O, tØ sè k th­êng ®­îc kÝ hiÖu lµ Vk O M' P' P M N O N' NhËn xÐt : * PhÐp vÞ tù biÕn t©m vÞ tù thµnh chÝnh nã. * Khi k = 1 phÐp vÞ tù lµ phÐp ®ång nhÊt. * Khi k = -1, phÐp vÞ tù lµ phÐp ®èi xøng qua t©m vÞ tù. * M’ V(O,k) (M)  M = V (o,1 ) (M’) . k 2.2.2 TÝnh chÊt : NÕu phÐp vÞ tù tØ sè k biÕn hai ®iÓm M, N tïy ý theo thø tù M’, N’ th×     theo vect¬ M’N’ = k MN vµ M’N’ = k MN . Chøng minh: M' M N O N' Gäi O lµ t©m cña phÐp vÞ tù tØ sè k. Theo ®Þnh nghÜa cña phÐp vÞ tù ta cã : Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 18 -
  19. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y     OM = kOM’ vµ ON’ = k ON         Do ®ã : M’N’ = ON’ - OM’ = k ON - k OM = k( ON - OM ) = k MN  M’N’ = k MN. 2.2.3 TÝnh chÊt 2 : PhÐp vÞ tù tØ sè k : - BiÕn ba ®iÓm th¼ng hµng thµnh ba ®iÓm th¼ng hµng vµ b¶o toµn thø tù gi÷a c¸c ®iÓm Êy. - BiÕn ®­êng th¼ng thµnh ®­êng th¼ng song song hoÆc trïng víi nã, biÕn tia thµnh tia, biÕn ®o¹n th¼ng thµnh ®o¹n th¼ng. - BiÕn tam gi¸c thµnh tam gi¸c ®ång d¹ng víi nã, biÕn gãc thµnh gãc b»ng nã. - BiÕn ®­êng trßn b¸n kÝnh R thµnh ®­êng trßn b¸n kÝnh k R . A A' B B' I C' C Chøng minh :   1. Gi¶ sö ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng mµ B n»m gi÷a A vµ C, tøc lµ BA = m BC ( víi m< 0) NÕu phÐp vÞ tù tØ sè k biÕn ba ®iÓm A, B, C lÇn l­ît thµnh A’, B’,C’ . Theo tÝnh chÊt 1 ta cã:     B’C’ = k BC ; B’A’ = k BA     B’A’ = k(m BC ) = m (k BC ) = m B’C’ Tøc lµ ba ®iÓm A’,B’,C’ th¼ng hµng víi B’ n»m gi÷a A’ vµ C’. 2. Gi¶ sö V lµ phÐp vÞ tù t©m O tØ sè k vµ (I,R) lµ ®­êng trßn ®· cho. Gäi I’ lµ ¶nh cña I vµ M’ lµ ¶nh cña M bÊt k× th× ta cã : I’M = k IM Bëi vËy IM = R  I’M’ = k R hay lµ M’ (I’,R) víi R’ = k R §ã chÝnh lµ ¶nh cña ®­êng trßn (I,R) qua phÐp vÞ tù. Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 19 -
  20. TiÓu luËn phÐp biÕn h×nh Tr­êng C§SP Hµ T©y M' I' M O 2.2.4 X©y dung biÓu thøc täa ®é . Chän hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho t©m vÞ tù trïng víi gèc täa ®é O. Víi mçi ®iÓm M(x,y) qua phÐp vÞ tù t©m O biÕn ®iÓm M(x,y) thµnh ®iÓm M’(x’ , y’) sao cho:   OM = kOM’ x’ - 0 = k( x- 0) x’ = kx  y’ - 0 = k (y- 0) y’ = ky VËy biÓu thøc trªn ®­îc gäi lµ biÓu thøc täa ®é cña phÐp vÞ tù Vk . 0 KẾT HỢP CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Quá trình áp dụng các phép biến đ ổi liên tiếp để tạo nên mộ t phép biến đổ i tổng thể được gọi là sự kết hợp các phép biến đổi (composing transformation). 1.1 Kết hợp các phép tịnh tiến Nếu ta thực hiện phép tịnh tiến lên được P’ , rồ i lại thực hiện tiếp một phép tịnh tiến . Như vậy, Q là ảnh của phép biến đổi kết hợp hai phép khác lên P’, ta được điểm và tịnh tiến liên tiếp có tọa độ : Ta có : hay : Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 20 -
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.09: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Quản Trị Kinh Doanh
81 tài liệu
1643 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2