Tr êng C§SP Hµ T©y TiÓu luËn phÐp biÕn
h×nh
Môc lôc
Tªn Môc Trang
Ch¬ng I : C¬ së lý luËn 2
Më ®Çu phÐp biÕn h×nh 2
C¸c phÐp biÕn h×nha 3
Nh×n chung phÐp dêi h×nh 3
PhÐp biÕn h×nh ®ång nhÊt 3
PhÐp tÞnh tiÕn 3
PhÐp ®èi xøng qua t©m 5
PhÐp ®èi xøng trôc 10
PhÐp quay 13
C¸c phÐp biÕn h×nh ®ång d¹ng 14
PhÐp ®ång d¹ng 14
PhÐp vÞ tù 17
KÕt hîp c¸c phÐp biÕn ®æi 19
S¬ ®å mèi liªn hÖ gi÷a c¸c phÐp biÕn h×nh 21
Ch¬ng II : Thùc hµnh - VËn dông 22
PhÐp tÞnh tiÕn 22
PhÐp ®èi xøng qua t©m 24
PhÐp ®èi xøng trôc 27
PhÐp quay 29
PhÐp vÞ tù 32
PhÐp ®ång d¹ng 33
Mét sè c©u hái tr¾c nghiÖm 34
Tµi liÖu tham kh¶o.
- S¸ch gi¸o khoa h×nh häc n©ng cao + c¬ b¶n líp 11.
- S¸ch bµi tËp h×nh häc n©ng cao + c¬ b¶n líp 11.
- Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n h×nh häc 11.
- Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái To¸n THPT - PhÐp biÕn h×nh trong mÆt
ph¼ng cña §ç Thanh S¬n.
- S¸ch gi¸o tr×nh m«n H×nh häc cao cÊp hÖ ®µo t¹o GVTHCS cña V¨n Nh C-
¬ng (chñ biªn).
- Mét sè tµi liÖu su tÇm trªn Internet.
Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 1 -
Tr êng C§SP Hµ T©y TiÓu luËn phÐp biÕn
h×nh
Ch¬ng I : c¬ së lý luËn
A. Më ®Çu vÒ phÐp biÕn h×nh .
I. PhÐp biÕn h×nh.
1.1 . §Þnh nghÜa .
Trong ®¹i sè ta biÕt mét kh¸i niÖm quan träng : kh¸i niÖm “ Hµm sè ” ®îc
ph¸t biÓu : “ NÕu cã mét quy t¾c ®Ó víi mçi sè x
∈
R th× quy t¾c ®ã gäi lµ
mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn tËp sè thùc R.”
NÕu trong mÖnh ®Ò trªn tathay sè thùc b»ng ®iÓm thuéc mÆt ph¼ng
th× ta ®îc kh¸i niÖm vÒ phÐp biÕn h×nh trong mÆt ph¼ng . Cô thÓ lµ : NÕu
cã mét quy t¾c ®Ó víi mçi ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng, x¸c ®Þnh ®îc mét ®iÓm
duy nhÊt M’ thuéc mÆt ph¼ng Êy th× quy t¾c ®ã gäi lµ mét phÐp biÕn h×nh
( trong mÆt ph¼ng).
VËy ta cã thÓ suy ra ®Þnh nghÜa phÐp biÕn h×nh :
§Þnh nghÜa : PhÐp biÕn h×nh (trong mÆt ph¼ng ) lµ mét quy t¾c ®Ó víi
mçi ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng, x¸c ®Þnh mét ®iÓm duy nhÊt M’ thuéc mÆt
ph¼ng Êy. §iÓm M’ gäi lµ ¶nh cña ®iÓm M qua phÐp biÕn h×nh ®ã.
1.2 C¸c vÝ dô.
VÝ dô 1 : Cho ®êng th¼ng d. Víi mçi ®iÓm M, ta x¸c ®Þnh M’ lµ h×nh chiÕu
(vu«ng gãc) cña M trªn d (h×nh 1) th× ta ®îc mét phÐp biÕn h×nh.
PhÐp biÕn h×nh gäi lµ phÐp chiÕu (vu«ng gãc) lªn ®êng
th¼ng
d
Hinh 1
M
M'
VÝ dô 2 : Cho vÐc t¬
u
, víi mçi ®iÓm M ta x¸c ®Þnh ®iÓm M’ theo quy t¾c =
(h×nh 2) M
Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 2 -
Tr êng C§SP Hµ T©y TiÓu luËn phÐp biÕn
h×nh
u
M’
Nh vËy, ta còng cã mét phÐp biÕn h×nh. PhÐp biÕn h×nh ®ã gäi lµ phÐp tÞnh
tiÕn theo vÐct¬
u
.
VÝ dô 3 : Víi mçi ®iÓm M, ta x¸c ®Þnh ®iÓm M’ trïng víi M th× ta còng ®îc mét
phÐp biÕn h×nh. PhÐp biÕn h×nh ®ã gäi lµ phÐp ®ång nhÊt.
1.3 KÝ hiÖu vµ thuËt ng÷.
NÕu ta kÝ hiÖu mét phÐp biÕn h×nh nµo ®ã lµ F vµ ®iÓm M’ lµ ¶nh cña
®iÓm M qua phÐp biÕn h×nh F th× ta viÕt M’ = F(M), hoÆc F(M) =M’. Khi ®ã,
ta cßn nãi phÐp biÕn h×nh F biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M’.
Víi mçi h×nh H, ta gäi h×nh H’ gåm c¸c ®iÓm M’ = F(M), trong ®ã M
∈
H, lµ
¶nh cña H qua phÐp biÕn h×nh F, vµ biÕt H’ = F(M).
B.C¸c phÐp biÕn h×nh .
I. PhÐp dêi h×nh
1.1 §Þnh nghÜa :
PhÐp dêi h×nh lµ phÐp biÕn h×nh kh«ng lµm thay ®æi kho¶ng c¸ch gi÷a
hai ®iÓm bÊt k×.
1.2 §Þnh lý - tÝnh chÊt.
a. §Þnh lý : PhÐp dêi h×nh biÕn ba ®iÓm th¼ng hµng thµnh ba ®iÓm th¼ng
hµng vµ kh«ng lµm thay ®æi thø tù ba ®iÓm ®ã, biÕn ®êng th¼ng thµnh
®êng th¼ng, biÕn tia thµnh tia, biÕn ®o¹n th¼ng thµnh ®o¹n th¼ng b»ng
nã, biÕn tam gi¸c thµnh tam gi¸c b»ng nã, biÕn ®êng trßn thµnh ®êng trßn
cã cïng b¸n kÝnh, biÕn gãc thµnh gãc b»ng nã.
b. TÝnh chÊt: NÕu phÐp dêi h×nh f cã ba ®iÓm bÊt ®éng kh«ng th¼ng
hµng, th× f lµ mét phÐp ®ång nhÊt.
Chøng minh : Ta kÝ hiÖu
1.3 Nhãm c¸c phÐp biÕn h×nh dêi h×nh.
1.3.1 PhÐp ®ång nhÊt.
1.3.1.1 §Þnh nghÜa.
PhÐp ®ång nhÊt lµ mét phÐp biÕn h×nh ®Æc biÖt, nã
biÕn mäi ®iÓm M thµnh chÝnh ®iÓm M. PhÐp ®ång nhÊt th-
êng ®îc kÝ hiÖu lµ Id víi mäi ®iÓm M thuéc mÆt ph¼ng P,
Id(M) = M.
F : P
→
P
M
M
Th× f = Id
1.3.2 PhÐp tÞnh tiÕn.
1.3.2.1 §Þnh nghÜa .
PhÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ lµ mét phÐp biÕn h×nh
biÕn ®iÓm M thµnh ®iÓm M’ sao cho =
Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 3 -
Tr êng C§SP Hµ T©y TiÓu luËn phÐp biÕn
h×nh
PhÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ u thêng ®îc kÝ hiÖu lµ T hoÆc T
u
.
Vect¬ ®îc gäi lµ vect¬ tÞnh tiÕn.
•PhÐp tÞnh tiÕn ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt vec t¬ tÞnh tiÕn.
T
u
: M
→
M’
⇔
=
• Chó ý khi = th× phÐp tÞnh tiÕn thµnh phÐp ®ång
nhÊt.
1.3.2.2 §Þnh lý, tÝnh chÊt.
a. §Þnh lý 1 : NÕu phÐp tinh tiÕn biÕn hai ®iÓm M vµ N lÇn lît
thµnh hai ®iÓm M’ vµ N’ th× M’N’ = MN.
Chøng minh :
Gi¶ sö phÐp tÞnh tiÕn theo u biÕn 2 ®iÓm M, N lÇn lît thµnh
hai ®iÓm M’, N’ ta cã:
T
u
(M) = M’
T
u
(N) = N’
V× = , = nªn =
⇔
MNN’M’ lµ h×nh b×nh hµnh
⇒
MN = M’N’
Ngêi ta diÔn t¶ tÝnh chÊt trªn cña phÐp tÞnh tiÕn lµ : PhÐp tÞnh
tiÕn kh«ng lµm thay dæi kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×.
b. §Þnh lý 2 : PhÐp tÞnh tiÕn ba ®iÓm th¼ng hµng thµnh ba
®iÓm th¼ng hµng vµ kh«ng lµm thay ®æi thø tù ba ®iÓm ®ã.
Chøng minh :
Gi¶ sö phÐp tÞnh tiÕn ba ®iÓm A, B, C thµnh ba ®iÓm A’, B’, C’
. Theo ®Þnh lý 1, ta cã:
A’B’ = AB ; B’C’ = BC vµ A’C’ = AC.
NÕu A, B, C th¼ng hµng, B n»m gi÷a A vµ C th× :
AB + BC = AC.
Do ®ã ta còng cã : A’B’ + B’C’ = A’C’ ; tøc lµ A’, B’, C’ th¼ng
hµng, trong ®ã B’ n»m gi÷a A’ vµ C’.
Tõ ®Þnh lý trªn ta cã hÖ qu¶ sau ®©y.
c. HÖ qu¶ : PhÐp tÞnh tiÕn biÕn ®êng th¼ng thµnh ®êng
th¼ng, biÕn tia thµnh tia, biÕn ®o¹n th¼ng thµnh ®o¹n th»ng
b»ng nã, biÕn tam gi¸c thµnh tam gi¸c b»ng nã, biÕn ®êng
trßn thµnh ®êng trßn thµnh ®êng trong cã cïng b¸n kÝnh,
biÕn gãc thµnh gãc b»ng nã.
d. BiÓu thøc täa ®é cña phÐp tÞnh tiÕn.
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy, cho phÐp tÞnh tiÕn
theo vect¬ u.
y
BiÕt täa ®é cña (a,b )
Gi¶ sö ®iÓm M(x,y) biÕn thµnh ®iÓm M’ (x’,y’)
Khi ®ã ta cã x’ = x + a
Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 4 -
Tr êng C§SP Hµ T©y TiÓu luËn phÐp biÕn
h×nh
y’ = y + b
C«ng thøc trªn gäi lµ biÓu thøc täa ®é cña phÐp tÞnh tiÕn
theo vect¬
(a ;b) .
1.3.3 PhÐp ®èi xøng qua t©m.
1.3.3.1 §Þnh nghÜa :
Cho tríc ®Óm O. PhÐp biÕn ®æi Z
biÕn O thµnh O vµ
biÕn mét ®iÓm M kh¸c O thµnh ®iÓm M’ sao cho + = ®îc gäi
lµ phÐp ®èi xøng qua t©m. §iÓm O ®îc gäi lµ t©m cña phÐp ®èi xøng
hoÆc lµ t©m ®èi xøng.
Cho h×nh F. TËp hîp ¶nh cña mäi ®iÓm thuéc F trong phÐp
biÕn ®æi Z
lËp thµnh mét h×nh F’ ®îc gäi lµ ¶nh cña h×nh F trong
phÐp ®èi xøng qua t©m O. NÕu F’ trïng víi F, th× ta nãi F lµ h×nh cã
t©m ®èi xøng.
1.3.3.2 §Þnh lý - TÝnh chÊt :
a. TÝnh chÊt 1 : PhÐp biÕn ®æi Z
cã mét ®iÓm bÊt ®éng duy
nhÊt.
Chøng minh : NÕu O’ lµ mét ®iÓm bÊt ®éng thø 2 cña Z
, nghÜa
lµ :
Z
: O’
→
O’
⇒
= -
⇒
=
⇒
O’
≡
O.
b. TÝnh chÊt 2 : NÕu A’ vµ B’ lµ ¶nh cña hai ®iÓm A vµ B trong
phÐp biÕn ®æi Z
, th× = - .
O
B
B'
A
A'
Chøng minh : Theo ®Þnh nghÜa ta cã :
= - vµ = -
Suy ra :
= - = - + = - ( - ) = - .
=> §PCM.
c. TÝnh chÊt 3 : PhÐp biÕn ®æi Z
lµ phÐp biÕn ®æi 1 - 1.
Chøng minh: ThËt vËy, nÕu ®iÓm A’ lµ ¶nh cña c¸c ®iÓm A vµ B
trong phÐp biÕn ®æi Z
, th× ta cã = - vµ = - suy ra =
⇒
A
≡
B .
Nhãm 3 - Líp To¸n 30 B - 5 -