zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tính chất ảnh của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trong không gian các hàm giảm nhanh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến đổi Fourier là một biến đổi quan trọng có ứng dụng nhiều trong các bài toán liên quan đến đạo hàm riêng trên toàn không gian hoặc trên miền tuần hoàn. Bài viết trình bày nghiên cứu về biến đổi Fourier (cosine/sine) cho các hàm giảm nhanh. Đây là vấn đề đang được nghiên cứu thú vị bởi các tính chất và áp dụng của nó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính chất ảnh của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trong không gian các hàm giảm nhanh

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 TÍNH CHẤT ẢNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER COSINE, FOURIER SINE TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM GIẢM NHANH Nguyễn Ngọc Huy Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Ký hiệu j  j  Biến đổi Fourier là một biến đổi quan D u  D1 D2 ...Dn u; D j   1 2 n  , j  1, 2,... . trọng có ứng dụng nhiều trong các bài toán liên x j j quan đến đạo hàm riêng trên toàn không gian Định nghĩa 1. Không gian hàm giảm nhanh hoặc trên miền tuần hoàn. Bài báo trình bày trên  n là tập hợp:  nghiên cứu về biến đổi Fourier (cosine/sine)      n     C  ( n ) :    ,   cho các hàm giảm nhanh. Đây là vấn đề đang được nghiên cứu thú vị bởi các tính chất và trong đó   , : sup x D  ( x) , đa chỉ số   x n  áp dụng của nó.   (1 ,  2 ,...,  n )   n . Cho    n  là không gian các hàm giảm   nhanh. c  f   , s  f   là ảnh Fourier Ví dụ 1. a) Trên   , với k > 0, hàm cosine và sine của hàm f     n  . e  kx 2      . Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính b) Hàm f là có giá compact nếu giá của f: chất của phép biến đổi Fourier cosine, Fourier supp( f )   x   n | f ( x)  0 là một tập  sine trong không gian các hàm giảm nhanh. compact. Trên  n , tập tất cả các hàm f khả  Kết quả chính được nêu trong định lý 2. vi vô hạn có giá compact thuộc không gian 2. NỘI DUNG CHÍNH   n  .  Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi Định nghĩa 2. Cho hàm f     n  . Ảnh  nhắc lại một số khái niệm (trong tài liệu tham Fourier cosine và sine của hàm f ký hiệu là khảo [1] và [2]). c  f   , s  f   là các hàm được xác Ta ký hiệu tập các đa chỉ số: định bởi:      (1 , 2 ,..., n ) |  j    , j  1, 2,..., n n 2 c  f    cos( x ) f  x  dx,   n n  với độ dài     j . 2 s  f    sin( x ) f  x  dx   j 1 C ( )  u :  n   là tập các hàm khả n  n    trong đó: vi liên tục đến cấp vô hạn. Với mỗi hàm: x   x1 , x2 ,..., xn    n ,   1 ,  2 ,...,  n    n .   C  ( n ) ,   Mệnh đề 1. Cho các hàm  ,     n  ,   x  ( x1 , x2 ,..., xn )   n , x  x1 x2 ...xn ,  1  2 n  đa chỉ số   (1 ,  2 ,...,  n )   n . khi đó      n  và các phép biến đổi  54
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 Fourier cosine và sine là các phép đẳng cấu Bằng cách cho hàm   c1 , với  là tuyến tính trên    n  .  liên hợp phức của hàm  , ta có: Mệnh đề 2. Cho các hàm  ,     n  .  c 1  c ,   c và sử dụng (2.4) ta Khi đó: nhận được:   x  dx   c   d      n  . 2 2    x  Fc  x  dx     Fc   d , n  n  n  n   n   x  Fs  x  dx     Fs   d , n Tương tự ta cũng có kết quả cho phép biến   đổi Fourier sine. Mệnh đề được chứng minh.   x  dx   Fc   d , 2 2 n  n  Để áp dụng vào kết quả chính, ta nhắc lại định lý sau đây:   x  dx   Fs   d . 2 2 n  n  Định lý 1. (Riesz-Thorin, [3]) Cho các số thực 1  p1 , p2 , q1 , q2  , 0    1 và p, q xác Chứng minh. Sử dụng định nghĩa biến đổi Fourier cosine cho hàm   x  trong không định bởi: 1 1 1 1 1 1 gian các hàm giảm nhanh    n  , ta có:   (1   )   ,  (1   )   . p p1 p2 q q1 q2 2 Nếu U : Lp  Lq là một toán tử tuyến tính c  x    cos( x )   d . j j  n  bị chặn với chuẩn M j , j  1, 2 thì U : Lp  Lq Khi đó  ,     n  , ta có:  là một toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn:  2  U L  L  M 11 M 2 .     x  cos( x )   d dx p q   n n    (2.1) Định lý 2. Cho p  2, f  L1 ( n )  L2 ( n ) .       x  c  x  dx. n Thì ta có: c f p  f q , s f p  f q ,  Tương tự, ta nhận được: 2 1 1 c    cos( x )  x  dx,      n  , trong đó   1.    p q n  với  ,     n  . Nên: Chứng minh. Theo Mệnh đề 2 ta có:  c f 2  f 2 . Do đó M 2  c f L  L  1.  2  2 2        cos( x )  x  dx d n n Hơn nữa từ định nghĩa của c , ta có:     (2.2) c f   f 1 . Nên ta có:      c   d . n M 1  c f  1. Chọn   [0,1] thỏa  L  L1 Mặt khác, với các hàm  ,     n   theo mãn: định lý Fubini, ta có: 1 1 1 1 1   ,  (1   )   .  2  p 2 q 1 2    x     cos( x )   d dx n n Áp dụng định lý Riesz-Thorin với p1 = ,     (2.3) p2 = 2, q1 = 1, q2 = 2 ta được:  2  c f L  L  M 11 M 2  1.         cos( x )  x  dx d .   n n p q    Vậy c f  f q. p Kết hợp (2.1), (2.2) và (2.3), ta đạt được Lập luận tương tự:    x  c  x  dx n  s f p  f q .      c   d n  ,     n  (2.4)  Định lý được chứng minh.  55
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Yakubovich, S. (2014). On the half-Hartley transform, its iteration and composition with Fourier transforms. J. Integral Equations Applications, 26(4), 581-608. [2] Đặng Anh Tuấn, Giáo trình lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015. [3] Thorin, G. O. (1948). Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications". Comm. Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.], 9: 1-58. 56

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.