Toán 12: Chứng minh quan hệ vuông góc - Đáp án bài tập tự luyện (Phần 1)

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (Phần 01) ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến

thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Chứng minh quan hệ vuông góc. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.

(Tài liệu dùng chung bài 01+02)

SO BO

⇒ =

ABC

ASC

+ ∆

= ∆

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng: SB vuông góc SD. Giải: + Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi nên O là trung ñiểm của AC và BD 1 2

BSD

SB SD

⇒ ∠

= ⇔ ⊥

Giải:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK). b. Gọi I là giao ñiểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI. a. Ta có:

⇒

⊥

⇒

(

SBC

)

⊥ AH SC

(1)

⊥ AH SB ⊥ AH BC

  

⇒ ⊥

SDC

)

AK SC

(2)

⇒ ⊥ AK

(

⊥ AK SD ⊥ AK DC

   Từ (1) và (2) ta suy ra

⊥

(

AHK

)

= ∆

SAD

⇒ =

SH SK

b. Ta có: ∆ SAB

HK BD / /

( ðịnh lý Ta lét ñảo)

⇒

SH SK = ⇒ SD SB ⊥ BD AC

⇒ ⊥ BD

(

SAC

)

⊥ BD SA

  

- Trang | 1 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

HK BD / /

(

)

⇒

⊥

SAC

⇒

⊥ HK AI

(

)

⊥

SAC

  

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh rằng:

ABCD

⊥

(

)

Giải:

b. I, K lần lượt là trung ñiểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD. c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P). a. Ta có:

SO AC ⊥

(

ABCD

)

SO ⇒ ⊥

SO BD ⊥

  

⊥

)

(

IK BD do AC BD

SBD

IK SD

IK ⇒ ⊥

⇒ ⊥

(

)

IK SO ⊥

   c. + Gọi M là giao ñiểm của SB với mặt phẳng (P), N là giao ñiểm của DB với mặt phẳng (P).

⊂

SO P SO

SBD

/ /(

(

)

SO MN / /

∩

(

SBD

)

(

= P MN

)

 ⇒ 

⊥ SO BD

⇒

⊥ MN BD

MN SO / /

  

⊥ BD IK

⇒ ⊥ BD

(

)

⊥ BD MN

  

AA '

Bài 4: Cho lặng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’, ñáy ABC có AB = AD = a và góc

BAD∠

060

M, N lần lượt là trung ñiểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng:

⊥

(

BDMN

∩ ⇒ M là trung ñiểm SD, N là trung ñiểm SB, A’ là trung ñiểm SA.

Giải: + Gọi S BN DM = + Gọi O = AC ∩ BD

, SA CC

+ ∆ BAD ñều

a AO ⇒ = AC ⇒ = AO a = AO

+ Hai ∆ vuông SOA và ACC’ bằng nhau

⇒ ∠

= ∠

∠

+ ∠

0 = ⇒ ∠

+ ∠

⊥

. CAC ' AS

⊥

Mà AS O SOA 90 CAC ' SOA AC ' SO O 0 90 = ⇒

⇒

⊥

  

AC BD ' + AC ' ( BDMN ) AC SO '

Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.

Bài 5: Tứ diện SABC có

SA mp ABC

⊥

(

).

SAC

⊥

BHK

)

(

)

BHK

SBC

HK

⊥

a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( b. Chứng minh ( và (

)

(

)

).

Giải:

- Trang | 2 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

∆

⇒ ⊥

BH AC , theo giả thiết

. Nên

SA mp ABC

BH SA

⇒ ⊥

⊥

BH mp SAC

⊥

⇒ ⊥

SC BH

a. Vì H là trực tâm tam giác ABC )

(

)

∆

BK SC

Từ ñó suy ra (ñpcm)

⊥

SC mp BHK

⇒

⊥

⇒ ⊥ )

Do K là trực tâm SBC ( ( mp BHK

)

( mp SAC

)

b. Tương tự như trên ta cũng chứng minh ñược:

SB mp CHK

⊥

⇒ ⊥

SB HK

(

)

SC mp BHK

⊥

⇒ ⊥

SC HK

. Mà

(

)

Do ñó:

HK mp SBC

⊥

⇒

⊥

(

)

( mp SBC

)

( mp BHK

)

Giải:

⇒

⊥

Bài 6: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñều bằng a. Gọi M là trung ñiểm của AA’. Chứng minh rằng BM vuông góc với B’C. Gọi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung ñiểm của B’C. M là trung ñiểm AA’ nên MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân tại M B C MB . ⊥ ⇒

C’

A’

B’

⊥

B C MI B C BC ; ' ' ' '

SA ( ABCD ) . Gọi H, I, K lần lượt là

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O cạnh a.

⊥

hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung ñiểm của AB, AD, BC, SC. CMR: 3. 2. 1. SCD SAD SBC SAB CD AH AK BC 4. ); ); ); ); ( ( ( (

SC ( AHK ); 6. OM SAB ⊥ ( ); 7. ON ( SAD ); 8. BC OPQ ( ); 5.

⊥

9. BC SB ⊥ ; 10. CD SD ⊥ ; 11. AH SC ⊥ ; 12. AK SC ⊥ ;

- Trang | 3 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

SBC ) ( SAB ); 14.( SCD ) ( SAD ); 15. ( AHK ) ( SBC ); 16.( AHK ) ( SCD ); 13.(

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Quan hệ vuông góc

⊥

17.(

AHK ) ( SAC ); 18.( OQM ) ( SAB ); 19.( OQN ) ( SAD ); 20.( OPQ ) ( SBC );

Giải:

1. BC ⊥ AB (giả thiết ABCD là hình vuông) BC ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ (SAB).

2. CD ⊥ AD (giả thiết ABCD là hình vuông), CD ⊥ SA (do giả thiết SA ⊥ (ABCD)) ⇒ CD ⊥ (SAD). 3. AH ⊥ SB (giả thiết),

AH ⊥ BC (do theo câu 1 ta ñã có BC ⊥ (SAB) mà AH ⊂ (SBC) ) ⇒ AH ⊥ (SBC)

4. AK ⊥ SD (giả thiết)

AK ⊥ CD (do theo câu 2 ta ñã có CD ⊥ (SAD) mà AK ⊂ (SAD) ) ⇒ AK ⊥ (SCD) 5. AH ⊥ (SBC) (do theo câu 3) ⇒ AH ⊥ SC AK ⊥ (SCD) (do theo câu 4) ⇒ AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK) 6. OM là ñường trung bình của tam giác ABC nên OM//BC, mà BC ⊥ (SAB) (do theo câu 1) nên

OM ⊥ (SAB)

7. ON là ñường trung bình của tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD ⊥ (SAD) (do theo câu 2)

nên ON ⊥ (SAD).

8. OP là ñường trung bình của tam giác BDC nên OP//CD mà BC ⊥ CD (giả thiết) nên BC ⊥ OP

(*).

OQ là ñường trung bình của tam giác SAC nên OQ//SA mà SA ⊥ (ABCD) nên OQ ⊥ (ABCD), ⇒ BC ⊥ OQ (**). Vậy từ (*) và (**) ta có BC ⊥ (OPQ) 9. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.

10. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD.

11. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC.

12. Theo câu 4: AK ⊥ (SCD) ⇒ AK ⊥ SC.

13. Theo câu 1: BC ⊥ (SAB) mà BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAB).

14. Theo câu 2: CD ⊥ (SAD) mà CD ⊂ (SCD) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD).

- Trang | 4 -

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

15. Theo câu 3: AH ⊥ (SBC) mà AH ⊂ (AHK) ⇒ (AHK) ⊥ (SBC).

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương