Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
BÀI 04. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 03) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
b. a.
. d. c.
Giải
a. Đặt : x = sint ; t
. Suy ra :
Khi đó :
, nên b. Vì :
Đặt :
Suy ra :
.
(*) Khi đó :
. Ta tìm được sint , thay vào (*) ta Từ :
tính được I .
c. .
Vì điều kiện : , nên ta xét hai trường hợp :
- Trang | 1 -
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Với x>1
. Đặt
Do đó :
=
: Vậy
Với x<1 . Đề nghị học sinh tự làm .
* Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn :
Ta có :
Với : J
Tích phân :
d. Tính tích phân:
Đặt :
. Suy ra :
Khi đó :
Chú ý :
1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì :
Bài 2: Tính tích phân bất định sau
- Trang | 2 -
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
b. a.
d. c.
f. e.
h. g.
Giải
a.
Đặt : .
Vậy :
b.
Đặt : t= .
Vậy :
c.
Đặt : t =
Do đó :
Vậy :
=
d.
Đặt : t = .
Do đó : .
Vậy :
e.
- Trang | 3 -
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Đặt :
. Suy ra :
Vậy :
f.
Vì :
Đặt : t =
Suy ra :
. Thay : t = cotx vào . Vậy :
g.
Đặt :
Vậy :
h.
xét hai trường hợp :
Với : Đặt :
Suy ra :
Vậy :
Với : Đặt t =
Suy ra :
- Trang | 4 -
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Vậy :
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau:
a.
Viết lại : .
Đặt :
Khi đó :
b.
Ta viết lại :
Đặt : .
Khi đó :
c.
Ta có :
Tính :
Đặt :
Thay vào (1) :
d.
Theo nhận xét trên , ta sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta có :
(1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1)
- Trang | 5 -
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Đồng nhất thức ta được :
. Khi đó :
* Có nhận xét gì khi giải bằng cách lấy tích phân từng phần ba lần ( Do đây là đa thức bậc ba ).
: Đặt
(1)
Tính :J=
Đặt :
Tính : K=
Đặt :
Thay các kết quả tìm được lần lượt vào (2) và (1) ta tính được I
J=
I=
- Như vậy vấn đề đặt ra là : Em nào thấy cách nào dễ hiểu và không bị nhầm lẫn , thì chọn cách đó
, không nhất thiết là dài hay ngắn , quan trọng nhất là kết quả phải chính xác .
e.
Ta có :
Tính tích phân J= .
Đặt :
Tính tích phân K= .
Đặt :
- Trang | 6 -
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
Từ (2) và (3) ta có hệ :
Thay vào (1) ta được : I=
f.
Đặt :
g.
Đặt :
Tính tích phân J= .
Đặt :
Thay vào (1) ta được : I=
* Chú ý : Qua hai ví dụ trên ta thấy số lần lấy tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức P(x). Nghĩa là : số bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng nhiều .
h.
Đặt :
Suy ra :
I
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
