Phương pháp giải và sáng tạo bài toán dãy số thực: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  NGUYỄN HẠ VY PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ THỰC

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƢỜI

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp

tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016.

Tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Dãy số là một phần cơ bản của giải tích toán học, các vấn đề

cơ bản về dãy số bao gồm: khảo sát sự hội tụ, tìm giới hạn của

dãy, tính đơn điệu và tính bị chặn của dãy.

Một trong những yêu cầu của đề thi học sinh giỏi các cấp là

các câu hỏi trong đề thi phải mới, không được lấy ở bất kỳ nguồn

tài liệu nào. Vì thế kỹ năng sáng tạo các bài toán mới về dãy số

cũng là một yêu cầu không thể thiếu đối với giáo viên.

Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ năng giải và sáng tạo

các bài toán về dãy số, tôi quyết định chọn đề tài : “Phương pháp

giải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực” cho luận văn thạc sĩ

của mình.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tổng hợp, sắp xếp lại lý thuyết và các phương pháp

giải các bài toán về dãy số. Luận văn cũng tập trung vào nghiên

cứu một số cách thức sáng tạo ra các bài toán về dãy số.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết dãy số thực, các phương pháp giải và

sáng tạo các bài toán về dãy số thực.

4. Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy

số thực” tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau :

+ Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá và tổng hợp.

+ Áp dụng các phương pháp giải đã có trong bài toán về dãy.

+ Sáng tạo ra các bài toán mới dựa trên bài toán gốc.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn. Có thể sử dụng

làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên giảng

dạy toán và các đối tượng quan tâm đến các bài toán dãy số.

6. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn

được chia thành ba chương, trong đó:

Chương 1: Trình bày sơ lược các kiến thức bổ trợ về dãy số,

tính đơn diệu, tính bị chặn của dãy số, sự hội tụ của dãy số, khái

niệm về sai phân, phương trình sai phân.

Chương 2: Trình bày các phương pháp giải các bài toán tìm

số hạng tổng quát của dãy, các bài toán về tính đơn điệu, tính bị

chặn của dãy số, các bài toán chứng minh sự hội tụ và tìm giới

hạn của dãy số.

Chương 3: Trình bày một số phương pháp sáng tạo ra các bài

toán mới như: phương pháp đặc biệt hóa, phương pháp tổng quát

hóa, phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp khảo sát tính đơn

điệu của hàm số.

Cùng với sự hướng dẫn của Thầy giáo TS. Phạm Quý Mười, tôi đã

chọn đề tài "PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI

TOÁN VỀ DÃY SỐ THỰC" cho luận văn thạc sĩ của mình.

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC

Trong chương này, trình bày các khái niệm cơ bản về dãy số,

dãy đơn điệu, dãy bị chặn, giới hạn của dãy, các tính chất liên quan

đến giới hạn dãy số, một số dãy đặc biệt và sơ lược về phương trình

sai phân.

1.1. DÃY SỐ, DÃY ĐƠN ĐIỆU, DÃY BỊ CHẶN

f (un) , n ∈ N.

Định lý 1.1. Cho f : I → I là một ánh xạ, xét dãy số un+1 =

n∈N là dãy tăng, nếu u0 (cid:62) u1 thì

(cid:1)

(cid:0)un

n∈N là dãy tăng, nếu u0 (cid:62) u2 thì

(cid:1)

n∈N là dãy giảm.

n∈N là dãy tăng, nếu u1 (cid:62) u3 thì

(cid:0)u2n (cid:1)

(cid:1) (cid:0)u2n+1 1) Trường hợp f tăng trên I - Nếu u0 (cid:54) u1 thì (cid:0)un (cid:1) n∈N là dãy giảm. 2) Trường hợp f giảm trên I - Nếu u0 (cid:54) u2 thì (cid:0)u2n (cid:1) - Nếu u1 (cid:54) u3 thì (cid:0)u2n+1 n∈N là dãy giảm.

1.2. GIỚI HẠN DÃY SỐ

n∈N. Khi đó,

(cid:1)

(cid:1) (cid:1) n∈N hội tụ đến l1 và hội tụ đến l2 thì l1 = l2. (cid:1) n∈N hội tụ đến l thì mọi dãy con trích từ (cid:0)un n∈N

n∈N hội tụ đến l khi và chỉ khi (cid:0)u2n

n∈N và (cid:0)u2n+1

n∈N

(cid:1) (cid:1) (cid:1) Định lý 1.2. Cho dãy số (cid:0)un 1) Nếu (cid:0)un 2) Nếu (cid:0)un cũng hội tụ đến l. 3) Dãy (cid:0)un

hội tụ đến l.

Định lý 1.3. (Định lý Weierstrass)

1) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.

2) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

3) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

un = l thì f (l) = l.

Nhận xét

Cho dãy số un+1 = f (un) , n ∈ N. Nếu f liên tục trên I và lim n→+∞

1.3. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

1.4. SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

1.4.1. Sai phân

1.4.2. Phương trình sai phân tuyến tính

1.4.3. Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất

Định nghĩa 1.11. Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất

là phương trình sai phân dạng:

u1 = α, aun+1 + bun = f (n) , n ∈ N∗,

(1.4)

trong đó α, a (cid:54)= 0, b (cid:54)= 0 là các hằng số và f (n) là biểu thức của n

cho trước.

1.4.4. Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai

Định nghĩa 1.12. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

là phương trình sai phân dạng:

u1 = α, u2 = β, aun+2 + bun+1 + cun = f (n) , n ∈ N∗,

(1.5)

trong đó a, b, c, λ, β là các hằng số, a (cid:54)= 0, c (cid:54)= 0 và f (n) là biểu

thức của n cho trước.

CHƯƠNG 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Trong chương này trình bày một số phương pháp giải các bài

toán về dãy số: xét tính đơn điệu, tính bị chặn, chứng minh sự hội

tụ và tìm giới hạn của dãy số.

2.1. TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

2.1.1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát và

chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Ví dụ 2.1.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un), biết:

1 2

u1 = , un = 2u2

n−1 − 1, n ∈ N, n (cid:62) 2.

(cid:40)

Ví dụ 2.1.6. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un), biết:

1 2

u1 = , un = 4u3

n−1 + 3un−1, n ∈ N, n (cid:62) 2.

(cid:40)

2.1.2. Sử dụng phương trình sai phân để tìm số

hạng tổng quát

Ví dụ 2.1.9. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) biết:

un = un−1 − 2n + 5, n (cid:62) 2, n ∈ N.

(cid:26) u1 = 1, (2.9)

Ví dụ 2.1.11. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) biết:

un = 3un−1 − 5.3n, n (cid:62) 2, n ∈ N.

(cid:26) u1 = −2, (2.11)

Ví dụ 2.1.16. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) , biết:

un − 11un−1 + 28un−2 = 6.7n, n ∈ N, n (cid:62) 2.

(cid:26) u0 = 8, u1 = 145, (2.16)

2.1.3. Sử dụng dãy số phụ để tìm số hạng tổng

quát

Ví dụ 2.1.19. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un), biết:

, n ∈ N.

2xn + 1 xn + 2

(2.19) (cid:40) x0 = 2, xn+1 =

2.2. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

2.2.1. Sử dụng phương pháp quy nạp để xét tính

đơn điệu, tính bị chặn của dãy số

√

an+1 =

an−1 +

an, n (cid:62) 2, n ∈ N.

Ví dụ 2.2.2. Cho dãy số (an) , biết: (cid:26) a1 = 1, a2 = 2,

Chứng minh rằng (an) bị chặn và tăng ngặt.

2.2.2. Dựa vào số hạng tổng quát để xét tính đơn

điệu, tính bị chặn của dãy số

Ví dụ 2.2.6. Cho dãy số (xn) , biết:

, n ∈ N.

2xn + 1 xn + 2

(2.27) (cid:40) x0 = 2 xn+1 =

Chứng minh rằng (xn) giảm và bị chặn.

2.2.3. Sử dụng phương pháp hàm số để xét tính

đơn điệu, tính bị chặn của dãy số

, n ∈ N∗.

ln n n

Ví dụ 2.2.8. Cho dãy số (un) biết: un =

Chứng minh rằng (un) giảm.

, n ∈ N∗.

Ví dụ 2.2.10. Cho dãy số (un) , biết:

2 + un 1 + un

(cid:40) u1 = 1 un+1 =

Chứng minh rằng u2n−1 tăng, u2n giảm, (un) bị chặn.

2.3. CHỨNG MINH SỰ HỘI TỤ VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

2.3.1. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số

Ví dụ 2.3.2. (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 1988) Cho (un) là dãy bị chặn, thỏa: 2un+2 (cid:54) un+1 + un, n ∈ N∗. Dãy (un) có nhất thiết hội tụ không ?.

2.3.2. Xác định số hạng tổng quát rồi tính giới hạn

Ví dụ 2.3.7. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh 2013)

Cho dãy số (an), tìm lim an, biết:

3 4

a1 = (n + 2)2an = n2an+1 − (n + 1) an.an+1, n ∈ N∗.

(cid:40)

2.3.3. Sử dụng định lý Weierstrass để chứng minh

dãy số có giới hạn

Ví dụ 2.3.9. Cho (xn) biết:

3 2 √

x1 = xn =

3xn−1 − 2, n = 2, 3, ...

√

(cid:40) (2.31)

; +∞

> 0, ∀x ∈

3 3x − 2

√ 2 Bảng biến thiên:

Chứng minh dãy (xn) có giới hạn khi n → +∞, tìm giới hạn đó. 3x − 2. Giải Xét hàm số f (x) = (cid:19) Ta có: f (cid:48) (x) = (cid:18) 3 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có: f : (1; 2) → (1; 2) và f (x) đồng

, x2 =

∈ (1; 2), x1 < x2, nên dãy (xn) tăng.

biến trên (1; 2).

3 2

Mà x1 = (cid:114) 5 2

√

L =

3L − 2. Ta được :

; 2

Và x1 ∈ (1; 2) nên xn = f (xn−1) ∈ (1; 2), n = 2, 3, .... Vậy (xn) bị chặn. Suy ra (xn) hội tụ. Giả sử lim xn = L, cho n → +∞ trong biểu thức (2.31) ta có: (cid:20) L = 1

L = 2 . (cid:21) (cid:20) 3 . Vậy lim xn = 2. 2

Vì dãy (xn) tăng nên L ∈

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

3.1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT HÓA

3.1.1. Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp một

Từ phương trình sai phân cấp một: un = aun−1 + f (n) , n ∈ N∗, ta cho u1, a các giá trị cụ thể, f (n) là hàm số cụ thể ta được các bài toán khác nhau.

Ví dụ 3.1.2. Cho u1 = 2, a = 1, f (n) = 3n ta có bài toán

Cho dãy số (un) biết:

un = un−1 + 3n, n ≥ 2, n ∈ N∗.

(cid:26) u1 = 2 (3.2)

n→+∞

un+1 un

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un). b) Tính lim .

1 n (n + 2)

ta có Ví dụ 3.1.3. Cho u1 = 2016, a = 1, f (n) =

bài toán sau:

Cho dãy số (un) biết:

, n ∈ N∗.

un+1 = un +

1 n (n + 2)

(cid:40) u1 = 2016 (3.3)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un).

3.1.2. Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp hai

Từ phương trình sai phân cấp hai: a.un+2 + b.un+1 + c.un = f (n) , n ∈ N∗, ta cho u1, u2, a, b, c các giá trị cụ thể, f (n) là hàm số cụ thể ta được các bài toán khác nhau.

c = −4, f (n) = 0 ta được bài toán sau:

Ví dụ 3.1.8. Cho u1 = 2, u2 = −1, a = 1, b = −2,

Cho dãy số (un) biết:

un − 2un−1 − 4un−2 = 0, n (cid:62) 3, n ∈ N.

(cid:26) u1 = 2, u2 = −1 (3.8)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un). Ta thấy rằng (un) là dãy số nguyên nên từ ví dụ 3.1.8 ta có bài toán sau:

√

Ví dụ 3.1.9. Cho dãy số (xn) biết:

−25 + 13

√ 5

−

1 +

1 −

xn =

25 + 13 40

, n ∈ N∗. (3.9)

(cid:16) (cid:16) (cid:17)n (cid:17)n 5

Chứng minh rằng dãy (xn) là dãy số nguyên.

3.2. PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT HÓA

√

Ví dụ 3.2.2. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 2015)

4un + 1 + 2(cid:1) , n ∈ N∗.

1 9

(3.12) (cid:0)un + 2 Cho dãy số (un) biết: (cid:40) u1 = 2 un+1 =

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un). Trong quá trình giải ví dụ 3.2.2 ta biến đổi biểu thức truy hồi đề

cho về dạng:

, α > 0.

aun+1 + b = α

aun + b + β

(cid:17)2 (cid:16)(cid:112) (3.13)

√

aun + b + α3,

; α3 =

2αβ a

với α1 = α; α2 = Biến đổi (3.13) ta được un+1 = α1.un + α2 αb + αβ2 − b a Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.2.2. Cho dãy số (un) biết:

√

aun + b + α3, n ∈ N∗.

un+1 = α1.un + α2

, ac+b (cid:62) 0, a, b, c, α, β

(cid:26) u1 = c (3.14)

; α3 =

2αβ a

αb + αβ2 − b a

Với α1 = α > 0; α2 =

là số thực bất kỳ.

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un).

Ví dụ 3.2.3. (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội

2015)

Cho dãy số (un) biết:

un+1 = 2un + (cid:112)3u2

n + 1, n ∈ N∗.

n bằng 1.

(cid:26) u1 = 4 (3.15)

a) Chứng minh rằng un+2 = 4un+1 − un, n ∈ N∗. b) Chứng minh rằng u2015 chia hết cho 5. Trong quá trình giải ví dụ 3.2.3 ta thấy bài toán được giải quyết khi hệ số của u2 Vậy ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.2.3. Cho dãy số (un) biết:

un+1 = aun + (cid:112)bu2

n + c, n ∈ N∗.

(cid:26) u1 = α (3.17)

với a > 1, a2 − b = 1, bα2 + c (cid:62) 0, a, b, c, α là số thực bất kỳ. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un).

Ví dụ 3.2.5. (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ T8/298)

x0 = 1, x1 =

Cho dãy số (xn) biết:

1 2

, n ∈ N∗.

xn+2 =

xn+1.xn 2002xn+1 + 2001xn + 2000xn+1xn

  (3.19) 

, n ∈ N∗.

un =

1 xn

Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn). Từ ví dụ 3.2.5 ta thấy rằng từ phương trình sai phân cấp 2 đặt:

= f (n)

⇔

aun + bun−1 + cun−2 = f (n) a xn

c xn−2

b xn−1

, n (cid:62) 3, n ∈ N.

⇔xn =

axn−1xn−2 f (n) xn−1xn−2 − bxn−2 − cxn−1

Ta có:

Ta có bài toán tổng quát sau:

, n (cid:62) 3, n ∈ N.

xn =

axn−1xn−2 f (n) xn−1xn−2 − bxn−2 − cxn−1

Bài toán 3.2.5. Cho dãy số (xn) biết: (cid:40) x1 = α, x2 = β

(3.20)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn).

3.3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT DÃY SỐ PHỤ

3.3.1. Từ cấp số nhân

un = qun−1, n ∈ N∗

Cho (un) là một cấp số nhân với u1 và công bội q. Ta có:

, n ∈ N∗, ta được:

Ta đặt un = vn + c, n ∈ N∗ ta được dãy: vn = qvn−1 + p, n ∈ N∗. Nhưng dãy này chưa mới, đó là phương trình sai phân cấp 1 ta đã

1 xn

, n ∈ N∗.

có phương pháp giải. Tiếp tục đặt vn =

xn =

xn−1 pxn−1 + q

(3.21)

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.1. Cho dãy số (xn) biết:

, n (cid:62) 2, n ∈ N.

xn =

⇔

= c +

, n (cid:62) 2, n ∈ N.

(3.22) (cid:40) x1 = α, α (cid:54)= 0 xn−1 cxn−1 + d

xn−1 cxn−1 + d

1 xn

d xn−1

Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn). Phương pháp giải Vì x1 = α, α (cid:54)= 0 nên xn (cid:54)= 0, n ∈ N∗. Từ đó ta có: xn =

, n ∈ N∗, ta được: vn = dvn−1+c, n ∈ N∗, với v1 =

1 xn

1 α Dãy (vn) có dạng phương trình sai phân cấp 1 ta đã biết cách giải. Tiếp tục đặt xn = yn + λ, n ∈ N∗, ta có:

⇔ yn + λ =

xn =

xn−1 pxn−1 + q

yn−1 + λ p (yn−1 + λ) + q

⇔ yn =

yn−1 (1 − pλ) − λ2p + λq + λ pyn−1 + λp + q

Đặt vn =

, n ∈ N∗.

Đặt a = 1 − pλ, b = −λ2p + λq + λ, c = p, d = λp + q, ta có:

yn =

ayn−1 + b cyn−1 + d

(3.23)

Như vậy vấn đề đặt ra ở đây là khi cho dãy số có công thức truy

hồi dạng (3.23) làm sao để đưa về dạng (3.21). Từ (3.21) ta đặt

xn = yn + λ, n ∈ N∗ ta được (3.23) nên muốn từ (3.23) đưa về (3.21) ta chỉ cần đặt ngược lại: yn = xn − λ = xn + α, n ∈ N∗. Đặt yn = xn + α, n ∈ N∗ thay vào (3.23) ta có:

xn+α =

⇔ xn =

a (xn + α) + b c (xn + α) + d

(a − αc) xn − cα2 + (a − d) α + b c (xn + α) + d

Muốn đưa về được (3.21), chọn α thỏa −cα2 + (a − d) α + b = 0. Để phương trình trên có nghiệm thì (a − d)2 + 4bc ≥ 0. Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.2. Cho dãy số (yn) biết:

, n (cid:62) 2, n ∈ N.

ayn−1 + b cyn−1 + d

(3.24) (cid:40) y1 = α yn =

Trong đó (a − d)2 + 4bc ≥ 0. Tìm số hạng tổng quát của dãy (yn). Phương pháp giải Đặt yn = xn + α, n ∈ N∗, với α là nghiệm của phương trình −cα2 + (a − d) α + b = 0. Biến đổi thu gọn về bài toán 3.3.1.

3.3.2. Từ bài toán có công thức truy hồi cấp một

có dạng lượng giác

Trước tiên ta xét dãy số có công thức truy hồi cấp một

có dạng công thức cos2a.

Cho dãy số (un) biết:

un+1 = 2u2

n − 1, n ∈ N∗.

(cid:26) u1 = α (3.26)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) Bài toán này đã được trình bày phương pháp giải ở các ví dụ 2.1.2

và 2.1.3.

, n ∈ N∗.

Ở đây ta quan tâm đến việc biến đổi bài toán trên thành các bài

n −

1 k

toán phức tạp hơn. Đặt un = kvn, n ∈ N∗, ta được: vn+1 = 2kv2

1 k

Đặt a = 2k, b = − , nên ab = −2. Ta có bài toán tổng quát sau:

vn+1 = av2

n + b, n ∈ N∗.

Bài toán 3.3.3. Cho dãy số (vn) biết: (cid:26) v1 = α (3.27)

n = a.a2v22

n−1 = ... = a2n−1.α2n, n ∈ N∗.

Trong đó ab = −2 hoặc b = 0.

vn+1 = a1v2

n + b1, n ∈ N∗ ⇔xn+1 + λ = a1(xn + λ)2 + b1, n ∈ N∗ ⇔xn+1 = a1x2

n + 2a1λxn + a1λ2 + b1 − λ, n ∈ N∗.

Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn). Phương pháp giải Nếu b = 0 thì: vn+1 = av2 Nếu ab = −2 thì đặt vn = −bun, n ∈ N∗. Trong bài toán 3.3.3 tiếp tục đặt vn = xn + λ, n ∈ N∗, ta có:

xn+1 = ax2

n + bxn + c, n ∈ N∗.

Đặt a = a1, b = 2a1λ, c = a1λ2 − λ + b1, ta có:

Tuy nhiên không phải với mọi a, b, c đều có thể đưa về bài toán

4a2

, a (cid:54)= 0

3.3.3, ta tìm mối quan hệ giữa a, b, c.

b2 − 2b − 8 4a

1λ2 − 4a1λ + 4a1b1 4a1

, a (cid:54)= 0.

Ta có a1b1 = −2 hoặc b1 = 0. Nên: c = a1λ2 − λ + b1 =

b2 − 2b 4a

hoặc c =

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.4. Cho dãy số (xn) biết:

xn+1 = ax2

(cid:26) x1 = α (3.30)

n + bxn + c, n ∈ N∗. b2 − 2b 4a

b2 − 2b − 8 4a

hoặc c = Trong đó a (cid:54)= 0, c =

, n ∈ N∗.

Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn). Phương pháp giải Nhận xét rằng từ bài toán 3.3.3 ta đặt vn = xn + λ, n ∈ N∗, ta đưa về bài toán 3.3.4 mà theo biến đổi trên ta có λ = , vậy để

b 2a b 2a , n ∈ N∗, ta có:

đưa bài toán 3.3.4 về bài toán 3.3.3 ta đặt xn = vn −

1 yn

, n ∈ N∗.

+ c ⇔ yn+1 =

cy2

1 yn+1

b yn

a y2 n

y2 n n + byn + a

Trong bài toán 3.3.4 tiếp tục đặt xn =

Ta có bài toán tổng quát sau:

y1 = α (cid:54)= 0

Bài toán 3.3.5. Cho dãy số (yn) biết:

, n ∈ N∗.

yn+1 =

cy2

y2 n n + byn + a

  (3.33) 

b2 − 2b − 8 4a

b2 − 2b 4a

Trong đó a (cid:54)= 0, c = hoặc c =

, n ∈ N∗, biến đổi đưa về bài toán 3.3.4.

Tìm số hạng tổng quát của dãy (yn). Phương pháp giải

1 xn

Đặt yn =

Ta xét tiếp dãy số có công thức truy hồi cấp một có dạng

công thức cos3a.

Cho dãy số (un) biết:

un+1 = 4u3

n ± 3un, n ∈ N∗.

(cid:26) u1 = α (3.34)

Tìm số hạng tổng quát của dãy (un) Bài toán này đã được trình bày phương pháp giải ở các ví dụ 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6.

n ± 3un, n ∈ N∗.

Ở đây ta quan tâm đến việc biến đổi bài toán trên thành các bài

toán phức tạp hơn. Đặt un = kvn, n ∈ N∗, ta được: vn+1 = 4k2u3 Đặt a = 4k2. Ta có bài toán tổng quát sau: Bài toán 3.3.6. Cho dãy số (vn) biết:

vn+1 = av3

n ± 3vn, n ∈ N∗, a > 0.

(cid:26) v1 = α (3.35)

un, n ∈ N∗.

2 √ a

Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn). Phương pháp giải

xn+1 = ax3

n + 3aλx2

n + 3 (cid:0)aλ2 ± 1(cid:1) xn + aλ3 ± 3λ − λ, n ∈ N∗

Đặt vn = Trong bài toán 3.3.6 tiếp tục đặt vn = xn + λ, n ∈ N∗, ta có:

xn+1 = ax3

n + bx2

n + cxn + d, n ∈ N∗.

Đặt b = 3aλ, c = 3 (cid:0)aλ2 ± 1(cid:1) , d = aλ3 ± 3λ − λ, ta có:

Tuy nhiên không phải với mọi a, b, c, d đều có thể đưa về bài toán

, a (cid:54)= 0. Nên ta có:

3.3.6, ta tìm mối quan hệ giữa a, b, c, d.

Ta có b = 3aλ ⇔ λ =

c = 3

± 1

, d =

−

b 3a (cid:18) b2 9a

b3 27a2 ±

b a

b 3a

(cid:19)

Ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.3.7. Cho dãy số (xn) biết:

xn+1 = ax3

n + cxn + d, n ∈ N∗.

n + bx2

(cid:26) x1 = α (3.37)

± 1

, d =

−

, a (cid:54)= 0, b tùy ý.

b 3a

b a

(cid:19) Trong đó c = 3

, n ∈ N∗.

(cid:18) b2 b3 27a2 ± 9a Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn). Phương pháp giải Nhận xét rằng từ bài toán 3.3.6 ta đặt vn = xn + λ, n ∈ N∗, để đưa về bài toán 3.3.6 mà theo biến đổi trên ta có λ = , vậy để

b 3a b 3a

đưa bài toán 3.3.7 về bài toán 3.3.6 ta đặt xn = vn −

3.3.3. Một số ví dụ khác

vn, n ∈ N∗ ta

n n + 1

Ví dụ 3.3.7. Từ ví dụ 3.1.1 ta đặt un =

có bài toán sau:

v1 = 2

Cho dãy số (vn) biết:

, n ∈ N∗.

vn+1 =

(2n + 3) (n + 2) n + 1

n (n + 2) (n + 1)2 vn +

  (3.39) 

n→+∞

vn n2 .

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (vn). b) Tính lim

3.4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

ax + b cx + d

√

f (x) =

ax + b, f (x) = ax2 + bx + c, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

Trong phần này chỉ khảo sát bốn hàm số f (x) =

để minh họa cho phương pháp này.

3.4.1. Từ hàm số f (x) =

ax + b cx + d

Với hàm số này ta có bài toán tổng quát sau:

Bài toán 3.4.1. Cho dãy số (un) biết:

, n ∈ N∗.

aun + b cun + d

(3.42) (cid:40) u1 = α un+1 =

Xét sự hội tụ của dãy (un). Chọn a, b, c, d sao cho hàm số f (x) đồng biến, ta có ví dụ sau:

Ví dụ 3.4.1. Cho dãy số (un) biết:

, n ∈ N∗.

3un + 2 un + 2

(3.43) (cid:40) u1 = α un+1 =

Xét sự hội tụ của dãy (un). Giải

3α + 2 α + 2

u2 − u1 > 0 ⇔ α ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 2)

u2 − u1 < 0 ⇔ α ∈ (−2; −1) ∪ (2; +∞) .

Ta có: u1 = α, u2 = Suy ra:

(x + 2)2 > 0, ∀x (cid:54)= 2.

Xét hàm số f (x) = , f (cid:48) (x) =

3x + 2 x + 2 (cid:20) x = −1 x = 2

Ta có: f (x) = x ⇔

Bảng biến thiên:

• Trường hợp 1: u1 = α ∈ (2; +∞)

un = l.

n→+∞

= l ⇔

Ta có: f : (2; +∞) → (2; 3) , (2; 3) ⊂ (2; +∞). Ta có: u1 ∈ (2; +∞) nên un ∈ (2; 3) , ∀n ∈ N∗. Vậy dãy (un) bị chặn. Mặt khác u1, u2 ∈ (2; +∞), u1 > u2 mà hàm số f(x) đồng biến trên (2; +∞) nên (un) là dãy số giảm. Vậy dãy (un) hội tụ. Giả sử lim

3l + 2 l + 2

un = 2.

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: . (cid:20) l = −1 l = 2

• Trường hợp 2: u1 = 2

un = 2.

mà un ∈ (2; 3) , ∀n ∈ N∗, nên lim n→+∞

• Trường hợp 3: u1 = α ∈ (−1; 2)

Ta có: u2 = 2, quy nạp ta có: un = 2, ∀n ∈ N∗.Vậy lim n→+∞

un = l.

n→+∞

= l ⇔

Ta có: f : (−1; 2) → (−1; 2). Ta có: u1 ∈ (−1; 2) nên un ∈ (−1; 2) , ∀n ∈ N∗. Vậy dãy (un) bị chặn. Mặt khác u1, u2 ∈ (−1; 2), nên u1 < u2 mà hàm số f(x) đồng biến trên (-1;2) nên (un) là dãy số tăng. Vậy dãy (un) hội tụ. Giả sử lim

3l + 2 l + 2

. Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có:

• Trường hợp 4: u1 = −1

(cid:20) l = −1 l = 2 un = 2. Mà un ∈ (−1; 2) , ∀n ∈ N∗, (un) là dãy tăng nên lim n→+∞

un = −1.

n→+∞

Ta có: u2 = −1, quy nạp ta có: un = −1, ∀n ∈ N∗. Vậy lim

−2; −

• Trường hợp 5: u1 = α ∈ (−∞; −2) ∪

6 5

(cid:18) (cid:19)

−2; −

6 5

(cid:18) (cid:19) . Ta có: u1 ∈ (−∞; −2) ∪

un = l.

n→+∞

= l ⇔

Nên u2 ∈ (−∞; −2), u3 ∈ (3; +∞). Suy ra: un ∈ (2; 3)∀n (cid:62) 4, n ∈ N, vậy (un) bị chặn. Mặt khác u3, u4 ∈ (2; +∞), nên u3 > u4 mà hàm số f(x) đồng biến trên (2; +∞) nên dãy (un) là giảm từ số hạng thứ 3 trở đi . Vậy dãy (un) hội tụ. Giả sử lim

3l + 2 l + 2 un = 2.

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: . (cid:20) l = −1 l = 2

mà un ∈ (2; 3) , ∀n (cid:62) 4, n ∈ N, nên lim n→+∞

−

; −1

• Trường hợp 6: u1 = α ∈

6 5

(cid:18) (cid:19)

−

; −1

−

; −1

, ∀n ∈ N∗.

, giả sử un ∈

6 5

(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) Ta có: u1 = α ∈

; −1

−

, u1 > u2, f(x) đồng biến trên

(cid:18) (cid:19)

−

; −1

6 5

Suy ra (un) bị chặn dưới. 6 5 Mặt khác u1, u2 ∈ (cid:19) (cid:18) nên dãy (un) giảm.

un = l.

n→+∞

= l ⇔

Vậy (un) hội tụ. Giả sử lim

3l + 2 l + 2

−

, ∀n ∈ N∗.

6 5

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: (vô lý). (cid:20) l = −1 l = 2 (cid:19) (cid:18)

−2; −

; −1 (cid:21) .

6 5

Vì (un) giảm và un ∈ (cid:18) Vậy phải ∃n0, un0 ∈

6 5

thì dãy (un) không xác định từ n0 + 1 trở đi. Nếu un0 = −

−2; −

6 5

un0+1 ∈ (−∞; −2) , un0+2 ∈ (3; +∞) , un0+3 ∈ (2; 3)

(cid:18) (cid:19) thì ta có: Nếu un0 ∈

nên un ∈ (2; 3) , ∀n (cid:62) n0 + 3, n ∈ N. Vậy dãy (un) bị chặn. Mặt khác un0+2, un0+3 ∈ (2; +∞) nên un0+2 > un0+3 mà hàm số f (x) đồng biến trên (2; +∞) nên dãy (un) giảm từ số hạng n0 + 2 trở đi .

un = l.

n→+∞

= l ⇔

Vậy dãy (un) hội tụ. Giả sử lim

3l + 2 l + 2

un = 2.

Trong biểu thức (3.43) cho n → +∞ ta có: . (cid:20) l = −1 l = 2

mà un ∈ (2; 3) , ∀n (cid:62) n0 + 3, n ∈ N, nên lim n→+∞

Như vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác nhau.

Cho a, b, c, d sao cho hàm số f(x) nghịch biến, ta có ví dụ sau:

Ví dụ 3.4.2. Cho dãy số (un) biết:

, n ∈ N∗.

un + 2 un + 1

(3.44) (cid:40) u1 = 2 un+1 =

a) Chứng minh dãy (un) bị chặn. b)Chứng minh (u2n) là dãy số tăng, (u2n+1) là dãy số giảm. c)Xét sự hội tụ của dãy (un).

√

3.4.2. Từ hàm số f (x) =

ax + b

√

Chọn a, b sao cho hàm số f(x) đồng biến, ta có ví dụ sau:

2un + 3, n ∈ N∗.

(3.45) Ví dụ 3.4.3. Cho dãy số (un) biết: (cid:26) u1 = α un+1 =

√

Xét sự hội tụ của dãy (un). Vậy cho u1 các giá trị khác nhau, ta có các bài toán khác nhau. Chọn a, b sao cho hàm số f(x) nghịch biến, u1 = 0 giá trị cụ thể ta có ví dụ sau:

2 − un, n ∈ N∗.

(3.47) Ví dụ 3.4.4. Cho dãy số (un) biết: (cid:26) u1 = 0 un+1 =

Xét sự hội tụ của dãy (un).