Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán năm 2014-2015 (Có đáp án)

TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO

LỚP 10 CHUYÊN TOÁN

NĂM 2014-2015 (CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT)

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

MỤC LỤC

1. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM 2014-2015 – THPT CHUYÊN BẮC NINH

(SỞ GD&ĐT BẮC NINH)

2. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM 2014-2015 – THPT CHUYÊN LONG AN (SỞ

GD&ĐT LONG AN)

3. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM 2014-2015 – THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH

(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH)

4. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM 2014-2015 – THPT CHUYÊN KIÊN GIANG

(SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG)

5. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM 2014-2015 – SỞ GD&ĐT TÂY NINH

6. ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM 2014-2015 – SỞ GD&ĐT AN GIANG

Trang | 1

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng 6 năm 2014

Câu I. (2,0 điểm) Cho biểu thức với

1) Rút gọn P.

2) Tìm số chính phương x sao cho l{ số nguyên.

Câu II. (2,0 điểm)

1) Cho c|c số thực x, y, z, a, b, c thỏa m~n c|c điều kiện và .

Chứng minh rằng .

2) Tìm c|c số nguyên a để phương trình: có nghiệm nguyên. H~y

tìm c|c nghiệm nguyên đó. Câu III. (1,5 điểm)

1) Cho hệ phương trình với l{ ẩn, l{ tham số. Tìm m để hệ phương

trình có nghiệm duy nhất thỏa m~n

2) Cho a, b, c l{ độ d{i ba cạnh của một tam gi|c thỏa m~n điều kiện . Tìm gi| trị

nhỏ nhất của biểu thức

Câu IV. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). C|c tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại N. Vẽ d}y AM song song với BC. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại M và P.

1) Cho biết , tính độ d{i đoạn BC.

2) Chứng minh rằng

3) Chứng minh rằng BC, ON và AP đồng quy. Câu V. (1,5 điểm)

1) Cho đường tròn t}m O bán kính 1, tam giác ABC có c|c đỉnh A, B, C nằm trong đường tròn v{ có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC.

2) Cho tập . H~y tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập

con gồm phần tử của đều tồn tại hai số ph}n biệt mà l{ một số nguyên tố.

Trang | 2

------------Hết------------ (Đề này gồm có 01 trang) Họ và tên thí sinh: ……………………………..……Số báo danh: ……………….....

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)

Đáp án Điểm Câu

I.1 (1,0 điểm)

0,5

. 0,5

I.2 (1,0 điểm)

0,5 Ta có l{ ước của 2 gồm: .

0,5 Từ đó tìm được

II.1 (1,0 điểm) ĐK:

0,25 Từ

0,5 Ta có

0,25 .

II.2 (1,0 điểm)

. PT có nghiệm nguyên thì  = n2 với n 

0,25  = Hay  

Vì 167 l{ số nguyên tố v{ nên ta có c|c trường hợp:

+) (t/m). 0,5

+) (t/m).

Trang | 3

thì PT có hai nghiệm nguyên l{ 0,25 Với Với thì PT có hai nghiệm nguyên l{

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

III.1 (0,5 điểm)

Từ (1) có , thay vào (2) ta có 0,25

x2  2x – y = m2 – 2m – 2 = (m – 1)2 – 3 > 0   0,25

III.2 (1,0 điểm)

Chứng minh được dấu “=” xảy ra khi v{ chỉ khi . 0,25

.

Từ giả thiết ta có Ta có

0,5

Mà nên .

0,25 Vậy gi| trị nhỏ nhất của S là dấu bằng xảy ra khi v{ chỉ khi

IV.1 (1,0 điểm) (tính chất hai tiếp

Ta có tuyến cắt nhau); Do đó, l{ trung trực của BC. Gọi K l{ giao điểm của ON và BC thì K là trung điểm của BC. 0,5

Mà vuông tại B, BK l{ đường cao nên 0,5

Kết hợp giả thiết suy ra

IV.2 (1,0 điểm)

Ta có đồng dạng (g.g) (1).

0,25

Tương tự, đồng dạng (g.g) (2).

Trang | 4

Vì (3) nên từ (1), (2) v{ (3) suy ra (4). 0,25

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Tứ gi|c AMCB là hình thang cân

Mặt kh|c, (5). 0,5 Từ (4), (5)

IV.3 (1,0 điểm) Gọi Q l{ giao điểm của AP và BC. Ta chứng minh

0,25 Vì đồng dạng (g.g) (6).

Tương tự đồng dạng (g.g) (7). 0,25

Kết hợp (6), (7) v{ kết quả c}u b) ta suy ra là trung 0,5

điểm của BC. Suy ra . Vậy đồng quy tại K.

V.1 (0,5 điểm)

0,25

Giả sử O nằm ngo{i miền tam gi|c ABC. Không mất tính tổng qu|t giả sử A và O nằm về hai phía của đường thẳng BC. Suy ra đoạn AO cắt đường thẳng BC tại K. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Suy ra, AH  AK < AO < 1 suy ra AH < 1.

Suy ra, (m}u thuẫn với giả

thiết). Suy ra điều phải chứng minh.

0,25

V.2 (1,0 điểm)

Nếu chẵn thì l{ hợp số. Do đó nếu tập con của có hai phần tử

ph}n biệt mà l{ một số nguyên tố thì không thể chỉ chứa c|c số

chẵn. Suy ra, . Ta chứng tỏ l{ gi| trị nhỏ nhất cần tìm. Điều đó có ý 0,5

nghĩa l{ với mọi tập con gồm 9 phần tử bất kỳ của luôn tồn tại hai phần

Trang | 5

tử ph}n biệt mà l{ một số nguyên tố.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập th{nh c|c cặp hai phần tử ph}n

biệt mà l{ một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp:

. 0,5

Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 phần tử của có hai phần tử cùng thuộc một

Trang | 6

cặp v{ ta có điều phải chứng minh.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

SỞ GD&ĐT LONG AN ---------------- ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01trang)

Câu 1 (1,5 điểm)

với điều kiện . Cho biểu thức

. để .

. Tìm tất cả giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm

. sao cho

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm tất cả các số tự nhiên Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình phân biệt Câu 3 (1,0 điểm)

.

Giải phương trình Câu 4 (2,5 điểm) Gọi l{ đường tròn tâm , đường kính . Gọi l{ điểm nằm giữa và , từ vẽ dây

cắt nhau tại . Gọi là hình chiếu vuông vuông góc với và lên đường thẳng

góc của a) Chứng minh: tứ giác b) Chứng minh: . Hai đường thẳng . nội tiếp. là tiếp tuyến của đường tròn .

c) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường thẳng tại . Chứng minh đường thẳng

.

đi qua trung điểm của đoạn thẳng Câu 5 (1,0 điểm) Kì thi tuyển sinh v{o trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác nhau tham dự. Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số nguyên lớn hơn 4 v{ bé hơn hoặc bằng 10. Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương. Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực sao cho và .

.

với lần lượt lấy

Tìm giá trị lớn nhất của Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật c|c điểm . Trên các cạnh . Gọi sao cho luôn tạo thành tứ giác là chu vi của tứ giác

. Chứng minh: .

Trang | 7

--------HẾT--------- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN

NỘI DUNG

ĐIỂM 0,25 CÂU Câu 1a (0,75 điểm)

0,25

0,25

0,25 và nên Vì

Suy ra 0,25 Câu 1b (0,75 điểm) 0,25 cần tìm là :

0,25 Câu 2 (2,0 điểm) 0,25 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

0,25

0,25

0,25 Vì nên

0,25 Suy ra

Suy ra 0,25

0,25 Giá trị của cần tìm là

Câu 3 (1,0 điểm)

0,25 0,25

0,25

Trang | 8

0,25

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 4a (0,75 điểm)

0,25 Ta có : (giả thiết)

0,25

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Suy ra

0,25 có Vì tứ giác nên nội tiếp

0,25 Vì nội tiếp và song song nên (*)

Câu 4b (0,75 điểm) 0,25 nội tiếp nên (**) Vì 0,25 Từ (*) và (**) suy ra .Vậy là tiếp tuyến của

Gọi l{ giao điểm cùa và 0,25 Câu 4c (1,0 điểm)

là phân giác trong của tam giác

Ta có Suy ra Ta có CB là phân giác ngoài của tam giác ECI 0,25

0,25 Ta có song song (cùng )

là tiếp tuyến ) (3) ( 0,25

đi qua trung điểm của đoạn thẳng . Mặt khác: Từ (1), (2) và (3) suy ra Vậy Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm 0,25 Câu 5 (1,0 điểm)

Trang | 9

0,25 Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm b{i thi như nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm)

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Ta có 89 học sinh có điểm b{i thi như nhau v{ đến từ 16 địa phương 0,25

0,25 Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán và đến từ cùng một địa phương

0,25

Ta có suy ra Câu 6 (1,0 điểm) 0,25 Suy ra

0,25 Suy ra

là 10 ( với hoặc các 0,25

Giá trị lớn nhất của hoán vị )

Câu 7 ( 1,0 điểm)

0,25 Gọi I, K, M theo thứ tự l{ trung điểm của EF, EG và GH.

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI=

Tương tự MC= .

0,25 IK l{ đường trung bình của EFG nên IK= . Tương tự KM=

0,25

0,25

P= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC) Ta có: AI + IK + KM + MC  AC Suy ra P 2AC=

Trang | 10

-------HẾT-------

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề thi gồm 01 trang)

Bài 1: (2,0 điểm):

1) Cho a, b, c l{ c|c số thực thỏa m~n: và a + b + c = 1.

Chứng minh rằng .

2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh l{ số nguyên dương.

Bài 2: (2,5 điểm):

1) Giải phương trình .

2) Giải hệ phương trình bài này hôm qua tôi đánh nhầm

Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). C|c đường cao AA1; BB1; CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) tại K khác A. 1) Chứng minh A1 l{ trung điểm của HK.

2) Hãy tính .

3) Gọi M l{ hình chiếu vuông góc của O trên BC. Đường thẳng BB1 cắt (O) tại giao điểm thứ hai l{

E, kéo dài MB1 cắt AE tại N. Chứng minh rằng

Bài 4: (1,0 điểm): Tìm c|c số nguyên x; y thỏa m~n Bài 5: (1,5 điểm): 1) Trên bảng ghi một số nguyên dương có hai chữ số trở lên. Người ta thiết lập số mới bằng c|ch xóa đi chữ số h{ng đơn vị của số đ~ cho, sau đó cộng v{o số còn lại 7 lần số vừa bị xóa. Ban đầu trên bảng ghi số 6100. Hỏi sau một số bước thực hiện như trên ta có thể thu được 1006 hay không ? Tại sao ? 2) Cho c|c số thực dương x, y, z thỏa m~n . Chứng minh rằng:

.

Trang | 11

Hết

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI: Bài 1: (2,0 điểm):

1) Cho a, b, c l{ c|c số thực thỏa m~n: và a + b + c = 1.

. Chứng minh rằng

Từ GT ta có:

Nếu a + b = 0 => c = 1 => c – 1 = 0 =>

Nếu c + b = 0 => a = 1 => a – 1 = 0 =>

Nếu a + c = 0 => b = 1 => b – 1 = 0 =>

Vậy ta có đpcm.

2) Với mỗi số nguyên dương n; chứng minh l{ số nguyên dương.

Bài 2: (2,5 điểm):

1) Giải phương trình .

ĐKXĐ , đặt PTTT:

+) với vô nghiệm

+) với

PT đ~ cho có nghiệm duy nhất x = 3

2) Giải hệ phương trình

Thỏa m~n (2)

Với

Bài 4: (1,0 điểm): Tìm c|c số nguyên x; y thỏa m~n

, đặt x + y = a v{ xy = b (a, b nguyên) ta có:

Trang | 12

Vì a, b nguyên nên có các TH sau :

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

(loại)

(nhận)

(nhận)

(nhận)

Vậy

Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC a) góc A1 = góc C2 = góc C1 => ∆CHK c}n C, CA1 l{ đ/cao + đ trung trực => đpcm b) Có:

c) Từ GT => M trung điểm BC => ....=> ∆B1MC c}n tại M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N => ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => Áp dụng hệ thức lương trong tam gi|c vuông ta có:

(đpcm)

Bài 5: (1,5 điểm): 2) Cho c|c số thực dương x, y, z thỏa m~n . Chứng minh rằng:

.

Vì x, y, z dương, |p dụng BĐT Cô-si ta có:

+)

+) (2)

Từ (1) v{ (2) => : . Tương tự : ;

(3)

Trang | 13

Lại có (4)

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Từ (3) v{ (4) có : đpcm

Trang | 14

Dấu « = » xảy ra khi

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2014-2015 Môn thi : TOÁN CHUYÊN Thời gian l{m b{i : 150 phút , Không kể thời gian giao đề KIÊN GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho biểu thức:

1/ Rút gọn biểu thức . 2/ Tìm x để biểu thức có gi| trị lớn nhất. Bài 2: (1,5 điểm)

Cho parabol (P) ; đường thẳng (d) : mx + ny = 2 v{ hai điểm M(0; 2); N(4; 0)

1) Tìm m, n biết đường thẳng (d) đi qua hai điểm M, N. 2) Khi đường thẳng (d) đi qua điểm M. Chứng minh rằng (P) v{ (d) cắt nhau tại hai điểm ph}n

biệt A v{ B. Tìm tọa độ A v{ B biết rằng khoảng c|ch giữa hai điểm A v{ B bằng Bài 3. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 với a, b l{ tham số. Tìm gi| trị của a, b để phương trình

trên có hai nghiệm ph}n biệt thỏa m~n điều kiện: .

Bài 4: (2 điểm)

1/ Cho 2 số thực a,b thỏa a + b = 20. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức: T = a3 + b3. 2/ Cho hai số thực a, b. Chứng minh rằng: 2(a4 + b4) ab3 + a3b + 2a2b2. Bài 5: (3,5 điểm)

Cho đường tròn t}m O đường kính AB = 2R. Gọi d l{ đường thẳng đi qua A v{ vuông góc với AB. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho BC > R, dựng CD vuông góc với AB (D thuộc AB). Gọi E l{ điểm trên tia CD sao cho ED = BC (theo thứ tự C, D, E). C|c tiếp tuyến EP, EQ với đường tròn t}m O (P v{ A nằm cùng phía so với DE) cắt đường thẳng d lần lượt tại N v{ K; CE cắt đường tròn t}m O ở F.

Trang | 15

1) Chứng minh: EF2 = CE.EF. 2) Chứng minh EP = BD. 3) Đặt KN = x, BD = y. Tính diện tích tam gi|c EKN theo R, x, y. 4) Chứng minh KN = AB.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1

1) Rút gọn được M = .

2) Để tìm max của M ta dùng phương ph|p miền gi| trị.

Đặt , , để phương trình theo biến t có nghiệm

thì (1 – M)(3M + 25) 0 .Vậy max M = 1 khi t = 2 v{ x = 4.

Bài 2

1) Thay tọa độ c|c điểm M, N v{o phương trình của (d) tìm được

2) Khi (d) đi qua M(0; 2) ta tính được n = 1, thay v{o phương trình ta được pt (d): y = - mx + 2.

Đưa về phương trình ho{nh độ giao điểm: . (1) do a, c tr|i dấu pt (1)

luôn có hai nghiệm ph}n biệt. Gọi hai điểm cắt l{ . Để tìm tọa độ hai điểm A, B ta

và , giải phương trình AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 (2) với AB =

. Thay v{o (2) ta được phương trình: m2 + 5m2 – 14 = 0. Giải phương trình

được nghiệm m2 = 2, hay m = , thay v{o phương trình (1) được tọa độ của hai điểm A, B l{ :

hoặc .

Bài 3.

- Điều kiện để phương trình có hai nghiệm ph}n biệt l{: (*)

- Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = - a , x1.x2 = b + 1, kết hợp với điều kiện của giả thiết ta có hệ

phương trình: . Bình phương (1); thay (3), (4) v{o (2), ta được hệ: .

Giải tiếp hệ phương trình n{y ta được b = - 3 , a = 1. C|c gi| trị a, b tìm được thỏa điều kiện (*) thế v{o phương trình (1) thử lại đểu thỏa . Bài 4. 1) T|ch hằng đẳng thức a3 + b3 rồi thế điều kiện a + b = 20 v{o biểu thức T, ta được kết quả: T = 60(a – 10) 2 + 2000 2000. Vậy min T = 2000 khi a = b = 10.

Trang | 16

2) Chuyển vế v{ biến đổi tương đương ta được kết quả cuối cùng (a2 – b2)2 + (a – b)2(a2 + ab + b2)

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

0 l{ biểu thức luôn đúng.

Bài 5. 1) EP2 = EF.EC . (g-g)

2) + Trong BCA vuông tại C ta có BD = BC2: AB = BC2: 2R2.(1)

+ Trong EOQ: EQ2 = OE2 – R2 (2), mà OE2 = OD2 + DE2 (3) , OD = R – DB (4). Thay (4) vào (3), (3) v{o (2) khai triển v{ thu gọn rồi thay kết quả v{o (1), ta được: EQ2 = DB2 hay EQ = DB.

3) , thay KE = x + AN – y, NE = NP + y, NA = NP, ta được

kết quả SKNE = R(x – y) (5)

(6). 4) Dựng EH AK, EH = AD = 2R – y. Vậy SKNE =

Trang | 17

Từ (5) v{ (6) ta có x = 2R = AB.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH.

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 - 2015 Ngày thi: 21 tháng 06 năm 2014 Môn thi: TOÁN (chuyên) Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 1 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Câu 1: (1 điểm) Cho biểu thức A =

với x 0 và x 4 .

Rút gọn A v{ tìm x để A =

Câu 2: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

–

= 0

Câu 3: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên a để hệ phương trình

Có nghiệm (x; y) sao cho T =

l{ số nguyên.

Câu 4: (1 điểm) Định m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0

có hai nghiệm x1 , x2 sao cho T = x1(x1 – x2) + x22 đạt gi| trị nhỏ nhất.

Câu 5: (1 điểm) Giải phương trình: 2

Câu 6: (1 điểm) Cho x, y l{ c|c số thực. Tìm gi| trị nhỏ nhất của biểu thức

T = x2 + 2y2 – 2xy + 10x – 16y + 2048.

Câu 7: (1 điểm) Cho hình thang c}n ABCD, có đ|y lớn CD = 10cm, đ|y nhỏ AB bằng đường cao AH (H thuộc

CD), đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ d{i đường cao của hình thang đó.

Câu 8: (1 điểm) Cho đường tròn (0) đường kính AB, một đường thẳng d vuông góc với AB tại I (I nằm trong đoạn AB). Lấy M l{ một điểm thuộc đường tròn (0), AM, BM cắt d lần lượt tại hai điểm C v{ D. Gọi E l{ điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh tứ gi|c ACDE nội tiếp. Câu 9: (1 điểm) Từ điểm C nằm ngo{i đường tròn t}m (0), vẽ hai tiếp tuyến CA, CB của (0) trong đó A, B l{ c|c tiếp điểm. Đường tròn (I) t}m I đi qua C, tiếp xúc với AB tại B v{ cắt (0) tại M kh|c B. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm BC. Câu 10: (1 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa m~n điều kiện:

.

Chứng minh rằng

…………. HẾT ………….

Trang | 18

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

HƯỚNG DẪN GỢI Ý

Ta có: A =

A = =

Với A =

Câu 1 =

=

x = 16 (nhận)

Vậy A = khi x = 16

Ta có: – = 0

Phương trình đ~ cho tương đương: = 0

Câu 2

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương l{: x = 1

Ta có: hệ đ~ cho có nghiệm (x, y) với

Mà T = = = 1 Câu 3

Trang | 19

Vì a nguyên, để T nguyên thì điều kiện l{ hay

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 1 = 0 Phương trình đ~ cho có hai nghiệm x1, x2 khi v{ chỉ khi:

m 0

Câu 4 Theo hệ thức Vi-et thì:

0 nên T

T = T = (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = m2 + 8m + 1 1. Do m Vậy gi| trị nhỏ nhất của T l{ 1, khi m = 0.

Phương trình: 2 (1)

với t > 0

t2 – 2t – 3 = 0 Đặt t = Từ (1) Giải phương trình ta được: t = 3 (nhận) , t = – 1 (loại) Câu 5 Với t = 3 thì ta có phương trình: = 3

x2 + x – 8 = 0

Giải phương trình ta được: x1 =

x2 =

Ta có: T = x2 + 2y2 – 2xy + 10x – 16y + 2048 T = (x + 2)2 + 2(y - 3)2 - 2(x + 2)(y - 3) + 2014

T = + 2014 Câu 6

Suy ra: T 2014 , T = 2014 khi v{ chỉ khi

Trang | 20

Gi| trị nhỏ nhất của T l{: 2014.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

C/m: Kẻ BK CD (K CD). Đặt AB = AH = BK = HK = a > 0 Câu 7 Do ABCD là hình thang cân nên DH = CK =

Suy ra: CH = HK + CK = a + =

Áp dụng hệ thức lượng trong tam gi|c ADC vuông tại A Ta có: AH2 = DH.CH

a2 = .

Giải ta tìm được: a = 2 (do a > 0)

.

Trang | 21

Vậy độ d{i đường cao hình thang là: 2

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Cho đường tròn (0) đường kính AB, một đường thẳng d vuông góc với AB tại I (I nằm trong đoạn AB). Lấy M l{ một điểm thuộc đường tròn (0), AM, BM cắt d lần lượt tại hai điểm C v{ D. Gọi E l{ điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh tứ gi|c ACDE nội tiếp

Câu 8

C/m: Ta có tam gi|c DEB c}n tại D (vì DI EB v{ I l{ trung điểm EB) Nên: (1)

(cùng phụ ) (2) mà:

Từ (1) v{ (2)

Mà:

Trang | 22

nên: vậy: Tứ gi|c ACDE có tổng hai góc đối bằng 1800 Do đó: Tứ gi|c ACDE nội tiếp được trong đường tròn.

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 9

C/m: Đường thẳng AM cắt đường tròn t}m (I) tại D

(cùng chắn của (0))

(cùng chắn

Suy ra: của (I)) AC // BD (1)

(cùng chắn của (0))

(cùng chắn của (I))

AB // CD (2) ABDC là hình bình hành

Suy ra: Từ (1) v{ (2) Do đó: AM đi qua trung điểm của BC.

Ta có:

Tương tự:

và Câu 10 Cộng c|c bất đẳng thức trên theo vế thì được:

x + y + z -

vì x + y + z + + = 1

Trang | 23

nên Dấu “=” xảy ra khi v{ chỉ khi x = y = z = …

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Trang | 24

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Trang | 25

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Trang | 26

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Trang | 27

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh tiếng.

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

II. Lớp Học Ảo VCLASS

- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Học Online như Học ở lớp Offline

Các chương trình VCLASS:

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 6 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia.

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,

Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III. Uber Toán Học

- Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH. Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

- Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

- Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra

độc lập.

- Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.vn F: www.facebook.com/hoc247.vn T: 098 1821 807

Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online