Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 35: Góc hai đường thẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 35: Góc hai đường thẳng" giúp học sinh ôn tập lý thuyết và các bài tập liên quan đến góc giữa hai đường thẳng trong không gian OXYZ. Nội dung tài liệu bao gồm các công thức tính góc, bài tập vận dụng, cùng lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để hiểu rõ hơn về cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 35: Góc hai đường thẳng

TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Xây dựng và phát triển dựa theo câu hỏi ở đề minh họa 2024 VẤN ĐỀ 35. GÓC HAI ĐƯỜNG THẲNG (ĐỀ MINH HỌA 2024) Cho hình lập phương ABCD  A BC  D (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng CD và AB bằng A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 . CÂU HỎI PHÁT TRIỂN Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có tất cả các cạnh bằng. Góc giữa đường thẳng AA và BC bằng A. 300 . B. 900 . C. 450 . D. 600 Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên dưới). C A B A' C' B' Góc giữa hai đường thẳng AB và CC bằng A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 . Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Góc giữa hai đường thẳng AA và BC bằng A. 900 . B. 45 0 . C. 30 0 . D. 600 . Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng nhau ( tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AB ' và C C ' bằng A. 30 . B. 90 . C. 60 . D. 45 . Câu 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 450 B. 900 C. 300 D. 600     Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Góc giữa cặp véc tơ AF và EG bằng A. 30 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Câu 7. Hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA  SB  SC . Gọi I là trung điểm của AB . Góc giữa SI và BC bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Câu 8. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh a . Gọi I là trung điểm BD. Góc giữa hai đường thẳng A1D và B1I bằng A. 120 B. 30. C. 45 . D. 60 . 3   Câu 9. Cho tứ diện ABCD với AC  AD, CAB  DAB  600 , CD  AD . Gọi  là góc giữa hai đường 2 thẳng AB và CD . Chọn khẳng định đúng về góc  . 3 1 A. cos   B. 300 C. 600 D. cos   4 4 Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D , biết đáy ABCD là hình vuông. Tính góc giữa AC và BD . A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN  a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng. A. 450 . B. 900 . C. 600 . D. 300 . Câu 12. Cho hình lập phương ABCD. AB C D  ; gọi M là trung điểm của B C  . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC  bằng A. 45 . B. 90 . C. 30 . D. 60 . Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có độ dài các cạnh SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là? A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . AB C  có AB  a và AA  2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB  và BC  bằng A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 30 .  Câu 15. Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a , ABC  45 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DC . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 A. 60 . B. 120 . C. 90 . D. 30 . Câu 16. Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BB. Cosin của góc hợp bởi MN và AC ' bằng 3 2 5 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Câu 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2 a , BC  a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 7 35 5 7 Câu 18. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 75 . Câu 19. Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC là A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a , AC  a 3 .  Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của BC , AH  a 3 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và BC . Tính cos . 1 6 6 3 A. cos   . B. cos   . C. cos   . D. cos   . 2 8 4 2 Câu 21. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính giá trị của cos  AB, DM  . 3 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 2 Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác ABC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABC  . M là trung điểm cạnh CC  . Tính cosin góc  giữa hai đường thẳng AA và BM . 2 22 33 11 22 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 11 11 11 11 Câu 23. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm cạnh AC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng 6 15 6 10 A. . B. . C. . D. . 4 5 2 4 Câu 24. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Khi đó cos  AB, DM  bằng 2 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 2 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD có đáy hình vuông. Cho tam giác SAB vuông tại S và góc SBA bằng 300 . Mặt phẳng  SAB  vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M , N là trung điểm AB, BC . Tìm cosin góc tạo bởi hai đường thẳng  SM , DN  . 2 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 5 5 3 3 Câu 26. Cho hình hộp ABCD  ABC D có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 . THẦY, CÔ GIÁO CẦN MUA FILE WORD THÌ LIÊN HỆ Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong SĐT: 0946.798.489 hoặc zalo 0946.798.489 Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
VẤN ĐỀ 35. GÓC HAI ĐƯỜNG THẲNG (ĐỀ MINH HỌA 2024) Cho hình lập phương ABCD  A BC  D (tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng CD và AB bằng A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 . Lời giải Chọn D      Ta có AB‖DC   AB , DC  DC  , DC  CDC  45 . CÂU HỎI PHÁT TRIỂN Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng. Góc giữa đường thẳng AA và BC  bằng A. 300 . B. 900 . C. 450 . D. 600 Lời giải Chọn C  Vì AA / / BB nên  AA, BC     BB , BC    B BC  BC   Ta có: tan BBC   1  BBC  450 . BB Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên dưới). Trang 1
C A B A' C' B' Góc giữa hai đường thẳng AB và CC  bằng A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 . Lời giải Chọn A C A B A' C' B' Ta có: CC ' // BB ' . Nên ' = ' = ' ( ' là góc nhọn). Mặt khác,  A ' B ; CC   A ' B ; BB  A ' BB A ' BB tam giác A ' BB ' là tam giác vuông cân ( A ' B  BB ' và A ' B  BB ' ) suy ra '  45 . Vậy A ' BB góc giữa hai đường thẳng A ' B và CC ' bằng 45 . Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình bên). Trang 2
Góc giữa hai đường thẳng AA và BC bằng A. 900 . B. 45 0 . C. 30 0 . D. 600 . Lời giải Chọn B Ta có: AA//CC  nên:   AA, BC    CC , BC  Mặt khác tam giác BCC vuông tại C có CC  BC  nên là tam giác vuông cân. Vậy góc giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 45 0 . Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng nhau ( tham khảo hình bên). Góc giữa hai đường thẳng AB ' và C C ' bằng A. 30 . B. 90 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Chọn D Ta có B B ' // C C ' (do BB ' và C C ' là cạnh bên của hình lăng trụ). Trang 3
Suy ra '  ' .  AB ', CC   AB ', BB  Tứ giác ABB ' A ' là hình vuông (do ABC . A ' B ' C ' là lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau) nên   45 . AB ' B Vậy '  '    45  .  AB ', CC   AB ', BB AB ' B  Câu 5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 450 B. 900 C. 300 D. 600 Lời giải Chọn D Đặt OA  a suy ra OB  OC  a và AB  BC  AC  a 2 a 2 Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và MN  2    Suy ra góc  OM , AB    OM , MN  . Xét OMN a 2 Trong tam giác OMN có ON  OM  MN  nên OMN là tam giác đều 2    Suy ra OMN  600 . Vậy  OM , AB    OM , MN   600     Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Góc giữa cặp véc tơ AF và EG bằng A. 30 . B. 120 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Trang 4
         Ta có AF , EG  AF , AC  CAF .  CAF là tam giác đều, nên CAF  60 . Câu 7. Hình chóp S . ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA  SB  SC . Gọi I là trung điểm của AB . Góc giữa SI và BC bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 . Lời giải Chọn B      1 SA  SB .BC             SI .BC   SA.BC  SB.BC  Ta có: cos SI ; BC   2  SI .BC BC .BC BC 2 2   SB.BC SB.BC.cos135 SB.SB 2.cos135 2.cos135 1  2  2  2   . BC BC 2 SB 2 2       Suy ra: SI ; BC  120   SI ; BC   60 . Câu 8. Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1 D1 có cạnh a . Gọi I là trung điểm BD. Góc giữa hai đường thẳng A1D và B1 I bằng A. 120 B. 30. C. 45 . D. 60 . Lời giải Chọn B Trang 5
Ta có B1C / / A1 D   A1 D, B1 I    B1C , B1 I  . a 2 a 6 Vì ABCD. A1B1C1 D1 là hình lập phương cạnh a nên B1C  a 2; IC  ; B1I  . 2 2  B1 I 2  B1C 2  IC 2 3 Xét B1 IC có: cos IB1C   . 2B1 I .B1C 2   IB1C  30.  Do đó  A1 D , B1 I    B1C , B1 I   IB1C  30. 3   Câu 9. Cho tứ diện ABCD với AC  AD, CAB  DAB  600 , CD  AD . Gọi  là góc giữa hai 2 đường thẳng AB và CD . Chọn khẳng định đúng về góc  . 3 1 A. cos   B. 300 C. 600 D. cos   4 4 Lời giải Chọn D               Ta có AB. CD  AB. AD  AC  AB. AD  AB. AC  AB. AD. cos 600  AB. AC.cos 600 3 1  AB. AD. cos 600  AB. AD.cos 600  AB. AD 2 4         AB.CD 1 1  cos AB, CD   AB.CD 4   cos  4 Trang 6
Câu 10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D , biết đáy ABCD là hình vuông. Tính góc giữa AC và BD . A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 . Lời giải Vì ABCD là hình vuông nên BD  AC . Mặt khác AA   ABCD   BD  AA .  BD  AC Ta có   BD   AAC   BD  AC .  BD  AA ' Do đó góc giữa AC và BD bằng 90 . Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN  a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng. A. 450 . B. 900 . C. 600 . D. 300 . Lời giải Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy ra   PM , PN .  AB, CD     Dễ thấy PM  PN  a .  PM 2  PN 2  MN 2 a 2  a 2  3a 2 1 Xét PMN ta có cos MPN    2 PM .PN 2.a.a 2  MPN  1200    1800  1200  600 .   AB, CD  Câu 12. Cho hình lập phương ABCD. AB C D  ; gọi M là trung điểm của B C  . Góc giữa hai đường thẳng AM và BC  bằng Trang 7
A. 45 . B. 90 . C. 30 . D. 60 . Lời giải B C N A D B' M C' A' D' Giả sử cạnh của hình lập phương là a  0 . Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB . Khi đó, MN //BC  nên  AM , BC     AM , MN  . 2 a2 a 5 Xét tam giác ABM vuông tại B ta có: AM  AB 2  B M 2  a   . 4 2 5a 2 3a Xét tam giác AAM vuông tại A ta có: AM  AA2  AM 2  a 2   . 4 2 a 5 BC  a 2 Có AN  AM  ; MN   . 2 2 2 Trong tam giác AMN ta có: 9 a 2 2a 2 5a 2 2 MA  MN  AN 2   2 2 1 cos   AMN  4 4 4  6a . 4 2  . 2.MA.MN 3a a 2 4 6a 2 2 2. . 2 2 Suy ra   45 . AMN Vậy  AM , BC     AM , MN     45 . AMN Câu 13. Cho hình chóp S . ABC có độ dài các cạnh SA  SB  SC  AB  AC  a và BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là? A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 . Lời giải Trang 8
Ta có BC  a 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA  SB  SC  a nên hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC .         AB.SC   Ta có cos  AB, SC   cos AB , SC  AB.SC .              1     1 a2   AB.SC  AB SI  IC  AB.SI   BA.BC   BA.BC.cos 45 2 2  . 2 a2 1  cos  AB, SC   22    AB, SC   60 . a 2         AB.SC  Cách 2: cos  AB, SC   cos AB, SC  AB.SC               a2   Ta có AB.SC  SB  SA SC  SB.SC  SA.SC  SB.SC .cos 90  SA.SC .cos 60   . 2 a 2 2 1 Khi đó cos  AB, SC   2  a 2 Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . AB C  có AB  a và AA  2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC  bằng A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 30 . Lời giải Trang 9
                           Ta có AB.BC   AB  BB BC  CC   AB.BC  AB.CC   BB.BC  BB.CC                a2 3a 2  AB.BC  AB.CC   BB.BC  BB.CC     0  0  2a 2  . 2 2    3a 2    AB.BC  2 1   Suy ra cos AB, BC        AB . BC  a 3.a 3    AB, BC    60 . 2 Câu 15. Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a ,   45 . Tính góc giữa hai đường ABC thẳng AB và DC . A. 60 . B. 120 . C. 90 . D. 30 . Lời giải Ta có tam giác ABC vuông cân tại A , tam giác BDC vuông cân tại D .                    Ta có AB.CD  DB  DA CD  DB.CD  DA.CD                  1    DB CD cos DB, CD  DA CD cos DA, CD   a 2 . 2                       AB.CD 1  Mặt khác ta lại có AB.CD  AB CD cos AB.CD  cos AB, CD        AB CD 2          AB, DC  120   AB, CD   60 . Câu 16. Cho hình lập phương ABCD.ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BB. Cosin của góc hợp bởi MN và AC ' bằng 3 2 5 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Lời giải Trang 10
* Xét hình lập phương ABCD. ABCD cạnh a .              * Đặt a  AB, b  AD, c  AA  a  b  c  a, a.b  b.c  a.c  0 . * Ta có:        1  1        1 1 a 3 MN  AN  AM  AB  BN  AM  a  b  c  MN  a 2  a 2  a 2  2 2 4 4 2            2 2 2 AC   AB  AD  AA  a  b  c  AC   a  a  a  a 3     1 1 AC .MN  a 2  a 2  a 2  a 2 2 2         MN . AC  2   cos  MN ; AC    cos MN ; AC       MN . AC   3 . Câu 17. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2 a , BC  a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AC 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 7 35 5 7 Lời giải   SC,  ABCD     SC, CH   SCH  600 .   SB. AC cos  SB , AC   SB. AC Trang 11
                    SB . AC  SH  H B  AB  BC   S H . A B  SH .B C  H B . A B  H B .B C       1  H B . AB  H B . B C  AB 2  2 a 2 2  AC  a 5 , CH  a2  a2  a 2 , SH  CH.tan SCH  a 6 . 2   SB  SH 2  HB2  a 6  a 2  a 7 .   SB. AC 2a2 2 cos  SB, AC     . SB. AC a 7.a 5 35 Câu 18. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 75 . Lời giải Gọi I là trung điểm SA thì IMNC là hình bình hành nên MN // IC . Ta có BD   SAC   BD  IC mà MN // IC  BD  MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng 90 .    Cách khác: có thể dùng hệ trục tọa độ của lớp 12, tính tích vô hướng BD .M N  0 . Câu 19. Cho hình chóp đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai đường thẳng MN và SC là A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 . Lời giải Trang 12
Gọi P là trung điểm của CD . Ta có: N P // SC   MN , SC    MN , NP  . a a a 2 Xét tam giác MNP ta có: MN  , N P  , MP  2 2 2 a2 a2 a 2  MN 2  NP2     MP 2  MNP vuông tại N 4 4 2   MNP  90   MN , SC    MN , NP   90 . Câu 20. Cho hình lăng trụ ABC . ABC  có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  a , AC  a 3 .  Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của BC , AH  a 3 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và BC . Tính cos . 1 6 6 3 A. cos   . B. cos   . C. cos   . D. cos   . 2 8 4 2 Lời giải      Gọi E là trung điểm của AC ; D và K là các điểm thỏa BD  HK  AB .  Ta có BK   ABC  và B D / / AB   AB, BC    BD, BC   DBC . 2 Ta tính được BC  2 a  BH  a ; BD  AB  a 3  a 2  2a. Trang 13
3a 2 9a 2 CD  AC 2  AD 2  3a 2  4a 2  a 7 ; CK  CE 2  EK 2    a 3. 4 4 BC  BK 2  CK 2  3a 2  3a 2  a 6.  BD 2  BC 2  CD 2 4a 2  6a 2  7a 2 6 cos CBD    . 2.BD.BC 2.2a.a 6 8 Câu 21. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính giá trị của cos  AB, DM  . 3 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 2 Lời giải Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a. Gọi N là trung điểm của AC .    Khi đó: AB, DM  MN , DM    a a 3 Ta có: MN  , DM  DN  . 2 2 a2  MN  MD  ND  2 2 2 4 3 cos NMD   . 2.MN .MD a a 3 6 2. . 2 2 3 Vậy cos AB, DM   . 6 Câu 22. Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác ABC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABC  . M là trung điểm cạnh CC  . Tính cosin góc  giữa hai đường thẳng AA và BM . 2 22 33 11 22 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 11 11 11 11 Lời giải Trang 14
a 3 Ta có: AH  AH  và AH  BC , AH  BC  BC   AAH   BC  AA 2 hay BC  BB . Do đó: BCCB là hình chữ nhật. a 3 a 6 a 2 .6 22 Khi đó: CC   AA  . 2  BM  a 2  a . 2 2 16 4         3a 2   Xét: AA.BM  AA. BC  CM  0  AA.CM  4 . 3a 2 4 33 Suy ra cos  AA, BM    . a 6 a 22 11 . 2 4 Câu 23. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC .MNP có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I là trung điểm cạnh AC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng NC và BI bằng 6 15 6 10 A. . B. . C. . D. . 4 5 2 4 Lời giải Giả sử các cạnh của lăng trụ bằng a . Gọi K là trung điểm của MP  BI / / NK   NC , BI    NC , NK  . ABC .MNP là lăng trụ tam giác đều  CP   MNP  a 5 CK  CP 2  PK 2  2 CN  CP 2  NP 2  a 2 a 3 NK  NP 2  KP 2  2 2 2 2   NC  NK  CK  6 . cos CNK 2 NC.NK 4 Trang 15