Trêng THPT Yªn M« B
§Ò thi chän häc sinh giái líp 12
(Thêi gian lµm bµi 180 phót kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
C©u 1. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:
1. cos5x + sin7x +
1
2
(cos3x + sin5x)sin2x = cosx + sinx
2.
x
+7x + 2
27x x
= 35 - 2x
C©u 2. Cho hµm sè y =
1
2
x
x
1. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng y = m - x lu«n c¾t ®å thÞ hµm sè ®· cho t¹i hai ®iÓm
ph©n biÖt thuéc hai nh¸nh cña ®å thÞ. Khi nµo th× hai tiÕp tuyÕn t¹i hai ®iÓm ®ã song
song víi nhau?
2. T×m ®iÓm A thuéc ®å thÞ hµm sè ®· cho sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn hai trôc
to¹ ®é nhá nhÊt.
C©u 3.
1. Chøng minh r»ng víi mäi x, y ta cã : x2.sin2y + cos2y + 2x(sinx + cosy) + x2 + 1 > 0
2. Trong c¸c nghiÖm cña hÖ
2 2
2 2
9
16
12
x y
z t
xt yz
H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña x + y
C©u 4.
1. Cho 13 sè thùc kh¸c nhau chøng minh r»ng lu«n t×m ®îc hai sè a, b trong 13 sè ®ã
tho¶ m·n 0 <
1
a b
ab
<
2 3
2 3
2. Cho d·y sè (un) tho¶ m·n: 1
2
1
1
2
n n n
u
u u u
T×m lim
1 2 3
1 1 1 1
...
1 1 1 1
n
u u u u
C©u 5
Cho hai ®êng th¼ng chÐo nhau vµ vu«ng gãc víi nhau d1 vµ d2, AB lµ ®o¹n vu«ng gãc
chung, A thuéc d1 B thuéc d2. BiÕt AB = 2a, C lµ ®iÓm n»m trªn d1 D lµ ®iÓm n»m trªn
d2 §Æt AC = x, BD = y.
a. CMR c¸c mÆt cña tø diÖn ABCD lµ tam gi¸c vu«ng khi ®ã tÝnh tæng b×nh ph¬ng
diÖn tÝch c¸c mÆt cña tø diÖn ABCD theo a, x, y ®Æt tæng nµy lµ S.
b. T×m hÖ thøc gi÷a x, y vµ a ®Ó CD = x + y. khi ®ã t×m x, y sao cho S nhá nhÊt.
---------------------- HÕt ----------------------
Đ
Ề CHÍNH THỨC
UBND T
ỈNH BẮC NIN
H
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011
================
Câu 1:(5 điểm)
1/ Cho hàm số 3
y x 3x 2 có đồ thị là (T). Giả sử A, B, C là ba điểm thẳng hàng trên (T),
tiếp tuyến của (T) tại các điểm A, B, C lần lượt cắt (T) tại các điểm A’, B’, C’ (tương ứng
khác A, B, C). Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng.
2/ Cho hàm số 2n 1
y x 2011x 2012 (1)
, chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n đồ thị
hàm số (1) luôn cắt trục hoành tại đúng một điểm.
Câu 2:(5 điểm)
1/ Giải phương trình:
2 4 6 3 5 7
log x log x log x log x log x log x x ฀.
2/ Giải phương trình:
22
1 1
5x 6 x x
5x 7 x 1
฀.
Câu 3:(3 điểm)
Kí hiệu k
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử
0 k n; k, n ฀, tính tổng sau:
0 1 2 2009 2010
2010 2010 2010 2010 2010
S C 2C 3C ... 2010C 2011C .
Câu 4:(5 điểm)
1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành,
AD 4a a 0 , các cạnh
bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 6 . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất.
2/ Cho tứ diện ABCD có
฀
฀
0 0
BAC 60 ,CAD 120 . Gọi E là chân đường phân giác trong góc A
của tam giác ABD. Chứng minh rằng tam giác ACE vuông.
Câu 5:(2 điểm)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 2 2
x y . Chứng minh rằng:
cos x cos y 1 cos xy .
…………………… HẾT……………………
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 - 1
(Thời gian làm bài 180’)
ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x4- 6x2 + 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng
thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị
hàm số.
Câu 2: Giải hệ phương trình.
x+y = 14 z
y + z = 14 x
z + x = 14 y
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P): y2
= 4x. M là một điểm di động trên (P). M 0, T là một điểm trên (P) sao cho T 0, OT
vuông góc với OM.
a. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một
điểm cố định.
b. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên
1 pa ra bol cố định .
Câu 4: Giải phương trình sau:
sinx + siny + sin (x+y) =
2
33
Câu 5: Cho dãy số In =
n
n
dx
x
x
4
2
cos , nN*
Tính n
lim In
Câu 6: Cho 1 a > 0, chứng minh rằng.
1
ln
a
a < 3
3
1
aa
a