SỞ GD-ĐT HẢI DƯƠNG Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2021-2022 Thời gian làm bài: 180 phút Môn: Toán
Câu 1. (2 điểm)
Cho dãy số xác định bởi
a) Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Đặt . Tìm
Câu 2. (2 điểm) Tìm tất cả các hàm số sao cho:
Câu 3. (2 điểm)
Có bao nhiêu cách lát kín bảng bởi các viên domino và ?
Câu 4. (2 điểm)
Cho tam giác nhọn với . Cho là tâm nội tiếp của tam giác và là đường
tròn ngoại tiếp tam giác . Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với tại . Đường
thẳng cắt tại điểm thứ hai . Cho là trung điểm của và là điểm chính giữa cung
chứa . Đoạn thẳng cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ở . Chứng minh rằng
a) Cho tại điểm thứ hai thì thẳng hàng. của cắt
b)
.
Câu 5. (2 điểm)
Cho dãy số ; ; là nghiệm dương của phương trình (
) với số nguyên dương cho trước.
Khi đó chứng minh rằng .
Giải
Câu 1 :
a) Ta chứng minh bằng quy nạp theo , dãy bị chặn trên bởi 1 và là một dãy tăng.
+) Ta có Giả sử Vì hàm là đồng biến trên khoảng
nên
Vậy với mọi
+) Ta có . Giả sử Do và là đồng biến trên khoảng
nên
Vậy dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
+) Đặt Suy ra
Vậy
b) Ta có
Suy ra
Câu 2 :
Giả sử hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+)Trong (1) thay bởi ta có :
+)Trong (1) thay bởi ta có :
Từ (2) và (3) suy ra
Vậy nếu có sao cho thì Vậy
Dễ thấy có hai hàm số và thỏa mãn (4).
+) Ta chứng minh nếu có hàm số khác hai hàm số và mà thỏa mãn cả (1) và
(4) thì vô lý.
Vì khác nên Vậy
Vì thỏa mãn (4) và khác nên
+) Trong (1) cho
Không mất tổng quát, giả sử
+)Trong (1) thay bởi và bởi ta có :
(vô lý).
+) Bằng cách thử trực tiếp vào (1) ta có kết quả hàm số cần tìm là
Câu 3:
Gọi là số cách lát.
Ta xét hai trường hợp sau:
+) Nếu hàng 2 ô đầu tiên được lát bởi viên gạch thì bảng trên trở thành ; ta có
cách lát.
+) Nếu 4 ô vuông ở 2 hàng đầu tiên được lát bởi 2 viên gạch thì ta có cách lát.
Như vậy với .
Suy ra là số Fibonacci thứ .
Như vậy số cách lát là
Câu 4:
a) Cho cắt tại điểm thứ hai , như vậy là trung điểm cung không chứa .
Theo tính chất trục đẳng phương thì là tứ giác nội tiếp, từ đó:
Và suy ra thẳng hàng
b) Đặt là , với là tâm đường tròn bàng tiếp góc . Theo
tính chất trục đẳng phương là tứ giác nội tiếp. Khi đó
Và từ đó suy ra thẳng hàng. Như vậy, Suy ra
và (đpcm).
Câu 5:
+) Ta có
.
+) Do là số vô tỉ nên
+) (1)
+) (2)
+) Ta có
Như vậy
Suy ra (đpcm).
