CHUYÊN ĐỀ
NG D NG Đ O HÀM Đ GI I PH NG TRÌNHỨ Ụ Ạ Ể Ả ƯƠ
GIÁ TR NH NH T – GIÁ TR L N NH T C A HÀM SỊ Ỏ Ấ Ị Ớ Ấ Ủ Ố
Đ NH LÝ LAGRANGEỊ
A. NG D NG Đ O HÀM Đ GI I PH NG TRÌNHỨ Ụ Ạ Ể Ả ƯƠ
Đ nh lý 1ị
N u hàm s y = ế ố
f(x)
liên t c trên kho ng (a; b) và có ụ ả
/
f (x) 0>
(ho c ặ
/
f (x) 0<
) trong kho ng (a; b) thìả
ph ng trình ươ
f(x) 0=
có không quá 1 nghi m trong kho ng đó.ệ ả
Ví d 1.ụ Gi i ph ng trình ả ươ
2
2
log x x
=
.
Gi iả
Đi u ki n: x > 0.ề ệ
Xét hàm s ố
( )
2
2
f(x) log x , D 0;
x
= - = +¥
ta có:
/
2
1 2
f (x) 0, x 0
x ln 2 x
= + > " >
Suy ra ph ng trình f(x) = 0 có không quá 1 nghi m trong ươ ệ
(0; )+¥
.
M t khác f(2) = 0. V y ph ng trình có nghi m duy nh t x = 2.ặ ậ ươ ệ ấ
Đ nh lý 2ị
N u hàm s y = ế ố
f(x)
liên t c trên kho ng (a; b) và có ụ ả
/ /
f (x) 0>
(ho c ặ
/ /
f (x) 0<
) trong kho ng (a; b) thìả
ph ng trình ươ
f(x) 0=
có không quá 2 nghi m trong kho ng đó.ệ ả
Ví d 2.ụ Gi i ph ng trình ả ươ
.
Gi iả
Xét hàm s ố
x x
f(x) 2 3 3x 2, D= + - - = ¡
ta có :
/ x x
f (x) 2 ln 2 3 ln 3 3= + -
,
/ / x 2 x 2
f (x) 2 (ln 2) 3 (ln 3) 0 x= + > " Ρ
.
Suy ra ph ng trình f(x) = 0 có không quá 2 nghi m.ươ ệ
Mà f(0) = 0, f(1) = 0. V y ph ng trình có 2 nghi m x = 0, x = 1.ậ ươ ệ
Chú ý:
i) Hàm s f(x) liên t c và đ ng bi n trên kho ng (a; b), g(x) liên t c và ngh ch bi n trong kho ng (a; b)ố ụ ồ ế ả ụ ị ế ả
đ ng th i f(c) = g(c) (v i c thu c (a; b)) thì ph ng trình f(x) = g(x) có nghi m duy nh t x = c.ồ ờ ớ ộ ươ ệ ấ
ii) Hàm s f(x) liên t c và đ n đi u trong (a; b) thì ố ụ ơ ệ
f(u) f(v) u v (a; b)= =Û Î
.
Ví d 3.ụ Ph ng trình ươ
3
log x 4 x= -
có nghi m duy nh t x = 3.ệ ấ
Ví d 4.ụ Gi i ph ng trình ả ươ
2
x 1 2x 2
3 3 x 2x 1
+
- = - + -
(1).
Gi iả
Đ t ặ
2
u x 1, v 2x= + =
, ta có :
u v u v
(1) 3 3 v u 3 u 3 v- = - + = +Û Û
(2).
Xét hàm s ố
t / t
f(t) 3 t f (t) 3 ln 3 1 0 t= + = + > "Þ Î ¡
(2) f(u) f(v) u v v u 0= = - =Þ Û Û Û
2
x 2x 1 0 x 1.- + - = =Û Û
V y (1) có nghi m duy nh t x = 1.ậ ệ ấ
Chú ý:
N u f(x) đ n đi u trên hai kho ng ế ơ ệ ả r i nhauờ thì không áp d ng ụ
f(u) f(v) u v= =Û
đ c.ượ
Ch ng h n: ẳ ạ
1
f(t) t t
= -
và
1 1
x y
x y
- = -
x y 0=Þ ¹
là sai.
B. GIÁ TR NH NH T – GIÁ TR L N NH T C A HÀM S – Đ NH LÝ LAGRANGEỊ Ỏ Ấ Ị Ớ Ấ Ủ Ố Ị
I. GIÁ TR NH NH T – GIÁ TR L N NH T C A HÀM SỊ Ỏ Ấ Ị Ớ Ấ Ủ Ố
1. Đ nh nghĩaị
Cho hàm s y = f(x) có MXĐ D và X là t p h p con c a D.ố ậ ợ ủ
i) S m đ c g i là giá tr nh nh t c a f(x) trên X n u ố ượ ọ ị ỏ ấ ủ ế
0 0
f(x) m x X
f(x ) m, x X
ì"³ Î
ï
ï
ï
í
ï=Î
ï
ï
î
, ký hi u: ệ
x X
m min f(x)
Î
=
.
ii) S M đ c g i là giá tr l n nh t c a f(x) trên X n u ố ượ ọ ị ớ ấ ủ ế
0 0
f(x) M x X
f(x ) M, x X
ì"£ Î
ï
ï
ï
í
ï=Î
ï
ï
î
, ký hi u: ệ
x X
M max f(x)
Î
=
.
2. Ph ng pháp gi i toánươ ả
2.1. Hàm s liên t c trên đo n [a; b]ố ụ ạ
Cho hàm s y = f(x) liên t c trên đo n [a; b]. Đ tìm giá tr l n nh t (max) và giá tr nh nh t (min) c aố ụ ạ ể ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ
f(x) trên đo n [a; b] ta th c hi n các b c sau:ạ ự ệ ướ
B c 1.ướ Gi i ph ng trình ả ươ
/
f (x) 0=
(tìm đi m d ng). Gi s có n nghi m xể ừ ả ử ệ 1; x2; …; xn thu c đo n [a; b]ộ ạ
(ta lo i các nghi m n m ngoài đo n [a; b]).ạ ệ ằ ạ
B c 2.ướ Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).
B c 3.ướ Giá tr l n nh t, nh nh t trong các giá tr đã tính trên là các giá tr t ng ng c n tìm.ị ớ ấ ỏ ấ ị ở ị ươ ứ ầ
Ví d 1.ụ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
2
f(x) x 4x 5= - +
trên đo n ạ
[ 2; 3]-
.
Gi iả
Ta có:
2
f(x) x 4x 5= - +
liên t c trên đo n ụ ạ
[ 2; 3]-
[ ]
/
2
x 2
f(x) 0 x 2 2; 3
x 4x 5
-
= = = -Û Î
- +
( )
f( 2) 17, f 2 1, f(3) 2- = = =
.
V y ậ
[ ] [ ]
x 2;3 x 2;3
min f(x) 1 x 2, max f(x) 17 x 2
- -Î Î
= = = = -Û Û
.
Chú ý:
i) Đ cho g n ta dùng ký hi u ể ọ ệ
min max
f , f
thay cho
[ ] [ ]
x 2;3 x 2;3
min f(x), max f(x)
- -Î Î
.
ii) N u đ bài ch a cho đo n [a; b] thì ta ph i tìm MXĐ c a hàm s tr c khi làm b c 1.ế ề ư ạ ả ủ ố ướ ướ
iii) Có th đ i bi n s ể ổ ế ố
t t(x)=
và vi t ế
y f(x) g(t(x))= =
. G i T là mi n giá tr c a hàm t(x) (th ngọ ề ị ủ ườ
g i là đi u ki n c a t đ i v i x) thì ọ ề ệ ủ ố ớ
x X t T
min f(x) min g(t)
Î Î
=
,
x X t T
max f(x) max g(t)
Î Î
=
.
Ví d 2.ụ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
6 4 2
9 1
y x 3x x
4 4
= - + +
trên đo n ạ
[ 1; 1]-
.
Gi iả
Hàm s ố
6 4 2
9 1
y x 3x x
4 4
= - + +
liên trên đo n ạ
[ 1; 1]-
Đ t ặ
[ ]
2
t x t [0; 1] x 1; 1= " -ÞÎ Î
, ta có:
3 2
9 1
y t 3t t
4 4
= - + +
liên t c trên đo n [0; 1]ụ ạ
/ 2
9 1 3
y 3t 6t 0 t t
4 2 2
= - + = = =Þ Û Ú
(lo i).ạ
( )
1 1 3 1
y(0) , y , y(1) .
4 2 4 2
= = =
V y ậ
min
1
y t 0 x 0
4
= = =Û Û
,
max
3 1 2
y t x
4 2 2
= = = ±Û Û
.
Ví d 3.ụ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
2
f(x) x 5x 6= - + +
.
Gi iả
Ta có đi u ki nề ệ :
2
x 5x 6 0 1 x 6 D [ 1; 6]- + + - = -³Û ££Þ
Hàm s ố
2
f(x) x 5x 6= - + +
liên t c trên Dụ
/
2
2x 5 5
f(x) 0 x D
2
2 x 5x 6
- +
= = =Û Î
- + +
.
( )
( )
5 7
f( 1) f 6 0, f 2 2
- = = =
.
V y ậ
min
f 0 x 1 x 6= = - =Û Ú
,
max
7 5
f x
2 2
= =Û
.
Ví d 4.ụ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
2
sin x 1
ysin x sin x 1
+
=+ +
.
Gi iả
Đ t ặ
2
t 1
t sin x y , t [ 1; 1]
t t 1
+
= = -Þ Î
+ +
2
/ /
2 2
t 2t
y y 0 t 0 [ 1; 1]
(t t 1)
- -
= = = -Þ Û Î
+ +
( )
( )
2
y( 1) 0, y 0 1, f 1 3
- = = =
.
V y ậ
min
y 0 sin x 1 x k2 , k
2
p
= = - = - +Û Û pÎ Z
max
y 1 sin x 0 x k , k= = =Û Û pÎ Z
.
Ví d 5.ụ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
3
y x 3x 2= - +
trên đo n [–3; 2].ạ
Gi iả
Hàm s ố
3
y x 3x 2= - +
liên t c trên đo n ụ ạ
[ ]
3; 2-
.
Đ t ặ
3
f(x) x 3x 2= - +
liên t c trên đo n ụ ạ
[ ]
3; 2-
.
/ 2
f (x) 3x 3 0 x 1 [ 3; 2]= - = = ± -Û Î
.
f( 3) 16, f( 1) 4, f(1) 0, f(2) 4- = - - = = =
16 f(x) 4 x [ 3; 2]- " -Þ £ £ Î
0 f(x) 16 x [ 3; 2]" -Þ £ £ Î
0 y 16 x [ 3; 2]" -Þ £ £ Î
.
V y ậ
max min
y 16, y 0= =
.
2.2. Hàm s liên t c trên kho ng (a; b) ho c trên ố ụ ả ặ
¡
Cho hàm s y = f(x) liên t c trên ố ụ
D (a; b)=
ho c ặ
D=¡
ta th c hi n các b c sau:ự ệ ướ
B c 1.ướ Gi i ph ng trình ả ươ
/
f (x) 0=
(tìm đi m d ng). Gi s có n nghi m xể ừ ả ử ệ 1; x2; …; xn thu c D (ta lo iộ ạ
các nghi m không thu c D).ệ ộ
B c 2.ướ Tính
1
x a
lim f(x) L
+
®
=
, f(x1), f(x2), …, f(xn),
2
x b
lim f(x) L
-
®
=
.
B c 3.ướ
+ N u ế
{ }
{ }
1 2 n 1 2
min f(x ), f(x ), ..., f(x ) min L , L<
thì
{ }
min 1 2 n
f min f(x ), f(x ),..., f(x )=
(1).
+ N u ế
{ }
{ }
1 2 n 1 2
max f(x ), f(x ), ..., f(x ) max L , L>
thì
{ }
max 1 2 n
f max f(x ), f(x ), ..., f(x )=
(2).
+ N u không th a (1) (ho c (2)) thì hàm s không đ t min (ho c max).ế ỏ ặ ố ạ ặ
Chú ý:
i) Có th l p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) thay cho b c 3.ể ậ ả ế ủ ố ướ
ii) N u hàm s không có đi m d ng (đi m d ng khác đi m t i h n) thì không đ t min, max.ế ố ể ừ ể ừ ể ớ ạ ạ
Ví d 6.ụ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t (n u có) c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ế ủ ố
2
x 1
f(x) x 1
+
=+
.
Gi iả
Hàm s f(x) liên t c trên R. Ta có:ố ụ
/ /
2 2
1 x
f (x) f (x) 0 x 1
(x 1) x 1
-
= = =Þ Û
+ +
( )
x x x
2
1
x 1 x
lim f(x) lim lim f(x) 1
1
x 1 x
¥ ¥ ±¥® ® ®
+
= = ±Þ
+
B ng bi n thiênả ế
V y hàm s không đ t min và ậ ố ạ
x R
max f(x) 2 x 1
Î
= =Û
.
Nh n xét:ậ
2
x m x 1 1 0- + + =
có nghi m th c ệ ự
1 m 2- <Û £
.
Ví d 7.ụ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t (n u có) c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ế ủ ố
2
f(x) x x 2x 2= - - +
.
Gi iả
Hàm s f(x) liên t c trên ố ụ
¡
. Ta có:
/ 2
2
x 1
f (x) 1 0 x 2x 2 x 1
x 2x 2
-
= - = - + = -Û
- +
2 2
x 1
x 2x 2 (x 1)
³
ì
ï
ï
Ûí
ï- + = -
ï
î
(vô nghi m).ệ
V y hàm s không đ t min và max (vì không có đi m d ng).ậ ố ạ ể ừ
Ví d 8.ụ Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
2
x
yx 2 1
=+ -
.
Gi iả
Ta có
2 2
x 2 2 1 x 2 1 0 D+ > + - > =³ Þ Þ ¡
.
( )
2
2
2
/
2
2
x
x 2 1 x 2
y
x 2 1
+ - - +
=Þ
+ -
( )
2
2
2 2
2 x 2
x 2 x 2 1
- +
=
+ + -
( )
/ 2
y 0 x 2 2 x 2 y 2 2= + = = ± ± = ±Û Û Þ
,
Gi i h n ớ ạ
x x x
2
x
lim y lim lim y 1
2 1
x 1 x
x
¥ ¥ ±¥® ® ®
= = ±Þ
æ ö
÷
ç+ - ÷
ç÷
ç
è ø
.
V y ậ
max min
y 2, y 2= = -
.
Nh n xét:ậ
2
m x 2 x m+ = +
có nghi m th c ệ ự
2 m 2-Û £ £
.
Ví d 9.ụ Tìm m đ ph ng trình ể ươ
2
x 2x 1 m+ + =
có nghi m.ệ
Gi iả
Xét hàm s ố
2
y x 2x 1= + +
liên t c trên ụ
¡
. Ta có:
/ 2
2
2x
y 1 0 2x 1 2x
2x 1
= + = + = -Û
+
2 2
2x 0 2
x2
2x 1 4x
-³
ì
ï
ï= -Û Û
í
ï+ =
ï
î
.
x
2 2
y , lim y ,
2 2
+¥®
æ ö
÷
ç- = = +¥
÷
ç÷
ç
è ø
( ) ( )
2 2
2
x x
2x 1 x 2x 1 x
lim y lim 2x 1 x
- ¥ - ¥® ®
+ + + -
=+ -
2
x x
2 2
1
x
x 1 x
lim lim
1 1
x 2 1 2 1
x x
- ¥ - ¥® ®
+
+
= = = +¥
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- + + - + +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.
min
2 2
y y x
2 2
= "Þ Þ ³ Î ¡
.
V y v i ậ ớ
2
m2
³
thì ph ng trình có nghi m.ươ ệ
Chú ý: Có th dùng b t đ ng th c đ tìm min, max c a hàm s .ể ấ ẳ ứ ể ủ ố
II. Đ NH LÝ LAGRANGEỊ
Hàm s y = f(x) liên t c trên đo n [a; b] (a < b) và có đ o hàm trên kho ng (a; b) thì t n t i s c trongố ụ ạ ạ ả ồ ạ ố
kho ng (a; b) sao cho ả
/
f(b) f(a) (b a)f (c)- = -
.
Ví d 10.ụ Ch ng t r ng ph ng trình ứ ỏ ằ ươ
3 2
4x 3x 2x 3 0+ + - =
có nghi m trong kho ng (0; 1).ệ ả
Gi iả
Xét hàm s ố
4 3 2
f(x) x x x 3x= + + -
liên t c trên [0; 1] và có đ o hàm trên (0; 1).ụ ạ
Áp d ng đ nh lý Lagrange, ta cóụ ị :
/ 3 2
f(1) f(0)
c (0;1) : f (c) 0 4c 3c 2c 3 0
1 0
-
= = + + - =$ Î Þ
-
.
V y ph ng trình có nghi m x = c trong (0; 1).ậ ươ ệ