Vectơ
Trong toán học, một vectơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi
ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ
dài).
Vectơ hướng từ A đến B
Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là một vectơ, kí hiệu
là hoặc , , ,
Trong giải tích, một vectơ trong không gian Euclid Rn là một bộ n số thực (x1, x2, ..., xn).
Có thể hình dung một vectơ trong không gian Rn là đoạn thẳng có hướng (thường vẽ theo
hình mũi tên), đuôi ở gốc tọa độ 0, mũi ở điểm (x1, x2, ..., xn).
Các khái niệm cơ bản
• Độ lớn của vectơ trong hình học được đo bằng độ dài đoạn thẳng AB, kí hiệu
giống như kí hiệu giá trị tuyệt đối:
• Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh
• Vectơ không là vectơ đặc biệt có điểm đầu trùng với điểm cuối, kí hiệu là
• Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ và có cùng hướng (phương song
song, cùng chiều) và độ lớn bằng nhau: AB / / CD và | AB | = | CD |
• Vectơ tự do: vectơ có thể di chuyển tịnh tiến đến một điểm bất kì, thực chất là
thay thế bởi một vectơ khác bằng với vectơ cũ
• Vectơ buộc: vectơ có điểm đầu cố định, không di chuyển được. Trong vật lý,
vectơ buộc được dùng để biểu thị các lực tác dụng vào điểm đặt lực.
• Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ có điểm đầu đặt tại gốc hệ tọa độ thì có thể
xác định hoàn toàn bằng tọa độ của điểm cuối của nó, là một bộ số thực sắp thứ tự
trong mặt phẳng và trong không gian. Trong không-thời gian
bốn chiều, tọa độ đó được xác định bằng trong đó c là tốc độ ánh
sáng, t là thời gian.
Phép toán trên vectơ
Phép cộng vectơ bằng quy tắc hình bình hành (trái) và tam giác (phải)
• Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ và là một vectơ được xác
định theo quy tắc:
o Quy tắc tam giác: di chuyển vectơ sao cho điểm đầu C của
trùng với điểm cuối B của : . Khi đó vectơ có điểm
gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
o Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ đến vị trí trùng điểm gốc A
của vectơ . Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối
đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần
và , chiều từ gốc A đến điểm cuối
• Phép nhân vô hướng: tích của vectơ với một số thực là một vectơ có gốc
và phương trùng với gốc và phương của , cùng chiều nếu và ngược
chiều nếu , có độ dài bằng
• Tích vô hướng (en:Dot product) của hai vectơ và , còn được gọi là tích trong
của hai vectơ, là một số bằng tích hai độ dài của vectơ và nhân với cosin của
góc α giữa hai vectơ đó, kí hiệu là hoặc
•
o Tính giao hoán:
•
o Tính kết hợp với thừa số vô hướng:
•
o Tính phân phối:
• Tích có hướng (nhân vectơ, tích ngoài, en:Cross product)