5 Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 12 (Mới Nhất)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2009-2010

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài thi: 180 phút

Ngày thi: 24/11/2009

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1: (4 đ)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m, sao cho phương trình:

3 2

3 4 0x mx  

có ba

nghiệm phân biệt và các nghiệm đều nhỏ hơn 4.

Câu 2: (4 đ)

Giai hệ phương trình:

Câu 3: (4 đ)

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V. Điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Các

đường thẳng qua M, song song với DA, DB, DC, theo thứ tự cắt mặt phẳng (DBC),

(DCA), (DAB) tương ứng ở

1 1 1

, ,A B C

.

1) Chứng minh:

1 1 1 1

MA MB MC

DA DB DC

  

2) Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện

1 1 1

MA B C

khi M thay đổi.

Câu 4: (4 đ)

Cho hàm số

: ,f R R

thỏa mãn

( ( )) ( ) ( ) , ; ; .f xy f z f x f y z x y z R    

Chứng minh:

1/

( ) ( ) ( ), ; .f xy f x f y x y R  

2/

( ) ( ) ( ), ; .f x y f x f y x y R    

3/

f

đồng biến trên R.

Câu 5: (4 đ)

Cho số nguyên dương n. Gọi M là tập số tự nhiên (viết trong hệ thập phân) có n chữ số,

các chữ số lớn hơn 1 và không có hai chữ số khác nhau cùng nhỏ hơn 7 đứng liền nhau.

1/ Chứng minh: trong M, số các số có tận cùng 2 bằng số các số có tân cùng 3.

2/ Tính số phần tử của M theo n.

HẾT

1

{x y

x y xy

 

  

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12 thpt

Gia lai N¨m häc: 2008 2009

------------------------------------ M«n thi: TO¸N

§Ò chÝnh thøc Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

§Ò BµI

C©u 1:(3 ®iÓm)

Gi¶i ph¬ng tr×nh: log3

xx

32x2x

33xx 2

2





.

C©u 2:(3 ®iÓm)

Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a, b, lu«n t×m ®îc sè nguyªn d¬ng n sao

cho sè f(n) = n3 + an2 +bn + 2009 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng.

C©u 3:(4 ®iÓm)

Cho d·y sè (xn); n = 0, 1, 2,..; tho¶ m·n x0 = 2; xn+1 =

2x

12x

n



,n = 0, 1, 2,…

a) T×m

n

x

n

lim



.

b) Chøng minh r»ng x1 + x2+…+ x2008 < 2009.

C©u 4:(4 ®iÓm)

T×m tÊt c¶ ®a thøc P(x) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn:

P(x2 + y2) = (P(x))2 + (P(y))2 ; x,y  R.

C©u 5:(6 ®iÓm)

Cho tam gi¸c ABC (BC = a, CA = b, AB = c) néi tiÕp ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R

vµ ngo¹i tiÕp ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh r.

a) §Æt d = OI. Chøng minh r»ng: d2 = R2 2Rr ( HÖ thøc Euler).

b) Gi¶ sö r»ng





AIO

900. Chøng minh r»ng: AI <

cabcab

3

1

.

-------------------HÕt-----------------

UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 12 – NĂM HỌC 2009-2010

Môn : TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể TG giao đề)

Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2009

ĐỀ BÀI

Câu 1 (3.5 điểm)

Giải bất phương trình:

xxxx  43216632 23

Câu 2 (4.0 điểm)

Giải hệ phương trình:

















3

xxyx

x

y

xyx

Câu 3 (3.5 điểm)

Cho dãy số (xn),

*

Nn 

, xác định như sau:

















*

1

,

1)12(2

3

2

Nn

xn

x

n

Tính







n

ii

nx

1

lim

Câu 4 (5.5 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL tại đỉnh A

(Với M, L lần lượt thuộc các cạng AB, BC; AC = b, AB = c)

a) Chứng minh:

AC

bc

c

AB

cb

b

AL 





b) Giả sử CM = k.AL (k là số thực dương). Chứng minh:

2

49

cos k

k

A





Câu 5 (3.5 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa: abc = 1. Chứng minh:

1

222 222 



c

c

b

a

……………………………………………. Hết ……………………………………………

SỞ GDðT VĨNH PHÚC ðỀ THI HSG KHÔÍ 12 CẤP TRƯỜNG 2008-2009

TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ MÔN:TOÁN (180 PHÚT)

Câu1:

a.Giải hệ

2 2

21 1

x y y

y x x



+ = − +





+ = − +





b.Chứng minh phương trình

5 2

2 1 0

x x x

− − − =

có

ñ

úng m

ộ

t nghi

ệ

m.

Câu 2:

a.Cho ph

ươ

ng trình

3 2 3 2

2 2 3 1 1

x x x m m x

− − − + + = −

.Tìm m

ñể

ph

ươ

ng trình

có hai nghi

ệ

m phân bi

ệ

t.

b.Ch

ứ

ng minh

x

∀ ∈

ℝ

ta có

1 1 1

1 cos os2 os3 os4 0

2 3 4

x c x c x c x

+ + + + >

.

Câu 3:

Cho lăng trụ tam giác ñều

1 1 1

.

ABC A B C

có tất cả các cạnh bằng a. M,N là hai ñiểm

thay ñổi trên các ñường chéo

1

BC

và

1

CA

của hai mặt bên sao cho MN song song với

mặt phẳng

1 1

( )

ABB A

.Tính ñộ dài MN theo a và xác ñịnh vị trí của M,N ñể MN ngắn nhất

Câu 4:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca =1.Chứng minh rằng:

1 1 1 1

2

a b b c c a a b c

+ + − ≥

+ + + + +

________H ẾT_______

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐIỂM BẰNG CHỮ

SỐ PHÁCH

GIÁM KHẢO

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 6 điểm) Hãy khoanh vào chữ cái đứng trước phương án đúng:

Câu 1: Số liền sau của số tròn chục lớn nhất có hai chữ số là số:

A. 92 B. 91 C. 93 D. 99.

Câu 2: Số gồm 4 chục và 4 đơn vị là số:

A. 44 B.54 C.18 D. 45

Câu 3: Đàn gà nhà Lan đẻ được 20 quả trứng. Hôm nay đàn gà đẻ thêm 3 chục quả trứng nữa.

Hỏi đàn gà nhà Lan đẻ được tất cả bao nhiêu quả trứng?

A. 23 quả. B. 50 quả. C. 32 quả . D. 52 quả.

Câu 4: Tính: 90 – 50 + 3 = ?

A. 53 B. 33 C. 43 D. 7

Câu 5: Biểu thức 25 + 47 – 17 có giá trị:

A. 25 B. 55 C. 65 D. 45

Câu 6: Phép tính 5 x 5 x 0 có kết quả là

A. 6 B. 8 C. 0 D. 10

II. PHẦN LUẬN TỰ LUẬN: ( 14 điểm)

Bài 1: (2 điểm) Tính nhanh

a/ 6 + 7 + 4 b/ 37 – 5 + 35 – 7

.....................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................

Bài 2: ( 3 điểm) Tìm X , Y

Trường TH số 2 Sơn Thành Đông

Họ và tên:……………………………………………………….

Lớp:…………………………………………..……..

S

Ố BÁO

DANH

Đ

Ề THI

H

ỌC SINH GIỎI

C