Bài giảng Cơ học đất (Bộ môn Địa kỹ thuật) - Chương 6: Áp lực đất lên tường chắn

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

ch−¬ng 6

¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

Bμi 1

C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ t−êng ch¾n

vμ ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

1. ¸p lùc ®Êt chñ ®éng

- D−íi t¸c dông cña ¸p lùc ®Êt phÝa sau l−ng t−êng lμm t−êng chuyÓn vÞ tõ ®Êt ra phÝa ngoμi (chuyÓn vÞ tÝnh tiÕn hoÆc xoay quanh mÐp tr−íc cña ch©n t−êng), lμm cho khèi ®Êt sau l−ng t−êng sÏ gi·n ra.

- ¸p lùc ®Êt phÝa sau l−ng t−êng do ®ã còng gi¶m ®i ®Õn mét tr¹ng th¸i gäi lμ tr¹ng th¸i c©n b»ng giíi h¹n chñ ®éng th× ¸p lùc ®Êt gi¶m ®Õn trÞ sè nhá nhÊt.

- Khèi ®Êt sau l−ng t−êng bÞ tr−ît xuèng theo hai mÆt tr−ît: mét n»m trong ®Êt, vμ mÆt kia lμ mÆt ph¼ng l−ng t−êng.

- ¸p lùc ®Êt t¨c dông lªn l−ng t−êng ®−îc gäi lμ ¸p lùc chñ ®éng (Ea) vμ c−êng ®é ¸p lùc ®Êt chñ ®éng theo chiÒu s©u lμ (pa, σ’ha).

2. ¸p lùc ®Êt bÞ ®éng

- D−íi t¸c dông cña lùc ngoμi lμm t−êng chuyÓn vÞ ngang hoÆc ng¶ vÒ phÝa sau, lμm cho khèi ®Êt sau l−ng t−êng bÞ Ðp l¹i.

- ¸p lùc ®Êt phÝa sau l−ng t−êng do ®ã còng t¨ng lªn ®Õn mét tr¹ng th¸i gäi lμ tr¹ng th¸i c©n b»ng giíi h¹n bÞ ®éng th× ¸p lùc ®Êt ®¹t ®Õn trÞ sè lín nhÊt.

- Khèi ®Êt sau l−ng t−êng bÞ tr−ît lªn theo hai mÆt tr−ît: mét n»m trong ®Êt, vμ mÆt kia lμ mÆt ph¼ng l−ng t−êng.

- ¸p lùc ®Êt t¸c dông lªn l−ng t−êng ®−îc gäi lμ ¸p lùc bÞ ®éng (Ep) vμ c−êng ®é ¸p lùc ®Êt chñ ®éng theo chiÒu s©u lμ (pp, σ’hp).

3. ¸p lùc ®Êt tÜnh

- D−íi t¸c dông cña c¸c lùc mμ t−êng kh«ng cã chuyÓn vÞ, do ®ã ¸p lùc ®Êt phÝa sau l−ng t−êng ë tr¹ng th¸i gäi lμ tr¹ng th¸i c©n b»ng tÜnh. Lóc nμy ¸p

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

lùc ®Êt t¸c dông lªn l−ng t−êng ®−îc gäi lμ ¸p lùc ®Êt tÜnh (E0) vμ c−êng ®é ¸p lùc ®Êt chñ ®éng theo chiÒu s©u lμ ( σ’h).

NÕu r¹ng th¸i øng suÊt trong khèi ®Êt n»m d−íi ®−êng bao ph¸ ho¹i Morh – Coulomb (®−êng søc chèng c¾t) th× ®Êt cßn ë tr¹ng th¸i c©n b»ng ®μn håi. Trong ®iÒu kiÖn nμy, khèi ®Êt ®−îc gäi lμ ë tr¹ng th¸i tÜnh hay tr¹ng th¸i Ko vμ quan hÖ øng suÊt hiÖu qu¶ n»m ngang σ’h t−¬ng øng víi øng suÊt hiÖu qu¶ th¼ng ®øng σ’v t¹i mét ®iÓm bÊt kú nh− sau:

' ' h K σ σ = v

Trong ®ã:

Ko : hÖ sè ¸p lùc ®Êt tÜnh.

(61-1) .

Víi ®Êt cè kÕt th«ng th−êng, Jaky (1944) vμ ®−a ra biÓu thøc tÝnh Ko (phï hîp víi gia strÞ quan s¸t cña Bishop -1958 ; Brooker vμ Ireland – 1965) nh− sau:

' ϕ−= c

Trong ®ã: ϕ’c: gi¸ trÞ ϕ’ ë tr¹ng th¸i cùc h¹n.

(61-2) K sin 1

OCR

)

OCR = )

(.)

Ko t¨ng tíi 1.0 cho ®Êt h¬i qu¸ cè kÕt vμ t¨ng h¬n n÷a víi hÖ sè qu¸ cè kÕt OCR:

=K 0

' ν ' 1 ν −

(61-3) Theo c«ng thøc lý thuyÕt ®μn håi , cã thÓ x¸c ®Þnh Ko nh− sau:

(61-4)

B»ng thùc nghiÖm hiÖn tr−êng, Mair vμ Wood (1987) ®−a ra gi¸ trÞ ®iÓn h×nh cña Ko:

Lo¹i ®Êt Ko

0.45 – 0.60 C¸t rêi

0.30 – 0.50 C¸t chÆt

0.50 – 0.70 §Êt sÐt cè kÕt th«ng th−êng

1.00 – 4.00 §Êt sÐt qu¸ cè kÕt §Êt sÐt ®Çm chÆt 0.70 – 2.00

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

Bμi 3

lý thuyÕt C.A. coulomb vÒ ¸p lùc ®Êt chñ ®éng

( ë ®iÒu kiÖn tho¸t n−íc )

I. tr−êng hîp ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt 1. §iÒu kiÖn bμi to¸n

Cã mét t−êng ch¾n ®Êt víi chiÒu cao t−êng lμ h, ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt (xem h×nh vÏ). C¸c ký hiÖu sau ®−îc qui ®Þnh nh− sau:

W

E

R

90-ε

α : Gãc cña mÆt ph¼ng l−ng t−êng so víi ph−¬ng th¼ng ®øng.

β : Gãc m¸i dèc cña ®Êt sau l−ng t−êng so víi ph−¬ng n»m ngang.

δ : Gãc ma s¸t ngoμi (gi÷a ®Êt vμ mÆt ph¼ng l−ng t−êng)

ϕ’ : Gãc ma s¸t cã hiÖu cña ®Êt.

ε : Gãc cña mÆt tr−ît BC so víi ph−¬gn ngang.

η : Gãc cña mÆt ph¼ng l−ng t−êng so víi ph−¬ng ngang (t¹i ®iÓm B)

H×nh 6-13 : S¬ ®å c¸c lùc t¸c dông lªn khèi tr−ît ABC

• §Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt.

2. Gi¶ thiÕt tÝnh to¸n

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

• Khèi ®Êt sau l−ng t−êng ë tr¹ng th¸i c©n b»ng giíi h¹n (chñ ®éng hoÆc bÞ ®éng) tr−ît nh− mét cè thÓ víi 2 mÆt tr−ît lμ mÆt ph¼ng vμ ®i qua ch©n t−êng.

• TrÞ sè ¸p lùc ®Êt tÝnh to¸n lμ c¸c trÞ sè lín nhÊt khi tÝnh ¸p lùc chñ ®éng vμ lμ

trÞ sè nhá nhÊt khi tÝnh ¸p lùc bÞ ®éng.

Bμi to¸n vÒ t−êng ch¾n, nãi chung lμ bμi to¸n ph¼ng, nªn trong tÝnh to¸n th−êng tÝnh cho 1m dμi.

3. ThiÕt lËp c«ng thøc:

(1) XÐt l¨ng thÓ tr−ît ABC:

R

−

W

N2

W

T2

E

N1

) ϕ − ε + Ψ ( - 0 8 1

T1

E

R

H×nh 6-14 : S¬ ®å c¸c lùc t¸c dông lªn l¨ng thÓ tr−ît ABC

C¸c lùc t¸c dông lªn l¨ng thÓ tr−ît ABC gåm:

- Träng l−îng l¨ng thÓ tr−ît W = (dientich.ABC).γ

Ph¶n lùc nμy cã thÓ ph©n ra thμnh 2 thμnh phÇn lμ N1 vμ T1 vμ cã ph−¬ng lμm víi ph¸p tuyÕn mÆt tr−ît BC mét gãc lμ ϕ.

- Ph¶n lùc cña khèi ®Êt cßn l¹i lμ R lªn l¨ng thÓ tr−ît ABC.

Ph¶n lùc nμy cã thÓ ph©n ra thμnh 2 thμnh phÇn lμ N2 vμ T2 vμ cã ph−¬ng lμm víi ph¸p tuyÕn mÆt AB mét gãc lμ δ. V× l−ng t−êng cè ®Þnh nªn ph−¬ng cña E kh«ng ®æi.

- Ph¶n lùc cña mÆt ph¼ng l−ng t−êng E lªn l¨ng thÓ tr−ît ABC.

Khi khèi ®Êt sau l−ng t−êng ë tr¹ng th¸i c©n b»ng giíi h¹n th× 3 lùc trªn (W, R, E) sÏ ®ång qui t¹i mét ®iÓm (K) vμ t¹o thμnh tam gi¸c lùc khÐp kÝn.

Theo hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c th−êng, cã thÓ rót ra:

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

sin

W (

(63-1)

sin

(63-2)

[ ] ) 180 sin ' −+Ψ− ϕε ) ( ( ) W sin. ' sin. ' − ϕε − ϕε ( ( )' sin ' −+Ψ− ϕε ϕε −+Ψ

E ) ( ' ϕε − W [ 180

] )

Trong ®ã: ψ = 90o - α - δ

Tõ biÓi thøc (63-1), khi mÆt tr−ît BC thay ®æi tøc gãc ε thay ®æi vμ do ®ã E còng thay ®æi theo, dÔ dμng nhËn thÊy:

- Khi ε = η th× W = 0 (cid:198) E = 0. vμ còng cã khi ε = ϕ th× (ε - ϕ) = 0 (cid:198) E = 0.

- VËy khi ε biÕn thiªn trong kho¶ng ϕ (cid:198) η th× cã lóc nμo ®ã E sÏ ®¹t ®Õn gi¸ trÞ lín nhÊt. TrÞ sè ®ã øng víi ¸p lùc ®Êt chñ ®éng, ký hiÖu lμ (Ea), mÆt tr−ît t−¬ng øng víi Ea lμ mÆt tr−ît nguy hiÓm nhÊt (mÆt tr−ît tÝnh to¸n)

§Ó t×m ¸p lùc ®Êt chñ ®éng cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch hay ®å gi¶i sau ®©y:

(2) Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch:

Ta thÊy r»ng, nÕu biÕt ®−îc c¸c gãc (gi¶ sö c¶ gãc ε) vμ chiÒu cao l−ng t−êng th× b»ng quan hÖ h×nh häc dÔ dμng tÝnh ®−îc dientich.ABC theo h vμ c¸c gãc kÓ trªn.

Nh− vËy E sÏ lμ mét hμm cña gãc (ε), tøc lμ :

E = f(ε). (63-3)

f ' = ε

( ) 0 =

Muèn t×m cùc trÞ, theo gi¶i tÝch, chØ viÖc ®¹o hμm (63-3) theo (ε), rßi cho nã b»ng 0:

dE d ε

(63-4)

Tõ ph−¬ng tr×nh (63-4) sÏ t×m ®−îc gãc ε = εo ®Ó ®¹o hμm f’(ε)=0. Sau ®ã thay gi¸ trÞ (εo ) võa t×m ®−îc trë l¹i ph−¬ng tr×nh (63-3) ta nhËn ®−îc biÓu thøc tÝnh Ea nh− sau:

2. hK a

1 .. γ= 2

(63-5)

(cid:190) Khi α ≠ 0 ; β ≠ 0 ; δ ≠ 0 :

Trong ®ã: Ka : lμ hÖ sè ¸p lùc ®Êt chñ ®éng, tÝnh nh− sau:

cos =

( ) ' αϕ − ( ) sin sin.' ϕδ + ( ) cos . cos δα +

( ) ' βϕ − ) ( αβ −

(cid:190) Khi α ≠ 0 ; β = δ = 0 :

(63-6) cos . cos + + ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ) ( 1. δαα ⎢ ⎣

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

cos 45 +

( ) cos ' αϕ − .(cos sin αα +

(cid:190) Khi α = β = δ = 0 :

' ϕo − 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. = = 1 cos α cos )' ϕ cos 45 − ' αϕ − 2 ' αϕ + 2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ (63-6b)

(63-6c)

- Gãc ma s¸t ngoμi δ trong c«ng thøc trªn cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm. Khi l−ng t−êng b»ng bª t«ng hoÆc b»ng g¹ch, cã thÓ chän δ theo b¶ng 63-1 (theo qui ph¹m t¹m thêi thiÕt kÕ t−êng ch¾n ®Êt QP- 23-65 sau ®©y:

* NÕu gäi θ lμ gãc gi÷a mÆt tr−ît BC vμ ph−¬ng th¼ng ®øng (h×nh 6-15) th× gi¸ trÞ cña nã x¸c ®Þnh nh− sau:

th−êng:

= tg

(a)

)'ϕθ+ (

W E

- Theo hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c

E

ϕ θ+

2 .. γ tgh

(b)

W . = θ

W

1 2

R

W

E

) ϕ + θ ( - 0 9

2 .. γ tgh

−

(c)

R

1 2

' ϕ 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(d)

( )' + ϕθ

450

−

- §−a (b) vμ (c) vμo (a) ta cã

' ϕ 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

Gi¶i vμ biÕn ®æi (d) , cuèi cïng ta ®−îc:

' 450 ϕ − 2

H×nh 6-15

Tøc lμ mÆt tr−ît t¹o víi ph−¬ng th¼ng ®øng (ph−¬ng cña W) mét gãc = 45o - ϕ’/2.

- §Ó tiÖn tÝnh to¸n, ng−êi ta lËp s½n b¶ng tra Ka theo ϕ’; α ; β vμ δ.

B¶ng 63-1 : B¶ng tra gi¸ tri gãc ma s¸t ngoμi δ.

Ghi chó

0 -ϕ ÷ 0

0 + ϕ

< 90 - ϕ

90 - ϕ ÷ 90 - ϕ/2

ϕ/4

ϕ/2

Gãc β lÊy dÊu d−¬ng khi mÆt ®Êt ®¾p n»m cao h¬n mÆt n»m ngang ®i qua

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

90 - ϕ/2 ÷ 90 + ϕ/2

ϕ/4

ϕ/2

2ϕ/3

®Ønh t−êng vμ lÊy dÊu ©m nÕu ng−îc l¹i.

90 + ϕ/2 ÷ 90 + ϕ

ϕ/3

3ϕ/4

> 90 + ϕ

ϕ/2

ϕ/4

.. γ

. zK a

** C−êng ®é ¸p lùc ®Êt theo chiÒu s©u:

1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. . zK γ a

dE a dz

(63-7)

ha )(

. . hK γ= a

pa(z)=γ.Κa.z

Ea = 1/2.pa(h).h

3 / h = 0 z

pa(h)= γ.Ka.h

Do ®ã, t¹i z = h th× :

H×nh 6-16 : BiÓu ®å ph©n bè ¸p lùc ®Êt chñ ®éng theo chiÒu s©u

(3) Ph−¬ng ph¸p ®å gi¶i:

- Ph−¬ng ph¸p nμy vÉn dùa trªn nh÷ng gi¶ thiÕt c¬ b¶n vμ nguyªn lý tÝnh to¸n gièng nh− trong ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch. Nh−ng ë ®©y sö dông c¸ch vÏ ®Ó x¸c ®Þnh trÞ sè ¸p lùc ®Êt chñ ®éng vμ ph−¬ng mÆt tr−ît nguy hiÓm nhÊt.

• Ph−¬ng ph¸p ®å gi¶i ®¬n gi¶n:

- Trong thùc tÕ cã nhiÒu ph−¬ng ph¸p ®å gi¶i kh¸c nhau. D−íi ®©y tr×nh bμy hai ph−¬ng ph¸p hay dïng.

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

1 W1

2 W2

3 R

0 W3

W

W0

E

n

R

Wn

W

• Ph−¬ng ph¸p ®å gi¶i cña Culman

H×nh 6-17 : Ph−¬ng ph¸p ®å gi¶i ®¬n gi¶n x¸c ®Þnh ¸p lùc ®Êt

(1) X¸c ®Þnh ph−¬ng c¸c lùc:

- Ph−¬ng R : lÊy ph−¬ng mÆt tr−ît BC lμm ph−¬ng R.

- Trôc W : tõ B kÎ ®−êng th¼ng hîp víi trôc n»m ngang (X) mét gãc ϕ ; §Ó ý thÊy r»ng, khi BCi (chÝnh lμ Ri) thay ®æi, th× Ri lu«n t¹o víi Wi mét gãc lμ (εi- ϕ)

- Ph−¬ng Ea : tõ B kÎ ®−êng th¼ng hîp víi trôc W mét gãc ψ = 90 - α- δ.

(2) X©y dùng ®−êng cong Ea~ε:

- Gi¶ sö mÆt tr−ît ®Çu tiªn lμ BC1 , do ®ã x¸c ®Þnh ®−îc gãc mÆt tr−ît BC1 víi ph−¬ng ngang lμ ε1 ; X¸c ®Þnh ®−îc träng l−îng l¨ng thÓ tr−ît ABC1 lμ W1.

Trªn trôc BW lÊy theo tû lÖ ®Þnh tr−íc mét ®o¹n b»ng gi¸ trÞ W1.

Tõ ®iÓm W1 trªn trôc BW kÎ ®−êng song song víi ph−¬ng cña Ea, c¾t ®−êng BC1 t¹i ®iÓm (1).

- Lμm lÇn l−ît t−¬ng tù nh− vËy. Tøc lμ gi¶ sö mÆt tr−ît l¹i thay ®æi thμnh BC2, BC3, … BCn ta còng x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gãc ε2 , ε3 , .. εn. . Vμ còng x¸c ®Þnh ®−îc träng l−îng c¸c l¨ng thÓ ABC2 , ABC3 , …ABCn lμ W2, W3, …Wn .

Trªn trôc BW còng lÇn l−ît tõ c¸c ®iÓm W2, W3, …Wn kÎ ®−êng song song víi ph−¬ng Ea, c¾t c¸c ®−êng BC2, BC3 … BCn t¹i c¸c ®iÓm (2), (3), … (n).

- Nèi c¸c ®iÓm (1) , (2) , (3 ), … (n) l¹i ta ®−îc ®−êng cong quan hÖ Ea~ε (tøc lμ ®−êng cong biÓu thÞ gi¸ trÞ Ea thay ®æi khi ph−¬ng mÆt tr−ît BC thay ®æi).

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

Ri

W

W4 W0 Wn

δ − α − 0 9 = Ψ

Ea

H×nh 6-18 : BiÓu ®å Culman x¸c ®Þnh ¸p lùc chñ ®éng

(3) X¸c ®Þnh trÞ sã ¸p lùc chñ ®éng vμ ph−¬ng mÆt tr−ît nguy hiÓm nhÊt (εo)

- KÎ ®−êng th¼ng song song víi trôc BW vμ tiÕp xóc víi ®−êng cong Ea~ε t¹i ®iÓm (0).

- Tõ ®iÓm (0) kÎ ®−êng song song víi ph−¬ng Ea vμ c¾t trôc BW t¹i ®iÓm Wo, Gi¸ trÞ ®é lín ®o¹n 0Wo theo tû lÖ chÝnh lμ trÞ sè ¸p lùc chñ ®éng Eamax.

- Nèi ®iÓm B vμ ®iÓm (0) trªn ®−êng cong Ea~ε vμ kÐo dμi c¾t mÆt ®Êt t¹i C0. Gãc gi÷a BC0 vμ ph−¬ng ngang chÝnh lμ gãc cña mÆt tr−ît nguy hiÓm nhÊt (εo) .

II. tr−êng hîp ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt dÝnh ®ång nhÊt 1. §iÒu kiÖn bμi to¸n

Cã mét t−êng ch¾n ®Êt víi chiÒu cao t−êng lμ h, ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt dÝnh ®ång nhÊt (xem h×nh vÏ). C¸c ký hiÖu vÒ gãc vÉn nh− tr−êng hîp (I):

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

c

E r

c

E

H

c

D

c

W

F

W

R

E

H

c

R

−

90-ε

D

c.B C

c

1 8 0 - ( Ψ + ε − ϕ )

90-ϕ

c.(BC)

F

H×nh 6-19 : S¬ ®å c¸c lùc t¸c dông lªn khèi tr−ît ABC

trong tr−êng hîp ®Êt sau l−ng tr−êng lμ ®Êt dÝnh

2. C¸c gi¶ thiÕt c¬ b¶n

- VÉn gåm nh÷ng gi¶ thiÕt nh− trong tr−êng hîp ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt.

- Lùc dÝnh chØ xuÊt hiÖn trªn mÆt tr−ît BC.

• XÐt c¸c lùc t¸c dông lªn khèi tr−ît ABC:

3. Thμnh lËp c«ng thøc:

- VÉn bao gåm c¸c lùc W, R, E.

• ë tr¹ng th¸i c©n b»ng giíi h¹n c¸c lùc trªn t¹o thμnh mét ®a gi¸c lùc khÐp kÝn

- Ngoμi ra cßn cã lùc dÝnh trªn mÆt tr−ît BC lμ c.(BC) cã xu h−íng c¶n trë l¹i sù tr−ît vμ t¹o víi ph−¬ng th¼ng ®øng mét gãc = 90 - ε.

(h×nh 6-19)

−

Trong tr−êng hîp nμy, trÞ sè ¸p lùc ®Êt chñ ®éng ®−îc tÝnh nh− sau:

Trong ®ã:

Er: gi¸ trÞ ¸p lùc ®Êt khi coi ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt.

Ec: phÇn gi¸ trÞ ¸p lùc ®Êt bÞ gi¶m do lùc dÝnh trªn mÆt BC.

(63-8)

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

§Ó tÝnh gi¸ trÞ Ec , (xem tam gi¸c DHF, x¸c ®Þnh ®−îc c¸c gãc nh− h×nh vÏ 6-19)

sin

' ϕε

E c ( 90

BCc .( ) ( ' −+Ψ ϕε

)

Theo hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c th−êng (DHF), ta cã:

] )

BCc .( ) [ ( ) ' sin 180 − −+Ψ− ϕ ( ) BCc .( 90 sin). ' ϕ − ( )' sin −+Ψ ϕε

(63-9)

)

Vμ do ®ã, tõ (63-2) vμ (63-9) thay vμo (63-8), ta cã:

)( ε

−

W sin

( ) sin. ' − ϕε ( ) ' −+Ψ ϕε

( .( sin). 90 ' BCc − ϕ ( ) ' sin −+Ψ ϕε

Trong ®ã:

(63-10)

c.(BC): gi¸ trÞ lùc d×nh trªn mÆt tr−ît BC.

Nh− vËy E còng lμ mét hμm cña gãc (ε), tøc lμ :

E = f(ε).

' f = ε

( ) 0 =

dE d ε

Muèn t×m cùc trÞ, theo gi¶i tÝch, chØ viÖc ®¹o hμm (63-10) theo (ε), råi cho nã b»ng 0:

Tõ ®ã sÏ t×m ®−îc gãc ε = εo ®Ó ®¹o hμm f’(ε)=0. Sau ®ã thay gi¸ trÞ (εo ) võa t×m ®−îc trë l¹i ph−¬ng tr×nh (63-10) ta nhËn ®−îc biÓu thøc tÝnh Ea nh− sau:

(63-11) E DhcC . .. .. γ = − + hK . a 1 2 c γ

C−êng ®é ¸p lùc ®Êt theo chiÒu s©u (z):

0−

p . . cCzK . = γ (63-12)

(cid:190) Tr−êng hîp β = δ =0 ; α ≠ 0.

cos

Trong ®ã: Ka : lμ hÖ sè ¸p lùc ®Êt chñ ®éng.

;

2 C 0 .2 aK

cos

−

' + ϕα 2

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

(cid:190) Tr−êng hîp β = δ =0 = α = 0.

(63-13a)

−

;

' ϕ 2

⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

2 C 0 = .2 aK

(63-13b)

. hKc

−

.. γ

- Lóc nμy gi¸ trÞ Ea ®−îc tÝnh nh− sau:

. hK a

1 2

2 c γ

(63-14)

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

h c

.0 cC . K γ

ChiÒu s©u v¸ch nøt th¼ng ®øng (hc) mμ t¹i ®ã pa = 0: (63-15)

- §iÓm ®Æt cña Ea ë chiÒu s©u ngang víi träng t©m diÖn tÝch biÓu ®å

h 0

chh − 3

-Co.c

c h

pa(z)=γ.Κa.z − C0.c

Ea = 1/2.pa(h).(h-hc)

3 / ) c h - h ( = 0 z

pa(h)= γ.Ka.h-C0.c

(63-16) pa, c¸ch ch©n t−êng mét ®o¹n:

H×nh 6-20 : BiÓu ®å ph©n bè ¸p lùc ®Êt theo chiÒu s©u

trong tr−êng hîp ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt dÝnh

III. tr−êng hîp sau l−ng t−êng cã t¶i träng r¶i ®Òu kÝn kh¾p (q) A. tr−êng hîp ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt

1. §iÒu kiÖn bμi to¸n

Cã mét t−êng ch¾n ®Êt víi chiÒu cao t−êng lμ h, ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt (xem h×nh vÏ).

Trªn mÆt ®Êt cã mét t¶i träng r¶i ®Òu kÝn kh¾p víi c−êng ®é ph©n bè lμ (q). C¸c ký hiÖu vÒ gãc vÉn nh− tr−êng hîp (I).

2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

E

W

Q + W

W

R

E

Q

−

R

H×nh 6-21 : S¬ ®å c¸c lùc t¸c dông lªn khèi tr−ît ABC trong tr−êng hîp

®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi vμ cã t¶i träng r¶i ®Òu kÝn kh¾p (q)

- Tõ h×nh vÏ (6-21), ta cã thÓ nhËn thÊy trong tr−êng hîp nμy ¸p lùc chñ ®éng ®−îc tÝnh nh− sau:

(63-17)

- Tõ tam gi¸c lùc ®ång d¹ng trªn h×nh (6-21), ta cã:

E E

QW + W

Q W

⎛ 1. ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

• TÝnh tû sè

(63-18) hay

Q W

, ta cã:

.(ACqQ =

βcos

).(

)

.( . γ

. .( γ

). hh

1 2

(63-19)

Trong ®ã:

BN = AB.cos(β-α)

cos

(63-20)

h .

AB =

(cid:198)

h h

( ) − αβ cos α

h αcos

(63-21)

- Thay (63-21) vμo (63-20) ta ®−îc:

(63-22)

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

cos

).(

)

h . ).

. .( γ

1 2

( ) − αβ cos α

Q W

, ta cã: - LÊy tû sè (63-23)

ACq .( = = cos cos Q W .2 q .. h γ . cos βα )αβ ( − AC h . ). . .( γ 1 2 ). cos β ( ) cos − αβ cos α

Q W

( 1.. h

2 q )βα tg . tg +

- BiÕn ®æi l−îng gi¸c biÓu thøc (63-23), cuèi cïng ta ®−îc: (63-24)

2 q ) . tg tg βα +

( 1.. h

⎡ 1. ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

- Thay biÓu thøc (63-24) võa t×m ®−îc vμo biÓu thøc (63-18), ta ®−îc:

.. γ

hK a

1 2

2 q ) tg . tg βα +

⎤ ⎥ ⎦

⎡ 1. ⎢ ⎣

(63-25a)

.. γ

hK a

1 2

( 1.. h hKq . . a )βα tg . tg +

( 1

(63-25b)

- C−êng ®é ph©n bè theo chiÒu s©u:

. K

. . zK γ a

dE a dz

q ) . tg tg βα

( 1

• Tr−êng hîp ®Æc biÖt, khi α = β = δ = 0, ta cã:

(63-26)

. Kq

. zK . = γ a

(63-27)

2 +

hK a

. hKq . a

1 .. = γ 2

• BiÓu ®å ph©n bè ¸p lùc ®Êt theo chiÒu s©u (z) nh− sau:

(63-28)

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

pa0=q.Ka

pa(z)=γ.Κa.z +q.Κa

pa(h)= γ.Ka.h+q.Ka

H×nh 6-22 : BiÓu ®å ph©n bè c−êng ®é ¸p lùc ®Êt theo chiÒu s©u tr−êng hîp

®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt vμ cã t¶i trägn r¶i ®Òu kÝn kh¾p (q)

2. Ph−¬ng ph¸p l−ng t−êng ¶o

(a) Nguyªn lý ph−¬ng ph¸p:

Quy ®æi t¶i träng r¶i ®Òu kÝn kh¾p trªn mÆt ®Êt thμnh mét líp ®Êt t−¬ng ®−¬ng , cã cïng tÝnh chÊt c¬ lý víi líp ®Êt sau l−ng t−êng vμ cã chiÒu cao lμ (h0= q/γ). Nh− vËy ®Ó ®ì líp ®Êt ¶o nμy, t−ëng t−îng r»ng t−êng ph¶i kÐo dμi thªm mét ®o¹n lμ (h’). Xem h×nh vÏ (6-23).

hhK .(

2)'

- ¸p lùc ®Êt chñ ®éng sÏ ®−îc tÝnh theo c«ng thøc sau:

1 .. = γ 2

(63-29)

- C−êng ®é ¸p lùc ®Êt chñ ®éng theo chiÒu s©u sÏ lμ:

. hzK .( = γ

(63-30)

Nh− vËy, muèn x¸c ®Þnh ®−îc ¸p lùc ®Êt th× chóng ta ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc chiÒu cao t−êng kÐo dμi (h’).

(b) TÝnh chiÒu cao t−êng kÐo dμi (h’):

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

h0= q/γ

Ν D

D

N

M

. h0= q/γ

h'.

pa(z)=γ.Κa.z +q.Κa

A

pa(h)= γ.Ka.h+q.Ka

H×nh 6-23 : S¬ ®å x¸c ®Þnh ¸p lùc ®Êt theo ph−¬ng ph¸p l−ng t−êng ¶o

XÐt tam gi¸c AND (h×nh vÏ 6-23), ta cã:

' h +=

q γ

(63-31)

TÝnh MD, xÐt tam gi¸c NMD vμ tam gi¸c ANM, ta cã:

tgh

.'=

. βαtg

MD NM NM AM . tg . tg β α (63-32) (cid:198) ....... . tgh = = '= α

' tghh

' +=

. tg βα

( 1.

) . tg βα

q γ

Thay biÓu thøc (63-31) vμo biÓu thøc (63-32), ta ®−îc:

. tg

( 1.

q )βα . tg tg

h 0 ) tg γβα

( 1

(63-33)

hhK .(

.. γ

- Thay gi¸ trÞ h’ tÝnh ®−îc tõ (63-33) vμo c¸c c«ng thøc (63-29) vμ (63- 30), ®−îc kÕt qu¶:

1 2

( 1.

q ) tg tg . βα

⎡ hK . ⎢ a ⎣

⎤ ⎥ ⎦

zK . .( γ a

. . zK γ a

(63-34)

( 1.

q ) . tg tg βα

. Kq a )βα . tg tg

( 1

⎤ =⎥ ⎦

⎡ zK . . γ ⎢ a ⎣

(63-35)

B. tr−êng hîp ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt dÝnh ®ång nhÊt

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

1. §iÒu kiÖn bμi to¸n

Cã mét t−êng ch¾n ®Êt víi chiÒu cao t−êng lμ h, ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt dÝnh ®ång nhÊt (xem h×nh vÏ). Trªn mÆt ®Êt cã mét t¶i träng r¶i ®Òu kÝn kh¾p víi c−êng ®é ph©n bè lμ (q). C¸c ký hiÖu vÒ gãc vÉn nh− tr−êng hîp (I).

2. Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch

c

E ( W + Q )

c

E

H

c

D

c

W

F

W+Q

R

E

c

R

−

90-ε

c.B C

c

H×nh 6-24 : S¬ ®å x¸c ®Þnh ¸p lùc ®Êt tr−êng hîp ®Êt sau

l−ng t−êng lμ ®Êt dÝnh ®ång nhÊt cã t¶i träng r¶i ®Òu kÝn kh¾p (q)

- Theo ®a gi¸c lùc trªn h×nh (6-24), t−¬ng tù nh− tr−êng hîp trªn, ¸p lùc ®Êt chñ ®éng ®−îc tÝnh nh− sau:

−

)

E W

( QW +

QW + Q

⎛ ⎜⎜ . ⎝

⎞ −⎟⎟ ⎠

(63-36)

−

.. γ

.. hcC 0

. hK a

Vμ theo c¸ch lμm t−¬ng tù, cuèi cïng ®−îc kÕt qu¶:

1 2

hKq . . a ) tg tg . + βα

( 1

(63-37)

Vμ c−êng ®é ¸p lùc ®Êt theo chiÒu s©u (z):

. cC

.. γ

0−

. zK a

1 2

. Kq a ) tg . tg βα

( 1

• Tr−êng hîp ®Æc biÖt, khi α = β = δ =0, c¸c biÓu thøc trªn sÏ thμnh:

(63-38)

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

E . = .. γ + hcChKq . .. − . hK a (63-39)

p . Kq = + − 1 2 . zK . γ a . cC 0 (63-40)

- ChiÒu s©u (hc) mμ t¹i ®ã biÓu ®å pa = 0 sÏ lμ:

h c

KqcC .0 − K . γ

Trong ®ã:

(63-41)

tg C tg .2 .2 = − = − vμ K a ' ϕ 2 ' ϕ 2 ⎛ 45. ⎜ ⎝ ⎞ =⎟ ⎠ ⎛ 45. ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

pa(0)=(q.Ka-C0.c)>0

pa(0)=(q.Ka-C0.c)<0

c h

pa(z)=γ.Κa.z +q.Κa-C0.c

pa(z)=γ.Κa.z + q.Ka−C0.c

Ea = 1/2.pa(h).(h-hc)

1 t

2 t

3 / ) c h - h ( = 0 z

pa(h)= γ.Ka.h+q.Ka-Co.c

E1=pa(0).h

Ea=E1+E2

t1=1/2.h

E2=1/2.(pa(h) -pa(0)).h

t2=1/3.h

ta=

E1*t1+E2*t2 Ea

H×nh 6-25 : BiÓu ®å ¸p lùc ®Êt tr−êng hîp ®Êt sau

l−ng t−êng lμ ®Êt dÝnh ®ång nhÊt cã t¶i träng r¶i ®Òu kÝn kh¾p (q)

IV. tr−êng hîp l−ng t−êng gÉy khóc: 1. §iÒu kiÖn bμi to¸n

Cã mét t−êng ch¾n ®Êt víi chiÒu cao t−êng lμ h, l−ng t−êng g·y (víi hai gãc v¸t kh¸c nhau – xem h×nh vÏ) ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt. XÐt tr−êng hîp ®¬n gi¶n mÆt ®Êt sau l−ng t−êng n»m ngang. (c¸c th«ng sè kh¸c α=β=δ=0)

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

α 1

1 h

Ka1

pa(1)= Ka1.(γ.h1)

α1>0 vµ α2>0

Ka1 > Ka2 pa(1)=Ka(1).(γ.h1) > p'a(1)=Ka(2).(γ.h1)

pa'(1)=Ka2.(γ.h1)

Ka2

α2

2 h

pa'(2)=Ka2.γ.(h1+h2)

H×nh 6-26 : BiÓu ®å ¸p lùc ®Êt tr−êng hîp l−ng t−êng g·y khóc.

§Ó vÏ biÓu ®å ph©n bè ¸p lùc ®Êt phÝa sau l−ng t−êng, chia t−êng thμnh hai ®o¹n vμ lÊy ®iÓm g·y sau l−ng t−êng lμm ranh giíi gi÷a hai ®o¹n. vμ chiÒu cao mçi ®o¹n lμ h1 vμ h2.

V× l−ng t−êng t¹o víi ph−¬ng th¼ng ®øng trªn mçi ®o¹n lμ kh¸c nhau, do ®ã ë ®o¹n AB gäi hÖ sè ¸p lùc chñ ®éng la Ka1, cßn ®o¹n BC lμ Ka2. (chó ý ë ®©y α1 > 0 vμ α2 < 0 ; do ®ã α1 > α2)

Tõ c«ng thøc tÝnh hÖ sè ¸p lùc chñ ®éng:

( ) ' cos − αϕ .(cos sin + αα

=aK cos )' ϕ

NhËn xÐt thÊy : nÕu gãc α gi¶m th× trÞ sè Ka còng gi¶m. Do α1 > α2 nªn Ka1 > Ka2.

(1) TÝnh gi¸ trÞ c−êng ®é ¸p lùc ngang cho ®o¹n t−êng AB:

. zK . 1γ= a

Trong ®ã:

(63-42) víi (z = 0 (cid:198) h1)

( ) ' cos αϕ − 1 .(cos sin α + 1

α 1

=aK 1 cos )' ϕ

0 =ap

0 - T¹i z = 0 (cid:198)

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

). γ

)1(

hK . . γ a 1 1

hK .( a 1 1

- T¹i z = h1 (cid:198)

(2) TÝnh gi¸ trÞ c−êng ®é ¸p lùc ngang cho ®o¹n t−êng BC:

- Coi träng l−îng cña ®Êt trong ®o¹n AB lμ t¶i träng r¶i ®Òu t¸c dông trªn mÆt

®o¹n BC víi c−êng ®é lμ: q = γ.h1

Kq .

. zK . = γ a 2

Trong ®ã:

(63-43) víi (z = 0 (cid:198) h2)

( ) ' cos αϕ − 2 .(cos sin α + 2

α 2

Kq .

=aK 2 cos )' ϕ

)1(

γh ). 1

Kq .

)2(

. hK . γ a 2 2

)1(

. hK . + γ a 2 2

- T¹i z = 0 (cid:198)

- T¹i z = h2 (cid:198)

- Tõ kÕt qu¶ tÝnh to¸n ë trªn, ta thÊy gi¸ trÞ c−êng ®é ¸p lùc ngang t¹i ®iÓm B cña hai ®o¹n t−êng cã gi¸ trÞ kh¸c nhau.

+ Pa(1) = Ka1.(γ.h1) : c−êng ®é ¸p lùc ngang t¹i ®¸y ®o¹n AB.

1 h

pa(1)

+ P ’a(1) = Ka2.(γ.h1) : c−êng ®é ¸p lùc ngang t¹i ®Ønh ®o¹n BC.

pa'(1)

2 h

Chó ý ®Õn quan hÖ Ka1 > Ka2 ; do ®ã Pa(1) > P ’a(1). VËy biÓu ®å ph©n bè ¸p lùc ®Êt sau l−ng t−êng cã b−íc nhμy vμo trong, vμ vÞ trÝ b−íc nh¸y t¹i ®iÓm B cña l−ng t−êng.

p'a(2)

pa(2)=Ka1.γ.(h1+h2)

3. ý nghÜa cña l−ng tõng g·y khóc

Tõ biÓu ®å ph©n bè ¸p lùc ®Êt theo chiÒu s©u nhËn thÊy do l−ng t−êng g·y khóc mμ biÓu ®å cã b−íc nh¶y vμo vμ lμm cho gi¸ trÞ ¸p lùc ®Êt lªn l−ng t−êng sÏ gi¶m ®i.

H×nh 6-27 : BiÓu ®å ¸p lùc ®Êt tr−êng hîp l−ng t−êng g·y khóc.

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

)

. .( γ

)2(

h 1

h 2

a 1

sÏ cã gi¸ trÞ lμ :

vμ gi¸ trÞ ¸p lùc ®Êt ®−îc tÝnh lμ diÖn tÝch phÇn biÓu ®å (AC3)

)

)2(

.( h . γ 1

. h .( γ 2

)1(

.( h . γ 2

vμ gi¸ trÞ ¸p lùc ®Êt ®−îc tÝnh lμ diÖn tÝch phÇn biÓu ®å (AC412A)

- PhÇn diÖn tÝch biÓu ®å gi¶m do l−ng t−êng g·y khóc sÏ lμ:

−

)

(

DT gi¶m = dientich(AC3) – dientich (AC412A) = dientich(1234)

[ (

] )

1 a

dientich

( 1234

)

h .

+ 2

V. tr−êng hîp sau l−ng t−êng gåm nhiÒu líp ®Êt 1. §iÒu kiÖn bμi to¸n

Cã mét t−êng ch¾n ®Êt víi chiÒu cao t−êng lμ h. ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt gåm 2 líp ®Êt cã c¸c chØ tiªu lÇn l−ît lμ γ1, ϕ1 vμ γ2, ϕ2 ; vμ chiÒu dÇy lμ h1 vμ h2. XÐt tr−êng hîp ®¬n gi¶n mÆt ®Êt sau l−ng t−êng n»m ngang. (c¸c th«ng sè kh¸c α=β=δ=0)

−

K a

' ϕ 2

⎛ 45. ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

§Ó vÏ biÓu ®å trong tr−êng hîp nμy, dïng c«ng thøc tÝnh hÖ sè ¸p lùc ®Êt sau:

2. Tr−êng hîp hai líp ®Êt cã γ1 = γ2 =γ vμ ϕ1 ≠ ϕ2 Sö dông lý thuyÕt l−ng t−êng g·y khóc ®Ó vÏ , chóng ta ®−îc c¸c d¹ng biÓu ®å sau:

a) Khi (ϕ1 < ϕ2) (cid:198) (Ka1 > Ka2) : d¹ng biÓu ®å gièng nh− tr−êng hîp l−ng t−êng g·y khóc (h×nh 6-28a).

b) Khi (ϕ1 > ϕ2) (cid:198) (Ka1 < Ka2) : biÓu ®å cã b−íc nh¶y ra t¹i ®iÓm B, thÓ hiÖn trªn h×nh 6-28b.

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

2) Truêng hîp γ1 = γ2 =γ vµ ϕ1 ≠ ϕ2 Ka1 ≠ Ka2

1 h

pa(1)

pa'(1)

2 h

p'a(2)

pa(2)=Ka1.γ.(h1+h2)

p'a(2)

a) Truêng hîp Ka1 > Ka2

b) Truêng hîp Ka1 < Ka2

H×nh 6-28 : BiÓu ®å ¸p lùc ®Êt khi sau l−ng t−êng gåm nhiÒu líp

Tr−êng hîp γ1 = γ2 =γ vμ ϕ1 ≠ ϕ2

3. Tr−êng hîp hai líp ®Êt cã γ1 ≠ γ2 vμ ϕ1 = ϕ2 = ϕ

- Do ϕ1 = ϕ2 = ϕ nªn ta cã : Ka1 = Ka2 = Ka

Sö dông lý thuyÕt l−ng t−êng g·y khóc ®Ó vÏ , chøng minh ®−îc r»ng:

- T¹i ®iÓm B biÓu ®å kh«ng cã b−íc nh¶y.

1 a

. hK . γ= 1 a

1 a

3) Truêng hîp γ1 ≠ γ2 ≠γ vµ ϕ1 = ϕ2 =ϕ Ka1 = Ka2 = Ka

1 h

pa(1)

pa'(1)

2 h

p'a(2)

pa(2)=Ka1.γ.(h1+h2)

p'a(2)

a) Truêng hîp γ1 > γ2

b) Truêng hîp γ1 < γ2

H×nh 6-29 : BiÓu ®å ¸p lùc ®Êt khi sau l−ng t−êng gåm nhiÒu líp

Tr−êng hîp γ1 ≠ γ2 vμ ϕ1 = ϕ2 = ϕ

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

a) Khi (γ1 > γ2) (cid:198) (Ka1 = Ka2) : d¹ng biÓu ®å kh«ng cã b−íc nh¶y, vμ lμ mét ®−êng g·y khóc vμo phÝa trong (h×nh 6-29a).

b) Khi (γ1 < γ2) (cid:198) (Ka1 = Ka2) : d¹ng biÓu ®å kh«ng cã b−íc nh¶y, vμ lμ mét ®−êng g·y khóc ra phÝa ngoμi (h×nh 6-29b).

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

Bμi 4

lý thuyÕt C.A. coulomb vÒ ¸p lùc ®Êt bÞ ®éng

I. tr−êng hîp ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt 1. §iÒu kiÖn bμi to¸n

Cã mét t−êng ch¾n ®Êt víi chiÒu cao t−êng lμ h, ®Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt (xem h×nh vÏ). C¸c ký hiÖu sau ®−îc qui ®Þnh nh− sau:

R

W

E

W

R

) ϕ + ε + Ψ ( - 0 8 1

E

Ψ=90−α+δ

H×nh 6-30 : S¬ ®å c¸c lùc t¸c dông lªn khèi tr−ît ABC

- α : Gãc cña mÆt ph¼ng l−ng t−êng so víi ph−¬ng th¼ng ®øng.

- β : Gãc m¸i dèc cña ®Êt sau l−ng t−êng so víi ph−¬ng n»m ngang.

- δ : Gãc ma s¸t ngoμi (gi÷a ®Êt vμ mÆt ph¼ng l−ng t−êng)

- ϕ’ : Gãc ma s¸t cã hiÖu cña ®Êt.

- ε : Gãc cña mÆt tr−ît BC so víi ph−¬gn ngang.

- η : Gãc cña mÆt ph¼ng l−ng t−êng so víi ph−¬ng ngang (t¹i ®iÓm B)

• §Êt sau l−ng t−êng lμ ®Êt rêi ®ång nhÊt.

• Khèi ®Êt sau l−ng t−êng ë tr¹ng th¸i c©n b»ng giíi h¹n (chñ ®éng hoÆc bÞ ®éng) tr−ît nh− mét cè thÓ víi 2 mÆt tr−ît lμ mÆt ph¼ng vμ ®i qua ch©n t−êng.

2. Gi¶ thiÕt tÝnh to¸n

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

• TrÞ sè ¸p lùc ®Êt tÝnh to¸n lμ c¸c trÞ sè lín nhÊt khi tÝnh ¸p lùc chñ ®éng vμ lμ

trÞ sè nhá nhÊt khi tÝnh ¸p lùc bÞ ®éng.

Bμi to¸n vÒ t−êng ch¾n, nãi chung lμ bμi to¸n ph¼ng, nªn trong tÝnh to¸n th−êng tÝnh cho 1m dμi.

3. ThiÕt lËp c«ng thøc

(1) XÐt l¨ng thÓ tr−ît ABC:

C¸c lùc t¸c dông lªn l¨ng thÓ tr−ît ABC gåm:

- Träng l−îng l¨ng thÓ tr−ît W = (dientich.ABC).γ

- Ph¶n lùc cña khèi ®Êt cßn l¹i lμ R lªn l¨ng thÓ tr−ît ABC.

- Ph¶n lùc cña mÆt ph¼ng l−ng t−êng E lªn l¨ng thÓ tr−ît ABC.

Khi khèi ®Êt dau l−ng t−êng ë tr¹ng th¸i c©n b»ng giíi h¹n th× 3 lùc trªn (W, R, E) sÏ ®ång qui t¹i mét ®iÓm (K) vμ t¹o thμnh tam gi¸c lùc khÐp kÝn. Theo hÖ thøc l−îng trong tam gi¸c th−êng, cã thÓ rót ra:

sin

W (

(64-1)

sin

(64-2)

[ ] ) 180 sin ' ϕε ++Ψ− ) ( ( ) W sin. ' sin. ' ϕε ϕε + + ( ( )' sin ' ϕε ϕε ++Ψ− ++Ψ

E ) ( ' ϕε + W [ 180

] )

Trong ®ã: ψ = 90o - α + δ

Ta thÊy r»ng, nÕu biÕt ®−îc c¸c gãc (gi¶ sö c¶ gãc ε) vμ chiÒu cao l−ng t−êng th× b»ng quan hÖ h×nh häc dÔ dμng tÝnh ®−îc dientich.ABC theo h vμ c¸c gãc kÓ trªn. Nh− vËy E sÏ lμ mét hμm cña gãc (ε), tøc lμ :

E = f(ε). (64-3)

f ' = ε

( ) 0 =

Muèn t×m cùc trÞ, theo gi¶i tÝch, chØ viÖc ®¹o hμm (64-3) theo (ε), råi cho nã b»ng 0:

dE d ε

(64-4)

Tõ ph−¬ng tr×nh (64-4) sÏ t×m ®−îc gãc ε = εo ®Ó ®¹o hμm f’(ε)=0. Sau ®ã thay gi¸ trÞ (εo ) võa t×m ®−îc trë l¹i ph−¬ng tr×nh (64-3) ta nhËn ®−îc biÓu thøc tÝnh Ep nh− sau:

2. hK p

1 .. γ= 2

(64-5)

Trong ®ã: Kp : lμ hÖ sè ¸p lùc ®Êt chñ ®éng, tÝnh nh− sau:

Ch−¬ng 6 : ¸p lùc ®Êt lªn t−êng ch¾n

c¬ häc ®Êt

(cid:190) Khi α ≠ 0 ; β ≠ 0 ; δ ≠ 0 :

cos

−

( ) ' αϕ + ( ( ) ) ' ' sin sin. βϕδϕ + + ( ) ( ) cos . cos δα βα − −

⎡ ) ( 1. δαα ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(cid:190) Khi α = β = δ = 0 :

(64-6a)

' ϕo + 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

(64-6b)

pp(z)=γ.Κp.z

Ep = 1/2.pp(h).h

3 h = 0 z

pp(h)= γ.Kp.h

.. γ

. zK p

1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. zK . γ p

p dz

(64-7)

. hK . γ= p

)( hp

Do ®ã, t¹i z = h th× :

II. tÝnh ¸p lùc ®Êi bÞ ®éng tõ c«ng thøc ¸p lùc ®Êt chñ ®éng §Ó tÝnh ¸p lùc ®Êt bÞ ®éng tõ c«ng thøc cña ¸p lùc ®Êt chñ ®éng b»ng c¸ch trong c«ng thøc ¸p lùc ®Êt chñ ®éng chç nμo cã dÊu (-) sÏ ®−îc thay b»ng dÊu (+).