zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Bài giảng Cơ học kết cấu: Chương 6 - PGS. TS. Cao Văn Vui

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Cơ học kết cấu" Chương 6: Chuyển vị trong hệ thanh phẳng đàn hồi tuyến tính, trình bày các phương pháp xác định chuyển vị tại các điểm trong hệ kết cấu thanh phẳng dưới tác dụng của tải trọng. Nội dung bao gồm các phương pháp như công ảo, định lý Castigliano và phương pháp tích phân, giúp sinh viên đánh giá biến dạng và độ võng của kết cấu trong thiết kế và kiểm tra kỹ thuật.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học kết cấu: Chương 6 - PGS. TS. Cao Văn Vui

Chapter 6. CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH PHẲNG ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 1. Biểu thức thế năng của hệ thanh đàn hồi tuyến tính Vì là hệ đàn hồi tuyến tính nên: Thế năng biến dạng = thế năng biến dạng bù  không cần phân biệt 2 khái niệm này và gọi chung là thế năng biến dạng. Ta có: 1 1 U  T   A     S s  ds      M  ds     N   ds     Q  ds  2 2  1
Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 1. Biểu thức thế năng của hệ thanh đàn hồi tuyến tính  Q  1 M N  tb  A    Mà:    ;  ;     EI EA G G Trong đó:  là hệ số hiệu chỉnh xét tới sự phân bố không đều của ứng suất tiếp. 1  M2   N2   Q2    ds     ds     2    EI  Do đó: U    ds     EA   GA   Bảng giá trị của  cho một số tiết diện. Dạng tiết diện  Chữ nhật 1,2 Tròn 32/271.18 ống mỏng 2 Chữ I Atoàn bộ/Abản bụng Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 2. Xác định chuyển vị bằng cách áp dụng trực tiếp biểu thức thế năng Điều kiện áp dụng trực tiếp:  hệ có 1 lực.  tìm chuyển vị có vị trí và phương tương ứng với lực đó. 1 Lý do: ta tính được công do 1 lực đó gây ra ( T  P ) và cho 2 bằng với thế năng. T=U 1 P  U 2 2U  P 1  M2   N2   Q2    ds     ds     2    EI  Với: U    ds     EA   GA   2
Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 2. Xác định chuyển vị bằng cách áp dụng trực tiếp biểu thức thế năng Bài tập 1 Xác định chuyển vị của điểm đặt lực P cho dầm console. EI=const. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt (sau này sẽ chứng minh ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt là rất nhỏ). P z k L Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 3. Xác định chuyển vị theo định lý Castiglianô Khi đã có U, ta lấy đạo hàm riêng của U theo ngoại lực Pi ta sẽ được chuyển vị theo phương của lực Pi. U i  Pi 1    M2   N2   Q2   i      ds      ds      ds  2 Pi   EI   EA   GA   Vì đạo hàm riêng theo Pi, còn tích phân theo s, nên có thể đưa đạo hàm riêng vào trong dấu tích phân. Mặt khác: M 2 M N 2 N Q 2 Q  2M ;  2N ;  2Q Pi Pi Pi Pi Pi Pi U  M M   N N   Q Q  i     ds      ds      ds Pi  EI Pi   EA Pi   GA Pi  Lưu ý: nếu muốn tính chuyển vị theo phương không có lực, ta chỉ cần đặt thêm lực theo phương cần tìm chuyển vị vào vị trí đó, rồi áp dụng công thức bình thường, cuối cùng cho Pi=0. 3
Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 2. Xác định chuyển vị bằng cách áp dụng trực tiếp biểu thức thế năng Bài tập 2 giải Bài tập 1 theo định lý Castiglianô Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 2. Xác định chuyển vị bằng cách áp dụng trực tiếp biểu thức thế năng Bài tập 3 Xác định chuyển vị thẳng đứng tại C cho dầm console chịu tải P ở đầu dầm. EI=const. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt. a P C L 4
Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 2. Xác định chuyển vị bằng cách áp dụng trực tiếp biểu thức thế năng Bài tập 3 z2 z1 Giải R P Vì tại C không có lực nên ta đặt vào C một lực a R như hình vẽ: C M 1 Khi 0  z  a : M 1   Pz1  0 R L M 2 Khi a  z  L : M 2   Pz2  R ( z2  a )    ( z2  a ) R Sau khi lấy đạo hàm, ta cho R=0 để việc lấy tích phân được đơn giản. Áp dụng định lý Castiglianô: U  M M  a   Pz1  L   Pz2      ds    (0)  dz1    ( ( z2  a ))  dz2 R  EI Ri  0  EI  a  EI  P  L  a  a 2 L L P  z2 az2  3 2 3 3      z2  az2  dz2  2        L  a2  EI  3 2  a EI  3 2  a   Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 2. Xác định chuyển vị bằng cách áp dụng trực tiếp biểu thức thế năng Bài tập 4 Xác định góc xoay tại đầu dầm console chịu tải P ở đầu dầm. EI=const. Bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt. P z k L M 5
Bài 1. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ THEO THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI 2. Xác định chuyển vị bằng cách áp dụng trực tiếp biểu thức thế năng Giải Bài tập 4 Vì tại đầu dầm không có mômen nên ta đặt vào đầu dầm một mômen M như hình vẽ: P z Mo k L M Ta có: M   Pz  M o   1 R Sau khi lấy đạo hàm, ta cho Mo=0 để việc lấy tích phân được đơn giản. Áp dụng định lý Castiglianô: U  M M  a   Pz1      ds    ( 1)  dz1 R  EI Ri  0  EI  PL2  2 EI Dấu + chứng tỏ chiều của góc xoay theo chiều Mo. Bài 2. CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH (Maxwell – Mohr, 1874) Mục tiêu: vận dụng nguyên lý công bù khả dĩ để xây dựng công thức tổng quát xác định chuyển vị trong hệ thanh đàn hồi tuyến tính. Vấn đề: Tìm chuyển vị của tiến diện k của một hệ thanh bất kỳ (tĩnh định hoặc siêu tĩnh) chịu tác dụng của tải trọng Pm, chuyển vị cưỡng bức Zm tại các liên kết, tự thay đổi nhiệt độ,… Trạng thái này của hệ là trạng thái thực “m”. j Pm Zm tm 1 "m" tm 2 mk Pk "k" j Rkm 6
Bài 2. CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH (Maxwell – Mohr, 1874) Giải quyết: Tạo ra một trạng thái khả dĩ “k” trong đó đặt lực Pk với điều kiện sao cho lực Pk sinh công bù khả dĩ trên chuyển vị cần tìm:  Chuyển vị thẳng: Pk là lực tập trung có điểm đặt tại tiết diện cần tìm chuyển vị và có phương là phương của chuyển vị cần tìm.  Góc xoay: Pk là mômen có điểm đặt tại tiết diện cần tìm góc xoay. Để tìm chuyển vị  km ta có thể áp dụng công thức công bù khả p dĩ: P  j 1 kj k jm     M k m  ds     N k  m  ds     Qk m  ds Áp dụng ta được: Pk  km   Rkj Z m     M k m  ds     N k  m  ds    Qk m  ds j j Vế trái biểu thị 2 lần công của ngoại lực và phản lực. Vế phải biểu thị 2 lần thế năng biến dạng đàn hồi tuyến tính. Bài 2. CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH (Maxwell – Mohr, 1874) Chia 2 vế cho Pk và ký hiệu: Mk N Q j Rj Mk  ; N k  k ; Qk  k ; Rk  k Pk Pk Pk Pk là mômen uốn, lực dọc, lực cắt và phản lực gối tực thứ j thuộc trạng thái “k” do lực không thứ nguyên Pk=1 gây ra.     km    R k Z m    M k m ds    N k  m ds    Q k m ds    j j j Biến dạng do nội lực: M N Q  m  m ; m  m ;  m   m EI EA GA Biến dạng do nhiệt độ:  m  m   t2  t1m  ;  m   tcm t t h Trong đó h là chiều cao tiết diện. 7
Bài 2. CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ CỦA HỆ THANH (Maxwell – Mohr, 1874) Vậy:  M   N   Q   km    R k Z m     M k m  ds     N k m  ds     Q k m  ds  j j j  EI   EA   GA   m        M k  t2  t1m   ds    N k tcm ds  h   Lưu ý khi sử dụng công thức trên: 1) Chọn P=1 có chiều bất kỳ. Nếu kết quả tính ra là dương thì chuyển vị là theo chiều của P, và ngược lại. j 2) Z m là chuyển vị cưỡng bức tại liên kết thứ j ở trạng thái j thực “m”, còn R k là phản lực tại liên kết j ở trạng thái j j j “k” do lực Pk=1 gây ra. Tích số Z m R k dương nếu R k j cùng chiều với Z m , và ngược lại. 3) M k , N k , Q k là các biểu thức giải tích của nội lực ở trạng thái “k”. M m , N m , Qm là các biểu thức giải tích của nội lực ở trạng thái “m”. 4) Đối với hệ siêu tĩnh, ta có thể dùng công thức trên để tính chuyển vị nếu biết nội lực trong trạng thái “m” và “k”. 5) Công thức trên chỉ áp dụng cho hệ thanh thẳng hoặc cong nhỏ. Bài 3. CÁCH VẬN DỤNG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ Trong tính toán thực tế, không phải lúc nào cũng dùng hết toàn bộ số hạn trong công thức. Dưới đây là một số trường hợp đặc biệt thường gặp. 1. Dầm và khung chịu tải trọng Đối với dầm và khung thì ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt đối với chuyển vị là có thể bỏ qua. Công thức tính chuyển vị:  M   km     M k m  ds  EI  8
Bài 3. CÁCH VẬN DỤNG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ 2. Dàn chịu tải trọng Trong dàn (các mắt là khớp) thì M=0, Q=0, nên:  N   km     N k m  ds  EA  Trng từng thanh, lực dọc và EA không thay đổi, nên: L  N   N   km    N k m   ds    N k m L   EA  0  EA   N   km    N k m L   EA  Dấu  áp dụng cho tất cả các thanh trong dàn. Bài 3. CÁCH VẬN DỤNG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ 3. Hệ tĩnh định chịu chuyển vị cưỡng bức Hệ tĩnh định chịu chuyển vị cưỡng bức, trong hệ không phát sinh nội lực. Do đó:  km    R k Z m j j j 9
Bài 3. CÁCH VẬN DỤNG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ 4. Hệ tĩnh định chịu sự thay đổi nhiệt độ Sự thay đổi nhiệt độ chỉ gây ra nội lực trong hệ siêu tĩnh mà không gây ra nội lực trong hệ tĩnh định. Do đó,  m    km     M k  t2  t1m   ds    N k tcm ds  h    Thường gặp:  Nhiệt độ thay đổi như nhau theo chiều dài từng đoạn thanh.  Vật liệu trong từng đoạn thanh là như nhau (α=const).  Chiều cao h=const.  Khi đó:  km   h t m 2  t1m   M k ds    tcm  N k ds M k ds  ( M k ) là diện tích biểu đồ mômen (có dấu dương nếu nằm về phía t2 (  t1m ) ) trong từng đoạn thanh ở trạng thái “k”. m N k ds  ( N k ) là diện tích biểu đồ lực dọc (có dấu của biểu đồ) trong từng đoạn thanh ở trạng thái “k”.   km   h t m 2  t1m  ( M k )    tcm( N k ) Bài 4. CÁCH TÍNH CÁC TÍCH PHÂN TRONG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ THEO CÁCH “NHÂN BIỂU ĐỒ” Trong công thức tính chuyển vị, M k , N k , Q k , M m , N m , Qm là các hàm theo s. Do đó, dưới các dấu tích phân:  Mm   Nm   Qm  M  k EI   ds;    N k   ds;    Q k EA    ds GA  Area: có dạng chung là tích của 2 hàm theo biến s: Center s2 (s) J    ( s ) ( s )ds s1 Nếu:  Hệ gồm các thanh thẳng. (s) y  Có một hàm số là hằng số hoặc bậc 1, giả sử  ( s ) . s2 Thì: J    ( s ) ( s )ds   y s1 Trong đó,  là diện tích của biểu đồ  ( s ) . y là tung độ của biểu đồ  ( s ) tương ứng với trọng tâm của diện tích  . 10
Bài 4. CÁCH TÍNH CÁC TÍCH PHÂN TRONG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ THEO CÁCH “NHÂN BIỂU ĐỒ” Area: Chứng minh: Center Gọi O là gốc tọa độ. (s) s ds Kéo dài  (s) cắt đường chuẩn tại O1. Gọi:  là góc hợp bởi (s) với đường chuẩn. (s) O O1 (s) y Trục O1v là trục vuông góc với đường chuẩn. so Ta có:  ( s )   s  so  tg s1 sC s2 s2 s2 s2 J    ( s ) ( s )ds    s  so  tg  ( s )ds   tg   s  so  d  s1 s1 s1 s2 Mà   s  s  d  s1 o chính là mômen tĩnh của diện tích  đối với trục O1v s2 Vì:   s  s  d    s s1 o C  so   Nên: J  tg  sC  so    y  Tính chất tích phân như trên gọi là nhân biểu đồ Vêrêxaghin. s2 Ký hiệu: J    ( s ) ( s) ds  ( )( ) s1 Bài 4. CÁCH TÍNH CÁC TÍCH PHÂN TRONG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ THEO CÁCH “NHÂN BIỂU ĐỒ” Vậy, trong trường hợp hệ chịu tải trọng:   km   1 EI   M k Mm    1 EA N k  Nm    GA   Q k  Qm    Lưu ý khi nhân biểu đồ:  y là tung độ của biểu đồ hằng số hoặc bậc 1,  là diện tích của biểu đồ có bậc bất kỳ.  y và  là các đại lực có dấu (biểu đồ cùng phía sẽ cho kết quả dương và ngược lại).  Trong đoạn nhân biểu đồ, thanh phải thẳng.  Ta có thể phân  thành nhiều diện tích nhỏ, nhân biểu đồ rồi cộng lại. 11
Bài 4. CÁCH TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC TÍCH PHÂN TRONG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ Thanh thẳng: nhân biểu đồ Vêrêxaghin Thanh cong: tính gần đúng như sau:  Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng: b J   dz a  Chia đoạn (a-b) thành nhiều đoạn.  Xác định giá trị của hàm  tại từng điểm.  Nối gần đúng các tung độ bằng các đoạn thẳng hoặc parabol.  Tích phân chính là tổng diện tích các hình thang. o 1 2 n-1 n d d d d d d d d d d nd Bài 4. CÁCH TÍNH GẦN ĐÚNG CÁC TÍCH PHÂN TRONG CÔNG THỨC CHUYỂN VỊ    b Nếu giả thiết thẳng: J    dz  d  o  1  2  ...  n 1  n  a 2 2 Nếu giả thiết parabol trong 2 đoạn kế tiếp nhau (mỗi parabol đi qua 3 điểm) và nếu số đoạn chia là chẵn: dùng công thức Simpson: b d J    dz  o  4(1  3  ...  n 1 )  2(2  4  ...  n 2 )  n a 3 Ghi chú: dùng công thức Simpson cho kết quả chính xác hơn công thức hình thang. 12
Bài 4. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ KHÁI QUÁT VÀ LỰC KHÁI QUÁT Ta có: công hoặc công bù = tổng công của từng lực. Ví dụ: công bù khả dĩ: p Tkm   Pk j  k j m * j 1 Ta có thể biểu diễn bằng công của một lực và một chuyển vị: p Tkm   Pk j  k j m  Pk** * km j 1 Trong đó: Pk* là lực khái quát. Đó là lực tưởng tượng thay thế hệ lực Pk j . * là chuyển vị khái quát theo phương của Pk* . km Tất cả các nội dung trong chương 4 và 5 đều có thể mở rộng cho trường hợp lực khái quát và chuyển vị khái quát. Bài 4. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ KHÁI QUÁT VÀ LỰC KHÁI QUÁT Áp dụng cho bài toán xác định chuyển vị: Pm Giả sử một hệ chịu các nguyên nhân “m”, tại các điểm 1, 2, 3 có "m" các chuyển vị 1 ,  2 ,  3 . 1 2 3 Pk =1 "k 1" Yêu cầu: xác định tập hợp chuyển vị: Pk =1 *  a1  b 2  c 3 , "k 2" với a, b, c là các hằng số cho trước. Pk =1 "k 3" a b "k" c 13
Bài 4. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ KHÁI QUÁT VÀ LỰC KHÁI QUÁT Nếu không dùng khái niệm chuyển vị khái quát, ta tính: 1  1 EI   M k1  M m  2  1 EI  M k2  M m   3  1 EI  M k3  M m   Rồi tính: *  1  EI        a M k1  M m   b M k2  M m   c M k3  M m     1  EI       a M k1  b M k2  c M k3   M m    Bài 4. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ KHÁI QUÁT VÀ LỰC KHÁI QUÁT Nếu áp dụng khái niệm chuyển vị khái quát, sẽ đơn giản hơn: ta chỉ cần tạo ra 1 trạng thái “k” và nhân biểu đồ 1 lần: *  1 EI M k Mm   So sánh 2 biểu thức trên, ta có:    M k  a M k1  b M k2  c M k3   Do đó, trạng thái “k” được tạo ra bằng nhóm các lực a, b, c như hình vẽ và được gọi là lực khái quát. Vậy, ở trạng thái “k”, muốn một tập hợp chuyển vị: n *   ai  i i 1 Ta cần tạo trạng thái “k” bằng một lực khái quát P*=1 là nhóm gồm n lực, trong đó, lực thứ i có vị trí và phương tương ứng với vị trí và phương của chuyển vị  i , còn giá trị bằng ai . Rồi sau đó nhân biểu đồ: *  1 EI   M k Mm  14
Bài 4. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ KHÁI QUÁT VÀ LỰC KHÁI QUÁT Một số trường hợp thường gặp: 1. Chuyển vị thẳng tương đối Định nghĩa: chuyển vị thẳng tương đối theo phương X là hiệu số của chuyển vị (của 2 điểm) theo phương đó. Trạng thái “k”: lực khái quát là:  2 lực đơn vị.  ngược chiều.  đặt tại 2 điểm đang xét.  có phương theo phương cần tính chuyển vị tương đối. Bài 4. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ KHÁI QUÁT VÀ LỰC KHÁI QUÁT Một số trường hợp thường gặp: 2. Chuyển vị xoay tương đối Định nghĩa: là hiệu số của góc xoay của 2 tiết diện.  AB   B   A Trạng thái “k”: lực khái quát là:  2 mômen đơn vị.  ngược chiều.  đặt tại 2 điểm đang xét. 15
Bài 4. KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN VỊ KHÁI QUÁT VÀ LỰC KHÁI QUÁT Một số trường hợp thường gặp: 3. Góc xoay của thanh trong dàn Định nghĩa: A B A A' B AB B' B   A 1 1  AB  tg AB   B   A a a a Trạng thái “k”: lực khái quát là:  2 lực có độ lớn 1/(chiều dài thanh).  ngược chiều.  đặt tại 2 đầu thanh  vuông góc với trục thanh. Baäc n (n=0, 1, 2, 3, ...) A= LH (n+1) H Ñænh parabol L L(n+1) (n+2) (n+2) L Ñænh parabol Baäc 2 H A= 2LH 3 3L 5L 8 8 L Ñænh parabol Baäc 2 A= 2LH H 3 L/2 L/2 L 16

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2437 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.