Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Chương 3: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT
(cid:41) Lưu chất có thể chuyển động bên trong biên rắn (trong kênh, trong ống, …) hoặc bao quanh biên rắn (máy bay, tàu thuyền…), và được xem như một môi trường liên tục. Mỗi phần tử lưu chất được xem như có kích thước (một điểm) và có khối lượng vô cùng nhỏ.
(cid:41) Chương này sẽ đề cập đến hai phần: động học và động lực học. Trong phần động học, những thông số của dòng chảy được quan tâm xem xét là vận tốc, gia tốc và sự biến thiên của chúng theo thời gian. Bên cạnh đó, phương trình liên tục của lưu chất cũng được trình bày ở nhiều dạng khác nhau.
(cid:41) Trong phần động lực học, cơ sở lý thuyết sự chuyển động của phần tử lưu chất có xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động (lực) và việc xây dựng các phương trình vi phân chuyển động được trình bày. Các nguyên lý biến thiên động lượng và bảo toàn năng lượng được áp dụng để xây dựng các phương trình cơ bản động lực học như Euler, Navier-Stoke, phương trình năng lượng và động lượng được đề cập. Sau đó việc áp dụng các phương trình này cho đoạn dòng chảy lưu chất trọng lực, không nén được, chuyển động ổn định được trình bày.
3.1 Hai phương pháp mô tả chuyển đông của lưu chất :
3.1.1 Phương pháp Lagrange :
+ Xét một hệ thống trục tọa độ cố định OXYZ (hình H.3.0a).
+ Chuyển động của lưu chất được mô tả bằng vị trí của các phần tử lưu chất theo thời gian.
z
y
Mo(xo,yo,zo)
M(x,y,z)
orr
rr
O
x
H.3.0a
t = 0
⇒
orr (xo , yo, zo)
→
(3.1)
r rr = f
⇒
∀ t
rr (x, y, z)
( orr , t)
hay
x = x(xo , yo, zo, t)
y = y(xo , yo, zo, t)
z = z(xo , yo, zo, t)
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
→ xo , yo, zo và t được gọi là những biến số Lagrange.
+ Nếu như biết rr , ta có thể tính được vận tốc ur (ux, uy, uz) và gia tốc ar (ax, ay, az) của phần tử lưu
chất tại thời điểm nào đó như sau :
&
r = u
r = a
r rd dt
r 2 rd 2 dt
,
,
(3.2.a)
u y =
dy dt
,
,
(3.2.b)
u z = ux = dx dt dz dt
2 yd 2 dt
2 xd 2 dt
2 zd 2 dt
+ Đường nối vị trí của phần tử lưu chất theo thời gian được gọi là quỹ đạo của chuyển động của
a x = ay = a z =
+ Nhận xét :
- Phương pháp này được dùng rộng rãi trong cơ học chất rắn, rất thuận tiện nếu như số lượng
phần tử ít.
- Trong cơ học lưu chất phương pháp này khó thực hiện vì số lượng phần tử rất lớn.
- Ngòai ra, trong lưu chất, tồn tại hiện tượng khuếch tán phân tử → các phân tử lưu chất chỉ giữ được đặc tính riêng trong một khoảng thời gian rất ngắn → việc xác định quỹ đạo rất khó khăn.
- Trong thực tế việc nghiên cứu từng phần tử riêng lẽ là không cần thiết vì việc giải các bài toán
này rất phức tạp nên phương pháp này ít được dùng.
- Phương pháp Lagrange chủ yếu được áp dụng trong một số trường hợp như để nghiên cứu hiện
tượng sóng biển, quan sát vết sau vật.
3.1.2 Phương pháp Euler :
+ Trong phương pháp này, các thông số động học của các phần tử chất lỏng cùng đi qua một điểm
nào đó trong miền chuyển động được quan tâm. Ví dụ trạm đo vận tốc đặt cố định trên sông.
+ Trong một hệ tọa độ xác định, chuyển động của lưu chất được mô tả bằng vận tốc của các phần
phần tử lưu chất đó. Phương trình (3.2a) chính là phương trình quỹ đạo của phần tử lưu chất.
+ Tại một điểm M(x,y,z) cố định trong không gian, ở thời điểm t có một phần tử lưu chất qua M có vận tốc ur (M(x,y,z), t). Ở thời điểm t + dt có một phần tử khác đi qua M có vận tốc ur (M(x,y,z),
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
tử lưu chất tại mỗi vị trí theo thời gian.
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
t+dt). Như vậy trong toàn môi trường lưu chất (∀ M ∈ miền chuyển động), ta xác định được trường các vectơ vận tốc ur = ur (M, t), hay ur = ur (x,y,z,t), với các thành phần :
ux =ux(x,y,z,t)
(3.3)
uy =uy(x,y,z,t)
uz =uz(x,y,z,t)
x, y, z và t được gọi là các biến Euler.
+ Nhận xét :
- Phương pháp Euler đặc biệt có ưu thế trong việc tìm lời giải của các bài toán lien quan đến chuyển động của lưu chất nhờ vào lý thuyết trường → có thể xác định các đặc trưng chuyển động tại những vị trí cần thiết (ví dụ : dòng chảy bao quanh vật, xác định vận tốc, áp suất tại các điểm trên bề mặt vật rắn).
- Ngòai ra, vì số lượng các phương trình vi phân hữu hạn và có thể được biến thành các phương trình sai phân tuyến tính, nên có thể tìm được lời giải bằng phương pháp gần đúng, chẳng hạn phương pháp sai phân và được giải số thông qua chương trình máy tính.
3.2 Một số khái niệm thường dùng :
1. Đường dòng (lưu tuyến) :
+ Đường dòng tại một thời điểm t, là đường vạch ra trong lưu chất sao cho các vectơ vận tốc của các phần tử lưu chất trên đường đó đều tiếp xúc với nó.
+ Đường dòng được xác định từ vectơ vận tốc của các phần tử lưu chất khác nhau tại một thời điểm xác định (≠ quĩ đạo là vết của một phần tử lưu chất theo thời gian).
+ Theo định nghĩa, tiếp tuyến của đường dòng tại mỗi điểm trùng với vectơ vận tốc tại r điểm đó → ur // d rr hay ur x d rr = 0
Ở đây :
r ur = ux i
r + uy j
r + uz k
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
r + dz. k
r + dy. j
r rd r = dx. i
→ Phương trình vi phân của đường dòng :
)4.3(
dx u
dy u
dz u
x
y
z
+ Nhận xét :
- Hai đường dòng trong cùng một thời điểm không thể cắt nhau hoặc tiếp xúc nhau. Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp phản chứng: ở một điểm, ở một thời điểm chỉ có một véctơ vận tốc ur duy nhất (hình H.3.0b) , hoặc nếu chúng tiếp xúc nhau thì sẽ không bảo đảm được phương trình bảo tòan khối lượng (hình H3.0.c); hoặc có thể được cứung minh như trong chương thế lưu, đối với bài toán phẳng (chuyển động 2 chiều), trên mỗi đường dòng, hàm dòng ψ = const và lưu lượng Q chảy giữa hai đường dòng bằng (ψ1 - ψ2) → ở một điểm không thể có hai giá trị ψ khác nhau. Tuy nhiên, ngọai trừ trường hợp tại các điểm kỳ dị trong trường chuyển động. Ví dụ điểm dừng trong chuyển động đều quanh hình trụ tròn đứng yên (H.3.0d).
(C2)
(C1)
M
1ur
(C1)
2ur M
(C2)
H.3.0c
H.3.0b
H.3.0d
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
= =
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
- Trong chuyển động ổn định, đường dòng trùng với quỹ đạo và hình dạng các đường dòng
không thay đổi theo thời gian.
2. Dòng nguyên tố (sợi lưu tuyến) và dòng chảy:
H.3.1a
H.3.1b
+ Dòng nguyên tố là tập hợp tất cả các đường dòng đi qua các điểm trên dA (vi phân diện tích
trong không gian chứa lưu chất chuyển động).
+ Dòng chảy là tập hợp tất cả các dòng nguyên tố đi qua diện tích A hữu hạn.
+ Ống dòng là bề mặt bao quanh dòng chảy ⇔ tập hợp tất cả đường dòng đi qua các điểm trên chu vi bề mặt của A. Vì vận tốc của các phần tử lưu chất trên ống dòng luôn theo phương tiếp tuyến nên lưu chất không thể đi xuyên qua ống dòng.
3. Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực :
m = cotang(α) ; A=(b+m.h).h 2
b
h .2
1
m
P =
; R = A/P
+
+
H.3.1d
H.3.1c
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
H.3.1e
+ Mặt cắt ướt A là mặt cắt thẳng góc với tất cả các đường dòng qua nó. Mặt cắt ướt có thể là mặt
phẳng (khi tất cả các đường dòng song song và thẳng), hoặc là mặt cong (H.3.1c & d).
+ Chu vi ướt χ (hoặc P) là phần chu vi của mặt cắt ướt tiếp xúc với thành rắn (H.3.1c & d).
+ Bán kính thủy lực (ướt)
4. Lưu lượng:
Lưu lượng là lượng lưu chất đi qua mặt cắt ướt trong một đơn vị thời gian:
H.3.1f
- Lưu lượng thể tích :
dAu.
(3.5a)
Q = ∫∫
A
Với A là diện tích ướt, và dA là vi phân diện tích trên A và u là vận tốc (pháp tuyến với dA) tại một điểm trên dA.
Thứ nguyên của [Q] = L3/T, đơn vị là m3/s, l/s.
- Lưu lượng khối lượng :
(3.5b)
dAu..ρ
QM = ∫∫
A
Thứ nguyên của [Q M] = M/T, đơn vị là kg/s, g/s.
5. Vận tốc trung bình mặt cắt ướt :
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
R = A χ
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
+ Vận tốc trung bình V đối với mặt cắt ướt A:
=
(3.5c)
V =
∫∫
1 A
Q A
A
+ Vận tốc trung bình V là giá trị tưởng tượng, khác với vận tốc thực u tại mỗi điểm.
+ Trong thực tế, dễ xác định vận tốc trung bình V bằng cách đo lưu lượng Q và diện tích ướt A.
3.3 Phân loại chuyển đông :
3.3.1 Phân loại theo ma sát nhớt :
+ Chuyển động lưu chất lý tưởng:
Trong thực tế mọi lưu chất đều có tính nhớt. Tuy nhiên, khi xét chuyển động của lưu chất mà tính nhớt hay lực ma sát nhớt cản trở chuyển động của các phần tử lưu chất không đáng kể, người ta có thể bỏ qua lực ma sát nhớt (để làm đơn giản bài toán) và khi đó lưu chất được xem là lý tưởng. Ví dụ: chuyển động lưu chất qua biên rắn ⇒ lớp lưu chất sát biên: lưu chất thực; lớp lưu chất xa biên: lưu chất lý tưởng (bỏ qua ma sát).
+ Chuyển động của lưu chất thực:
- Có hai loại : chuyển động tầng và chuyển động rối.
- Osborne Reynolds (1883) là người đầu tiên đã làm thí nghiệm để chứng minh sự tồn tại của
hai loại chuyển động này.
- Mô tả thiết bị thí nghiệm :
Thiết bị thí nghiệm gồm một bình lớn đựng nước, một bình nhỏ đựng nước màu (có khối lượng riêng bằng khối lượng riêng của nước). Nước chảy ra ngoài nhờ ống thủy tinh có van điều chỉnh ở cuối ống. Dòng nước màu cũng cho chảy vào trong ống (xem hình H.3.2).
- Mô tả hiện tượng :
muc mau
nuoc
dong
muc mau
H. 3.2a Thiết bị thí nghiệm Reynolds
H.3.2b Các trạng thái chảy
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
dAu .
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
(cid:57) Khi vận tốc nước trong ống nhỏ, dòng màu chảy thành sợi chỉ thẳng tắp ⇒ lưu tốc song
song thành lớp → Trạng thái chuyển động tầng.
(cid:57) Khi vận tốc nước tăng lên (mở van), dòng màu bắt đầu gợn sóng và sau đó hòa lẫn vào trong nước ⇒ các phần tử chuyển động hỗn độn, trộn lẫn nhau, vận tốc dao động liên tục theo mọi phương và thay đổi trị số ⇒ áp suất dao động → Trạng thái chuyển động rối.
(cid:57) Khi chuyển động của phần tử lưu chất bị nhiễu ⇒ lực quán tính có khuynh hướng làm đổi hướng vận tốc, lực ma sát nhớt do các phần tử bao quanh có xu hướng giữ nó ở trạng thái cũ ⇒
h Trong chuyển động tầng: lực quán tính nhỏ, lực ma sát nhớt quan trọng đủ để giữ các
h Trong chuyển động rối: lực quán tính lớn, lực ma sát không còn đủ sức khống chế các
phần tử lưu chất theo một trật tự nhất định.
- Tiêu chuẩn phân loại trạng thái chảy :
Tiêu chuẩn để phân biệt trạng thái chảy là số Reynolds (Re), số không thứ nguyên, là tỷ số giữa lực lực quán tính và lực nhớt:
2
2
ρ
nhiễu.
→
.
V l V
Với :
ρ : khối lượng riêng của lưu chất (kg/m3),
l : chiều dài đặc trưng của dòng chảy (m),
V : vận tốc đặc trưng của dòng chảy (m/s),
μ : hệ số nhớt động lực học của lưu chất (Pa.s),
là hệ số nhớt động học của lưu chất (m2/s).
ν =
μ ρ
# Khi Re < Re tới hạn (Re th) ⇒ chuyển động tầng (hình H.3.2b)
# Khi Re > Re tới hạn (Re th) ⇒ chuyển động rối (hình H.3.2b)
- Dòng chảy trong ống tròn: Đối với dòng chảy trong ống tròn, người ta lấy chiều dài đặc
trưng l = D. Và số Reynold tới hạn như sau:
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
const const = = Re lVVl . = νμ l ρ μ l V ρ μ
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
= 2300
(3.6)
=
Re = th
ρ DV . . μ
3.3.2 Phân loại theo thời gian :
+ Chuyển động ổn định :
Chuyển động ổn định (thường trực, dừng) khi các tính chất của chuyển động không thay đổi theo thời gian ⇒ đạo hàm riêng phần theo thời gian của các đại lượng mô tả chuyển động bằng
0 → (
DV . ν
) → 0 = * ∂ t ∂
= 0 & = 0 u = u(x, y, z) & a = a(x, y, z) ⇔ u ∂ t ∂ a ∂ t ∂
+ Chuyển động không ổn định :
Chuyển động không ổn định (không thường trực, không dừng) khi các tính chất của chuyển
động thay đổi theo thời gian →
u = u(x, y, z, t) & a = a(x, y, z, t)
+ Chuyển động rối :
- Chuyển động rối thực chất là chuyển động không ổn định và rất phức tạp.
- Thường người ta thay thế chuyển động rối thực bởi dòng chảy rối trung bình thời gian. Vận tốc chuyển động của dòng chảy rối thực được xem là tổng của 2 thành phần : vận tốc trung bình thời gian ⎯u và thành phần vận tốc mạch động u’ :
x
x
x
u u = '+ u
xu : vận tốc trung bình theo thời gian theo phương x.
Với,
u
Tt + u
. dt
=
x
x
∫
1 T
t
u’x : vận tốc mạch động theo phương x
# Nếu ⎯u không phụ thuộc thời gian ⇒ chuyển động rối ổn định (H.3.3b).
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
# Nếu ⎯u phụ thuộc thời gian ⇒ chuyển động rối không ổn định (H.3.3b).
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
ux
u'x
ux
t
T
t t+T
Hình 3.3a Vận tốc tức thời ux H.3.3b
3.3.3 Phân loại theo không gian :
+ Chuyển động 3 chiều :
- Mọi chuyển động trong thực tế đều xảy ra trong không gian 3 chiều ⇒ vận tốc, áp suất và
các yếu tố khác của dòng chảy thay đổi theo các phương khác nhau.
- Trong một số trường hợp đặc biệt, ta có thể đơn giản hóa chuyển động dòng chảy thành dòng
chảy 2 hoặc 1 chiều, nếu như sự sai số do đơn giản là không đáng kể.
Hình 3.4 Chuyển động 2 chiều qua đập tràn
+ Chuyển động 2 chiều :
Khi các thông số chuyển động thay đổi theo 2 phương vuông góc nằm trong một mặt phẳng và xem như không thay đổi trong các mặt phẳng song song với nó. Ví dụ dòng chảy qua bờ tràn có mặt cắt ngang không đổi, bề rộng dài vô tận.
+ Chuyển động 1 chiều :
- Khi các thông số của chuyển động như vận tốc, áp suất, độ cao mô tả chuyển động tại một thời điểm nhất định chỉ thay đổi theo 1 phương và có giá trị như nhau tại mọi điểm trên cùng một mặt cắt ướt.
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
- Chiều chuyển động được chọn thường dựa theo chiều của đường dòng trung tâm có giá trị vận tốc, áp suất và độ cao là giá trị trung bình trên mặt cắt ướt thẳng góc với đường dòng tại điểm ấy.
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
- Ví dụ : chuyển động của lưu chất trong ống tròn khi dùng các yếu tố trung bình để diễn tả. Thực ra vận tốc bằng không ở sát thành rắn và cực đại ở tâm ống. Do đó, khi dùng vận tốc trung bình để diễn tả dòng chảy, người ta đưa thêm các hệ số điều chỉnh khi cần thiết (tăng độ chính xác) trong các phương trình năng lượng và động lượng.
+ Dòng đều :
- Dòng chảy 1 chiều, có sự phân bố vận tốc trên mặt cắt ướt dọc dòng chảy không thay đổi.
- Điều kiện để có dòng đều :
# Điều kiện về đường dẫn (tiết diện, độ nhám, độ dốc …): không đổi dọc dòng chảy.
# Điều kiện về lưu lượng: không đổi dọc dòng chảy.
Hình 3.5 Biểu đồ phân bố vận tốc trong ống tròn
3.3.4 Phân loại theo tính nén được :
+ Chuyển động của lưu chất không nén được :
Khi lưu chất chuyển động nếu khối lượng riêng của lưu chất phụ thuộc rất ít vào áp suất và
nhiệt độ. Ví dụ chất lỏng hoặc chất khí với vận tốc nhỏ có số Mach M < 0,3.
+ Chuyển động của lưu chất nén được :
Khi lưu chất chuyển động nếu khối lượng riêng của lưu chất phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ. Ví dụ chất khí với vận tốc lớn, có số Mach M > 0,3.
+ Tiêu chuẩn phân loại chuyển động :
Số Mach (M= u/a) là tỷ số giữa vận tốc chuyển động của lưu chất (u) và vận tốc truyền âm trong lưu chất (a) được dùng để phân loại chuyển động của chất khí.
# M < 0,3 ⇒ ρ thay đổi không đáng kể → Lưu chất không nén được.
# M > 0,3 ⇒ ρ thay đổi đáng kể ⇒ ảnh hưởng của tính nén được phải được xét đến →
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Lưu chất nén được.
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
• Nếu M < 1 : chuyển động dưới âm thanh (subsonic)
• Nếu M=1 : chuyển động ngang âm thanh (sonic)
• Nếu M > 1 : chuyển động trên âm thanh (supersonic)
• Nếu M >> 1 : chuyển động siêu thanh (hypersonic)
3.4 Gia tốc của phần tử lưu chất :
+ Theo phương pháp Euler :
ur = ur (x,y,z,t). Tại thời điểm t, tại điểm M(x,y,z), lưu chất có vận tốc ur . Ở thời điểm t + Δt; phần tử lưu chất ở vị trí M1(x+Δx, y+Δy, z+Δz) và có vận tốc là:
1ur
y1
yΔ
ur
y
M
xΔ
x
x1
Vận tốc tại một điểm của phần tử lưu chất là một hàm số theo tọa độ điểm và thời gian :
1ur = ur ( x+Δx, y+Δy, z+Δz, t+Δt).
Hình 3.6 Sơ đồ tính gia tốc – phương pháp Euler
Xét theo phương x :
u1x = ux(x+Δx, y+Δy, z+Δz, t+Δt)
Giả sử hàm ux là hàm liên tục theo 4 biến số x, y, z, t. Khai triển chuỗi Taylor bậc 1, ta có :
u x ∂ y ∂
u x ∂ z ∂
u x ∂ t ∂
Δx+ Δy+ Δz+ Δt u1x = ux + ux ∂ x ∂
Khi đó gia tốc của phần tử lưu chất được xác định như sau :
x
x
0
t →Δ
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
u u 1 a lim = = du x dt − x t Δ
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
0
u x ∂ y ∂
y Δ t Δ
u x ∂ z ∂
u x ∂ t ∂
= ( . + . + + ) . lim →Δt ux ∂ x ∂ x Δ t Δ z Δ t Δ
u x ∂ y ∂
u x ∂ z ∂
u x ∂ t ∂
+ . + . + ax = dx dt dy dt dz dt ux ∂ x ∂
u x ∂ y ∂
u x ∂ z ∂
u x ∂ t ∂
(3.7a) ax = ux+ .uy+ .uz+ dux = dt ux ∂ x ∂
Tương tự :
u y ∂ y ∂
(3.7b) ay = .ux + .uy + .uz + du y = dt u y ∂ x ∂ u y ∂ z ∂ u y ∂ t ∂
du z = dt
u z ∂ x ∂
u z ∂ z ∂
u z ∂ t ∂
(3.7c) az = ux + uy + uz + u z ∂ y ∂
gia tốc đối lưu gia tốc cục bộ
Theo (3.7), ta thấy gia tốc của phần tử lưu chất gồm 2 thành phần :
- Thành phần gia tốc đối lưu :
u z ∂ x ∂
u z ∂ z ∂
ux + uy + uz u z ∂ y ∂
biểu thị suất biến thiên của vận tốc của các phần tử lưu chất do sự khác biệt vị trí trong trường chuyển động.
u z ∂ t ∂
- Thành phần gia tốc cục bộ :
biểu thị suất biến thiên cục bộ của vận tốc do chuyển động không ổn định. Gia tốc cục bộ bằng 0 khi chuyển động ổn định.
(3.8)
ar =
Phương trình (3.7) có thể viết dưới dạng vectơ như sau :
r . ) r udarg
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
= + ur .( ud r dt ∂ r u t ∂
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Với toán tử :
r darg r = ∇
=
+
+
r i
r j
r k
+ Theo phương pháp Lagrange :
Vectơ vận tốc là hàm số của tọa độ ban đầu ur = ur (xo , yo, zo, t). Tọa độ ban đầu là các hằng số nên đạo hàm toàn phần hay gia tốc của phần tử lưu chất cũng chính là đạo hàm riêng phần theo thời gian, không có thành phần gia tốc đối lưu.
ar =
=
(3.9)
∂ x∂ ∂ y∂ ∂ z∂
3.5 Phương pháp thể tích kiểm soát – Lý thuyết vận tải Reynolds:
H.3.7
(cid:57) Thể tích kiểm soát (control volume): là một thể tích cố định, W đối với một hệ trục tọa độ OXYZ trong trường lưu chất chuyển động, nằm trong mặt cong kín S, được gọi là mặt kiểm sóat (control surface), qua đó sự biến thiên của thông số (X, extensive parameter) dòng chảy theo thời gian được nghiên cứu.
(cid:57) Trong dòng chảy xét thể tích kiểm sóat W được bao bọc bởi mặt kiểm sóat S (hình H.3.7). Trong đó đại lượng X là hệ thống được nghiên cứu (khối lượng, năng lượng hoặc động lượng…). Và, gọi k là giá trị của đại lượng X chứa trong một đơn vị khối lượng (k, intensive parameter).
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
ud r dt ∂ r u t ∂
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Ta có công thức để tính X như sau:
(3.10a)
∫∫∫=
W
- Tại thời điểm t1 ⇒ thể tích W1 → chứa X1.
- Tại thời điểm t2 = t1 + Δt ⇒ thể tích W1 di chuyển đến thể tích W2 → chứa X2.
- Gọi A là thể tích mà: A ⊂ W1 và A ⊄ W2
- Gọi B là thể tích mà: B = W1 ∩ W2
- Gọi C là thể tích mà: C ⊂ W2 và C ⊄ W1
(cid:41) Như vậy có nghĩa rằng, sau thời gian Δt:
- Một số phần tử lưu chất di chuyển ra khỏi thể tích kiểm soát và chiếm thể tích là C.
- Một số phần tử lưu chất bên ngoài vào và lắp đầy thể tích A
(cid:41) Như vậy ở thời điểm t1 đại lượng X của toàn hệ thống nằm trong thể tích kiểm soát là:
(a)
Xt1 =XAt1 + XBt1
Và ở thời điểm t2 ⇒
(b)
Xt2 =XBt2 + XCt2
Sự thay đổi đại lượng X của hệ thống trong khoảng thời gian Δt là :
(c)
X k dw .ρ .
Thêm vào và trừ XAt2 , ta được:
ΔX = (XBt2 + XCt2)-( XAt1 + XBt1)
= X(A+B)t2 - X(A+B)t1 + XCt2 - XAt2
Sự biến thiên của X theo thời gian là :
ΔX = (XBt2 + XAt2)-( XAt1 + XBt1)+ XCt2 - XAt2
Ct
At
(
(
tBA ) +
2
tBA ) + 1
2
2
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
X X X X − − = + X Δ t Δ t Δ t Δ
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
(
(
Ct
At
) tBA +
2
) tBA + 1
2
2
(
)
lim t 0 →Δ
lim t 0 →Δ
lim t 0 →Δ
(1)
(2)
(1) =
thể tích kiểm soát =
(e)
X X X X − − d = = + dX dt t t X Δ t Δ Δ Δ
.ρ dw .
w
k
∫∫∫
H.3.8
Với: XCt2 là giá trị của đại lượng X của các phần tử lưu chất ra khỏi thể tích kiểm soát thông qua diện tích S2.
XAt2 là giá trị của đại lượng X của các phần tử lưu chất đi vào thể tích kiểm soát thông qua diện tích S1́.
- Xét diện tích dA ⊂ S2 có vectơ chỉ phương là nr , lưu tốc qua dA là ur . Thể tích qua dA trong
đơn vị thời gian là :
dAnu ..rr
dAnu ..rr
dQ = un.dA =
→ dQM = ρ.un.dA = ρ.
dAnu ..rr
→
Do đó, giá trị đại lượng X của phần tử lưu chất đi qua dA là : k.ρ.
k
(f)
rrρ ... dAnu .
S
XCt2 = Δt. ∫∫ 2
Và tương tự:
k
(g)
rrρ ... dAnu .
S
XAt2 = -Δt. ∫∫ 1
luôn luôn âm)
(XAt2 mang dấu trừ vì lưu chất đi vào mặt S1, nr hướng ra ⇒ nu rr.
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
X ∂ t ∂ ∂ t ∂ ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Từ đó ta suy ra:
k
rr dAnu ...
k
rr dAnu ...
t Δ
. ρ
t Δ+
. ρ
X
X
−
Ct
At
S
∫∫ .
∫∫ .
2
2
2
S 1
(2) =
=
lim 0 t →Δ
lim 0 t →Δ
t Δ
t Δ
k
rrρ ... . dAnu
k
rrρ ... dAnu .
S
= ∫∫S
= ∫∫ + 21
Do đó, phương trình (d) trở thành :
(3.10b)
k
rrρ ... . dAnu
hệ thống =
CV
+ ∫∫S
dX dt
X ∂ t ∂
Với: CV : thể tích kiểm soát
S : diện tích kiểm sóat.
Hay :
k
(3.10c)
rrρ ... . dAnu
hệ thống (k.ρ.dw) =
CV
+ ∫∫S
∫∫∫
d dt
X ∂ t ∂
3.6 Phương trình liên tục:
+ Theo định luật bảo toàn khối lượng: khối lượng của hệ thống không thay đổi theo thời gian
= 0
dm dt
ρ.dw ⇒ k=1
Ta xét X = m = ∫∫∫
k.ρ.dw = ∫∫∫
w
w
=
→
dAnu ... rrρ
HT
CV
+ ∫∫S
dm dt
m ∂ t ∂
→
= 0
(3.11)
dAnu ... rrρ
∫∫∫
.dw + ∫∫S
∂ρ t∂
w
Đây là dạng tích phân của phương trình liên tục khối lượng.
+ Dùng phép biến đổi GAUSS để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân thể tích:
div
). dwu
dAnu ... rrρ
rρ .(
∫∫S
= ∫∫∫
w
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
→
div
). dwu
= 0
rρ .(
.dw + ∫∫∫
∫∫∫
∂ρ t∂
w
w
[
+ div(ρ. ur )].dw = 0
∫∫∫
∂ρ t∂
w
Tích phân này áp dụng cho một thể tích W bất kỳ ⇒ nên ta có thể chuyển sang dạng vi phân của phương trình liên tục.
3.6.1 Phương trình liên tục dạng vi phân, lưu chất nén được chuyển động không ổn định:
(3.12a)
[
+ div(ρ. ur )] = 0
∂ρ t∂
Nếu là chuyển động ổn định ta có:
) = 0
(3.12b)
div(ρ. ur
3.6.2 Phương trình liên tục dạng vi phân, lưu chất không nén được, chuyển động ổn định:
Vì ρ=const, nên từ (3.12b), ta suy ra phương trình liên tục có dạng :
(3.13)
div( ur
) = 0
- Trong hệ thống tọa độ Descartes (3.13) có dạng :
+
+
= 0
(3.14)
u y ∂ y ∂
u x ∂ x ∂
u z ∂ z ∂
- Trong hệ thống tọa độ trụ (3.13) có dạng :
.( ur
)
+
+
= 0
(3.15)
r
1 r
1 r
∂ r ∂
u ∂ z z ∂
u ∂ θ θ ∂
3.6.3 Phương trình liên tục, lưu chất không nén được, chuyển động ổn định, 1 chiều:
Vì chuyển động ổn định, nên từ (3.11), ta suy ra:
dAnu ..rr
=0
(3.11a)
ρ.
∫∫S
H.3.9
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Xét thể tích kiểm soát là một đoạn dòng chảy giới hạn bởi hai mặt cắt ướt A1 và A2 và diện tích bao quanh ống dòng Sb ⇒
S = A1 + A2 + Sb
= 0
ρ.
ρ.
ρ.
ρ.
dAnu ..rr
dAnu ..rr
dAnu ..rr
dAnu ..rr
→ ∫∫S
+ ∫∫ bS
= ∫∫ 1A
+ ∫∫ 2A
= 0
Trên Sb ⇒ nu rr.
Trên A1 ⇒ nu rr.
= -u1
Trên A2 ⇒ nu rr.
= u2
→
ρ.u2.dA = 0
- ∫∫ 1A
ρ.u1.dA + ∫∫ 2A
ρ.u2.dA
∫∫ 1A
ρ.u1.dA = ∫∫ 2A
(3.16a)
Qm1 = Qm2
(3.16b)
ρ1.V1.A1 = ρ2.V2.A2 = const
Với ρ1 và V1 là khối lượng riêng và vận tốc trung bình của lưu chất tại mặt cắt ướt 1-1, tương tự ρ2 và V2 áp dụng cho mặt cắt ướt 2-2.
+Kết luận :
- Đối với lưu chất chuyển động ổn định, 1 chiều lưu lượng khối qua các mặt cắt ướt đều bằng
nhau.
- Khi lưu chất không nén được ρ1 = ρ2 = const ⇒ khi đó phương trình liên tục viết cho đoạn dòng
chảy có dạng :
(3.17a)
Q1 = Q2
(3.17b)
Hay V1A1 =V2.A2
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
3.6.4 Phương trình liên tục lưu chất không nén được, chuyển động ổn định tại nút:
Q2
Q3
Q4
Q1
Q5
Q1 = Q2 + Q3
Q1 + Q2 + Q5 = Q3 + Q4
H.3.18b
H.3.18a
Mở rộng phương trình (3.17a) đối với dòng chảy một chiều, chuyển động ổn định, lưu chất không nén được, xét tại nút I, có nhiều nhánh vào và ra, phương trình liên tục, trở thành:
Q
Q
(3.18)
=
vào
ra
∑
∑
3.7 Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng (phương trình Euler) :
3.7.1 Phương trình Euler :
H.3.19a
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Dựa vào nguyên lý cơ học: Tổng ngoại lực tác dụng lên một hệ thống lưu chất bằng tốc độ thay đổi động lượng của khối lưu chất đó.
r f
. r dwu
)19.3(
=
=
ρ
∑
∫∫∫
r Kd dt
d dt
w
Xét khối vi phân lưu chất hình hộp ABCDEFGH (hình H.3.19), chiều dài các cạnh là δx, δy, δz. và ur lần lượt là áp suất, khối lượng riêng, vectơ cường độ lực khối và vectơ vận tốc
r Gọi p, ρ, F tại trọng tâm của khối ⇒ Phương trình (3.19) áp dụng cho khối vi phân này trở thành:
r f
y
.
.
.
)20.3(
=
+
. x z δδδρ
r f m
∑
∑
r ∑ = f S
r ud dt
: Tổng lực khối lượng,
: Tổng lực
S
r : tổng ngoại lực tác dụng lên khối lưu chất; ∑ mf
f∑ r
r ∑ f mặt.
(cid:57) Xét hình chiếu phương trình (3.20) lên phương x:
x
f
f
y
.
.
.
20.3(
a
)
=
+
=
x z . δδδρ
mx
Sx
x∑ f
∑
∑
du dt
- Lực khối:
(3.20b)
z
ρ.Fx.δx.δy.δ
- Lực mặt:
.
(3.20c)
.
(p-
).δy.δz - (p+
).δy.δz = -
.δx.δy.δz
xδ 2
xδ 2
p ∂ x ∂
p ∂ x ∂
p ∂ x ∂
Thế (3.20b) và (3.20c) vào phương trình (3.20a), ta được:
.δx.δy.δz = ρ.δx.δy.δz.
ρ.Fx.δx.δy.δz -
du x dt
p ∂ x ∂
Sau khi chia 2 vế cho thể tích, phương trình trên trở thành:
(3.21a)
= ρ.
ρ.Fx -
du x dt
p ∂ x ∂
Chứng minh tương tự, bằng cách chiếu phương trình (3.20) lên các trục OY và OZ, ta được :
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
(3.21b)
= ρ.
ρ.Fy -
du y dt
p ∂ y ∂
(3.21c)
= ρ.
ρ.Fz -
du z dt
p ∂ z ∂
Biến đổi 3 phương trình (3.21a), (3.21b) và (3.21c) dưới dạng vectơ, ta được:
-
=
r F
pdarg r (
)
(3.22)
ud r dt
1 ρ
Hệ phương trình (3.21a), (3.21b) và (3.21c) hoặc (3.22) được gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng, còn được gọi là hệ phương trình Euler.
(cid:41) Hệ này gồm 3 phương trình chứa 4 ẩn số là ux, uy, uz và p, do đó ta phải cần thêm 1 phương trình nữa để có thể giải tìm nghiệm, trong trường hợp lưu chất lý tưởng & không nén được, ta dùng thêm phương trình liên tục sau :
div ur =
+
+
= 0
(3.23)
u z ∂ z ∂
ux ∂ x ∂
u y ∂ y ∂
Phương trình vi phân Euler dưới dạng Lamb-Grômêkô :
Chia phương trình (3.21a) cho ρ, khai triển số hạng gia tốc, ta được :
−
Fx
u x ∂ z ∂
u x ∂ y ∂
u x ∂ t ∂
p ∂ x ∂
ux ∂ x ∂
. = + .ux + .uy + .uz 1 ρ
u z ∂ x ∂
u y ∂ x ∂
Cộng và trừ vế phải phương trình này cho .uy và .uz, sắp xếp lại, ta được :
−
Fx
u x ∂ z ∂
u x ∂ y ∂
u z ∂ x ∂
u z ∂ x ∂
u y ∂ x ∂
u y ∂ x ∂
u x ∂ t ∂
p ∂ x ∂
ux ∂ x ∂
. = +( - - ) (3.24) .ux + .uy + .uz) + uz ( ) - uy ( 1 ρ
u
u
u
+
+
2 x
2 z
(
)
Mà:
2 y 2
2u 2
∂ x ∂
u z ∂ x ∂
∂ x∂
u y ∂ x ∂
ux ∂ x ∂
( ) = = .ux + .uy + .uz
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
và:
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
rr . utor
Vận tốc quay :
ωr = = (ωx, ωy, ωz) 1 2
rr . = utor
r i ∂ x ∂ u
r j ∂ y ∂ u
r k ∂ z ∂ u
x
y
z
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
Với:
Do đó :
u x ∂ y ∂
u x ∂ z ∂
u y ∂ x ∂
u z ∂ x ∂
- và ( - ( ) = 2.ωy ) = 2.ωz
(3.24) trở thành ⇒
=
+
−
. ( ) (3.25a)
+2(uz.ωy - uy.ωz)
Fx
2u 2
∂ x∂
p ∂ x ∂
u x ∂ t ∂
1 ρ
Chứng minh tương tự cho phương trình (3.21b) và (3.21c), ta cũng đạt được:
=
+
−
( ) (3.25b)
+2(ux.ωz - uz.ωx)
Fy
2u 2
p ∂ y ∂
u y ∂ t ∂
∂ y∂
1 . ρ
=
+
−
( ) (3.25c)
+2(uy.ωx - ux.ωy)
Fz
2u 2
∂ z∂
u z ∂ t ∂
p ∂ z ∂
1 . ρ
r k
r j
r i
ur =
×ωr
x
y
y
x
z
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ωωω z ⎜⎜ u u u ⎝
Ta có:
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Các số hạng cuối vế phải của các phương trình (3.25a), (3.25b) và (3.25c) lần lượt chính là hình chiếu của số hạng 2.ωr x ur lên các trục x, y và z.
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
r F
darg r
Do đó, các phương trình (3.25a), (3.25b) và (3.25c) có thể được viết dưới dạng vectơ - Grômêkô như sau :
-
=
+
pdarg r (
) ( ) (3.26)
+2.ωr x ur
2u 2
∂ r u t ∂
1 ρ
, thì nó được gọi là chuyển động không quay, hay
r Ghi chú: nếu trường chuyển động ur có ωr = 0 chuyển động có thế.
3.7.2 Tích phân phương trình Euler :
Điều kiện tích phân:
r (cid:41) Lực khối lượng F
là lực có thế:
Trong thực tế lực khối lượng thường là lực có thế, khi đó ta có thể tìm được một hàm số thế π(x,y,z) sao cho :
r F = - (3.27) )(πdarg r
∂π x∂
∂π y∂
∂π z∂
(cid:41) Hàm áp suất:
Với : Fx = - ; Fy = - ; Fz = -
pdarg r (
Gọi Π(x, y, z) là hàm áp suất, được định nghĩa như sau :
∫=Π
dp ρ
) (3.28) ) = hay (Πdarg r 1 ρ
Phương trình Euler trong trường hợp lực khối lượng là lực có thế :
Thế các hàm π và Π vào phương trình Euler (3.22), ta được :
-
=
ud r dt
(3.29) ) ( Π+πdarg r
Thế các hàm π và Π vào phương trình Grômêkô (3.26), biến đổi, ta được :
-
=
darg
(3.30) ( )
+ 2.ωr x ur
+Π+πr
2u 2
∂ r u t ∂
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
r 3.7.2.1 Trường hợp ( F
là lực có thế ) chuyển động không quay:
Hàm thế vận tốc :
darg
ur =
Chuyển động không quay là chuyển động thế ⇒ tồn tại hàm thế vận tốc ϕ(x,y,z), sao cho :
∂ r u t ∂
∂ t ∂
∂ϕr ) ( t ∂
= = )(ϕdarg r ⇒ r )(ϕdarg
∂ϕ x∂
∂ϕ y∂
∂ϕ z∂
Với : ux = ; uy = ; uz =
Chuyển động không quay : ⇒ ωr = or
darg
r = 0
Thế hàm thế vận tốc ϕ(x,y,z) vào (3.30) và chú ý điều kiện ωr = or , ta rút ra được :
+Π++
π
⇒
2u 2
ϕr ∂ ( t ∂
Ta được, tích phân Cauchy-Lagrange:
)
+Π++
π
2u 2
ϕ ∂ t ∂
= C (3.31)
C là hằng số đối với mọi điểm trong môi trường lưu chất chuyển động (không quay, chịu lực khối lượng có thế).
là lực có thế ) – Tích phân dọc đường dòng:
r 3.7.2.2 Trường hợp chuyển động ổn định ( F
r = 0
Chuyển động ổn định, nên ta có:
∂ r u t ∂
,
nên phương trình (3.30) trở thành: H.3.19b
darg
+Π+πr
2u 2
( = 2.ωr x ur ) (3.32) -
Nhân vô hướng hai vế (3.32) cho một đoạn vectơ vi phân trên đường dòng :
r + dz. k
r sd r = dx. i
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
r + dy. j ⇒
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
darg
sd r
+Π+πr
sd r = (2.ωr x ur ).
2u 2
( - ) .
Hay:
sd r
+Π+π
2u 2
- d( )⏐ sd r = (2. ωr x ur ).
sd r ,
sd r , nên ωr x ur ┴
Ký hiệu d(f)⏐ sd r là vi phân của hàm f dọc theo phương sd r .
sd r = 0
Ta có, ωr x ur ┴ ur , ngòai ra, vì vectơ ur tiếp tuyến với đường dòng nên ur // ⇒
(2.ωr x ur ).
Do đó:
+Π+π
⇒
2u 2
Ta được, tích phân Euler :
(3.33) - d( )⏐ sd r = 0
= C
+Π+π
2u 2
(3.34)
Với C là hằng số tại mọi điểm trên đường dòng. Giữa các đường dòng khác nhau C sẽ khác nhau.
là lực có thế ) – Tích phân theo phương pháp
r 3.7.2.3 Trường hợp chuyển động ổn định ( F
tuyến với đường dòng:
Hệ tọa độ tự nhiên :
r Xét phần tử lưu chất ở thời điểm t trong hệ tọa độ tự nhiên có vectơ đơn vị là (τr , nr , b
), gốc đặt tại vị trí của phần tử. Với τr tiếp xúc với quỹ đạo, nr hướng theo phương pháp tuyến với quỹ đạo, r b vuông góc với mặt (τr , nr ). Theo tính chất của tam diện Frenet, ta có :
dτr dt
u R
= nr .
dt ds
; ta có (theo tính chất của tam diện Frenet: với k = . → r nk .= r d τ ds 1 R r r d d ττ = ds dt
nr )
=
=
ds dt
ds dt
u R
dτr dt www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
vì = =u → r nuk r d τ dt r d τ ds
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Phương trình Euler trong hệ tọa độ tự nhiên:
⇒
ur = u. τr
Ta có :
ud r dt
du dt
dτr dt
u 2 R
u ∂ t ∂
u ∂ s ∂
= τr + u. = τr ( +u. ) + nr . (3.35)
)
Π+πdarg r (
Thế vào phương trình Euler (3.29), ta được :
u 2 R
u ∂ t ∂
u ∂ s ∂
+u. ) + nr . (3.36) - = τr (
)
Π+πdarg r (
Nhân 2 vế cho một đoạn vi phân pháp tuyến của đường dòng d nr
u 2 R
u ∂ t ∂
u ∂ s ∂
[- +u. ) + nr . ]. d nr ].d nr = [τr (
Π+
u 2 R
∂ n ∂
-[ ) ].dn = .dn ( π
Hay :
Π+
u 2 R
∂ n ∂
) = - (3.37) ( π
3.7.2.4 Trường hợp lưu chất trọng lực lý tưởng, không nén được :
+ Xét hệ thống trục tọa độ Descartes với OZ thẳng đứng hướng lên.
+ Lực khối lượng là trọng lực, là lực có thế :
Fx = Fy = 0; Fz = -g
dπ dz
= - (-g) = g ⇒ π = gz
+ Chất lưu không nén được (ρ=const):
∫=Π
dp ρ
p ρ
Từ phương trình (3.28): ⇒ Π =
Các tích phân trên được viết như sau:
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
a) Chuyển động không quay:
Thế các giá trị π và Π vào phương trình (3.31), ta được:
2u 2
∂ϕ t∂
p ρ
+g.z+ =C + (3.38a)
- Nếu chuyển động ổn định:
2u 2
p ρ
C là hằng số đối với bất kỳ điểm nào trong môi trường chuyển động.
g.z+ + = C (3.38b)
b) Chuyển động ổn định – Tích phân dọc đường dòng
Phương trình Bernoulli:
2
Thế các giá trị π và Π vào phương trình (3.34), ta được:
g
2u 2
u 2
p ρ
p γ
g.z+ = C hay z+ + = C (3.39) +
Với C là hằng số tại mọi điểm trên đường dòng. Giữa các đường dòng khác nhau C sẽ khác nhau.
c) Chuyển động ổn định – tích phân theo phương pháp tuyến với đường dòng:
zg .(
Thế các giá trị π và Π vào phương trình (3.37), ta được:
+
u 2 R
p ) ρ
∂ n ∂
= - (3.40)
Khi đường dòng song song gần như thẳng (mặt cắt ướt phẳng) ⇒ R → ∞ →
zg .(
+
p ) ρ
∂ n ∂
= 0
p γ
p ρ
→ + g.z = const hay p + ρ.g.z = const hay + z = const trên phương nr (3.41)
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
→ Tại tất cả các điểm trên mặt cắt ướt phẳng, áp suất phân bố tuân theo quy luật thủy tĩnh ⇔ dòng chảy tại mặt cắt ướt có R → ∞ được gọi là dòng chảy biến đổi dần.
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
H.3.20
3.8 Phương trình năng lượng :
+ Nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học (nguyên lý bảo toàn năng lượng) :
“Độ biến thiên theo thời gian năng lượng toàn phần của một hệ thống các phần tử lưu chất bằng tổng công suất cung cấp cho hệ thống đó, cộng với nhiệt lượng thêm vào hệ thống trong một đơn vị thời gian” :
dE dt
(3.42a) = Pm + Ps + ~ Qd dt
- E : tổng năng lượng của hệ thống = ( động năng + nội năng + điện năng + hóa năng, ..)
- Pm : công suất do ngoại lực, lực khối, tác dụng vào hệ thống.
~ - Q
: nhiệt lượng thêm vào khối lưu chất. Nếu môi trường lưu chất có nhiệt độ không đổi →
T = const: quá trình đẳng nhiệt, hoặc không trao đổi nhiệt lương với bên ngòai, ta bỏ qua số hạn này →
(3.42b)
= Pm + Ps
dE dt
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
- Ps : công suất do ngoại lực, lực mặt, tác dụng vào hệ thống.
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
3.8.1 Năng lượng toàn phần của hệ thống :
Ta giả sử chỉ quan tâm đến hai thành phần năng lượng là động năng và nội năng.
E = Ec + Ei
Với :
.dw
: động năng của hệ thống lưu chất có thể tích W;
ρ.
Ec = ∫∫∫
2u 2
w
u : vận tốc của từng phần tử lưu chất.
: nội năng của hệ thống lưu chất có thể tích W;
ρ.e.dw
Ei = ∫∫∫
w
e : nội năng của một đơn vị khối lượng lưu chất.
→
2
2
(3.43)
e
e
=
+
=
+
∫∫∫
∫∫∫
d dt
dE dt
d dt
u 2
u 2
w
w
⎡ ⎢ ⎣
⎤ dw . . ρ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ dw . . ρ ⎥ ⎦
3.8.2 Công suất của lực khối Pm :
. ur .dw
(3.44)
r ρ. F
Pm = ∫∫∫
w
Với :
: lực khối tác dụng lên một đơn vị khối lượng lưu chất.
: vận tốc của từng phần tử lưu chất.
ur
3.8.3 Công suất của lực mặt Ps :
dAuT ..rr
(3.45)
Ps = ∫∫ ∑
là lực mặt tác dụng lên một đơn vị diện tích (ứng suất bề mặt)
r F
3.8.4 Phương trình năng lượng :
Thế các phương trình (3.43), (3.44), (3.45) vào phương trình (3.42b) ta đạt được phương trình năng lượng dạng tích phân như sau :
64
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
r Với T
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
2
r ρ. F
dAuT ..rr
(3.46)
e
+
∫∫∫
u 2
d dt
w
w
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ρ = ∫∫∫ . . dw ⎥ ⎦
. ur .dw + ∫∫ ∑
3.9 Ứng dụng các phương trình cơ bản cho một đoạn dòng chảy của lưu chất trọng lực, không
nén được, chuyển động ổn định :
3.9.1 Phương trình năng lượng :
Áp dụng phương trình năng lượng tổng quát dạng tích phân (3.46):
2
dAuT ..rr
e
+
∫∫∫
d dt
u 2
w
w
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ρ = ∫∫∫ . dw . ⎥ ⎦
. ur .dw + ∫∫ ∑
+ Số hạng biến thiên năng lượng theo thời gian:
2
e
. dw
+
Áp dụng lý thuyết vận tải Reynolds, đặt X = ∫∫∫
u 2
w
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ρ là năng lượng của hệ thống . ⎥ ⎦
chứa trong thể tích kiểm sóat W, từ đó suy ra k=
là năng lượng trên đơn vị khối lượng.
e
+
2u 2
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣ Áp dụng phương trình (3.10b) để xét sự biến thiên năng lương theo thời gian đối với thể tích kiểm soát W, có diện tích kiểm sóat là ∑ .
2
2
2
(3.47)
e
e
e
+
+
+
∫∫∫
d dt
u 2
u 2
u 2
∂ t ∂
w
w
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ρ = ∫∫∫ dw . . ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ρ + . . dw ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
⎤ rrρ . ... dAnu ⎥ ⎦
∫∫ ∑
2
e
. dw
+
Ở đây, ta xét lưu chất chuyển động ổn định ⇒ ∫∫∫
u 2
∂ t ∂
w
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ρ = 0 . ⎥ ⎦
2
2
(3.48)
e
e
+
+
(3.47) trở thành → ∫∫∫
u 2
d dt
u 2
w
⎡ ⎢ ⎣
⎡ ⎢ ⎣
⎤ rrρ . ... dAnu ⎥ ⎦
⎤ ρ = . . dw ⎥ ⎦
∫∫ ∑
+ Thế (3.48) vào (3.46), ta được:
2
dAuT ..rr
(3.49)
r ρ. F
e
+
= ∫∫∫
u 2
w
⎡ ⎢ ⎣
⎤ rrρ⎥ . ... dAnu ⎦
∫∫ ∑
. ur .dw + ∫∫ ∑
- Công suất của lực khối (lực trọng trường):
Trong hệ tọa độ Oxyz, với oz thẳng đứng hướng lên, vectơ cường độ lực khối của trường trọng lực là:
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
r ρ. F
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
= -
)(πdarg r
= -
zgdarg r ).(
với п = g.z
. ur .dw
(3.50)
r F
)(πdarg r
ρ.
→ ∫∫∫
. ur .dw = - ∫∫∫
w
w
. ur =
)(πdarg r
ρ.
.ρ.ux +
.ρ.uy +
.ρ.uz =
∂π y∂
∂π z∂
∂π x∂
)
∂
)
∂
.(ρ
)
)
∂
∂
)
)
∂
∂
u y .( ρπ .
=
+
+
+
+
]
(3.51)
- π[
y ∂
u y y ∂
.( ρπ . u x x ∂
.( ρπ . u z z ∂
(ρ . u x x ∂
(ρ . u z z ∂
Từ phương trình bảo tòan khối lượng (3.12b), cho ta:
)
∂
.(ρ
)
∂
)
∂
+
+
= 0
Div(ρ ur ) =
(ρ . u x x ∂
(ρ . u z z ∂
u y y ∂
Do đó, (3.51) ⇒
)
∂
)
∂
)
∂
u y .( ρπ .
. ur =
+
+
ρ.
= div(π.ρ. ur )
)(πdarg r
y ∂
.( ρπ . u x x ∂
.( ρπ . u z z ∂
Thế vào phương trình (3.50), ta được:
(3.52)
r ρ. F
)(πdarg r
ρ.
div(π.ρ. ur ).dw
∫∫∫
. ur .dw = - ∫∫∫
. ur .dw = - ∫∫∫
w
w
w
Áp dụng phép biến đổi GAUSS, ta có:
dAnu ...
r ρ. F
∫∫∫
w
div(π.ρ. ur ).dw = ∫∫ ∑
= ∫∫ ∑
→ Thế vào phương trình (3.52), ta được:
(3.53)
rrπρ . rrρ dAnuzg .... .
∫∫∫
w
. ur .dw = - ∫∫ ∑
- Công suất của lực mặt:
r ρ. F rrρ dAnuzg .... .
r T
= -p. nr - τ. tr
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
r Lực mặt T bao gồm áp lực thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào trong (ngược chiều vectơ chỉ phương nr của diện tích ấy; và lực ma sát nhớt τ ngược chiều dòng chảy. Chiều dòng chảy chọn vectơ đơn vị là tr ⇒
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Thế vào số hạng tính công suất lực mặt trong phương trình (3.49):
dAuT ..rr
... rr dAnup
(3.54)
dAtu ... rrτ
= - ∫∫ ∑
- ∫∫ ∑
∫∫ ∑
Thế (3.53), (3.54) vào (3.49) ⇒
Phương trình năng lượng lưu chất trọng lực, không nén được, chuyển động ổn định:
2
... rr dAnup
(3.55)
dAtu ... rrτ
e
+
u 2
⎡ ⎢ ⎣
⎤ rrρ⎥ . ... dAnu ⎦
- ∫∫ ∑
- ∫∫ ∑
= - ∫∫ ∑
∫∫ ∑
hay
2
p
.
e .(
(3.56)
. ρ+
rrρ dAnuzg .... .
[
u 2
= - ∫∫ ∑
∫∫ ∑
+ ∫∫ ∑
+ Ứng dụng cho đoạn dòng chảy:
Xét đoạn dòng chảy giới hạn bởi hai mặt cắt ướt đổi dần 1-1 và 2-2 và mặt bên Sb tạo bởi các đường dòng như hình vẽ (H.3.20). Diện tích mặt kiểm soát gồm ba diện tích A1, A2 và Sb:
H.3.21b
H.3.21a
a) Tính tích phân số hạng
p
.
rrρ dAnu ... rr r τρ dAut n . . ). . + rr ] dAnuzg ...
trong phương trình (3.56):
. ρ+
[
∫∫ ∑
p
.
.
.
.
. ρ+
. ρ+
p
.
=
+
+
[
] .
[
] .
[
rr ] dAnuzg ...
p 1
1
2
2
2
∫∫
∫∫
A 2
A 1
∫∫ ∑
p
.
.
+
. ρ+
[
] .
b
rrρ+ ] dAnuzg . ... rr dAnuzg . 1 1 1 rr dAnuzg . 2 2
b
b
∫∫
S
b
- Trên mặt Sb :
b nu rr . = 0
b
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
rr dAnuzg . b b
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
- Trên mặt A1 :
= -u1
1.nu rr
1
- Trên mặt A2 :
= u2
2 .nu rr
2
- Vì ta chọn các mặt cắt ướt A1 và A2 phẳng, dòng chảy đổi dần tại 2 mặt cắt này, nên theo
phương trình (3.41) → p + ρ.g.z = const ⇒
p
.
. ρ+
[
dAu .1
dAu .2
= -(p1 + ρ.g.z1). ∫∫
+ (p2 + ρ.g.z2). ∫∫
A 1
A 2
∫∫ ∑
- Từ công thức (3.5a) và phương trình liên tục (3.16a):
= Q →
dAu .1
dAu .2
= ∫∫
∫∫
A 2
A 1
p
.
(3.57)
. ρ+
=[-(p1 + ρ.g.z1) + (p2 + ρ.g.z2)].Q
[
rr ] dAnuzg ...
∫∫ ∑
2
rr ] dAnuzg ...
trong phương trình (3.56):
rrρ ... dAnu
u 2
b) Tính tích phân ∫∫ ∑
Áp dụng diện tích kiểm sóat tương tự như trên, bỏ qua số hạng liên quan đến diện tích xung quanh ống dòng Sb, ta có :
2
2 2
2 1
.
rrρ ... dAnu
rrρ . . . . dAnu 1 1
1
rrρ . . . dAnu 2 2
2
= ∫∫
+ ∫∫
u 2
u 2A
u 2A
1
2
∫∫ ∑
3 2
3 1
(3.58)
ρ dA . . 2
= - ∫∫
ρ + ∫∫ dA . . 1
u 2A
u 2A
1
2
3
u
. dA
ρ là động năng của khối lưu chất đi qua diện tích A. .
Số hạng: ∫∫
2
A
- Giả sử vận tốc phân bố đều trên A: u=V ở bất kỳ điểm nào trên A ⇒
3
3
2
u
.
ρ = dA . .
ρ = . A
ρ Q . .
∫∫
V 2
V 2
2
A
- Nếu xét đến sự phân bố vận tốc không đồng đều trên mặt cắt A :
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
3
3
u
ρ A . .
ρ = α . . dA
∫∫
V 2
2
A
Với :
3
u
(3.59)
. dA
α
=
3
∫∫
1 A
V
A
α được gọi là hệ số sửa chữa động năng. Hệ số này tồn tại là do sự phân bố vận tốc không đồng đều trên mặt cắt ướt. α luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 1 (khi vận tốc phân bố trên mặt cắt ướt là đều). Sự phân bố vận tốc càng không đồng đều thì giá trị α càng lớn.
Đối với dòng chảy trong ống :
# Chảy tầng ⇒ α = 2
# Chảy rối ⇒ α = 1,05 -:- 1,15
Tuy nhiên trong tính tóan thực tế, dòng chảy thường là rối, người ta thường lấy α=1
- Từ đó, số hạng động năng được viết như sau :
2
3 1
3 2
(3.60)
rrρ ... dAnu
].ρ.Q
. ρ = [-α1.
+ α2.
. dA 2
= - ∫∫
ρ + ∫∫ . . dA 1
u 2
2 1V 2
2 2V 2
u 2A
u 2A
1
1
∫∫ ∑
trong phương trình (3.56):
rr dAut .).
.( e
r τρ . n +
c) Tính tích phân ∫∫ ∑
Tích phân này diễn tả phần sự biến đổi năng lượng do ma sát bên trong giữa các phần tử lưu chất và do ma sát giữa các phần tử lưu chất với bên ngoài. Phần năng lượng này biến thành nhiệt năng mất đi không lấy lại được, ta gọi là mất năng do ma sát. Số hạng này rất khó xác định bằng lý thuyết. Thông thường nó được xác định bằng thực nghiệm, tùy theo từng trường hợp cụ thể.
Ta đặt:
rr dAut .).
.( e
(3.61)
r τρ . n +
= ρ.g.hf.Q
∫∫ ∑
Với hf là mất năng trung bình của một đơn vị trọng lượng lưu chất khi dòng chảy đi từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2. hf có thứ nguyên là [L], có đơn vị là m.
Thế ba tích phân (3.57), (3.60) và (3.61) vào (3.56), ta được:
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
[-(p1 + ρ.g.z1) + (p2 + ρ.g.z2)].Q + [-α1.
+ α2.
].ρ.Q = - ρ.g.hf.Q
2 2V 2
2 1V 2
Chia phương trình trên cho Q, sắp xếp lại, ta được phương trình năng lượng (Bernoulli) áp dụng cho đoạn dòng chảy ổn định, lưu chất thực, không nén được, dưới tác dụng của trọng lực, là:
(3.68a)
p1 + γ.z1 + α1. ρ
= + p2 +γ.z2 + α2. ρ
+ γ.hf
2 1V 2
2 2V 2
Chia (3.68a) cho ρ, ta được:
(3.68b)
=
+ g.z1 + α1.
+ g.z2 + α2.
+g.hf
2 1V 2
2 2V 2
2p ρ
1p ρ
Chia (3.68b) cho g, ta được:
=
(3.68c)
+ z1 + α1.
+ z2 + α2.
+hf
2p γ
1p γ
2 V 1 2 g
V 2
2 2 g
H.3.21c
- Ý nghĩa các số hạng :
z
: Vị năng của một đơn vị trọng lượng lưu chất
g.z
: Vị năng của một đơn vị khối lượng lưu chất
γ.z
: Vị năng của một đơn vị thể tích lưu chất
: Áp năng của một đơn vị trọng lượng lưu chất
p γ
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
: Áp năng của một đơn vị khối lượng lưu chất
p ρ
p
: Áp năng của một đơn vị thể tích lưu chất
2
V
: Động năng của một đơn vị trọng lượng lưu chất
2
g
2V
: Động năng của một đơn vị khối lượng lưu chất
2
2V
: Động năng của một đơn vị thể tích lưu chất
ρ
2
: Tổn thất năng lượng của một đơn vị trọng lượng lưu chất đi từ mặt cắt 1-1 đến 2-2
hf
: Tổn thất năng lượng của một đơn vị khối lượng lưu chất đi từ mặt cắt 1-1 đến 2-2
ρhf
: Tổn thất năng lượng của một đơn vị thể tích lưu chất đi từ mặt cắt 1-1 đến 2-2
ρ.g.hf = γ.hf
z +
: Thế năng (cột áp tĩnh) của một đơn vị trọng lượng lưu chất
p γ
2
V
z +
+ α
: Năng lượng toàn phần (cột áp động) của một đơn vị trọng lượng chất lưu.
2
g
p γ
d) Dòng chảy từ m/c 1-1 đến 2-2 qua máy thủy lực (Hình H.3.21):
- Máy bơm:
Dòng chảy nhận thêm năng lượng Hb từ máy bơm:
(3.70a)
γ.Hb + p1 + γ.z1 + α1.ρ.
= p2 + γ.z2 + α2.ρ.
+ γ.hf
2 2V 2
2 1V 2
=
(3.70b)
g.Hb +
+ g.z1 + α1.
+ g.z2 +α2.
+ g.hf
2p ρ
1p ρ
2 1V 2
2 2V 2
=
(3.70c)
Hb +
+ z1 + α1.
+ z2 + α2.
+ hf
1p γ
2p γ
2 V 1 2 g
V 2
2 2 g
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Công suất khối lưu chất nhận được từ máy bơm (công suất hữu ích, công suất hiệu dụng):
(3.71a)
Phữu ích = γ.Q.Hb
Công suất trên trục máy bơm :
(3.71b)
Ptrục =
γ bQH η
η: hiệu suất máy bơm
- Tua-bin : Dòng chảy mất đi một phần năng lượng, cung cấp năng lượng để quay trục tuabin,
rôto, để phát điện.
(3.72a)
-γ.Ht + p1 + γ.z1 + α1.ρ
= p2 + γ.z2 + α2.ρ
+ γ.hf
2 2V 2
2 1V 2
(3.72b)
=
-g.Ht +
+ g.z1 + α1.
+ g.z2 + α2.
+g.hf
2p ρ
1p ρ
2 1V 2
2 2V 2
=
(3.72c)
-Ht +
+ z1 + α1.
+ z2 + α2.
+ hf
2p γ
1p γ
2 V 1 2 g
V 2
2 2 g
Công suất mà khối lưu chất cung cấp cho Tua-bin là
(3.73a)
Pcấp = γ.Q.Ht
Công suất trên trục tua-bin :
(3.73b)
Ptrục = η.γ.Q.Ht
η : hiệu suất tua-bin
Ví dụ 1: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC VÀ NĂNG LƯỢNG
Cho dòng chảy trong kênh chữ nhật có bề rộng là b, qua cửa van thẳng như chỉ ra trong hình H.3.VD1. Cho độ sâu tại mặt cắt 1-1 là h1 và độ sâu tại mặt cắt 2-2 là h2. Tính lưu lượng Q chảy qua kênh ?
H.3.VD1
GIẢI: Phương trình liên tục cho đọan dòng chảy đi qua 2 mặt cắt ướt 1-1 và 2-2 cho:
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
V1.A1 = V2.A2
Với
A1 = b.h1 ; A2=b.h2
(VD.1.1)
Suy ra: V1.h1 = V2.h2 hay V1 = V2.
h 2 h 1
Phương trình năng lượng giữa 2 mặt cắt 1-1 và 2-2, bỏ qua tổn thất năng lượng và chọn chuẩn cao độ trùng với đáy kênh:
(VD1.2)
z1 +
+ α1.
= z2 +
+ α2.
1p γ
2p γ
2 V 1 2 g
V 2
2 2 g
Vì mặt cắt 1-1 phẳng, đường dòng song song và thẳng, dòng chảy đổi dần nên theo (3.41), ta có.
+z1 = h1 (Cao trình mặt thóang ở mặt cắt 1-1, vì tại mặt thóang áp suất dư bằng 0)
1p γ
+z2 = h2
2p γ
Thế vào các phương trình (VD1.2), lấy α1 = α2 = 1, ta được:
(VD1.3)
h1 +
= h2 +
2 V 1 2 g
V 2
2 2 g
Thế phương trình trong (VD.1.1) và trong phương trình (VD.1.3), và sắp xếp lại, ta được:
2
= h2 – h1 →
2 V 2 2 g
h 2 h 1
⎞ −⎟⎟ ⎠
⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎦
⎡ ⎛ ⎜⎜ ⎢ ⎢ ⎝ ⎣
)
(2
h 1
(VD.1.4)
V2 =
− 2
1
h 2 h 1
⎛ ⎜⎜ ⎝
hg 2 ⎞ −⎟⎟ ⎠
Và lưu lượng
Q = V2.b.h2
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
3.9.2 Phương trình động lượng :
Áp dụng phương trình động lượng (3.19) cho một thể tích kiểm soát W, nằm trong mặt cong kín ∑ , với X là tổng động lượng của hệ thống:
→ k = ρ. uv
dwu..rρ
r X = K
= ∫∫∫
W
r F
(
=
=
r . dwu ). ρ
∑
∫∫∫
r Kd dt
d dt
w
Áp dụng phương trình (3.10c) →
(3.74)
(
(
).
dA
r F =∑
r . ). dwu ρ
=
r . ). dwu ρ
+
r rr . .( . nuu ρ
∫∫∫
∫∫∫
d dt
∂ t ∂
w
w
∫∫ ∑
, do đó:
+ Trường hợp chuyển động ổn định, số hạng
r 0
=
rρ ( ) . dwu .
∫∫∫
∂ t ∂
W
(3.75)
).
r F
=
+
rrr . .( . dAnuu ρ
=
r F m
r F S
∑
∑
∑
∫∫ ∑
là tổng ngoại lực khối và ngoại lực mặt tác dụng lên khối lưu chất nằm trong
r F S
r F m
∑+
∑ thể tích W bao bởi mặt kín∑ .
H.3.22
- Xét một đoạn dòng chảy giới hạn bởi 2 m/c ướt 1-1 và 2-2 và mặt bên Sb tạo bởi các đường dòng như hình (3.22). Tương tự như phương trình năng lượng, phương trình động lượng được biến đổi như sau:
).
.(
).
(3.76)
rρ . u
rρ rr . . .( nuu 1 1
1
dA 1
rr . nu 2
2
2
dA 2
r ∑ F
= ∫∫
+ ∫∫
A 1
A 2
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
.
(3.77)
dAuu rρ . .
dAuu rρ 1. .
1
1
2
2
2
r ∑ F
= - ∫∫
+ ∫∫
A 1
A 2
là động lượng của khối lưu chất đi qua diện tích A.
dAuu ... rρ
Số hạng ∫∫
A
- Nếu ta giả sử trên toàn mặt cắt A, vận tốc bằng nhau và bằng V ⇒
.
→
r . dAVV . ρ
r = ρ.V. V
r .A = ρ.Q. V
∫∫
A
Nếu vận tốc phân bố không đều trên mặt cắt ướt, ta có:
(3.78)
dAuu ... rρ
r = αo.ρ.Q. V
∫∫
A
2
. dA
2
ρ∫∫ . u
=
(3.79)
. dA
αo =
2
∫∫
1 A
u V
A 2 . . AV ρ
A
αo được gọi là hệ số hiệu chỉnh động lượng.
# Chuyển động tầng trong ống: αo = 4/3
# Chuyển động rối trong ống : αo = 1,02 -:- 1,05
- Thế (3.78) vào (3.77), phương trình động lượng được viết lại như sau :
(3.80)
ovào)]
r F m
r F S
r =ρ.[∑ (αora Qora V
r ora) - ∑ (αovào Qovào V
r ∑ F
=∑
∑+
Với :
ora) : Tổng động lượng của các phần tử lưu chất đi ra khỏi thể tích kiểm
r ρ∑ (αoraQora V soát trong một đơn vị thời gian.
ovào): Tổng động lượng của các phần tử lưu chất đi vào thể tích kiểm
r ρ∑ (αovào Qovào V soát trong một đơn vị thời gian.
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Ví dụ 2: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG
H.3.VD2
Cho dòng chảy với lưu lượng Q1, vận tốc V1, đập vào tấm phẳng nghiêng với mặt phẳng nằm ngang một góc α (xem hình H.3.23). Tính lực nước tác dụng vuông góc với tấm phẳng ?
GIẢI:
Gọi R là phản lực của tấm phẳng, Rn là thành phần phản lực vuông góc với tấm phẳng. Áp dụng phương trình (3.80) lấy αo= 1.
(VD.2.1)
r R
−
r . VQ ra ra
r . 1. VQ ρ 1
= ∑ . ρ
lần lượt là lưu lượng và vận tốc ở mặt cắt ra.
song song với tấm phẳng
ở đây Qra và
r raV
r raV
Chiếu phương trình (B.1.1) lên phương vuông góc với tấm phẳng, ta được:
Rn = - ρ.Q1.V1.sin(α)
Theo nguyên tắc lực tác động và lực phản tác động, ta có lực của nước tác động sẽ là
(VD.2.2)
Fn = -Rn = ρ.Q1.V1.sin(α)
Ví dụ 3: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM PGS. TS. Lê Văn Dực
Cho dòng chảy trong kênh hình chữ nhật, lưu lượng qua một đơn vị chiều rộng là q, chảy qua cửa van phẳng thẳng đứng. Chọn 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 như hình vẻ. Cho h1, h2 và q.
H.3.VD3
GIẢI:
Chọn mặt kiểm tra bao bọc bời Mặt 1-1, (2-2), mặt cửa van; đáy kênh và mặt thóang.
Ở hai mặt 1-1 và 2-2, dòng chảy đổi dần diện tích ướt phẳng. Nên áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh. Do đó ta dùng công thức thủy tĩnh để tính lực P1 và P2 như sau:
;
(VD.3.1)
. b
. b
P1 = +
; P2 =
2 h 1γ 2
2 h 2γ 2
Với b=1m.
Áp dụng phương trình động lượng (3.80) và chiếu xuống phương nằm ngang:
(VD.3.2)
P1 - P2 - R - Fms = ρ.q.V2 - ρ.q.V1
Bò qua lực ma sát, thế giá trị từ phương trình (B.2.1) vào (B.2.2), sắp xếp lại, ta được:
R =
. q ρ
−
−
−
)
( 2 h 1
2 h 2
γ 2
q h 2
q h 1
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
Và lực của nước tác dụng vào tấm phẳng cùng giá trị và ngược chiều với phản lực R.
F =
(VD.3.3)
. q ρ
−
−
−
)
( 2 h 1
2 h 2
γ 2
q h 2
q h 1
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
www.datechengvn.com Copyright @datechengvn – 2010-2015
