Bài giảng Giải tích 1 - TS. Bùi Xuân Diệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC

TS. BÙI XUÂN DIỆU

Bài Giảng

GIẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ)

HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và Lời giải

Hà Nội- 2019 (bản cập nhật Ngày 13 tháng 7 năm 2019)

Tập Bài giảng này vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứa những lỗi đánh máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi về địa chỉ “dieu.buixuan@hust.edu.vn”.

Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos.

Use at your own risk!

Hà Nội, Ngày 13 tháng 7 năm 2019.

MỤC LỤC

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Mục lục .

Chương 1 . Hàm số một biến số (13LT+13BT). . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 2 3

6 Sơ lược về các yếu tố Lôgic; các tập số: N, Z, Q, R . . . . . . . . . . . . . . . . Trị tuyệt đối và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Hàm số đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hàm số bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Hàm số tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 3.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dãy số và giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Các phép toán trên giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Giới hạn của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Giới hạn vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 5.5 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Mối liên hệ giữa giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số . . . . . 5.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vô cùng lớn, vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 6 6 6 7 7 8 8 9 13 19 19 20 22 27 27 27 28 28 28 29 29 30

2 MỤC LỤC

6.1 Vô cùng bé (VCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.2 Vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.2 Các phép toán số học đối với hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3 Sự liên tục của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.4 Sự liên tục của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.5 Các định lý về hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.6 Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . 39

7.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.2 Các phép toán trên đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.3 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.4 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.5 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.6 Vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8.7 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.8 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8.10 Đọc thêm: Về khái niệm vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.1 Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.2 Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.3 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

9.4 Về một số dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.5 Thay tương đương khi có hiệu hai VCB? . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.6 Hiệu hai VCB tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9.7 Ba phương pháp (mới) để tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.8 Về các VCL tiêu biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.9 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

10 Các lược đồ khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số . . . . . . . . . . . 85

10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . 86

10.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

MỤC LỤC 3

Chương 2 . Phép tính tích phân một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

93 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Nguyên hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 95 Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.3 1.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tích phân các biểu thức vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.5 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.1 Các tiêu chuẩn khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.2 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.3 . . . . . . . . . . . . 111 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) 2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.5 2.6 Hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.1 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn . . . . . . . . . . . . . 126 3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . . . . . 129 3.4 3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Các ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Tính diện tích hình phằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.1 Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3 Tính diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.4

Chương 3 . Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 1.1 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 1.2 1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 2.1 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 2.2 Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.4 Đạo hàm theo hướng - Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.5 Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.6

4 MỤC LỤC

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2.7 Cực trị của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.1 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất 3.3

CHƯƠNG1

HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ (13LT+13BT)

§1. SƠ LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ LÔGIC; CÁC TẬP SỐ:

N, Z, Q, R

1. Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần này Đại số đã dạy) mà chỉ nhắc lại những phép suy luận cơ bản thông qua bài giảng các nội dung khác nếu thấy cần thiết.

2. Giới thiệu các tập số; cần nói rõ tập Q tuy đã rộng hơn Z nhưng vẫn chưa lấp đầy trục số còn tập R đã lấp đầy trục số và chứa tất cả các giới hạn của các dãy số hội tụ, ta có bao hàm thức

⊂

N Z Q R.

§2. TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT

Nhắc lại định nghĩa và nêu các tính chất sau

= 0

⇐⇒

| ≥

| ≤ |

; x x x + y x y 0, x = 0, • |

−

⇐⇒

≥

≤ −

| ≥ ||

| − |

| ≥

x y x y x A x A hoặc x A , • |

⇐⇒ −

≤

| ≤

x B B x B. • |

6 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

§3. HÀM SỐ

3.1 Định nghĩa hàm số

∈

Định nghĩa 1.1. Một hàm số đi từ tập X vào tập Y làmột quy tắc cho tương ứngmỗi phầntửx X vớimộtvàchỉmộtphầntửy Y.

∈

Một hàm số có thể được cho dưới dạng biểu thức giải tích y = f (x), chẳng hạn như hàm số y = x2. Khi đó, cần phải xác định rõ miền xác định (hay tập xác định), tập hợp tất cả các phần tử x X sao cho biểu thức f (x) được xác định, của hàm số.

∈

Tập giá trị của hàm số: là tập tất cả các phần tử y Y sao cho tồn tại x X, f (x) = y.

Ví dụ 3.1 (Giữa kì, K61). Tìmtậpxácđịnhvàtậpgiátrịcủahàmsố

a) y = arcsin(cos 2x). d) y = arccos(2 sin x).

b) y = arcsin(2 cos x). e) y = sin(π cos 3x).

c) y = arccos(sin 2x). f) y = cos(π sin 3x).

3.2 Hàm số đơn điệu

Một hàm số f (x) được gọi là đơn điệu tăng trên khoảng (a, b) nếu: •

∀

(a, b), x1 < x2 ⇒

f (x1) < f (x2). x1, x2 ∈

Một hàm số f (x) được gọi là đơn điệu giảm trên khoảng (a, b) nếu •

∀

(a, b), x1 < x2 ⇒

f (x1) > f (x2). x1, x2 ∈

< 0

1 x2

∈

∀

\ {

}

TXĐ = R x nhưngnếunói f (x) đơnđiệugiảmtrênR 0

−

\ { − 1 < 1 nhưng đếnnghịchlýlà đơnđiệugiảmtrênmỗikhoảng(

Chú ý 1.1. TrongBàigiảngnàychúngtachỉquantâmđếntínhđơn điệu củahàmsố trênmỗikhoảngmàhàmsốđóxácđịnh.Chẳnghạnnhư,hàmsố f (x) = 1 x có f ′(x) = thìsẽdẫn 0 1) < f (1) = 1.Thayvìđó,tanóihàmsố f (x)

− −

1 = f ( ∞, 0) và(0, +∞).

3.3 Hàm số bị chặn

∈

≤

∈

R sao cho f (x) M với • TXĐ. Một hàm số f (x) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M mọi x

3. Hàm số 7

∈

≥

∈

R sao cho f (x) M với • TXĐ. Một hàm số f (x) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m mọi x

Một hàm số f (x) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. •

3.4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ

∈

⇒ − x) = f (x).

−

TXĐ TXĐ x x Một hàm số f (x) được gọi là chẵn nếu • f (  

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. 

⇒ −

∈

−

TXĐ TXĐ x x Một hàm số f (x) được gọi là lẻ nếu • f ( x) = f (x).  

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. 

Ví dụ 3.2. Chứngminhrằngbấtkìhàmsố f (x) nàoxácđịnhtrongmộtkhoảngđốixứng a, a) cũngđềubiểudiễnđượcduynhấtdướidạngtổngcủamộthàmsốchẵnvàmột ( − hàmsốlẻ.

[ f (x) + f (

[Gợi ý] Với mỗi f (x) bất kì ta luôn có

[ f (x)

−

g(x)

− h(x)

x)] f ( x)] f (x) = 1 2 1 2

{z {z } } | |

trong đó g(x) là một hàm số chẵn, còn h(x) là một hàm số lẻ. Các bạn độc giả được khuyến khích tự chứng minh tính duy nhất của phân tích này.

3.5 Hàm số tuần hoàn

Định nghĩa 1.2. Mộthàmsố f (x) đượcgọilàtuầnhoànnếunhưtồntạisốthực T > 0 saocho

∀

∈

f (x) = f (x + T) x TXĐ.

Ví dụ như các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x đã học ở phổ thông là các hàm số tuần hoàn. Trong phạm vi Bài giảng này, chúng ta quan tâm chủ yếu là xem có số T > 0 nào đó thỏa mãn f (x + T) = f (x) mà không đi sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > 0 bé nhất).

Các câu hỏi sau đây tuy phát biểu đơn giản (và tưởng chừng như dễ trả lời) nhưng câu

trả lời sẽ rất thú vị:

8 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

Tổng (hiệu) của hai hàm số tuần hoàn có tuần hoàn không? •

Tích của hai hàm số tuần hoàn có tuần hoàn không? •

Thương của hai hàm số tuần hoàn có tuần hoàn không? •

Đạo hàm của hàm số tuần hoàn (nếu có) có tuần hoàn không? •

• Nếu hàm số F(x) có đạo hàm trên R và F′(x) là một hàm số tuần hoàn thì F(x) có tuần hoàn không? Nói cách khác, nếu f (x) là một hàm số tuần hoàn thì F(x) = f (t)dt

có tuần hoàn không?

3.6 Hàm hợp

◦

g, là hàm số được định nghĩa Cho hai hàm số f , g. Hàm hợp của f và g, kí hiệu là f

( f

bởi

◦

g)(x) = f [g(x)].

3.7 Hàm ngược

→

−

Y đượcgọilàánhxạ1 1 (haycòngọilàđơnánh)

= f (x2).

Định nghĩa 1.3. Mộthàmsố f : X nếu:

= x2 ⇒

1,cómiềnxácđịnhB vàmiềngiátrị A,đượcđịnhnghĩabởi

f (x1) x1 6 6

1(y) = x

Định nghĩa 1.4. Cho f làmộtđơnánhvớimiềnxácđịnhA vàmiềngiátrịB.Khiđóhàm ngược f −

⇔

f (x) = y. f −

Miền xác định của f = Miền giá trị của f − Miền giá trị của f = Miền xác định của f −

Chú ý 1.2. Đồthịcủahàmngượcđốixứngvớiđồthịcủahàmy = f (x) quađườngphân giáccủagócphầntưthứnhất.

Để tìm hàm số ngược của hàm số y = f (x) ta làm như sau:

Viết y = f (x), •

1(x) = g(x).

Từ phương trình này giải x theo y, giả sử được x = g(y), •

Đổi vai trò của x và y để được hàm số ngược f − •

3. Hàm số 9

1 của f trênkhoảngđó.

Ví dụ, tìm hàm ngược của hàm số y = 2x + 3, ta rút x theo y thì được x = y 3 2 , sau đó − đổi vai trò của x và y để được hàm ngược là y = x 3 2 . Tuy nhiên, cũng có nhiều khi hàm − số không phải là đơn ánh trên toàn trục số R, khi đó chúng ta phải xét hàm số trên các khoảng mà hàm số đó là đơn ánh và tìm hàm ngược trên các khoảng tương ứng.

Định lý 1.1. Nếuhàmsố f (x) đơnđiệutăng(hoặcgiảm)trênkhoảng (a, b) thìtồntại hàmsốngược f −

3.8 Hàm số sơ cấp

Năm loại hàm số sơ cấp cơ bản

1. Hàm lũy thừa y = xα. TXĐ của hàm số này phụ thuộc vào α.

∈

2 = 1

α xác định với

R, •

}

∈

\ { p , p nguyên dương chẵn, ví dụ y = x1/2 = √x, thì hàm số xác định trên

Nếu α nguyên dương, ví dụ hàm y = x2, hàm số xác định với mọi x x2 , hàm số y = yα = 1 x− • R , 0

≥

p , nguyên dương lẻ, ví dụ y = x1/3 = 3√x, thì hàm số xác định trên R,

•

• Nếu α nguyên âm, ví dụ hàm y = x− mọi x Nếu α = 1 R 0, Nếu α = 1 Nếu α là số vô tỉ thì quy ước chỉ xét hàm số tại x > 0. •

= 1) có tập xác định là R và tập giá trị là R>0. Hàm này

2. Hàm số mũ y = ax (0 < a 6 đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu 0 < a < 1.

= 1), ngược với hàm số mũ, hàm số này có TXĐ là R>0 và tập giá trị là R. Hàm số này đồng biến nếu a > 1 và nghịch biến nếu 0 < a < 1. Nó là hàm số ngược của hàm số mũ, do đó đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y = ax qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Logarit cơ số 10 của x được kí hiệu là lg x. Logarit cơ số e của x được kí hiệu là ln x.

3. Làm số logarit y = loga(x) (0 < a 6

4. Các hàm lượng giác:

∀

∈

x Hàm số y = sin x xác định R, là hàm số lẻ, tuần hoàn chu kì 2π. • y

π 2

y = sin x

−

π 2

O x

10 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

∀

∈

x Hàm số y = cos x xác định R, là hàm số chẵn, tuần hoàn chu kì 2π. •

≤

x π y = cos x, 0

x O

(2k + 1) π

2 , k

∀

∈

\ {

∈

}

R Z , là hàm số lẻ, tuần hoàn x • Hàm số y = tan x xác định chu kì π. y

π 2

−

O x

∀

∈

\ {

∈

}

R Z , là hàm số lẻ, tuần hoàn chu kì x kπ, k • Hàm số y = cot x xác định π.

π 2

−

x O π

3. Hàm số 11

Ví dụ 3.3 (Ngụy biện toán học). Chứngminhrằng0 = 2.

Chứng minh. Ta có

−

⇒

−

⇒

−

cos2 x = 1 sin2 x cos x = 1 sin2 x 1 + cos x = 1 + 1 sin2 x.

−

p 1 p sin2 x ta được 0 = 2. Thay x = π vào đẳng thức 1 + cos x = 1 +

5. Các hàm lượng giác ngược:

π 2 là một đơn ánh.

π 2 ≤

≤

−

x Muốn tìm hàm ngược của một hàm số, một yêu cầu đặt ra là hàm số đó phải là đơn ánh. Tuy nhiên, các hàm lượng giác đều là các hàm số tuần hoàn (do đó, không phải là đơn ánh). Chẳng hạn như, hàm số y = sin x không phải là đơn ánh trên R. Để vượt qua khó khăn này, người ta hạn chế các hàm số lượng giác trên các khoảng mà nó là đơn ánh. Chẳng hạn như, hàm số f (x) = sin x,

π 2

π 2 ≤

≤

−

π 2

x y = sin x,

−

π 2

O x

Hàm số ngược của hàm số y = sin x, kí hiệu là arcsin x, xác định như sau: •

→

7→

⇔

, arcsin : [0, 1] π 2 i x π − 2 h y = arcsin x x = sin y

π 2 , π 2

−

và là một

Hàm số y = arcsin x xác định trên [ hàm số đơn điệu tăng. (cid:2) (cid:3) 1, 1], nhận giá trị trên π 2

x sin x

π 2

−

x arcsin x

12 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

• Hàm số ngược của hàm số y = cos x, kí hiệu là y = arccos x, được xác định như sau:

[0, π]

→

arccos : [0, 1]

⇔

x y = arccos x x = cos y

−

7→ Hàm số y = arccos x xác định trên [ số đơn điệu giảm.

π 2

1, 1], nhận giá trị trên [0, π] và là một hàm

arccos x x

π 2

π 0 x cos x

− Hàm số ngược của hàm số y = tan x, kí hiệu là y = arctan x, được xác định như sau:

•

−

→

−

7→

⇔

arctan : ( ∞, +∞) , π 2 π 2 (cid:17) x (cid:16) y = arctan x x = tan y

π 2 , π 2

−

và là một hàm

π 2

Hàm số y = arctan x xác định trên R, nhận giá trị trên số đơn điệu tăng. (cid:0) (cid:1)

tan x

arctan x

π 2

−

• Hàm số ngược của hàm số y = cot x, kí hiệu là y = arccot x, được xác định như sau:

(0, π)

−

→

arccot : ( ∞, +∞)

7→

⇔

x y = arccot x x = cot y

3. Hàm số 13

π 2

Hàm số y = arccotx xác định trên R, nhận giá trị trên (0, π) và là một hàm số đơn điệu giảm.

x cot x

arccot x x

π 2

−

π 0

Hàm số sơ cấp

Người ta gọi hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép lập hàm số đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. Các hàm số sơ cấp được chia thành hai loại.

•

Hàm số đại số: là những hàm số mà khi tính giá trị của nó ta chỉ phải làm một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Ví dụ: các đa thức, phân thức hữu tỉ, . . .

• Hàm số siêu việt: là những hàm số sơ cấp nhưng không phải là hàm số đại số, như y = ln x, y = sin x, . . .

3.9 Bài tập

Tìm TXĐ, MGT của hàm số

Bài tập 1.1. Tìm TXĐ của hàm số

√x sin πx

a) y = 4 lg(tan x), , c) y =

p , b) y = arcsin d) y = arccos(2 sin x). 2x 1 + x

[Đáp số]

{

≤

}

∈

{

}

Z Z a) , c) , x π/4 + kπ x < π/2 + kπ, k 0, x

≥ 6∈ π 6 + kπ

π 6 + kπ, k

≤

}

∈

}

≤

{−

Z . b) , d) x x 1/3 1

Bài tập 1.2. Tìm miền giá trị của hàm số

14 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

−

a) y = lg(1 2 cos x) b) y = arcsin lg x 10 (cid:16) (cid:17) [Đáp số]

≤

}

{−

}

≤

b) a) y ∞ < y π/2 π/2 lg 3

Tìm hàm ngược.

Bài tập 1.3. Tìm hàm ngược của hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược)

x).

(ex + e−

a) y = 2x + 3, , c) y = b) y = x 1 − 1 + x 1 2

[Đáp số]

−

. a) y = x 1 2 3 2

x) không xác dịnh dấu, nên hàm số đã cho có thể không phải là

(ex

. b) y = y = x 1 − 1 + x

−

c) Ta có y′ = e−

1 2 một đơn ánh. Trước hết,

(ex + e−

−

⇔

−

⇔

y2 y2 y = ex = y 1 x = ln(y 1). 1 2 q q

Ta phải xét trên 2 miền:

(0, +∞)

→

Trên miền x > 0, ta có song ánh: •

(ex + e−

(1, +∞) 1 2

7→

y = x

←

−

y2 y 1) ln(y +

−

1), x > 1. √x2 1), x > 1. Vậy hàm ngược trên miền x > 0 là y = ln(x + √x2 Trên miền x < 0, tương tự ta có hàm ngược là y = ln(x •

Ví dụ 3.4 (Giữa kì, K61). Tìmhàmngượccủahàmsốsau

2x+1.

1 1.

− −

a) y = x+1 b) y = x 2x

Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Bài tập 1.4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số

15 3. Hàm số

x(a > 0)

−

x2) b) f (x) = ln(x + √1 c) f (x) = sin x + cos x a) f (x) = ax + a−

[Đáp số]

a) Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b) Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

c) Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

Ví dụ 3.5 (Giữa kì, K61). Xéttínhchẵnlẻcủahàmsố

a) y = tan(sin x). b) y = sin(tan x).

Ví dụ 3.6. Chohàmsố f (x) xácđịnhvàcóđạohàmtrênR.Chứngminhrằng

a) nếu f (x) làmộthàmsốlẻthì f ′(x) làmộthàmsốchẵn.

b) nếu f (x) làmộthàmsốchẵnthì f ′(x) làmộthàmsốlẻ.

Xét tính tuần hoàn của hàm số

Bài tập 1.5. Xét tính tuần hoàn và chu kì của hàm số sau (nếu có)

a) f (x) = A cos λx + B sin λx, c) f (x) = sin2 x,

b) f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x, d) f (x) = sin(x2). 1 2 1 3

Chứng minh. a) Giả sử T > 0 là một chu kì của hàm số đã cho. Khi đó

∀

∈

R f (x + T) = f (x) x

∀

⇔

R x A cos λ(x + T) + B sin λ(x + T) = A cos λx + B sin λx

∈ x

−

∈

⇔

R sin λ(x + T)] = 0

∀ R

− [A sin(λx +

) + B cos(λx +

)] = 0

∀

∈

⇔

x A[cos λx λT 2 sin − 2 cos λ(x + T)] + B[sin λx λT 2 λT 2

= 0

⇔

sin

⇔

T = . λT 2 2kπ λ

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2π λ

b) Theo câu a) thì hàm số sin x tuần hoàn với chu kì 2π, hàm số sin 2x tuần hoàn với

. Vậy f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x chu kì π, hàm số sin 3x tuần hoàn với chu kì 1 2 1 3 2π 3 tuần hoàn với chu kì T = 2π

16 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

−

1 tuần hoàn với chu kì T = π c) f (x) = sin2 x = cos 2x 2

d) Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T > 0.Khi đó

∀

sin(x + T)2 = sin(x2) x.

∈

(a) Cho x = 0 T = √kπ, k Z, k > 0.

∈

k là số chính phương. Giả sử k = l2, l Z, l > 0.

⇒ (b) Cho x = √π ⇒ π 2

ta suy ra điều mâu thuẫn. (c) Cho x = r

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.

Nhận xét: Muốn chứng minh một hàm số không tuần hoàn, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phản chứng như đã trình bày ở trên. Giả sử hàm số đó tuần hoàn với chu kì p > 0 sau đó cho một vài giá trị đặc biệt của x để suy ra điều mâu thuẫn. Ngoài phương pháp phản chứng thì chúng ta cũng có thể sử dụng một số tính chất của hàm số tuần hoàn để chứng minh. Chẳng hạn như:

một hàm số tuần hoàn và liên tục thì bị chặn (tại sao?), •

f (x) (tại • một hàm số tuần hoàn và không phải là hàm hằng thì không tồn tại lim ∞ → sao?),

đạo hàm của một hàm số tuần hoàn (nếu có) thì cũng tuần hoàn (tại sao?). •

Bài tập 1.6. Chứng minh các hàm số sau không tuần hoàn

(a) y = cos x + cos x√2, (d) y = cos x2,

(b) y = sin x + sin x√2, (e) y = sin √x,

Chứng minh. a) Giả sử hàm số y = cos x + cos x√2 tuần hoàn với chu kì T > 0. Khi đó,

∀

∈ 1 nên

x R. cos x + cos x√2 = cos(x + T) + cos(x + T)√2

≤

Cho x = 0 ta được 2 = cos T + cos T√2. Vì cos T 1, cos T√2

= k

∈ = l

⇔  

∈

N 6 2 = cos T + cos T√2 T = k2π, 0 T√2 = l2π, 0 N. cos T = 1, cos T√2 = 1. ⇒   6

k ∈

 

Khi đó√2 = l Q, điều này là vô lý vì√2 là một số vô tỉ. Như vậy, chúng ta đã trả lời một câu hỏi trong Mục 3.5, rằng tổng của hai hàm số tuần hoàn có thể không phải là

3. Hàm số 17

một hàm số tuần hoàn. Hàm số f (x) = cos x + cos x√2 là một hàm số hầu tuần hoàn (almost periodic). Tương tự như vậy, tích của hai hàm số tuần hoàn cũng không phải là một hàm số tuần hoàn, vì

√2 − 2

1 x cos x = cos x + cos x√2. 2 cos 1 +√2 2

Bài tập 1.7. [Giữa kì, K61] Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định trên R và tuần hoàn với chu kì lần lượt là T1 > 0, T2 > 0. Biết tỉ số T1 là một số hữu tỉ. Chứng minh rằng T2 f (x) + g(x) và f (x)g(x) cũng là các hàm số tuần hoàn.

Các dạng toán khác

Bài tập 1.8. Tìm f (x) biết

= x2 +

= x2.

, a) f x + b) f 1 x 1 x2 x 1 + x (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19)

[Đáp số]

= 1.

−

| ≥

∀

− 5. Tìm f (x).

x a) f (x) = x2 x 2 với 2. x b) f (x) = x 1 6 (cid:19) (cid:18)

−

Bài tập 1.9. Cho f (x) = ax + b, f (0) = 2, f (3) =

x [Đáp số] f (x) = 2. 7 3

− Bài tập 1.10. Cho f (x) = ax2 + bx + c, f (

−

2) = 0, f (0) = 1, f (1) = 5. Tìm f (x).

[Đáp số] f (x) = x2 + x + 1. 7 6 17 6

x), a > 0. Chứng minh rằng :

(ax + a−

Bài tập 1.11. Cho f (x) = 1 2

−

f (x + y) + f (x y) = 2 f (x) f (y).

Bài tập 1.12. Giả sử f (x) + f (y) = f (z). Xác định z nếu:

= 0,

a) f (x) = ax, a , c) f (x) = 6 1 x

−

. d) f (x) = lg b) f (x) = arctan x, 1 + x x 1

[Đáp số]

18 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

a) z = x + y, , c) z = xy x + y

−

, . d) z = b) z = x + y xy 1 x + y 1 + xy

4. Dãy số 19

§4. DÃY SỐ

4.1 Dãy số và giới hạn của dãy số

∈

→

7→

{

Định nghĩa 1.5. MộtdãysốlàmộthàmsốN R, n an.Kíhiệu an}n

Một dãy số được gọi là:

n. • n, đơn điệu giảm nếu an > an+1∀

∀

M n, bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao • n. m đơn điệu tăng nếu an < an+1∀ bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho an ≤ cho an ≥

Định nghĩa 1.6. Mộtdãysố đượcgọilàcógiớihạnlà L vàviết

→

{ lim ∞ n →

L khin ∞, an} an = L hayan →

nếu

• (nóimộtcáchnômna)cóthểlàmchocácsốhạngan gầnL vớimộtgiátrịtùyýbằng cáchchọnn đủlớn.

(nóimộtcáchchínhxác)vớimọiǫ > 0,tồntạisốtựnhiên N saocho •

< ǫ.

| an = L nghĩa là với mọi ǫ > 0 thì từ một lúc nào đó toàn bộ số hạng

→

nếun > N thì L an −

N sẽ chui vào trong khoảng (L

−

{

≥

của dãy ǫ, L + ǫ). Hình dung rằng lim +∞ an}n

∀

≥

N n an,

−

L ǫ L + ǫ

Hình 1.6

{

Một dãy số an = L hữu hạn được gọi là hội tụ. Ngược lại, nó được gọi là phân

→

có lim +∞ n → an = ∞ hoặc là không tồn tại). an} kì (nghĩa là lim +∞

an = +∞ nếuvớimọisốthựcdươngM, Định nghĩa 1.7 (Giới hạn vô cùng). Tanói lim ∞ → tồntạisốtựnhiên N saocho

nếun > N thìan > M.

−

∞ an = Hãyphátbiểuchotrườnghợp lim ∞ →

20 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

Định lý 1.2 (Các tính chất của giới hạn của dãy số).

Giớihạncủamộtdãysố,nếutồntại,làduynhất. •

Mọidãysốhộitụđềubịchặn. •

+∞

→

(an + bn) = A + B,

an = A, bn = b,ởđóa, b Định lý 1.3 (Các phép toán trên giới hạn). Giảsử lim +∞ lim → làcácsốthựchữuhạn.Khiđó:

→

Tổng: lim +∞ •

−

→

(an − (an.bn) = AB,

B, bn) = A Hiệu: lim +∞ •

= A

= 0.

B nếuB

an bn

→ Thương: lim +∞

Tích: lim +∞ •

→

• 6

Chú ý 1.3. Cácphéptoántrêngiớihạnsaukhôngthựchiệnđược,chúngcònđượcgọilà cácdạngvôđịnh:

−

∞ ∞, 0 ∞, , . ∞ ∞ 0 0

4.2 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn kẹp). Giảsử

≥

∈ cn = L.

N hoặcvớimọin K nàođó, cn vớimọin

→ bn = L.

→ Khiđó, lim +∞

→

i) an ≤ ii) lim +∞ n bn ≤ an = lim +∞ n

Định lý 1.5 (Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn). Mọidãysốđơnđiệutăng(đơnđiệugiảm) vàbịchặntrên(tươngứng,bịchặndưới)đềuhộitụ.

{

làmộtdãysốtăngvàbịchặn. .Chứngminhrằng 1 + Ví dụ 4.1. Xétun = 1 n un} (cid:19) (cid:18)

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

+ . . . +

(n + 1) n+1

≥

n số hạng

. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 n 1 n 1 n (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:19) s(cid:18) (cid:18)

| {z } 20

n+1

4. Dãy số 21

⇒

≥

1 + 1 + . 1 n 1 n + 1 (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19) Hơn nữa ta có

n ∑ k=0

1 + un = Ck n. 1 n 1 nk (cid:19)

−

⇒

≥ 1 . nk

−

< 3.

(cid:18) k! = 1.2 . . . k n.(n 2k k − ∀ k + 1) 2 < 1 Ck n. k! ≤ 1 nk 1 2k

≥ 1) . . . (n k! 1 2

⇒

−

un < 1 + 1 + 1 22 + . . . + 1 2k

→

làmộtsốvôtỉ,đượckíhiệulàe.Nócógiátrịxấpxỉ 1 + Chú ý 1.4. Giớihạn lim +∞ 1 n (cid:19) (cid:18) 2.71.

Ví dụ 4.2 (Giữa kì, 20173). Xétsựhộitụvàtìmgiớihạn(nếucó)củadãysố

≥

{

, n 1. xn + : x1 > 0, xn+1 = 1 2 xn} (cid:18) 1 xn (cid:19)

[Lời giải] Từ x1 > 0 ta có xn > 0 với mọi n.

1 +

−

≥

1 (cid:19)

−

1. xn = xn 1 2 1 xn (cid:18)

{

+∞

là một dãy số giảm và bị chặn xn với mọi n. Như vậy, xn} Do đó, xn+1 = 1 2 dưới nên tồn tại xn + 1 xn ≤ xn = a. (cid:16) (cid:17) lim n →

⇒

a + a = a = 1. xn + xn+1 = 1 a 1 2 1 2 (cid:18) (cid:18) (cid:19) 1 xn (cid:19)

→

xn = 1. Vậy lim +∞ n

đượcgọilàdãysốCauchynếuvớimọi ǫ > 0,tồntạisốtự

an} { < ǫ vớimọim, n > N. an −

{

là hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy số an} Định nghĩa 1.8. Dãysố nhiên N saocho am| Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy số Cauchy.

{

với Ví dụ 4.3. Chứngminhrằngdãysố

· · ·

an} an = 1 + 1 n 1 2 1 3

làmộtdãysốphânkỳ.

22 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

→

xn. Đổi biến số

Ví dụ 4.4 (Ngụy biện toán học). Cho x là một số thực và L = lim +∞ n = m + 1 tacó

+∞

→

x.xm = x. xm = xL. xm+1 = lim +∞ lim →

= 1 thì L = 0.Nóicáchkhác,

⇒

−

Vậy L = xL L(x L = lim m+1 → 1) = 0.Nếux 6

= 1.

+∞

∀

x xn = 0 6 lim →

Điềunàydẫnđến,chẳnghạn,

+∞

2n = 0 thậtvôlý!. lim →

Giảithíchtạisaolạidẫnđếnmâuthuẫntrên?

4.3 Bài tập

Về bài tập tìm giới hạn của dãy số, về cơ bản cho đến thời điểm hiện tại chúng ta chưa có nhiều công cụ để xử lý. Chủ yếu vẫn là các phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định ở phổ thông, sử dụng tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn, tiêu chuẩn kẹp và tiêu chuẩn Cauchy. Sau này, khi học đến giới hạn của hàm số, các công cụ sẽ phong phú hơn. Khi đó các bài toán về giới hạn của dãy số có thể đưa về giới hạn của hàm số và tính toán dễ dàng.

Bài tập 1.13. Tìm giới hạn của các dãy số sau:

√n2

−

− n

sin2 n cos3 n n3, n, a) xn = n . e) xn =

−

sin d) xn = n(n + a) n, b) xn = c) xn = n + 3√1 − nπ n , 2 2

p [Đáp số]

d) phân kì e) 0 c) 0 b) a) a 2 1 2

1 +

−

, x0 = 1. Bài tập 1.14. Xét dãy số xn = xn 1 xn

a) Chứng minh rằng dãy không có giới hạn hữu hạn.

xn} { xn = +∞. b) Chứng minh rằng lim ∞ →

+ . . . +

{

.Chứng minh rằng tăng và bị chặn. Bài tập 1.15. Cho sn = 1 + 1 1! 1 n! sn}

+∞

Chú ý : sn = e. lim →

4. Dãy số 23

< 1,

< 1.

→

a b Bài tập 1.16. Tính lim +∞ 1 + a + . . . + an 1 + b + . . . + bn ,

Chứng minh.

+∞

− 1

→

−

− −

−

1 1 . an+1 a b a 1 + a + . . . + an 1 + b + . . . + bn = lim 1 1 b bn+1 = − 1 lim →

→

2 + 2 + . . . + √2 (n dấu căn). Bài tập 1.17. Tính lim +∞ q p

2 +

≤

{

n+1 = 2 + un. Trước hết chứng minh un} n+1 = 2 + un, cho

q là một dãy số tăng và bị chặn, 0 2. Theo tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn, 2 + . . . + √2 ta có u2 un ≤ un = a, 0 < a < 2 thì từ phương trình u2

→

∞ ta có Chứng minh. Đặt un = un} p { là một dãy số hội tụ. Giả sử lim ∞ → n

a2 = a + 2

→

√n2

2 + 2 + . . . + √2 = 2 Vậy a = 2 hay lim +∞ q

−

→

p (n 1) sin n. Bài tập 1.18. Tính lim +∞

√n2

= 0 (theo tiêu chuẩn kẹp)

+∞

−

→

−

[cos(ln n)

[Gợi ý] 1) sin n = lim +∞ sin n n + √n2 1 lim →

−

→

cos(ln(n + 1))]. Bài tập 1.19. Tính lim +∞

Chứng minh. Ta có

−

ln n . sin cos(ln n) cos(ln(n + 1)) = 2 sin ln(n + 1) 2 (cid:18) (cid:19)

−

2 sin sin ln n + ln(n + 1) 2 (cid:18) ln n(n + 1) 2 (cid:19) ln n n+1 2

nên

−

| ≤

≤ |

cos(ln n) cos(ln(n + 1)) 2 0 sin ln n n+1 2

= 0 nên theo nguyên lý giới hạn kẹp

[cos(ln n)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) sin ln n n+1 2 Mặt khác lim ∞ →

+∞

−

cos(ln(n + 1))] = 0 lim →

→

Bài tập 1.20. Chứng minh rằng lim +∞ n 2n = 0.

Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT) 24

[Gợi ý]

< 2 n −

. 2n = (1 + 1)n > n(n 0 < n 2n 1 1) − 2 ⇒

= 0.

Dùng nguyên lý kẹp ta có điều phải chứng minh.

→

Bài tập 1.21. Chứng minh rằng lim +∞ 2n n!

[Gợi ý] Ta có

< 2.

≥

n . . . . . 2. 2 n 0 < 2n n! 2 1 2 2 2 3 2 n ∀

Bài tập 1.22. Tính

+∞

· · ·

b) a) 1 2 n 2n 1 3 n 3n 1 22 + 1 32 + lim → lim → (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18)

[Gợi ý]

+∞

n√n = 1,

n√a = 1 với mọi a > 0.

. Sn = 2. Sn = 1 2 1 3 3 4 a. Tính Sn − Sn⇒ b. Tính Sn − Sn⇒ lim → lim →

+∞

→

Bài tập 1.23. Chứng minh rằng lim +∞ lim →

[Gợi ý]

−

⇒

< 2 n −

− 2 n√n = 1.

1) . Áp dụng nguyên lý giới 1 a) Đặt αn = n√n α2 n 1 α2 n⇒

hạn kẹp ta có lim ∞ → n = (1 + αn)n > n(n αn = 0. Vậy lim ∞ →

n√a.

+∞

b) Xét lim →

n√a

n√n

Nếu a = 1, xong. •

n√a = 1

+∞

∀

⇒

≤

n√a = 1.

n > a Nếu a > 1, 1 • lim →

+∞

≤ 1 a ⇒

⇒

Nếu a < 1, đặt a′ = lim n√a′ = 1 • lim →

→

+ 1 2

1 2+ 1 2+ ···

(n phép chia). xn, ở đó xn = Bài tập 1.24. Tính lim +∞

[Lời giải]

4. Dãy số 25

−

1 +√2. Thật vậy, 1) Trước hết ta chứng minh 0 < x2n < 1 +√2 và x2n+1 >

−

− 1 2 + xn

−

1 +√2. Nếu xn > 1 +√2 thì xn+1 = 2 + ( 1 1 +√2) 1 1 +√2

−

1 +√2. Nếu xn < 1 +√2 thì xn+1 = 1 2 + xn 1 1 +√2) 1 1 +√2 2 + (

{

−

này có quy luật là, cứ một số hạng nào đó nhỏ hơn 1 +√2 thì số

−

Như vậy, dãy xn} hạng đứng ngay sau nó lớn hơn 1 +√2, và ngược lại. Do đó,

−

⇒

−

⇒ · · ·

⇒

1 +√2 1 +√2 1 +√2 x2 < x3 > x1 = 1 2

− 1 +√2.

−

1 +√2, dẫn đến việc 0 < x2n < x2n+1 >  

là một dãy số tăng, thật vậy, 2) Tiếp theo, ta đi chứng minh dãy 

2+x2n

. x2n+2 = 2 + x2n 5 + 2x2n x2n} { 1 2 + x2n+1 1 2 + 1

√2 < x2n <

> x2n ⇔

⇔ −

−

2x2 2 < 0 1 1 +√2 x2n+2 > x2n ⇔ 2 + x2n 5 + 2x2n

2n + 4x2n − Điều này luôn đúng, vì ta đã chứng minh ở trên, rằng dãy các số hạng chẵn thỏa mãn x2n <

−

1 +√2.

+∞

− a =

5+a ⇒

−

1 +√2 nên tồn tại x2n = a. Phương trình lim → dẫn đến a = 2+a 1 +√2. Dãy số này tăng và bị chặn trên bởi x2n+2 = 2+x2n 5+2x2n

{

3) Tương tự như vậy, dãy sẽ là một dãy số giảm. Thật vậy, x2n+1}

2+x2n+1

1 . x2n+3 = 1 2 + x2n+2 2 + x2n+1 5 + 2x2n+1 2 + 1

√2

2n+1 + 4x2n+1 −

−

2x2 2 > 0 1 x2n+1 > 1 +√2 hoặc x2n+1 < x2n+3 < x2n+1 ⇔

−

1 +√2.

→

x2n+1 = b. Phương trình

⇔ Điều này luôn đúng, vì ta đã chứng minh ở trên, rằng dãy các số hạng lẻ thỏa mãn x2n+1 > Dãy số này giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn lim +∞ x2n+3 = 2+x2n+1 5+2x2n+1

5+2b ⇒

−

dẫn đến b = 2+b b = 1 +√2.

+∞

−

Kết luận: 1 +√2. xn = lim →

26 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

· · ·

+ an

= a.

· · ·

1 n 1 2 Bài tập 1.25. Dùng tiêu chuẩn Cauchy chứng minh rằng dãy số un = 1 + phân kì.

+∞

→

an = a thì Bài tập 1.26. Chứng minh rằng nếu lim +∞ a1 + a2 + n

n√a1a2 . . . an = a.

+∞

∀

→

n thì lim → an = a, an > 0 Bài tập 1.27. Chứng minh rằng nếu lim +∞ lim →

5. Giới hạn hàm số 27

§5. GIỚI HẠN HÀM SỐ

5.1 Định nghĩa

(a, b)

∈

\ {

.Ta x0} Định nghĩa 1.9. Giảsửrằnghàmsố f (x) đượcxácđịnhtạimọiđiểmx nóigiớihạncủahàmsố f (x) khix tiếnđếnx0 bằng L vàviết

f (x) = L lim x0 x →

• (nóimộtcáchnômna)nếutacóthểlàmchogiátrịcủahàmsố f (x) gần L vớimột giátrịtùyýbằngcáchchọnx đủgầnx0.

(nóimộtcáchchínhxác)nếuvớimọiǫ > 0,tồntạisốthựcδ > 0 saocho •

< δ thì

< ǫ.

−

nếu x f (x) L x0|

f (x) = L nghĩa là với mọi ǫ > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho đồ thị của

−

ǫ, L + ǫ). δ, x0 + δ) sẽ nằm hoàn toàn trong dải (L Hình dung rằng lim x0 → hàm số trong khoảng (x0 −

L + ǫ b

−

L ǫ

x x0 O

Hình 1.9

= L, lim x−0 x

= L và giới hạn lim ∞ →

→

f (x) = L được định nghĩa một Các giới hạn một phía lim x+ 0 cách tương tự.

f (x),nếutồntại, Định lý 1.7 (Tính duy nhất của giới hạn). Giớihạncủahàmsố lim x0 → làduynhất.

5.2 Các phép toán trên giới hạn

[ f (x) + g(x)] = a + b,

g(x) = b, ở đó f (x) = a, lim x0 → Định lý 1.8 (Các phép toán trên giới hạn). Giả sử lim x0 → a, b làcácsốthựchữuhạn.Khiđó,

• Tổng: lim x0 →

[ f (x)

28 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

−

[ f (x)g(x)] = ab,

g(x)] = a b, •

= 0.

b,nếub

f (x) g(x) = a

• Hiệu: lim x0 → Tích: lim x0 →

• 6 Thương: lim x0 →

Chú ý 1.5. Cácphéptoántrêngiớihạnsaukhôngthựchiệnđược,chúngcònđượcgọilà cácdạngvôđịnh:

−

∞ , . ∞, 0 ∞, ∞ ∞ 0 0

5.3 Giới hạn của hàm hợp

f (u) = f (uo) và có hàm hợp f (u(x)) thì u(x) = uo, Nếu có lim x0 → lim uo u →

B(x) ln A(x)

lim x0 x →

f (u(x)) = f (uo). lim x0 x →

. A(x)B(x) = e Áp dụng lim x0 →

5.4 Giới hạn vô cùng

(a, b)

\ {

∈

. x0} Định nghĩa 1.10. Giảsửrằnghàmsố f (x) đượcxácđịnhtạimọiđiểm x Tanóigiớihạncủahàmsố f (x) khix tiếnđếnx0 bằngvôcùngvàviết

f (x) = ∞ lim x0 x →

nếuvớimọisố M > 0,tồntạisốthựcδ > 0 saocho

< δ thì

> M.

nếu x f (x)

− = ∞, lim x−0 x

→

f (x) = ∞ được định nghĩa một Các giới hạn một phía lim x+ 0 x0| | = ∞ và giới hạn lim ∞ → cách tương tự.

5.5 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

≤ g(x) thì

g(x) vớimọix trongmộtlâncậnnàođócủaa,vàtồntạicácgiới

≤

Định lý 1.9. Nếu f (x) hạn lim a x → f (x), lim a → f (x) g(x). lim a x → h(x) trongmộtlâncậnnàođócủaa, lim a x → g(x)

g(x),và Hệ quả 1.1 (Tiêu chuẩn kẹp). Nếu f (x) vàtồntạicácgiớihạn lim a → h(x).Khiđótồntại lim a → g(x). f (x) = lim a → f (x) = lim a → lim a x →

5. Giới hạn hàm số 29

5.6 Mối liên hệ giữa giới hạn của dãy số và giới hạn

của hàm số

Nhiều bài toán giới hạn của dãy số có thể được chuyển về giới hạn của hàm số và lợi dụng các công cụ của giới hạn của hàm số để tính toán một cách dễ dàng. Chúng thể hiện qua mối liên hệ sau.

{

→

+∞

n hoặcbằngvôcùng.

ln x x = 0.

Định lý 1.10. f (x) = L khivàchỉkhivớimọidãysố xn = x0 thì saocho lim +∞ xn} lim x0 x → f (xn) = L, ởđó(chỉriêngtrongĐịnhlýnày) x0 và L cóthểlàmộtsốthựchữuhạn lim →

ln n n = 0 ta có thể đưa về lim ∞ →

→

Chẳng hạn như, muốn chứng minh lim +∞

5.7 Bài tập

(xn

Bài tập 1.28. Tính

1(x

−

an) a)

− (x

− −

−

x100 x50 nan − a)2 0 0 0 0 2x + 1 2x + 1 b) lim a x → a) lim x 1 → (cid:19) (cid:18) (cid:18)

(cid:19) Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Nếu Pn(x0) = Qm(x0) = 0 thì

(x (x

1(x) 1(x)

= lim x0 x →

−

− −

. Pn(x) Qm(x) x0).Pn − x0).Qm Pn − Qm lim x0 x →

[Đáp số]

−

− 2

n(n 1) a) b) .an 49 24

Bài tập 1.29. Tìm giới hạn

( 3√x3 + x2

+∞

−

+∞ q

√x + 1 p

b) ∞). x) (∞ 1 x + x + √x lim → a) . ∞ ∞ (cid:17) (cid:16) lim → Chứng minh. a) Chia cả tử và mẫu cho √x ta được

= 1.

∞ q

+∞ q

√1 + 1/x p

√x + 1 p

= lim x →

x + x + √x 1 + 1/x + √1/x3

lim →

b) Sử dụng phương pháp nhân liên hợp ta được

( 3

−

+∞

−

(x3 + x2

−

x2 x3 + x2 . 1 1 3 1 1)2 + x 3√x3 + x2 1 + x2 x) = lim ∞ → lim → p p

30 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

§6. VÔ CÙNG LỚN, VÔ CÙNG BÉ

6.1 Vô cùng bé (VCB)

→

Định nghĩa 1.11. Hàmsố f (x) đượcgọilàmột vô cùng bé (viếttắtlàVCB)khi x nếu

f (x) = 0. lim a x →

Mối liên hệ giữa giới hạn và VCB

⇐⇒

f (x) = ℓ f (x) = ℓ + α(x); lim a x →

→

trong đó α(x) là một VCB trong quá trình x a.

Một số tính chất của VCB

1. Tổng hai VCB (đối với một VCB người ta không quan tâm đến dấu của nó) là một

VCB.

2. Tích của VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB.

3. Tích các VCB là một VCB.

Chú ý: Thương của hai VCB là một dạng vô định 0 0 .

So sánh các VCB

= 0,tanóirằngα(x), β(x) làcácVCBcùngbậc.

α(x) β(x) = A

Định nghĩa 1.12 (VCB cùng bậc, tương đương). Giảsử α(x) và β(x) làcácVCBkhi x a.

→ i) Nếu lim a →

α(x) β(x) = 1 thìtanóiα(x) vàβ(x) làcácVCBtươngđươngvàviết

ii) Đặcbiệt,nếu lim a →

∼

α(x) β(x).

Một số VCB tương đương hay dùng trong quá trình x 0

−

→ ax 1 ln a ∼

∼

x ex ln(1 + x), sin x tan x arcsin x arctan x 1 •

(1 + x)a

− αx m

−

∼

−

∼

, 1 ax. Đặc biệt, m√1 + αx 1 •

6. Vô cùng lớn, vô cùng bé 31

−

∼

α(x) β(x) = 0,tanóirằngα(x) làVCBbậccaohơn

1 cos x . • x2 2

Định nghĩa 1.13 (VCB bậc cao). Nếu lim a → β(x) vàkíhiệuα(x) = o(β(x)).

Định lý 1.11.

a) HiệuhaiVCBtươngđươnglàmộtVCBbậccaohơnVCBđó.

b) TíchhaiVCBlàmộtVCBbậccaohơncảhaiVCBđó.

Ứng dụng của VCB để tìm giới hạn

∼

→

a β2(x) khix α2(x), β1(x)

Định lý 1.12 (Quy tắc thay tương đương). Nếuα1(x) thì

= lim a x →

, α2(x)γ(x). α2(x) β2(x) α1(x) β1(x) lim a x → α1(x)γ(x) = lim a → lim a x →

→

Định lý 1.13 (Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao). Nếu α1(x) = o(α2(x)), β1(x) = o(β2(x)) khix a thì

∼

= lim a x →

. α1(x) + α2(x) α2(x) β2(x) α1(x) + α2(x) β1(x) + β2(x) α2(x) và lim a →

−

→

Chú ý 1.6. Sailầmhaymắc:ThaytươngđươngkhicóhiệuhaiVCB.Chẳnghạnnhư,với VCBα(x) = sin x tan x + x3 khix 0 tacó

x3 2 .

∼

i) Thaytươngđươngα(x) x3, ii) Thựctế,α(x)

Thậtvậy,

1 cos x

−

− x3

− x3 cos x

= 1 + lim 0 →

sin x 1 sin x(1 cos x) sin x . (cid:16) (cid:17) tan x + x3 x3 1 2 lim x 0 →

→

Ví dụ 6.1 (Giữa kì, K61). Sosánhcặpvôcùngbésauđâykhix 0

−

β(x) = esin x a) α(x) = 3√x2 + x3, 1.

−

β(x) = etan x b) α(x) = 5√x4 + x5, 1.

−

c) α(x) = 5√x4 β(x) = ln(1 + tan x). x5,

−

d) α(x) = 3√x2 β(x) = ln(1 + sin x). x3,

−

e) α(x) = e√x 1, β(x) = √x + x2.

−

f) α(x) = ex2 β(x) = x2 + x3. 1,

32 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

6.2 Vô cùng lớn (VCL)

→

Định nghĩa 1.14. Hàmsố f (x) đượcgọilàmột vô cùng lớn (viếttắtlàVCL)khi x nếu

= ∞.

a |

f (x) lim x →

Nghịch đảo của một VCB là một VCL, và ngược lại.

So sánh các VCL

= 0,tanóirằngα(x), β(x) làcácVCLcùngbậc.

α(x) β(x) = A

Định nghĩa 1.15 (VCL cùng bậc, tương đương). Giả sử α(x) và β(x) là các VCL khi x a.

α(x) β(x) = 1 thìtanóiα(x) vàβ(x) làcácVCLtươngđươngvàviết

→ i) Nếu lim a → ii) Đặcbiệt,nếu lim a →

∼

α(x) β(x) = ∞,tanóirằngα(x) làVCLbậccaohơn

α(x) β(x).

Định nghĩa 1.16 (VCL bậc cao). Nếulim a → β(x).

∼

Ứng dụng VCL khử dạng ∞ ∞ (cid:17) β2(x) là các α2(x), β1(x)

→

(cid:16) Định lý 1.14 (Quy tắc thay tương đương). Nếu α1(x) VCLkhix a thì

= lim a x →

, α2(x)γ(x). α2(x) β2(x) α1(x) β1(x) lim a x → α1(x)γ(x) = lim a → lim a x →

→

a thì Định lý 1.15 (Quy tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp). Nếuα1(x) làVCLbậccaohơnα2(x) và β1(x) làVCLbậccaohơnβ2(x) khix

∼

= lim a x →

. α1(x) + α2(x) α1(x) + α2(x) β1(x) + β2(x) α1(x) β1(x) α1(x) và lim a →

−

Chú ý 1.7. CòntồnđọngmộtsốdạngvôđịnhmàphươngphápsửdụngcácVCB-VCL chưaxửlýđược,vídụ x xsin x, . . . , sin x x3 lim x 0 → lim 0+ x →

CácgiớihạnnàysẽđượcxửlýkhichúngtahọcđếncôngthứcL’Hospitalvàkhaitriển Maclaurin.

Ví dụ 6.2 (Giữa kì, K61). Tínhgiớihạn

cos x 1 ln(1+x2) . −

ex2 1 x2+x3. −

6. Vô cùng lớn, vô cùng bé 33

→

e2x ln(1

e√x √x+x2. −

a) lim 0+ x c) lim x 0 →

1 3x) . − −

→

b) lim 0+ x d) lim x 0 →

6.3 Bài tập

Như vậy ngoài các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và nhân liên hợp đã trình bày ở trên, bài học hôm nay cung cấp cho chúng ta một công cụ mới để tìm giới hạn, đó là các quy tắc thay tương đương và ngắt bỏ các VCB bậc cao. Đây có lẽ là một trong những công cụ rất tốt của Giải tích để tính giới hạn.

Bài tập 1.30. Tìm giới hạn

m√1 + αx

−

− x

1 + βx 1 1 + βx

m√1 + αx. n x p

0 0 0 0 p b. lim x 0 → (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)

m√1 + αx

a. lim x 0 → Chứng minh. a.

m√1 + αx

−

− x

1 + βx 1 1

−

1 + βx x x p p

−

∼

− ∼ m√1 + αx

x, n x, nên Vì m√1 + αx 1 + βx 1 1 α m β n p 1 + βx

− x

β n α m − p lim x 0 →

m√1 + αx

−

m√1 + αx.

−

m√1 + αx. n x p

= lim x →

1 + βx 1 1 1 . 1 + βx x α m β n x ! p lim x 0 →

Chú ý 1.8.

i) Lưuýkĩthuậtthêmbớt1 ởtrongcácbiểuthứccóchứacos α(x), eα(x) vàln(α(x)), m 1 + α(x).

ii) Vớinhiềubàitoánnhìnquatưởngrấtphứctạpvìcôngthứcrấtcồngkềnh,thựcchất nếudùngquytắcthaytươngđươngvàngắtbỏcácVCBbậccaothìsẽthấyrấtđơn giản.Vídụ,tính

−

sin 2x + arcsin2 x arctan2 x . 3x

∼

x2.Nhưvậygiớihạnđãcho lim x 0 → 2x, arcsin2 x x2, arctan2 x

3 . Hoặcvídụnhưtính

Vớitửsốtacó sin 2x bằng 2

−

− −

− 33

1 cos x + 2 sin x . tan3 x sin3 x − 6 sin2 x + x x2 + 3x4 5x3 lim x 0 →

2 sin x

x = 2 vớinhậnxétlà2 sin x

∼

34 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

Trôngbiểuthứcnàyrấtphứctạpnhưngthựcchấtchúngtacóthểnhìnthấyngay giớihạnnàybằng lim 2x làVCBbậcthấpnhấtở 0 → tửsốvàx làVCBbậcthấpnhấtởmẫusố.

√cos x

3√cos x

Bài tập 1.31. Tìm giới hạn

− sin2 x

− −

sin x x sin a a 0 0 0 0 a) lim a x → c) lim x 0 → (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)

−

(sin √x + 1

+∞

−

1 . b) sin √x) cos x cos 2x cos 3x cos x 1 0 0 d) lim x 0 → lim → (cid:18) (cid:19)

[Đáp số]

a) cos a b) 0 d) 14 1 c) − 12

x 1 − x+1

Bài tập 1.32. Tìm giới hạn

[sin(ln(x + 1))

−

c) sin(ln x)] a) lim ∞ x → x2 1 − x2 + 1 lim ∞ x →

n+1√x), x > 0.

−

x 1 − x+1

b) (cid:19) (cid:18) 1 x (1∞) (cos √x) d) n2( n√x lim 0+ x → lim ∞ n →

= 1.

B(x) ln A(x)

lim x0 x →

Chứng minh. x2 1 − x2 + 1 a) Đây không phải là dạng vô định, lim ∞ → (cid:19) (cid:18)

A(x)B(x) = e . Vì b) Áp dụng công thức lim x0 →

−

1 x = lim 0+ x

−

→

= lim 0+ x →

ln cos √x ln cos √x x 1 2 sin √x 2√x lim 0+ x → (cid:1) (cid:0)

nên

1 2 .

1 x = e−

ln cos √x lim 0+ x → (cid:1) (cid:0)

c) Đáp số: 0.

6. Vô cùng lớn, vô cùng bé 35

n+1√x), x > 0

1 n

1 n+1 )

n2( n√x

− x

−

1 n(n+1)

n2(x

1 n+1 (x

−

1 n(n+1)

1 n+1 .

−

= lim ∞ n →

n2x 1) lim ∞ n → = lim ∞ n → = lim ∞ n → x 1 n2x . 1 n(n + 1)

1 n(n+1)

1 n(n + 1)

1 n+1 .

−

= lim ∞ n →

x 1 .x n n + 1

= ln x

1 n(n + 1)

So sánh các VCB-VCL.

α(x) β(x) = 0 thìtanóiα(x) làVCBbậccaohơnβ(x),nhưng

Chú ý 1.9.

α(x) β(x) = ∞ thìtanóiα(x) làVCLbậccaohơnβ(x).

i) Sosánh2VCB:Nếu lim a →

ii) Sosánh2VCL:Nếu lim a →

→

∼

iii) Cùngmộtbiểuthức α(x) = x + √x chẳnghạn,thìnếutrongquátrình x

→

√x.

∼

0+ √x = x1/4,cònnếu ∞ thìnólàVCLnêntheoquytắcngắtbỏVCLbậcthấp, p thìnólàVCBnêntheoquytắcngắtbỏVCBbậccao, α(x) p xéttrongquátrình x α(x)

→

Bài tập 1.33. Khi x 0 cặp VCB sau có tương đương không ?

−

α(x) = x + √x và β(x) = esin x cos x

q [Đáp số] β(x) = o(α(x))

1 sin x

Bài tập 1.34. Tìm giới hạn

x (1∞),

−

(1∞),

sin x

−

a) 2x) lim 0+ x → 1 + tan x 1 + sin x c) lim x 0 → (cid:18) (cid:19) sin x

(sin x)tan x (1∞),

(1∞),

b) sin x x lim π x 2 → d) lim x 0 → (cid:19) (cid:18)

B(x) ln A(x)

lim x0 x →

36 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

A(x)B(x) = e [Gợi ý] Áp dụng lim x0 → [Đáp số]

d) e b) 1 c) 1 a) e−

Bài tập 1.35. Tìm giới hạn

0 0

− x

− −

eαx eβx . , , ax x xa a eαx sin αx eβx sin βx c) lim a x → b) lim x 0 → a) lim x 0 → (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)

[Gợi ý] Sử dụng phương pháp thay tương đương. [Đáp số]

−

a) α β c) aa(ln a 1) b) 1

7. Hàm số liên tục 37

§7. HÀM SỐ LIÊN TỤC

7.1 Định nghĩa

= f (x0),

Định nghĩa 1.17. Chohàmsố f (x) xácđịnhtrongmộtlâncậnnàođócủa x0.Nóđược gọilà

→

= f (x0),

i) liêntụcphảitạix0 nếu lim x+ 0

→

= f (x0).Nóicáchkhác,

ii) liêntụctráitạix0 nếu lim x−0

< ε.

−

∀

∃

∀

−

< δ tacó |

f (x) x ε > 0, x, f (x0) iii) liêntụctạix0 nếu lim x0 → δ(ε, x0) > 0 : x0|

Từ định nghĩa suy ra hàm số f (x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó liên tục phải và liên tục trái tại x0.

Ví dụ 7.1. Tấtcảcáchàmsốsơcấpđềuliêntụctrêntậpxácđịnhcủachúng.

Ví dụ 7.2 (Giữa kì, K61). Tìmm đểhàmsốsauliêntụctạix = 1 :

= 1,

− 1 + m,

m)(x2 + x + 1), nếux 6 a) f (x) = nếux = 1.  

= 1,

(x + m)(x2 + x + 1), nếux



−

6 b) f (x) = nếux = 1. 1 m,  

(a, b),đồngthờiliêntụcphảitạia vàliêntụctráitạib.



Định nghĩa 1.18. Hàmsố f (x) đượcgọilàliêntụctrênkhoảng(a, b) nếunóliêntụctại mọiđiểm x0 ∈ (a, b).Nóđượcgọilàliêntụctrênđoạn [a, b] nếunóliêntụctạimọiđiểm x0 ∈

7.2 Các phép toán số học đối với hàm số liên tục

g(x) cũngliêntụctạix0 nếug(x0)

Định lý 1.16. Giảthiếtcáchàmsố f (x) vàg(x) liêntụctạix0 nàođó.Khiđócáchàmsố = 0. f (x) g(x), f (x)g(x) cũngliêntụctạix0.Hàmsố f (x) 6

Điều tương tự cũng đúng đối với các hàm số liên tục trái (phải) tại x0.

38 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

7.3 Sự liên tục của hàm ngược

Định lý 1.17. (Sựliêntụccủahàmngược) Nếu X làmộtkhoảng, y = f (x) đồngbiến(nghịchbiến)liêntụctrên X.Khiđócóhàm ngượcy = g(x) cũngđồngbiến(nghịchbiến)vàliêntụctrên f (X).

Ví dụ: Các hàm số lượng giác ngược là liên tục trên tập xác định của chúng.

7.4 Sự liên tục của hàm hợp

f (g(x)) = b.Nóicách g(x) = b thìlim a → Định lý 1.18. Nếuhàmsố f (x) liêntụctạib vàlim a → khác,

g(x)) lim a x → f (g(x)) = f (lim a →

◦

Hệ quả 1.2. Nếug(x) liêntụctạia và f (x) liêntụctạig(a) thìhàmsố f g liêntụctạia.

7.5 Các định lý về hàm liên tục

(a, b) dương(hay U(x0), f (x) cũngdươnghayâm.Hìnhảnh

∈

∀

Định lý 1.19. Nếu f (x) liêntụctrênkhoảng(a, b) màgiátrị f (x0), x0 ∈ âm)thìtồntạimộtlâncậnU(x0) saocho hìnhhọc.

Định lý 1.20. Nếu f (x) liêntụctrênđoạn [a, b] thìnóbịchặntrênđoạnđó.Hìnhảnh hìnhhọc.

Định lý 1.21. Nếu f (x) liêntụctrênđoạn[a, b] thìnóđạtđượcGTLN,NNtrênđoạnnày. Hìnhảnhhìnhhọc.

* Liên tục đều, hình ảnh hình học của liên tục đều.

Định lý 1.22. (ĐịnhlýCantor) Nếu f (x) liêntụctrên [a, b] thìnóliêntụcđềutrênđó(thay [a, b] bằngkhoảng (a, b) thì địnhlýkhôngcònđúng).Môtảhìnhhọc.

(a, b) để f (α) = 0.

∃

∈

[1, 3] liêntục.Chứngminhrằngtồn

→

[1, 3] saocho f (x0) = x0.

α Định lý 1.23. (ĐịnhlýCauchy) Nếu f (x) liêntụctrênđoạn[a, b] vàcó f (a). f (b) < 0 thì

Ví dụ 7.3 (Giữa kì, 20173). Chohàmsố f : [1, 3] tạix0 ∈

7. Hàm số liên tục 39

⇒

−

≥

x g(3) = f (3) g(1) = f (1) 0, 1

≤ ⇒

= B = f (b) thìnónhậnmọigiá

[Lời giải] Xét g(x) = f (x) 3 − Cauchy, phương trình g(x) = 0 có nghiệm x0 nào đó trong khoảng [1, 3] 0. Theo Định lý f (x0) = x0.

6 Hệ quả 1.3. Nếu f (x) liêntụctrênđoạn[a, b] , A = f (a) trịtrunggiangiữa A vàB.

Hệ quả 1.4. Cho f (x) liêntụctrên[a, b] , m, M lầnlượtlàcácGTNN,LNcủahàmsốtrên đoạnnàythì[m; M] làtậpgiátrịcủahàmsố.

7.6 Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn của

hàm số

Định nghĩa 1.19. Nếuhàmsốkhôngliêntụctạiđiểmx0 thìtanóinógiánđoạntạix0.

Hình ảnh hình học: đồ thị không liền nét tại điểm gián đoạn.

Theo định nghĩa, hàm số f (x) liên tục tại x0 nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn:

f (x) xác định tại x0, •

f (x), • tồn tại lim x0 →

f (x) = f (x0). • lim x0 x →

Như vậy nếu x0 là điểm gián đoạn của f (x) thì

TXĐ, •

6 ∃

TXĐ và f (x), • hoặc x0 6∈ hoặc x0 ∈ lim x0 x →

= f (x0), ở đây x

→

∃

TXĐ và f (x) x0 theo nghĩa cả • 6 f (x) nhưng lim x0 → hoặc x0 ∈ lim x0 x → hai phía hay một phía.

Nếu x0 6∈

TXĐ của f (x) thì có thể có rất nhiều điểm gián đoạn, nên ta chỉ quan tâm đến những điểm gián đoạn thuộc tập xác định hay là những điểm đầu mút của khoảng xác định.

Phân loại điểm gián đoạn

Giả sử x0 là điểm gián đoạn của f (x).

40 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

1. Điểm gián đoạn loại 1:

∃

→

Nếu f (x) = f f (x) = f thì x0 được gọi là điểm gián đoạn x−0 x+ 0 lim x+ x 0 (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:0) và lim x−0 x loại 1 của hàm số f (x). Khi đó, có thể xảy ra hai trường hợp:

= f

−

= f

thì giá trị gọi là bước nhảy của hàm số. Nếu f f f x+ 0 x+ 0 x−0 • 6 (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) x−0 x−0 x+ 0 • (cid:1)(cid:12) (cid:12) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:0)

thì x0 được gọi là điểm gián đoạn bỏ được của Đặc biệt: nếu f (cid:12) (cid:0) (cid:12) hàm số. Khi đó nếu hàm số chưa xác định tại x0 thì ta có thể bổ sung thêm giá trị của hàm số tại x0 để hàm số liên tục tại điểm x0. Còn nếu hàm số xác định tại điểm x0 thì ta có thể thay đổi giá trị của hàm số tại điểm này để hàm số liên tục tại x0.

2. Điểm gián đoạn loại 2:

Nếu x0 không là điểm gián đoạn loại 1 thì ta nói nó là điểm gián đoạn loại 2.

→

f (x) hoặc lim x−0 Chú ý 1.10. Vớiquanđiểmxemđiểmgiánđoạnbỏđượclàtrườnghợpđặcbiệtcủađiểm giánđoạnloại1,nếu x0 làđiểmđầumútcủakhoảnghayđoạnxácđịnhcủa f (x),màcó f (x) hữuhạnthìtacũngxem x0 làđiểmgiánđoạnbỏđượccủahàm lim x+ x 0 → số.

Ví dụ 7.4 (Giữa kì, K61).

2 làđiểmgiánđoạnloạigìcủahàmsố f (x) = 1 −

a) Điểmx = π

2tan x .

−

2tan x . π 2 làđiểmgiánđoạnloạigìcủahàmsố f (x) = 1 −

b) Điểmx =

Ví dụ 7.5 (Cuối kì, K61-Viện ĐTQT). Điểmx = 0 làđiểmgiánđoạnloạigìcủahàmsố

arctan 1 x .

arccot 1 x .

π 2 −

a) y = e b) y = e

7.7 Bài tập

→

Xét tính liên tục của hàm số. Muốn kiểm tra xem f (x) có liên tục tại x0 hay không f (x) và f (x) có bằng f (x0) hay không? Đôi khi phải xét lim x+ 0 chúng ta đi kiểm tra lim x0 → f (x) nếu biểu thức của f (x) ở hai phía của x0 được cho dưới các công thức khác nhau.

lim x x−0 → Thậm chí cũng có khi biểu thức của f (x) ở hai phía của x0 được cho cùng một công thức nhưng giới hạn trái và giới hạn phải của f (x) tại x0 vẫn khác nhau. Ví dụ, xét sự liên tục

= 0,

1 2cot x ,

1 − 1,

→

x 6 của hàm số f (x) = f (x) = 1 (tại . Hàm số này có lim 0+ f (x) = 0 và lim 0− x = 0   sao?). Do đó nó liên tục trái tại 0 và không liên tục phải tại 0.  Bài tập 1.36. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0

7. Hàm số liên tục 41

= 0

−

cos x x

≥

nếu x , ax2 + bx + 1, 6 b) g(x) = a) f (x) = a, nếu x = 0. a cos x + b sin x, nếu x 0 nếu x < 0.    

[Đáp số]  

b) a = 1 a) a = 1 2

Bài tập 1.37. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số

= b).

− x

1 x

−

eax ebx , a) y = c) y = , b) y = 8 2cot x 1 6 e sin 1 x 1

[Đáp số]

b) Loại II c) Bỏ được a) Loại I

Bài tập 1.38. Xét sự liên tục của các hàm số sau

= 0

nếu x vô tỉ nếu x sin πx, x sin 1 x , 6 a) f (x) = c) f (x) = nếu x hữu tỉ 0, nếu x = 0 0,    

1 x2 ,

= 0

  nếu x e− 6 b) f (x) = 0, nếu x = 0  

[Đáp số] 

a) liên tục b) liên tục c) gián đoạn

[a, b].

∈

∀ 1 có ít nhất một nghiệm trong

x Bài tập 1.39. Chứng minh rằng nếu f , g là các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và f (x) = g(x) với mọi x là số hữu tỉ trong đoạn [a, b] thì f (x) = g(x)

−

Bài tập 1.40. Chứng minh rằng phương trình x5 khoảng (1, 2).

[0, 1] sao cho

[0, 1] liên tục thì tồn tại x0 ∈

→

Bài tập 1.41. Cho f (x) = ax2 + bx + c, biết 2a + 3b + 6c = 0. Chứng minh rằng f (x) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0, 1).

Bài tập 1.42. Chứng minh rằng nếu f : [0, 1] f (x0) = x0.

Bài tập 1.43. Chứng minh rằng mọi đa thức bậc lẻ với hệ số thực đều có ít nhất một nghiệm thực.

42 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

§8. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

8.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.20. Giớihạn,nếucó,củatỉsố

−

f (x0)

f (x0 + ∆x) ∆x lim ∆x 0 →

đượcgọilàđạohàmcủahàmsố f (x) tạix0 vàđượckíhiệulà f ′(x0).Khiđótanóihàmsố f (x) cóđạohàmtạix0.

→

Nếu quá trình ∆x 0 trong định nghĩa trên được thay bằng

0+ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải của hàm số f (x) tại x0, kí hiệu là • ∆x → f ′(x+ 0 ).

0− thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm trái của hàm số f (x) tại x0, kí hiệu là • ∆x → f ′(x−0 ).

Đương nhiên, một hàm số có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại x0. Nếu tồn tại f ′(x0) thì f (x) liên tục tại x0. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng, chẳng hạn như hàm số f (x) = x liên tục tại 0 nhưng không có đạo hàm tại đó.

Ví dụ 8.1 (Giữa kì, K61). Tính f ′(0),biết

≥

−

nếux nếux tan x, a) f (x) = b) f (x) = sin x, 0, x2 + x, nếux < 0. 0, x2 + x, nếux < 0.    

 

Ví dụ 8.2 (Giữa kì, K61). Hãychỉramộthàmsố f (x) xácđịnhtrên R,liêntụctạicác điểmx0 = 1, x1 = 2 nhưngkhôngcóđạohàmtạicácđiểmnày.

Ví dụ 8.3 (Giữa kì, K59). Chohàmsố f (x) khảvitại1 vàbiếtrằng

= 2.

− x

f (1 + 7x) f (1 + 2x)

lim x 0 →

Tính f ′(1).

[Lời giải] Ta có

−

− x

−

f (1) f (1) f (1 + 7x) f (1 + 2x) 7. 2. f (1 + 7x) 7x f (1 + 2x) 2x lim x 0 → (cid:21)

= lim x 0 (cid:20) → = 7 f ′(1)

−

⇒

. 2 f ′(1) f ′(1) = 2 5

x , nếux > 0,

8. Đạo hàm và vi phân 43

1 x

e− Ví dụ 8.4 (Giữa kì, 20173). Chohàmsố f (x) = nếux = 0. 0,   Tính f ′+(0).  [Lời giải] Ta có

= lim 0+ x →

− −

. f (x) x e− x f (0) 0 f ′+(0) = lim 0+ →

1 et = 0

t et = lim +∞ t

x ⇒

→

(L’Hospital) Đặt t = 1 f ′+(0) = lim +∞

8.2 Các phép toán trên đạo hàm

Định lý 1.24. Chou(x) vàv(x) làcáchàmsốcóđạohàmtạix0.Khiđó,

i) (u v)′(x0) = u′(x0) v′(x0),

u(x0)v′(x0)

ii) (uv)′(x0) = u′(x0)v(x0) + u(x0)v′(x0),

= 0.

(x0) = u′(x0)v(x0)

u v

− v2(x0)

iii) nếuv(x0) 6 (cid:0) (cid:1) Ví dụ 8.5 (Giữa kì, K61-Viện ĐTQT). Tínhđạohàmcủahàmsố

a) f (x) = xsin x, 0 < x < π 2 . d) f (x) = (cos x)x, 0 < x < π 2 .

b) f (x) = (sin x)x, 0 < x < π 2 . e) f (x) = (cos x)sin x, 0 < x < π 2 .

c) f (x) = xcos x, 0 < x < π 2 . f) f (x) = (sin x)cos x, 0 < x < π 2 .

8.3 Đạo hàm của hàm hợp

◦

Định lý 1.25. Nếuu cóđạohàmtại x và f cóđạohàmtạiu(x) thìhàmsốhợp F = f cóđạohàmtạix và

F′(x) = f ′(u(x)).u′(x).

Ý tưởng chứng minh: ta có

u (x0 + ∆x) = u (x0) + u′ (x0) ∆x + o (∆x)

u (uo) .δy + o

−

δy

δy f [u (x0 + ∆x)] uo + u′(x0)∆x + o (∆x) f (x0) = f ′ f [u (x0)] = f  

−

⇒

(cid:1) (cid:0)     f [u (x0)] | {z } f [u (x0 + ∆x)] ∆x lim ∆x 0 →

44 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

8.4 Đạo hàm của hàm ngược

= 0,

Định lý 1.26. Giảthiết

i) x = ϕ (y) cóđạohàmtạiy0 và ϕ′ (y0) 6

ii) x = ϕ (y) cóhàmngượcy = f (x) liêntụctạix0 = ϕ (y0).

. Khiđóhàmngượcnàycóđạohàmtạiđiểmx0 và f ′ (x0) = 1 ϕ′(y0)

= 0,

Định lý 1.27. Giảthiết

i) x = ϕ(y) cóđạohàmtạiy0 và ϕ′ (y0) 6

ii) x = ϕ(y) biếnthiênđơnđiệutronglâncậnđiểmy0.

. Khiđónótồntạihàmngược y = f (x),hàmngượcnàycũngcóđạohàmtạiđiểm x0 và f ′(x0) = 1 ϕ′(yo)

Từ đó xây dựng công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược.

8.5 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

−

cos2 x

1. (xα)′ = αxα 7. (tan x)′ = 1

1 sin2 x

−

8. (cot x)′ = 2. (ax)′ = ax ln a

3. (loga x)′ = 1 x ln a 9. (arcsin x)′ = 1 √1 −

1 √1

−

10. (arccos x)′ = 4. (ln x)′ = 1 x

− 11. (arctan x)′ = 1

1+x2

5. (sin x)′ = cos x

1 1+x2

−

12. (arccot x)′ = 6. (cos x)′ = sin x

8.6 Vi phân của hàm số

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x. Theo định nghĩa của đạo hàm,

−

∆x

= lim ∆x 0 →

f (x) . ∆y ∆x f (x + ∆x) ∆x f ′(x) = lim 0 →

8. Đạo hàm và vi phân 45

∆y ∆x = f ′(x) + α(∆x), trong đó α(∆x) là một VCB khi ∆x

Do đó, 0. Vậy

→ f (x) = f ′(x)∆x + α.∆x.

−

∆y = f (x + ∆x)

Số hạng α.∆x là một VCB bậc cao hơn ∆x. Do đó, ∆y và f ′(x)∆x là hai VCB tương đương.

Định nghĩa 1.21. Chohàmsố f (x) xácđịnhtrongmộtlâncậnUǫ(x0).Nếucó

∆ f = A∆x + o(∆x),

ởđó A chỉphụthuộcvàox0 chứkhôngphụthuộcvào∆x thìtanóihàmsố f (x) khảvitại x0 vàbiểuthức

d f = A∆x

đượcgọilàviphâncủahàmsố f (x) tạiđiểmx0.

Mối liên hệ giữa đạo hàm và vi phân

Định lý 1.28. Hàmsố f (x) cóđạohàmtạix0 khivàchỉkhinókhảvitạix0 và

d f (x0) = f ′(x0)∆x.

Chú ý 1.11. Kháiniệm"cóđạohàm"vàkháiniệm"cóviphân"(haykhảvi)làhaikhái niệmkhácnhau.Tuynhiên,vìtínhtươngđươnggiữahaikháiniệmnàyđốivớihàmsố mộtbiếnsốmànhiềungườihiểunhầmrằngchúnglàmột.Trongchương3củahọcphần GiảitíchInày,chúngtasẽthấyhaikháiniệmnàylàkhácnhauđốivớihàmsốnhiều biếnsố.

Xét hàm số y = f (x) = x có d f (x) = dx = 1.∆x. Vì thế với biến số độc lập x ta quy ước viết

và dx = ∆x dy = d f (x) = f ′(x)dx.

Tính bất biến của dạng thức vi phân (cấp 1)

Cho y = f (x) là một hàm số khả vi. Khi đó, ta đã biết nếu x là biến số độc lập thì

d f (x) = f ′(x)dx.

Định lý 1.29. Nếu x khôngphảilàmộtbiếnsốđộclậpmà x = x(t) làmộthàmsốphụ thuộcvàobiếnsốt thìcôngthức

d f (x) = f ′(x)dx

vẫncònđúng.

46 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

Chứng minh. Đặt F(t) = f (x(t)), khi đó F′(t) = f ′(x(t))x′(t) và

d f (x(t)) = f ′(x(t))x′(t)dt.

Mặt khác, dx = x′(t)dt nên d f (x) = f ′(x)dx.

Chính vì vậy, tính chất này còn được gọi là tính bất biến của dạng thức vi phân cấp

một. Chú ý rằng tính chất này không còn đúng đối với các dạng thức vi phân cấp cao.

−

. Ví dụ 8.6. Tính x3 x9 2x6 d d (x3) (cid:1) (cid:0)

Ý nghĩa hình học của vi phân

y = f (x) y yo + ∆y P

∆y T d f (x0) = MT

Mo b yo M

x x0 O x0 + ∆x

Khi x thay đổi từ x0 đến x0 + ∆x thì

i) d f (x0) = MT thể hiện sự thay đổi của đường thẳng tiếp tuyến,

−

ii) ∆y = f (x0 + ∆x) f (x0) thể hiện sự thay đổi của đường cong y = f (x).

Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương

− v2

vdu udv d(u v) = du d dv, d(u.v) = udv + vdu, . u v (cid:16) (cid:17)

Ví dụ 8.7 (Giữa kì, K61). Tìm f ′(x) nếubiết

dx [ f (2016x)] = x2.

dx [ f (2017x)] = x2.

a) d b) d

8. Đạo hàm và vi phân 47

Ứng dụng vi phân tính gần đúng

−

Xuất phát từ công thức ∆y = f (x + ∆x) f (x) = f ′(x)∆x + o(∆x) ta ngắt bỏ phần VCB

bậc cao o(∆x) để được công thức tính gần đúng sau:

≈

f (x0 + ∆x) f (x0) + f ′(x0)∆x.

Ví dụ 8.8 (Giữa kì, K61). Sửdụngviphân,tínhgầnđúng

a) 3√7, 97. b) 3√8, 03.

8.7 Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1.22. Nếuhàmsốy = f (x) cóđạohàmthìy′ = f ′(x) gọilàđạohàmcấpmột của f (x).

i) Đạohàm,nếucó,củađạohàmcấpmộtđượcgọilàđạohàmcấphai,kíhiệulà f ′′(x).

−

ii) Đạohàm,nếucó,củađạohàmcấpn 1 đượcgọilàđạohàmcấpn,kíhiệulà f (n)(x).

Các phép toán trên đạo hàm cấp cao

Định lý 1.30. Chou, v làcáchàmsốkhảviđếncấpn.Khiđó,

k)v(k).

i) (u v)(n) = u(n) v(n),

−

n.u(n Ck

n ∑ k=0

ii) (CôngthứcLeibniz)(u.v)(n) =

Ví dụ 8.9. Tínhđạohàmcấpcaocủacáchàmsốsau

, y = sin (ax + b) , y = xα, y =

1 x + a y = cos (ax + b) , y = eax, y = x2 + 1 ex, y = ex sin x.

(cid:16) (cid:17)

Đạo hàm cấp cao của một số hàm số cơ bản

−

1. (xα)(n) = α(α 1) . . . (α n + 1)xα

− 1) . . . (α

−

(n)

2. [(1 + x)α](n) = α(α n + 1).(1 + x)α

= (

1 1+x

n! (1+x)n+1

−

3. 1)(n).

(n)

(cid:16) (cid:17)

n! x)n+1

−

(cid:17) (cid:16) 47

48 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

5. (sin x)(n) = sin x + nπ 2

(cid:0) 6. (cos x)(n) = cos (cid:1) x + nπ 2

(cid:1) (cid:0) 7. (ax)(n) = ax. (ln a)n

−

− xn

−

1)! 8. (ln x)(n) = ( 1)n

Ví dụ 8.10 (Giữa kì, K61). Tínhđạohàmcấpcaoy(10)(0) với

x2.

c) y(x) = arctan x. a) y(x) = ex2.

d) y(x) = arccot x. b) y(x) = e−

[Lời giải]

a) Ta có y′(x) = 2xex2 = 2xy. Lấy đạo hàm cấp n hai vế ta được

1)(x).

−

(Công thức Leibniz) y(n+1)(x) = (2xy)(n) = 2xy(n)(x) + 2ny(n

Thay x = 0 ta được có công thức truy hồi

1)(0).

−

y(n+1)(0) = 2ny(n

Do đó,

= (2.9)(2.7)(2.5)(2.3)(2.1)y(0)(0) = 30240.

· · ·

y(10)(0) = 2.9y(8)(0) = (2.9).(2.7)y(6)(0) =

(1 + x2)y′ = 1. Lấy đạo hàm cấp n hai vế ta được

b) Tương tự câu a).

1+x2 ⇒

c) Ta có y′ = 1

(1 + x2)y(n+1)(x) + n.2x.y(n)(x) +

1)(x) = 0.

−

− 2

n(n 1) (Công thức Leibniz) .2.y(n

Thay x = 0 vào ta được công thức truy hồi

1)(0).

−

n(n y(n+1)(0) = 1)y(n

= (

Do đó,

−

· · ·

−

− y′′(x) = −

y(10)(0) = 9.8y(8)(0) = ( 9.8)( 7.6)y(6)(0) = 9.8)( 7.6)( 5.4)( 3.2)y′′(0) = 0

− 2x (1+x2)2 ⇒

1+x2 ⇒

y′′(0) = 0. bởi vì, y′ = 1

d) Tương tự câu c).

Ví dụ 8.11 (Giữa kì, K59). Tínhđạohàmcấpcaoy(19)(0) với

8. Đạo hàm và vi phân 49

a) y = arcsin x, b) y = arccos x.

[Lời giải]

a) Ta có

−

⇒

−

√1

−

x 1 x2 1 x2)y′ = x2)y′′ xy′ = 0. x2)y′′ y′ = x2 ⇒ x2 ⇒ 2xy′ = − − p Đạo hàm cấp n hai vế ta được

[(1

−

⇒

−

− Thay x = 0 vào ta được công thức truy hồi

x2)y(n+2) n(n xy(n+1) 2nxy(n+1) 1)y(n) ny(n) = 0. x2)y′′ xy′](n) = 0

= (17!!)2y′(0) = (17!!)2.

⇒

· · ·

y(n+2)(0) = n2y(n)(0) y(19)(0) = 172y(17)(0) =

b) Tương tự câu a).

Ví dụ 8.12 (Cuối kì, K60). Tính f (10)(1) với f (x) = x9 ln x.

1 = nxn

1 ln x + xn

[Lời giải] Ta xét bài toán tổng quát hơn: tính g(n+1)(x) với g(x) = xn ln x. Nhận xét

−

i) g′(x) = nxn ln x + 1 n

−

(cid:17) 1)xn ii) g′′(x) = n(n (cid:16) 1 + 1 n ln x + 1 n − (cid:17) (cid:16) Do đó,

· · ·

g(n)(x) = n! ln x + 1 n 1 1 1 2

g(n+1)(x) = (cid:18) f (10)(x) = (cid:19) f (10)(1) = 10!. n! x ⇒

Ví dụ 8.13 (Cuối kì, 20152). Chohàmsố f (x) = x 10! x ⇒ 1+x3.Tínhd10 f (0).

[Lời giải] Ta có (1 + x3) f (x) = x. Lấy đạo hàm cấp n hai vế ta được

2)(x) +

1)(x) +

3)(x) = 0.

(1 + x3) f (n)(x) + n.3x2. f (n

−

− 2

n(n n(n 2) 1) .6x. f (n .6. f (n 1)(n 6

Cho x = 0 ta được công thức truy hồi

3(0).

−

n(n f (n)(0) = 1)(n 2) f n

Do đó,

−

⇒

−

f (10)(0) = 10.9.8. f (7)(0) = ( 10.9.8)( 7.6.5)( 4.3.2) f (1)(0) = 10! d10 f (0) = 10!dx10.

Ví dụ 8.14 (Giữa kì, K61). Tínhđạohàmcấpcao

(60)

50 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

−

c) (x2 sin 2x)(50). a) .

(50)

(cid:17) (cid:16)

1 x2+x

. b) d) (x2 cos 2x)(60).

(cid:17) (cid:16)

8.8 Vi phân cấp cao

Định nghĩa 1.23. Nếuhàmsố y = f (x) khảvithì dy = f ′(x)dx gọilàviphâncấpmột của f (x).

i) Viphân,nếucó,củaviphâncấpmộtđượcgọilàviphâncấphai,kíhiệulàd2 f (x).

−

ii) Viphân,nếucó,củaviphâncấpn 1 đượcgọilàviphâncấpn,kíhiệulàdn f (x).

Biểu thức của vi phân cấp cao

Nếu x là biến số độc lập thì

dn f (x) = f (n)(x)dxn.

Vi phân cấp cao không có tính chất bất biến đối với hàm hợp

Ta có d f (x) = f ′(x)dx nên

d2 f (x) = d f ′(x)dx + f ′(x)d2x = f ′′(x)dx2 + f ′(x)d2x.

Ví dụ 8.15. Chứngminhrằngnếuy = x3, x = t2 thì

= y(2)dx2.

d2y 6

8.9 Bài tập

Bài tập 1.44. Tìm đạo hàm của hàm số

−

khi x < 1 x, 1

−

≤

−

x)(2 x), 2

−

x khi 1 x khi x > 2. 2,

= 0

f (x) =    khi x xn sin 1 x , 6 Bài tập 1.45. Với điều kiện nào thì hàm số f (x) = khi x = 0 0,  

 50

8. Đạo hàm và vi phân 51

c) có đạo hàm liên tục tại a) liên tục tại x = 0, b) khả vi tại x = 0,

x = 0.

[Đáp số]

b) n > 1, c) n > 2. a) n > 0,

−

a .ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một hàm số

Bài tập 1.46. Chứng minh rằng hàm số f (x) = liên tục và ϕ(a) x | = 0, không khả vi tại điểm x = a. 6

(a) =

[Gợi ý]

= f ′ −

−

ϕ(a) f ′+(a) = ϕ(a) 6

Bài tập 1.47. Tìm vi phân của hàm số

= 0)

a) y = arctan c) y = ln 1 a x a | 6 a x − x + a 1 2a 6

= 0)

a (a

x + √x2 + a b) y = arcsin x d) y = ln (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 6

[Đáp số]

dx c) dy = a) dy = dx a2 + x2 x2 a2

√a2

− dx √x2 + a

−

dx b) dy = d) dy = .(sign a) x2

Bài tập 1.48. Tìm

(x3

−

( sin x

. a) I = x9), 2x6 c) K = d d(x3) d(sin x) d(cos x)

x ),

b) J = d d(x2)

[Đáp số]

= kπ, k

= 0,

−

∈

−

Z. c) K = a) I = cot x, x 3x6 4x3 + 1, x 6 6

= 0,

− 1 2x2

−

b) J = , x cos x sin x x 6 (cid:19) (cid:18)

Bài tập 1.49. Tính gần đúng giá trị của biểu thức

52 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

−

a) lg 11 b) 2 0, 02 2 + 0, 02 r

[Gợi ý]

= 1, 043

△

≈

x = 1, ta có lg 11 lg 10 + a) Xét f (x) = lg x, x0 = 10, 1 10 ln 10

−

△

= 7 r

4 x = 0, 02 1, x0 = 2, 0, 02 2 2 + 0, 02 2 + 0, 02 − 4 x − 1. Xét f (x) = 7 r b) Cách 1. 7 r Ta có

6 7 . −

△

−

f (x + .( 1 + 0, 02. 1) − . 0, 02. 1 7 1 7 4 22 = 1 4 2 −

4 2 − 2 2+x , với x0 = 0, ∆x = 0, 02. − x) = 7 r Cách 2. Xét hàm số f (x) = 7 q Bài tập 1.50. Tìm đạo hàm cấp cao của các hàm số

x2 (c) y = x2e2x, tính y(10). (a) y = , tính y(8). x 1

− 1 + x √1 x

−

(b) y = , tính y(100). (d) y = x2 sin x, tính y(50).

[Đáp số]

= 1.

−

8! (a) y(8) = x)9 , x 6

(399

−

(b) y(100) = x), x < 1. x 2100(1 197! x)100√1

− − x2 + 10x + 45 2

. (c) y(10) = 210e2x

−

(cid:17) (cid:16) (d) y(50) = x2 sin x + 100x cos x + 2450 sin x.

Bài tập 1.51. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số

−

x a) y = c) y = , , x2 1 x 3√1 + x

−

b) y = , d) y = eax sin(bx + c). x2 1 3x + 2

(

[Đáp số]

−

a) y(n) = . n! 1)n − 2 1 1)n+1 + 1 (x + 1)n+1 (cid:21)

−

b) y(n) = n! . 1 x)n+1 (cid:20) 1 x)n+1 − (cid:20) (cid:21)

(

−

8. Đạo hàm và vi phân 53

= 1.

(1.4 . . . (3n

−

≥

−

c) y(n) = , n 2, x 5)) 1)n 3n 6 3n + 2x (1 + x)n+ 1

d) Tính y′ rồi dự đoán và chứng minh bằng quy nạp

2 eax sin(bx + c + nϕ), ở đó sin ϕ =

y(n) = (a2 + b2) , cos ϕ = . b √a2 + b2 a √a2 + b2

Bài tập 1.52. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số

e) y = sin2 x, j) y = x cos ax, , a) y = 1 a + bx

f) y = sin3 x, k) y = x2 cos ax, , b) y = 1 √a + bx g) y = sin ax. sin bx, 1 l) y = x2 sin ax, , c) y = h) y = sin2 ax. cos bx,

−

, . d) y = m) y = ln i) y = sin4 x + cos4 x, a2 x2 − ax + b cx + d a + bx bx a

[Đáp số]

a) y(n) =

−

n+1

(

1)!!bn b) y(n) = . 1)n.n!bn ( − (a + bx)n+1 . 1)n.(2n ( 2n n√a + bx

(

−

x+a ) nên y(n) =

−

1 1 1 c) y = . x a x 1 x + a x2 a2 = 1 2a 1)n.n! 2a a − # "(cid:18) (cid:19)

ad c

n+1 .

− ax + b cx + d

−

− x + d c

(cid:19) ( (cid:18) 1)n.n! b nên y(n) = b d) y = 1 c a c 1 c ad c 1 x + d c (cid:18) (cid:19) (cid:17) (cid:16)

1 cos

−

(cid:16) (cid:17) . cos 2x nên y(n) = 2n e) y = sin2 x = 2x + nπ 2 1 2 1 2 −

4 sin x

4 sin 3x nên y(n) = 3

4 sin

1 4 3n sin

− g) y = sin ax. sin bx = 1 2 [cos(a

−

f) y = sin3 x = 3 . (cid:0) x + nπ 2 3x + nπ 2 (cid:1) − (cid:0) (cid:0) (cid:1) (cid:1) b)x cos(a + b)x] nên

(a + b)x +

(a + b)n cos

− b)n cos

−

1 4 [cos(2a + b)x + cos(2a

−

b)x + y(n) = . 1 2 nπ 2 1 2 nπ 2 i i h cos bx h b)x] nên h) y = sin2 ax. cos bx = 2 −

(2a + b)n cos

(2a + b)x +

−

(2a

−

bx + y(n) = bn cos nπ 2 1 2 h (cid:16) (cid:17) i b)x + b)n cos . 1 4 1 4 nπ 2 nπ 2 h i 53

1 cos

54 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

−

4 + 1

4 cos 4x nên y(n) = 4n

. i) y = sin4 x + cos4 x = 3 4x + nπ 2

+ nan

1 cos

−

1)π − 2

(cid:0) (cid:1) ax + (n j) y(n) = anx cos . ax + nπ 2

+ n(n

+ 2nan

2 sin

−

2)π − 2

−

ax + (n ax + (n (cid:16) 1x sin 1)an . (cid:0) k) y(n) = anx2 sin (cid:1) ax + nπ 2 (cid:17) 1)π − 2

+ n(n

+ 2nan

−

1)π − 2

−

(cid:17) (cid:1) (cid:0) ax + (n ax + (n l) y(n) = anx2 cos 1)an (cid:16) 2 cos . (cid:16) 1x cos ax + nπ 2 (cid:17) 2)π − 2

(cid:17) (cid:16) (cid:17)

(n (a2

−

− −

m) y(n) = bx)n] . (cid:16) 1)n(a (cid:0) (cid:1) 1)!bn b2x2)n . [(a + bx)n + (

8.10 Đọc thêm: Về khái niệm vi phân

Vi phân có lẽ là một khái niệm trừu tượng và dễ gây hiểu nhầm nhất trong môn Giải tích I. Theo sự hiểu biết của tác giả thì có nhiều cách tiếp cận khác nhau đối với phép tính vi phân.

1) Người đầu tiên đưa ra khái niệm vi phân có lẽ là Leibniz, khi ông coi dy là một đại lượng vô cùng bé thể hiện sự thay đổi của hàm số y = f (x) tương ứng với sự thay đổi vô cùng bé dx của biến số x, nghĩa là ông định nghĩa

. f ′(x) := dy dx

Kí hiệu dy dx này là kí hiệu của Leibniz cho đạo hàm của hàm số f (x). Mặc dù có nhiều chỉ trích cho kí hiệu này, nó vẫn được dùng cho đến ngày nay. Cũng chú ý thêm rằng, kí hiệu f ′(x) trên là kí hiệu của d’Alambert.

2) Cauchy là người đã cải tiến ý tưởng của Leibniz và những người đi trước như sau.

Trước hết, ông định nghĩa phép toán đạo hàm

−

∆x

f (x)

f (x + ∆x) ∆x f ′(x) := lim 0 →

là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến về 0. Sau đó ông định nghĩa vi phân

dy = f ′(x)dx,

như một hàm số của hai biến số x và dx, ở đó dx là một biến số mới, có thể lấy giá trị tùy ý, không nhất thiết phải là một đại lượng VCB như trong kí hiệu của Leibniz.

3) Ngày nay, vi phân được định nghĩa theo lối tiếp cận hiện đại như sau:

8. Đạo hàm và vi phân 55

→

Định nghĩa 1.24. Chohàmsố f (x) cóđạohàmtạix0.Tagọiánhxạ,kíhiệulàdx0 f, xácđịnhbởi

7→

dx0 f : R h R, f ′(x0)h

làviphâncủa f tạix0.

Vậy vi phân của f tại x0 là một ánh xạ tuyến tính.

i) Như vậy, vi phân của hàm số một biến số f (x) là một hàm số d f của hai biến số

x0 và h cho bởi

dx0 f (h) = f ′(x0)h,

ở đó h là một biến số mới có thể nhận giá trị tùy ý.

ii) Kí hiệu Id là ánh xạ đồng nhất, khi đó, dx0(Id)(h) = h, hay là dx0(Id) = Id. iii) Một cách lạm dụng kí hiệu, ta kí hiệu x là ánh xạ đồng nhất x := Id. Khi đó, dx0 x = Id là ánh xạ đồng nhất và không phụ thuộc vào x0 nên ta kí hiệu nó là dx. Điều này dẫn đến dx0 f = f ′(x0)dx. Đôi khi, người ta bỏ x0 trong dx0 f và, một cách lạm dụng, thay x0 bởi x trong f ′(x0) để có biểu thức cô đọng

d f = f ′(x)dx.

56 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

§9. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG

9.1 Các định lý về hàm khả vi

(a, b) saocho f (x)

(a, b) nếu

⊂

−

∃

U(x0)

∈

U(x0) . x0}

−

Định nghĩa 1.25 (Cực trị của hàm số). Chohàmsố f (x) liêntụctrên(a, b),tanóihàm sốđạtcựctrịtạiđiểm x0 ∈ f (x0) khôngđổidấu x \ { ∀ Nếu f (x) f (x0) > 0 thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0. •

−

(a, b) vàcóđạohàmtạix0 thì f ′(x0) = 0.

Nếu f (x) f (x0) < 0 thì ta nói hàm số đạt cực đại tại x0. •

∈

∀

x U(x0). Do đó, với h đủ nhỏ sao cho f (x0 + h) f (x0) < 0

− f (x0) < 0.

f (x0)

−

Định lý 1.31 (Định lý Fermat). Cho f (x) liêntụctrênkhoảng(a, b),nếuhàmsốđạtcực trịtạiđiểmx0 ∈ Chứng minh. Nếu hàm số đạt cực đại tại x0 thì theo định nghĩa tồn tại một lân cận U(x0) U(x0) thì sao cho f (x) f (x0 + h)

f (x0+h) h

≤

f (x0)

−

0. •

f (x0+h) h

≥

− f ′(x+ 0 ) = lim 0+ h → f ′(x−0 ) = lim 0− → Do giả thiết tồn tại f ′(x0) nên f ′(x+

0 ) = f ′(x−0 ). Điều này chỉ xảy ra khi

0. •

0 ) = f ′(x−0 ) = 0.

f ′(x+

Ví dụ 9.1 (Giữa kì, K61). Tìmcáccựctrịcủacáchàmsố

2+sin x trongkhoảng(0, 2π).

2+cos x trongkhoảng(0, 2π).

(2, 3) saocho f ′(x0) = λ.

a) y = cos x b) y = sin x

Ví dụ 9.2 (Cuối kì, K61-Viện ĐTQT). Cho f (x) làmột hàm số khả vi trên R và thỏa mãn f ′(2) < λ < f ′(3).Chứngminhrằngtồntạix0 ∈

−

[Lời giải] Xét hàm số g(x) = f (x) λx. Khi đó,

(2, 3) nào đó sao cho g(x1) < g(2), nếu không

−

i) g′(2) = f ′(2) λ < 0, do đó tồn tại x1 ∈ thì

≥

− −

(2, 3) sao cho g(x2) < g(3), nếu không thì

0. g(x) x g(2) 2 g′+(2) = lim 2+ →

−

ii) g′(3) = f ′(3)

≤

→

− −

0. g(x) x g(2) 3 λ > 0, do đó tồn tại x2 ∈ (3) = lim g′ 3− −

(2, 3)

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 57

⇒

g′(x0) = 0 f ′(x0) = λ.

iii) Do đó, g(x) đạt cực tiểu tại điểm x0 ∈ ⇒ Định lý 1.32 (Định lý Rolle). Nếuhàmsố f (x) :

i) Liêntụctrongkhoảngđóng[a, b],

ii) Cóđạohàmtrongkhoảngmở(a, b),

iii) thỏamãnđiềukiện f (a) = f (b),

(a, b) saocho f ′(c) = 0.

∈

thìtồntạiítnhấtmộtđiểmc

Chứng minh. Do hàm số f (x) liên tục trên [a, b] nên nó đạt GTLN và GTNN trên [a, b]. Ta chia làm các trường hợp sau:

(a, b).

∀

∈

x Nếu f (x) là hằng số trên [a, b] thì f ′(x) = 0 •

∈

(a, b) sao cho f (x) > f (a) = f (b) thì GTLN của f (x) sẽ phải đạt được Nếu có số x tại một điểm c nào đó thuộc (a, b) (do nó không đạt GTLN tại hai đầu mút). Khi đó, theo Định lý Fermat, f ′(c) = 0.

•

∈

(a, b) sao cho f (x) < f (a) = f (b) thì GTNN của f (x) sẽ phải đạt được Nếu có số x tại một điểm c nào đó thuộc (a, b) (do nó không đạt GTNN tại hai đầu mút). Khi đó, theo Định lý Fermat, f ′(c) = 0.

•

−

1)(x2 2)(x2 3). Phương trình

Ví dụ 9.3 (Học kì 20163). Cho hàm số f (x) = (x f ′(x) = 0 cóbaonhiêunghiệmthực?Giảithích.

√3, x = −

√2, x = 1, x = √2 và −

[Lời giải] Phương trình f (x) = 0 có 5 nghiệm là x =

(

x =√3.

√2) = 0 nên theo Định lý Rolle, tồn tại x1 ∈ −

√3, −

√2) sao cho −

√3) = f ( − f ′(x1) = 0.

(

i) Vì f (

√2, 1) sao cho f ′(x2) = 0. −

(1,√2) sao cho f ′(x3) = 0.

(√2,√2) sao cho f ′(x4) = 0.

√2) = f (1) = 0 nên theo Định lý Rolle, tồn tại x2 ∈ − iii) Vì f (1) = f (√2) = 0 nên theo Định lý Rolle, tồn tại x2 ∈ iv) Vì f (√2) = f (√3) = 0 nên theo Định lý Rolle, tồn tại x4 ∈ Vậy phương trình f ′(x) = 0 có ít nhất 4 nghiệm. Mặt khác, f ′(x) là một đa thức bậc bốn, nên nó có nhiều nhất là bốn nghiệm. Kết luận: phương trình f ′(x) = 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt.

ii) Vì f (

Ví dụ 9.4 (Giữa kì, K62). Chobasốthựca, b, c thỏamãna + b + c = 0.Chứngminhrằng

58 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

a) phươngtrình3ax2 + 4bx + 5c = 0 cóítnhấtmộtnghiệmthuộckhoảng(1, +∞).

b) phươngtrình2ax2 + 3bx + 4c = 0 cóítnhấtmộtnghiệmthuộckhoảng(1, +∞).

[Lời giải]

a) Xét hàm số f (x) = cx5 + bx4 + ax3 thỏa mãn các điều kiện của Định lý Rolle trong

(0, 1)

+ 4b

khoảng [0, 1]. Do đó,

+ 5c = 0.

0 + 4bx3

0 = 0

0 + 3ax2

∃

⇒ Vậy phương trình 3ax2 + 4bx + 5c = 0 có nghiệm 1

3a f ′(x0) = 5cx4 x0 ∈ (cid:18) 1 x0 (cid:19)

x0 ∈

1 x0 (cid:19) (cid:18) (1, +∞).

b) Xét hàm số f (x) = cx4 + bx3 + ax3 thỏa mãn các điều kiện của Định lý Rolle trong

+ 4c = 0.

+ 3b

(0, 1)

khoảng [0, 1]. Do đó,

0 + 2ax0 = 0

0 + 3bx2

∃

⇒ Vậy phương trình 2ax2 + 3bc + 4c = 0 có nghiệm 1

2a f ′(x0) = 4cx3 x0 ∈ 1 x0 (cid:19) (cid:18)

x0 ∈

1 x0 (cid:19) (cid:18) (1, +∞).

Ví dụ 9.5 (Cuối kì, K62). Cho f liên tục trên [a, b] và thỏamãn f (x)dx = 0. Chứng

(a, b) saocho2017

∈

∃ [Lời giải]

minhrằng c f (x)dx = f (c).

Xét hàm số g(x) =

2017c

f (t)dt, là một hàm số liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và 2017xg(x) cũng là một hàm số liên tục trên [a, b], g(a) = g(b) = 0. Do đó, hàm số h(x) = e− khả vi trên (a, b) và h(a) = h(b) = 0. Áp dụng Định lý Rolle với hàm số h(x) trong khoảng [a, b] ta có:

2017cg(c) = 0

(a, b) : h′(c) = 0

∃

∈

⇔

−

c g′(c)e− 2017e−

−

⇔

f (c) = 2017 f (t)dt = 2017 f (x)dx.

→

Ví dụ 9.6 (Olympic Toán học sinh viên Toàn quốc 2018 - Bảng B). Giảsử f : [0, 1]

R là một hàm số khả vi sao cho f (x)dx = x f (x)dx. Chứng minh rằng tồn tại số

(0, 1) saocho

∈

f (c) = 2018 f (x)dx.

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 59

−

Chứng minh. i) Xét hàm số F(x) = x f (t)dt t f (t)dt khả vi trên [0, 1] và F(0) =

(0, 1) sao cho F′(x0) = 0

⇔

2018x

f (t)dt = 0. F(1) = 0. Theo Định lý Rolle, tồn tại x0 ∈

Z0 G(x0) = 0. Theo Định lý Rolle, tồn tại c

(0, x0) sao cho

∈

f (t)dt thì G(x) là một hàm số khả vi trên [0, 1] với G(0) = ii) Đặt G(x) = e−

⇔

f (c) = 2018 f (x)dx. G′(c) = 0

→

Ví dụ 9.7 (Olympic Toán học sinh viên Toàn quốc 2018 - Bảng A). Giảsử f : [0, 1]

R là một hàm số khả vi sao cho f (x)dx = x f (x)dx. Chứng minh rằng tồn tại số

(0, 1) saocho

∈

f (x)dx. f (c) = 2018 f ′(c)

−

Chứng minh. i) Xét hàm số F(x) = x f (t)dt t f (t)dt khả vi trên [0, 1] và F(0) =

(0, 1) sao cho F′(x0) = 0

⇔

2018 f (x)

f (t)dt = 0. F(1) = 0. Theo Định lý Rolle, tồn tại x0 ∈

f (t)dt thì G(x) là một hàm số khả vi trên [0, 1] với G(0) = ii) Đặt G(x) = e−

(0, x0) sao cho

∈

G(x0) = 0. Theo Định lý Rolle, tồn tại c

⇔

f (x)dx. G′(c) = 0 f (c) = 2018 f ′(c)

Định lý 1.33 (Định lý Lagrange). Nếuhàmsố f (x) :

i) Liêntụctrongkhoảngđóng[a, b],

ii) Cóđạohàmtrongkhoảngmở(a, b),

60 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

(a, b) saocho f ′(c) = f (b) b

f (a) a

∈

− −

thìtồntạiítnhấtmộtđiểmc .

Chứng minh. Xét hàm số

−

− −

h(x) = f (x) f (a) a). f (b) b f (a) a

(a, b) sao cho h′(c) = f ′(c)

f (a) a = 0.

f (b) b

−

∈

− −

Có thể dễ dàng kiểm chứng h(x) thỏa mãn các điều kiện của Định lý Rolle, do đó tồn tại c

Ví dụ 9.8 (Giữa kì, K61). Chứngminhcácbấtđẳngthứcsauvới0 < a < b.

< arccot b

< arctan b

b − 1+a2

b 1+b2 . −

a − 1+b2

a 1+a2 . −

−

a) a b) b arccot a < a arctan a < b

[Lời giải]

= f ′(c) =

a) Áp dụng Định lý Lagrange với hàm số f (x) = arccot x trong khoảng [a, b] ta có

−

− −

arccot b b arccot a a 1 1 + c2

(a, b) nào đó. Do đó,

∈

< arccot b b

với c

−

− −

arccot a a 1 1 + a2 1 1 + c2 1 1 + b2

dẫn đến điều phải chứng minh.

b) Tương tự câu a).

→

≥

≤

R thỏamãn f (x) 0 1 và f ′′(x)

≤

0 vớimọix > 0. Ví dụ 9.9 (Giữa kì, K59). Chohàmsố f : (0, +∞) vớimọix > 0.Chứngminhrằng f ′(x)

[Lời giải] Giả sử phản chứng, tồn tại x0 > 0 sao cho f ′(x0) > 0.

≥

i) Vì f ′′(x) 0 nên f ′(x) f ′(x0) với mọi x > x0.

∈

ii) Áp dụng Định lý Lagrange cho hàm số f (x) trong khoảng [x0, x] ta có: tồn tại c

(x0, x) sao cho f (x) = f (x0) + f ′(c)(x

−

≥

x0) x0). f (x0) + f ′(x0)(x

− x0) = +∞

+∞

⇒

−

→

≤

f (x) = +∞, f (x0) + f ′(x0)(x lim → trái với giả thiết f (x) iii) Mặt khác, vì f ′(x0) > 0 nên lim +∞ 1 với mọi x > 0.

≤

0 với mọi x > 0. Mâu thuẫn này chứng tỏ f ′(x)

Định lý 1.34 (Định lý Cauchy). Nếucáchàmsố f (x), g(x) thỏamãncácđiềukiện:

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 61

i) Liêntụctrongkhoảngđóng[a, b],

ii) Cóđạohàmtrongkhoảngmở(a, b),

iii) g′(x) khôngtriệttiêutrongkhoảngmở(a, b)

(a, b) saocho

∈

thìtồntạiítnhấtmộtđiểmc

− −

. f (b) g(b) f (a) g(a) f ′(c) g′(c)

Chú ý 1.12. a) Định lý Rolle là trường hợp riêng của định lý Lagrange, định lý La- grangelàtrườnghợpriêngcủađịnhlýCauchy.Cácgiảthiếttrongcácđịnhlýnày làcầnthiết.

(0, 1).

b) ĐịnhlýLagrangecòncómộtdạngkhác,đólàcôngthứcsốgiahữuhạn:

∈

∆ f = f ′ (x0 + θ∆x) , θ

9.2 Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin

Định lý 1.35. Nếuhàmsố f (x)

(i) Cóđạohàmđếncấpn trongkhoảngđóngliêntụctạix0,

(ii) Cóđạohàmđếncấpn + 1 tronglâncậnUǫ(x0),

thì f (x) cóthểbiểudiễndướidạng

−

· · ·

−

f (x) = f (x0) + x0) + x0)n + x0)n+1, f ′(x0) 1! f (n)(x0) n! f (n+1)(c) (n + 1)!

ởđóc làmộtsốthựcnằmgiữax vàx0 nàođó.

Nếu x0 = 0 thì công thức sau còn được gọi là công thức Maclaurin:

· · ·

(1.1) x + xn + xn+1 f (x) = f (0) + f ′(0) 1! f (n)(0) n! f (n+1)(c) (n + 1)!

hay

· · ·

(1.2) x + xn + o(xn), f (x) = f (0) + f ′(0) 1! f (n)(0) n!

ở đó o(xn) là một VCB bậc cao hơn xn.

62 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

n+1)

−

+ α(α

Một số khai triển Maclaurin quan trọng

(α ··· n!

· · ·

x2 + xn + o(xn) (1) (1 + x)α = 1 + αx + α(α − 2

+ (

1 1+x = 1

− · · ·

−

(2) x + x2 1)nxn + o(xn)

+ xn + o(xn)

− x = 1 + x + x2 +

· · ·

−

+ xn

(3)

n! + o(xn)

+ (

(4) ex = 1 + x + x2

2! + 3! + x5 x3

· · · 5! +

(2n+1)! + o(x2n+1)

· · ·

−

+ (

(5) sin x = x 1)n x2n+1

x2 2! + x4

4! +

(2n)! + o(x2n)

−

+ (

(6) cos x = 1 1)n x2n

−

1 xn n + o(xn)

· · · 2 + x3 x2

3 +

−

· · ·

−

1)n (7) ln(1 + x) = x

Các phép toán trên khai triển Maclaurin

+ bnxn +

· · ·

+ anxn + · · · hình thức. Khi đó

Trên khai triển Maclaurin chúng ta có thể thực hiện các phép toán cơ bản sau: cộng, trừ, nhân, chia, hàm hợp, đạo hàm và tích phân. Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia được thực hiện hệt như cộng, trừ, nhân, chia các đa thức. Cho f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + là các chuỗi Maclaurin và g(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x3 +

1. Phép cộng (trừ)

+ (an ±

· · ·

f (x) bn)xn + b3)x3 + g(x) = (a0 ± b0) + (a1 ± b1)x + (a2 ± b2)x2 + (a3 ±

2. Phép nhân

+ cnxn +

· · ·

, f (x)g(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 +

i. Chuỗi

−

+∞ ∑ n=0

n ∑ i=0

anxn và cnxn còn được gọi là tích chập của hai chuỗi ở đó cn = aibn

+∞ ∑ n=0

bnxn.

Ví dụ 9.10. TìmkhaitriểnMaclaurincủahàmsố f (x) = ex sin x.

+ o(xn)

[Lời giải] Xuất phát từ khai triển Maclaurin của hàm số g(x) = ex

· · ·

ex = 1 + x + x2 2! xn n!

+ (

+ o(x2n+1)

và h(x) = sin x

−

· · ·

−

sin x = x x3 3! x5 5! 1)n x2n+1 (2n + 1)!

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 63

ta có

· · ·

x3 + ex sin x = x + x2 + 1 3! 1 2! − (cid:19) (cid:18)

Ví dụ 9.11 (Giữa kì, 20173). Choy = ex sin x.Tínhđạohàmcấpcaoy(6)(0).

(

[Lời giải] Số hạng chứa x6 trong khai triển Maclaurin của y = ex sin x là

−

x = x6. x.( 1)2 x5 5! x3 3! 1)1 x3 3! x5 5! 1 90

Do đó,

−

y(6)(0) = 8. y(6)(0) 6! 1 90 ⇒

• Như vậy, nếu chỉ cần tìm một số số hạng đầu tiên trong khai triển Maclarin của hàm số ex sin x thì có thể dùng phương pháp thực hiện phép nhân này.

•

Tuy nhiên, để tìm được số hạng tổng quát thì phương pháp này lại không hiệu quả. Thay vào đó, ta sẽ đi tính f (n)(x) bằng phương pháp quy nạp như trong Bài tập 1.51d. Từ công thức

x + , f ′(x) = ex(sin x + cos x) =√2ex sin π 4 (cid:17) (cid:16) và

+ cos

= (√2)2ex sin

x + x + sin x + 2. f ′′(x) =√2ex π 4 π 4 π 4 (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:17)i (cid:16) h suy ra

x + n (cid:16) f (n)(x) = (√2)nex sin . π 4 (cid:17) Do đó,

∞ ∑ n=1

xn. ex sin x = (cid:16) (√2)n sin nπ 4 n!

3. Phép chia cũng thực hiện như phép chia đa thức một cách bình thường.

4. Phép lấy hàm hợp. Chúng ta bắt đầu bằng một ví dụ đơn giản sau. Tìm chuỗi Maclau- rin của hàm số f (x) = sin x2. Muốn tìm chuỗi Maclaurin một cách trực tiếp, ta cần tính các đạo hàm cấp cao của hàm số f (x) = sin x2 rồi thay vào công thức

· · ·

x + xn + o(xn). f (x) = f (0) + f ′(0) 1! f (n)(0) n!

Bằng cách tính các đạo hàm cấp một và cấp hai của f (x):

f ′(x) = 2x cos x2, •

64 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

−

4x2 sin x2 + 2 cos x2, f ′′(x) = •

+ (

chúng ta thấy rằng quá trình này sẽ rất phức tạp. Chúng ta có một phương pháp khác. Đó là thực hiện phép đổi biến số, thay x bằng x2 trong khai triển Maclaurin của hàm số

· · ·

−

· · ·

−

sin x = x x3 3! x5 5! 1)n x2n+1 (2n + 1)!

+ (

để được

· · ·

−

· · ·

−

◦

sin x2 = x2 x6 3! x10 5! 1)n x2(2n+1) (2n + 1)!

Bản chất của vấn đề ở đây là chúng ta cần đi tìm khai triển Maclaurin của hàm số hợp ( f g)(x) = f (g(x)). Để tìm hiểu sâu thêm về vấn đề này, công thức Faà di Bruno sau đây giúp chúng ta tính đạo hàm cấp cao của hàm hợp.

Định lý 1.36 (Công thức Faà di Bruno).

+mn)(g(x))

···

· · ·

n ∏ j=1 (cid:16)

f (m1+ g(j)(x) , f (g(x))(n) = ∑ mn! n!mn · n! m1! 1!m1 m2! 2!m2 (cid:17)

+ n

ởđótổngđượclấytrêntấtcảcácbộsốkhôngâm(m1, . . . , mn) thỏamãn

1 mn = n. m2 + 3 m3 + m1 + 2

∞ ∑ n=0

· · · ∞ ∑ n=0

Hệ quả 1.5. Cho f (x) = anxn và g(x) = bnxn là các chuỗiMaclaurin hình

◦

g)(x) cóchuỗiMaclaurinhìnhthứclà thứcvàb0 = 0.Khiđó,hàmsố( f

∞ ∑ n=0

cnxn,

ởđóc0 = a0 và

bik akbi1bi2 · · · cn = ∑ i ∈Cn và

(i1, i2, . . . , ik) : 1

+ ik = n

Cn =

{

· · ·

}

≤

k . n, i1 + i2 +

Trường hợp đơn giản nhất, g(x) = xk thì chỉ việc thay x bằng xk trong khai triển Maclaurin của f (x) để ra khai triển Maclaurin của f (xk) như trong ví dụ hàm số f (x) = sin(x2) đã nêu ở trên.

+ anxn +

5. Phép lấy đạo hàm. Giả sử hàm số f (x) có khai triển Maclaurin là

· · ·

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 65

1 +

−

+ nanxn

Khi đó hàm số f ′(x) có khai triển Maclaurin là

· · ·

f ′(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 +

1+x .

được thực hiện bằng cách lấy đạo hàm của từng thành phần của chuỗi Maclaurin của hàm f (x). Bạn đọc có thể tự kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm chuỗi Maclaurin của hàm sin x để ra chuỗi Maclaurin của hàm số cos x, hoặc lấy đạo hàm của chuỗi Maclaurin của hàm số ln(1 + x) để ra chuỗi Maclaurin của hàm số 1

6. Phép lấy tích phân. Cũng tương tự như vậy, giả sử hàm số f (x) có khai triển Maclau-

+ anxn

rin là

· · ·

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +

+ an

+ a2

Khi đó hàm số f (t)dt có khai triển Maclaurin là

· · ·

f (t)dt = a0x + a1 x2 2 x3 3 xn+1 n + 1

được thực hiện bằng cách lấy tích phân của từng thành phần của chuỗi Maclau- rin của hàm f (x). Chẳng hạn, muốn tìm khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = arctan x, đầu tiên ta tìm chuỗi Maclaurin của hàm số

+ (

−

− · · ·

−

· · ·

1 x2 + x4 1)nx2n + , 1 + x2 = 1

sau đó ta lấy tích phân hai vế thì được

+ (

−

· · ·

−

· · ·

1 arctan x = x3 3 x5 5 1)n x2n+1 2n + 1 1 + t2 dt = x

Ứng dụng của khai triển Maclaurin

1. Tính gần đúng

+ xn

Ví dụ 9.12. Tínhgầnđúngsốe vớisaisốnhỏhơn0, 0001.

2! +

n! + cn+1

(n+1)!

· · ·

với c là một số thực nào đó nằm giữa 0 và x.

Ta có ex = 1 + x + x2 Do đó ta xấp xỉ số e bằng

· · ·

≈ < 1

< 0, 0001. Điều này xảy ra nếu (n + 1)! > 1000

(n+1)!

⇔

e 1 + 1 + 1 2! 1 n!

với sai số mong muốn cn+1 (n+1)! n > 6. Nói cách khác,

≈

e . 1 + 1 + 1 3! 1 4! 1 5! 1 6! 1 2!

66 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

2. Tính giới hạn

−

+ o(x3)

Ví dụ 9.13. Tính x . sin x x3 lim x 0 → Chứng minh. Dựa vào khai triên Maclaurin của hàm f (x) = sin x ta có

−

sin x = x x3 3!

+ o(x3)

nên

∼

−

x sin x = x3 6 x3 6

(theo quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao).

−

Do đó x . sin x x3 1 6 lim x 0 →

Chú ý 1.13. KhisửdụngkhaitriểnMaclaurinđểtínhgiớihạn,cóthểkhaitriển hàmsốđếnsốhạngthíchhợp.ChẳnghạnnhưởVídụbêntrên,mẫusốlàx3 nênta chỉkhaitriểntửsốđếnsốhạng x3,cònphầnVCBbậccaoởphíasausẽđượcngắt bỏ.

cos x

Ví dụ 9.14 (Giữa kì, K61). Tínhgiớihạn

−

sin x x2

1 − x2

∈

= 1.

ax+b sin(sin x) x3

ax2+b ln(cos x) x4

. . a) lim x 0 → b) lim x 0 → R saocho Ví dụ 9.15 (Giữa kì, K62). Tìma, b

b) lim x 0 → a) lim x 0 →

[Lời giải]

+ o(x4)

a) Ta có

−

+ o(x4)

1 ln(cos x) = ln x4 24 (cid:19) (cid:18)

−

x2 2 x4 24 x2 2 x4 24 1 2 x2 2 (cid:18) (cid:19)

−

− x2 2 −

(cid:19) (cid:18) + o(x4). x4 12

Do đó,

b 12 x4 + o(x4)

b 2

−

0 (cid:16)

− x4

⇒

−

= lim x →

x2 a a = 6, b = 12. (cid:17) ax2 + b ln(cos x) x4 1 = lim x 0 →

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 67

+ o(x4)

−

= x

x sin(sin x) = sin x3 6

+ o(x4)

−

= x

x (cid:19) + o(x4) 1 6 x3 6 (cid:19)

−

(cid:18) + o(x4). (cid:18) x3 6 − x3 3

(a + b)x

3 + o(x4)

−

Do đó,

−

⇒

= lim x 0 →

a = 3, b = 3. ax + b sin(sin x) x3 b x3 x3 1 = lim x 0 →

3. Tính đạo hàm cấp cao f (n)(0).

Ví dụ 9.16 (Giữa kì, K61). Tínhđạohàmcấpcaoy(10)(0) với

c) y(x) = arctan x,

a) y(x) = ex2, x2, d) y(x) = arccot x. b) y(x) = e−

[Lời giải] Ngoài phương pháp dựa vào công thức truy hồi như ở Ví dụ 8.10, ta có thể dựa vào khai triển Maclaurin.

a) Thay x bởi x2 trong công thức khai triển Maclaurin của ex ta có

= 1 + x2 +

(x2)2 2!

(x2)3 3!

(x2)n n!

· · ·

+∞ ∑ n=0

ex2 xn. y(n)(0) n!

So sánh hệ số của x10 ta được

= 30240.

y(10)(0) = y(10)(0) 10! 10! 5! 1 5! ⇒

b) Tương tự câu a).

1+x ta được khai

c) Thay x bằng x2 trong khai triển Maclaurin của hàm số f (x) = 1

1+x2 như sau:

triển Maclaurin của hàm số f (x) = 1

+ (

−

− · · ·

−

· · ·

1 x2 + x4 1)nx2n + ,

1 + x2 = 1 Lấy tích phân hai vế ta được

+ (

−

· · ·

−

· · ·

+∞ ∑ n=0

1 xn arctan x = x3 3 x5 5 1)n x2n+1 2n + 1 y(n)(0) n! 1 + t2 dt = x

So sánh hệ số của x10 hai vế ta được y(10)(0) = 0.

Ví dụ 9.17 (Cuối kì, K62). Tínhđạohàmcấpcaoy(10)(0) với

68 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

a) y(x) = sin(x2). b) y(x) = cos(x2).

[Lời giải]

(

a) Thay x bằng x2 trong khai triển Maclaurin của sin x

−

+∞ ∑ n=0

sin x = 1)n x2n+1 (2n + 1)!

(

ta được

−

+∞ ∑ n=0

sin(x2) = xn. 1)n x2(2n+1) (2n + 1)! y(n)(0) n!

= (

So sánh hệ số của x10 hai vế ta được

= 30240.

−

1)2. y(10)(0) = y(10)(0) 10! 10! 5! 1 5! ⇒

b) Tương tự câu a).

Ví dụ 9.18 (Giữa kì, K62). Tínhđạohàmcấpcaoy(9)(0) với

−

x + x2). a) f (x) = ln(1 b) g(x) = ln(1 + x + x2).

[Lời giải]

(

1xn

−

+ o(x9)

a) Ta có

−

9 ∑ n=1

f (x) = ln(1 x + x2) = ln(1 + x3) ln(1 + x) = x3 1)n n x6 2 x9 3 −

Hệ số của x9 trong khai triển Maclaurin của f (x) bằng

. f (9)(0) 9! 1 9 2 9 1 3 −

Do đó,

f (9)(0) = 2.8! = 80640

b) Tương tự câu a).

Ví dụ 9.19. a) TìmkhaitriểnMaclaurincủahàmsố f (x) = arcsin x.

b) Tínhđạohàmcấpcaoarcsin(n)(0) (Giữakì,K59).

[Lời giải]

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 69

a) Nhận xét (arcsin x)′ = 1 √1 −

(1 + x)α =

−

x2 . Trong trường hợp này có lẽ "không có" hoặc "rất khó" để tìm ra công thức tính đạo hàm cấp cao của hàm số arcsin x. Vì vậy, ta xuất phát từ công thức khai triển Maclaurin của hàm số (1 + x)α ∞ ∑ n=0

α(α 1) . . . (α n + 1) xn. n!

1 2 ta được

−

Thay α =

1 2

(

−

1 2 −

−

∞ ∑ n=0

1 . . . 1) 1)!! xn = xn. (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:16) n! 1)n(2n 2nn! 1 √1 + x

−

(

Thay x bằng x2 ta được

(2n

(

−

(arcsin x)′ =

− (2n)!!

−

√1

∞ ∑ n=0

−

1)!! 1)!! 1 x2)n = x2n 1)n(2n 2nn! x2

(2n

Do đó

(2n

− (2n)!!

∞ ∑ n=0

1)!! 1)!! 1)!! t2ndt = t2ndt = arcsin x = . x2n+1 2n + 1

b) Dựa vào công thức khai triển Maclaurin của hàm số arcsin x suy ra

arcsin(2n)(0) = 0, arcsin(2n+1)(0) = [(2n 1)!!]2.  



− Ví dụ 9.20 (Cuối kì, 20152). Chohàmsố f (x) = x 1+x3.Tínhd10 f (0).

1 1+x3 , áp dụng công thức Leibniz ta có

(n)

−

[Lời giải] f (x) = x

+ n.

f (n)(x) = x . 1 1 + x3 1 1 + x3 (cid:18) (cid:18) (cid:19) (cid:19)

1+x3 .

Thay x = 0, n = 10 vào ta có f (10)(0) = 10g(9)(0), với g(x) = 1

+ (

(x3)3 +

= 1

− · · ·

⇒

−

· · ·

1 x + x2 x3 + (x3)2 1)nxn + o(xn) 1 + x3 = 1

− 1+x3 bằng

Ta có 1 1 + x Từ đó suy ra hệ số của x9 trong khai triển Maclaurin của g(x) = 1

⇒

−

g(9)(0) g(9)(0) = 9! f (10)(0) = 10! d10 f (0) = 10!dx10 1 = 9! ⇒

− − Bài tập 1.53. TìmkhaitriểnMaclaurincủahàmsố f (x) = arccos x.

2 để suy ra khai triển Maclau-

[Gợi ý] Có thể dựa vào đẳng thức arcsin x + arccos x = π rin của hàm số f (x) = arccos x.

70 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

9.3 Quy tắc L’Hospital

Định lý 1.37 (Quy tắc L’Hospital). Giảthiết

= 0 tronglâncậnấy,

i) Cáchàmsố f (x), g(x) khảvitrongmộtlâncậnnàođócủađiểm x0 (cóthểtrừtại

điểmx0)đồngthờig′(x) 6

f (x) g(x) = A.

f ′ (x) g′ (x)

khửdạng . g(x) = 0 0 0 ii) lim x0 x → f (x) = lim x0 → (cid:18) (cid:19)

= A (cóthểhữuhạnhoặcvôhạn)thì lim x0 →

Khiđónếutồntại lim x0 →

Chú ý 1.14. QuytắcL’Hospitaltrênvẫnđúngnếu

→

thayquátrìnhx x0 bởimộttrongcácquátrình •

+∞ hoặcx

→

→ −

x ∞. x+ 0 , x x−0 , x

g(x) = 0 bởi • thayđiềukiện lim x0 → f (x) = lim x0 →

= 0.

khửdạng g(x) = ∞ ∞ ∞ lim x0 x → f (x) = ∞, lim x0 → (cid:16) (cid:17)

Ý tưởng chứng minh: Chúng ta chứng minh quy tắc L’Hospital cho trường hợp đơn giản, g′(x0) 6

= x0 ta có

(Cauchy) =

1. Nếu f (x0) = g(x0) = 0 thì Với x 6

− −

, f (x) g(x) f (x) g(x) f ′(c) g′(c) f (x0) g(x0)

= A, suy ra

c nằm giữa x và x0.

→

= A.

Khi x x0 thì c f ′(x) g′(x) x0. Do lim x0 →

= lim x0 c →

f (x) g(x) f ′(c) g′(c) lim x0 x →

g(x) = 0 mà các hàm số chưa chắc đã xác định tại x0. Ta 2. Nếu chỉ có lim x0 → f (x) = lim x0 → xây dựng

0, 0, F(x) = G(x) = x x f (x), g(x), x = x0 = x0, x = x0 = x0.     6 6

→

  . 3. Nếu x ∞, đặt y = 1 x

Ví dụ 9.21 (Giữa kì, K61). Tínhgiớihạn

sin x

e2x

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 71

−

sin 2x − x2

ln(1+x) x2

. . b) lim x 0 → a) lim x 0 → Ví dụ 9.22. Tínhcácgiớihạnsau:

−

→

xα ln x, , c) lim 0+ x sin x x arcsin3 x a) lim x 0 →

xx, . b) lim 0+ x ax x d) lim ∞ x →

→ Chú ý 1.15.

. Haiquitắctrênchỉlàđiềukiệnđủđểtìmlim • f (x) g(x)

= 0 theonguyênlýgiớihạnkẹp,nhưngnếuápdụngquytắc

x2 sin 1 x

Vídụnhư lim 0 → sin x L’Hospitalthìsẽdẫnđếnkếtquảsai.

• Trongquátrìnhtìmgiớihạncódạngvôđịnh,nênkếthợpcảthaytươngđươngvới dùngquitắcL’Hospitalđểđạtđượchiệuquảtốtnhất.

CóthểdùngquitắcL’Hospitalnhiềulần. •

Chú ý 1.16. CôngthứcL’Hospitalđượccôngbốlầnđầuvàonăm1696trongcuốnsách Analyse des Infiniment Petits, pour intelligence des lignes courbes củanhàtoánhọcngười PhápMarquisdel’Hospital(1661-1704),nhưngnólạiđượckhámphávàonăm1694bởi nhà toán học người Thụy Sỹ John (Johann) Bernoulli (1667-1748). Điều này được giải thíchvìhainhàtoánhọccómộtthỏathuậnlạkì,rằngMarquisdel’Hospitalmuaquyền sởhữucácphátminhcủaBernoullitrongmộtkhoảngthờigiannhấtđịnh.Bứcthưsau đâycủal’Hopitalvàongày17tháng3năm1694đãđềxuấtmộttrongnhữngthỏathuận khácthườngnhấttronglịchsửkhoahọc.

"Iwillbehappytogiveyouaretainerof300pounds,beginningwiththefirstofJan- uaryofthisyear...Ipromiseshortlytoincreasethisretainer,whichIknowisverymod- est,assoonasmyaffairsaresomewhatstraightenedout...Iamnotsounreasonableas todemandinreturnallofyourtime,butIwillaskyoutogivemeatintervalssomehours ofyourtimetoworkonwhatIrequestandalsotocommunicatetomeyourdiscoveries,at thesametimeaskingyounottodiscloseanyofthemtoothers.Iaskyouevennottosend heretoMr.Varignonortoothersanycopiesofthewritingsyouhaveleftwithme;ifthey arepublished,Iwillnotbeatallpleased.Answermeregardingallthis..."

9.4 Về một số dạng vô định

∞ , còn có thể được

0 , ∞

Quy tắc L’Hospital, ngoài việc được áp dụng để khử dạng vô định 0

dùng để khử các dạng vô định sau:

72 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

f (x)g(x) ta có thể viết 1. Dạng vô định 0 ∞. Chẳng hạn như muốn tính giới hạn lim x0 → nó dưới dạng

f (x) 1/g(x) lim x0 x →

để áp dụng công thức L’Hospital.

→

x ln x. Ví dụ 9.23. Tính lim 0+

−

2. Dạng vô định ∞ ∞. Để tính các giới hạn này chúng ta đưa phép trừ về dạng phép

thương, chẳng hạn như quy đồng mẫu số, đặt nhân tử chung.

1 sin x

1 x −

. Ví dụ 9.24. Tính lim 0 → (cid:17) (cid:16)

A(x)B(x). Đặt f (x) = A(x)B(x) và đi tính 3. Tính các giới hạn có dạng lim x0 →

ln A(x) 1/B(x) lim x0 x → ln f (x) = lim x0 → B(x) ln A(x) = lim x0 →

0 , nghĩa là

ln A(x) 1/B(x) có dạng 0

bằng cách áp dụng công thức L’Hospital.

• Nếu lim x0 x →

1/B(x) = 0. lim x0 x → ln A(x) = 0, lim x0 →

B(x) = ∞ ta có dạng vô định 1∞.

Khi đó, lim A(x) = 1, lim x0 x0 → → ln A(x) 1/B(x) có dạng ∞ ∞ , nghĩa là • Nếu lim x0 x →

1/B(x) = ∞. lim x0 x → ln A(x) = ∞, lim x0 →

Khi đó,

B(x) = 0 ta có dạng vô định 00, – hoặc lim x0 → A(x) = 0, lim x0 → B(x) = 0 ta có dạng vô định ∞0.

x – hoặc là lim x0 →

x A(x) = ∞, lim x0 →

A(x)B(x). Chú ý rằng chỉ có ba dạng vô định 00, 1∞, ∞0 cho các giới hạn có dạng lim x0 →

Các trường hợp khác hay bị nhầm lẫn sau đây đều không phải là dạng vô định và có thể tính trực tiếp dựa vào các quy tắc tính giới hạn:

∞ = +∞,

01 = 0, 0+∞ = 0, 10 = 1, 11 = 1, ∞1 = ∞, ∞∞ = ∞. 0−

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 73

9.5 Thay tương đương khi có hiệu hai VCB?

Đây có lẽ là một câu hỏi thú vị và được rất nhiều bạn đọc quan tâm. Chúng ta bắt đầu

với một ví dụ sau đây.

Ví dụ 9.25 (Câu 6, Đề 4, Giữa kì K61). Tính

−

ex cos x . sin x x2 lim x 0 →

[Lời giải]

Cách 2: Dùng quy tắc L’Hospital

−

(ex

−

ex cos x ex cos x Cách 1: Thay tương đương sin x x2 sin x x2 cos x) 1) ex cos x + sin x sin x + (1 x2 lim x 0 → = lim x 0 → x

x + x2 2 x2 2x ex + sin x + cos x 2

= lim x 0 → 1 2

lim x 0 → = lim x 0 → = lim x 0 → =1.

Trong hai cách giải trên chắc chắn có một cách giải sai, và sai lầm ở đâu? Đây là sai lầm nhiều người hay mắc phải khi thay tương đương trong các biểu thức có chứa dấu .

± α2(x), β1(x)

→

∼

x0 vàα1(x)

Chú ý 1.17. Nếuα1(x), α2(x), β1(x), β2(x) làcácVCBkhix β2(x) thì

∼

α2(x) β2(x)

α2(x)β2(x) α1(x)β1(x) •

α1(x) β1(x) = lim x0 →

• lim x0 x →

∼

→

∼

x khix x, tan x 0, α2(x) β2(x).Chẳnghạn,sin x β1(x)

−

∼

sin x nhưngchưachắcα1(x) ± 1 2 x3. nhưngtan x

−

α1(x) α2(x)

β1(x) có tương đương với α2(x)

− −

α2(x) β2(x) = 0 (theo định nghĩa của

hay không không? Đây là một β2(x) hay β1(x) β2(x) . Ta chia làm 4 trường hợp Vậy có thay tương đương được trong biểu thức có dấu câu hỏi rất thú vị. Muốn biết biểu thức α1(x) không thì chúng ta quay về Định nghĩa, đi tính lim a → như sau:

1 1 = 1. Vậy α1(x)

−

− −

α1(x) β1(x) = lim a x → α1(x) 1 . β1(x) β1(x) − β2(x) = 0 α2(x) β2(x) −

α1(x) VCB bậc cao). Khi đó lim − α2(x) a − → β2(x).

−

β1(x) 1. Nếu α1(x) là VCB bậc cao hơn β1(x) thì lim a → β1(x) β2(x) = lim a → tương đương với α2(x)

β2(x) α2(x) = 0 (theo định nghĩa của

74 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

1 1 = 1. Vậy α1(x)

−

− −

β1(x) α1(x) = lim a x → β1(x) 1 . α1(x) α1(x) − α2(x) = 0 β2(x) α2(x) −

α1(x) VCB bậc cao). Khi đó lim − α2(x) a − → β2(x).

−

α1(x) β1(x) =

β1(x) 2. Nếu β1(x) là VCB bậc cao hơn α1(x) thì lim a → β1(x) β2(x) = lim a → tương đương với α2(x)

1 1 = 1. Vậy α1(x)

−

− −

β1(x) β2(x) = lim a →

α1(x) = 1. Khi đó lim − α2(x) a − → β2(x).

x đương với α2(x)

−

α1(x) α2(x)

β1(x) β2(x) =

− −

A β1(x) tương . β1(x) β2(x) = A 6 3. Nếu α1(x) và β1(x) là các VCB cùng bậc nhưng không tương đương thì lim a → α1(x) β1(x) − α2(x) β2(x) −

α1(x) β1(x) = 1. Khi đó lim →

1 1 là dạng vô định 0

0 nên không xác định được giới hạn của nó.

4. Nếu α1(x) và β1(x) là các VCB tương đương thì lim a →

− −

α1(x) β1(x) − α2(x) β2(x) −

. β1(x) β2(x) = 1 lim a x →

−

5. Nếu α1(x) và β1(x) là các VCB không so sánh được với nhau, thì α1(x) β1(x) và

−

α2(x) β2(x) có thể không so sánh được với nhau.

→

∼

α2(x), β1(x) x0 và α1(x)

∼

−

∼

β1(x)

− ∼

−

∼

−

∼

x2 x sin x vì tan x 2x x = x hoặc sin x tan2 x

Kết luận: Nếu α1(x), α2(x), β1(x), β2(x) là các VCB khi x ∼ β2(x) thì α1(x) β2(x) ngoại trừ trường hợp α1(x) và β1(x) là các α2(x) VCB tương đương hoặc không so sánh được với nhau. Ví dụ, không thay tương sin x, nhưng vẫn thay tương đương đương được trong biểu thức tan x được trong biểu thức tan 2x x. Bạn đọc sin x cần nắm vững điều này, và trong trường hợp không chắc chắn thì tốt nhất nên tránh thay tương đương trong các biểu thức có chứa dấu cộng và dấu trừ.

−

Trường hợp α1(x) + β1(x) có tương đương với α2(x) + β2(x) hay không chúng ta lập luận β1(x)

tương tự. Vẫn thay tương đương được bình thường ngoại trừ trường hợp α1(x) và là các VCB tương đương hoặc không so sánh được với nhau.

−

x x = 0 để dẫn đến (ex sin x + (1 1) sin x

− sin x. Thực tế thì (ex

−

∼

(ex ∼ thực hiện được điều này bởi vì ex x

Quay trở lại Ví dụ 9.25 nêu trên thì sai lầm là ở chỗ chúng ta đã thay tương tương x2 2 . Chúng ta không 1) ∼ sin x là một VCB khi cos x) 1) 1

→

0 và nếu nhìn vào khai triển Maclaurin của các hàm số ex và sin x thì ta thấy

2 + o(x2)

ex = 1 + x + x2 •

x3 3! = o(x2))

−

sin x = x + o(x2) (số hạng tiếp theo trong khai triển này là •

+ o(x2)

(ex

nên

∼

− x

. 1) sin x = x2 2 x2 2

− sin x

−

∼

−

1) x = 0 nghiễm nhiên chúng ta đã làm mất đi số

Cho nên khi thay (ex hạng x2 2 .

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 75

Ví dụ 9.26 (Câu 5, Đề 1, Giữa kì K61). Tính

−

− x2

ex cos x ln(1 + x) . lim x 0 → [Gợi ý] Một cách tương tự, hãy chỉ ra rằng với bài tập trên nếu

2 (SAI)

thay tương đương ta được kết quả bằng 1 •

2 (ĐÚNG).

dùng công thức L’Hospital hoặc khai triển Maclaurin ta được kết quả bằng 3 •

9.6 Hiệu hai VCB tương đương

−

Trong mục trước, chúng ta biết rằng không thay tương đương được trong biểu thức β(x) nếu α(x) và β(x) là các VCB tương đương. Vậy hiệu của hai VCB tương đương

α(x) là gì?

Bổ đề 1.1. HiệucủahaiVCBtươngđươnglàmộtVCBbậccaohơncảhaiVCBđó.

→

∼ α(x)

Chứng minh. Giả sử α(x) β(x) khi x x0. Khi đó,

= 1

− α(x)

−

β(x) 1 = 0. β(x) α(x) lim x0 x → lim x0 x → Vậy theo định nghĩa, α(x) β(x) là một VCB bậc cao hơn α(x).

Ví dụ 9.27 (Một số ví dụ về hiệu hai VCB tương đương).

x3 6

∼

−

∼

a) x sin x h) tan x arcsin x

x3 3

2x3 3

∼ −

−

∼

b) x tan x i) tan x arctan x

x3 6

−

x3 2

−

∼

c) x arcsin x j) arcsin x arctan x

∼ − x3 3

∼

d) x arctan x

(ex

x2 2

−

∼ −

−

− e) sin x

x3 2

∼ −

−

k) x 1) tan x

x2 2

x3 3

−

l) x ln(1 + x) f) sin x arcsin x

∼ − x3 6

x4 24

−

∼

−

∼ x2 2 ∼ −

g) sin x arctan x m) (1 cos x)

−

(ex

sin x

∼ x2 2 cùng bậc với VCB β(x) = x2 khi x

∼ −

→

−

− x2017 thì chỉ cần chọn β(x) = x

−

∼

−

Hiệu hai VCB cùng bậc là một VCB bậc cao hơn cả hai VCB đó, vậy cụ thể, cao hơn là bậc bằng bao nhiêu? Lấy, chẳng hạn, α(x) = x, ở ví dụ trên ta đã chỉ ra một số hiệu của x3 6 cùng bậc với VCB α(x) = x3, hai VCB tương đương "trong tự nhiên", như là x còn x 0. Với các VCB tương đương − β(x) có thể cùng bậc với xa (a > 1) bất kì. Chẳng hạn như muốn "nhân tạo" sau đây thì x x x2017. Khi đó, β(x)

∼

−

x x x2017 (ngắt bỏ VCB bậc cao), và x x2017) = x2017

76 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

9.7 Ba phương pháp (mới) để tính giới hạn

Như vậy đến thời điểm hiện tại chúng ta đã học được ba phương pháp mới để tính giới

hạn, đó là

Phương pháp sử dụng VCB-VCL (thay tương đương, ngắt bỏ), •

Phương pháp dùng khai triển Maclaurin, •

Phương pháp dùng quy tắc L’Hospital. •

Mỗi một phương pháp đều có các ưu, nhược điểm riêng và tương ứng với các bài toán đặc thù. Để so sánh các phương pháp này với nhau, ta minh họa bằng vẽ và 6 Ví dụ sau đây.

VD 4

VCB

VD 2 VD 1 VD 3 VD 5 VD 6

L’Hospital Maclaurin

−

Ví dụ 1 (Cả ba phương pháp đều áp dụng được).

cos x 1 ln(1 + x2) lim x 0 → Ví dụ 2 (Sử dụng VCB hoặc khai triển Maclaurin. Không nên dùng L’Hospital).

−

1 cos x + x2 sin x

lim x 0 → x + sin2 x + arcsin3 x + arctan4 x Ví dụ 3 (Sử dụng khai triển Maclaurin hoặc L’Hospital. Không thay tương đương).

−

x sin x + x3 . x3 lim x 0 →

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 77

Ví dụ 4 (Khai triển Maclaurin. Không thay tương đương (tử số) và L’Hospital).

−

x x3 . sin x arcsin(arctan3 x) lim x 0 →

Ví dụ 5 (Sử dụng L’Hospital. Không dùng VCB, Maclaurin).

xx. , hoặc lim 0+ ln x x lim 0+ x →

→ Ví dụ 6 (Không dùng cả ba phương pháp trên).

−

+∞

. sin x x x + cos x lim →

= 1.

−

[Lời giải]

sin x 1 x − 1 + cos x x

= lim ∞ x →

sin x x x + cos x lim ∞ x →

−

Chú ý 1.18. Trongquátrìnhtìmgiớihạncủacácdạngvôđịnh,nênlinhhoạttrongcách xửlý,cóthểkếthợpnhiềuphươngphápvớinhauđểđạthiệuquảtốtnhất.Chẳnghạn nhưtrongVídụ(4)nêutrên, x x3 , sin x arcsin(arctan3 x)

lim x 0 → nênsửdụngkhaitriểnMaclaurinởtửsốvàthaytươngđươngởmẫusố.

9.8 Về các VCL tiêu biểu

+∞), đó là

→ Các hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1, ví dụ ax (a > 1),

Chúng ta đã học về các VCB, VCL, các quy tắc thay tương đương, các quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao, ngắt bỏ VCL bậc thấp. Tuy nhiên, các bài tập về VCL thường hay bị lãng quên vì một lý do nào đó. Chúng ta đã học các VCB tương tương hay dùng, nhưng chưa có nhiều ví dụ về các VCL. Chính vì vậy, mục này sẽ dành riêng để nói về ba VCL tiêu biểu (khi x

•

Các hàm số đa thức, các hàm số là lũy thừa của x, chẳng hạn xn, xα, (α > 0), •

+∞, tuy nhiên với tốc độ khác nhau. Trong Cả ba hàm số này đều tiến ra vô cùng khi x → ba hàm số này thì hàm số mũ (với cơ số lớn hơn 1) là VCL có bậc cao nhất (tiến ra vô cùng với tốc độ nhanh nhất), sau đó đến các hàm số đa thức, và cuối cùng là các hàm số logarit (với cơ số lớn hơn 1).

Các hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1, như ln x, loga x (a > 1). •

78 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

≻

Hàm số mũ Hàm số đa thức Hàm số logarit

Cụ thể, bạn đọc có thể tự chứng minh dễ dàng hai giới hạn sau (bằng cách dùng quy

= ∞,

tắc L’Hospital):

+∞

∀

a > 1, α > 0. ax xα = ∞, xα loga x lim → lim →

+∞

Ví dụ 9.28. Tính

ln x + x2016 + ex log2 x + x2017 + 2ex . lim →

+∞.

→

∼

+∞

ex, ÁpdụngquytắcngắtbỏVCLbậcthấptađược, khix 2ex ln x + x2016 + ex ∼ log2 x + x2017 + 2ex   Dođó,  . 1 2 ln x + x2016 + ex log2 x + x2017 + 2ex = lim →

Bạn đọc sẽ thường xuyên gặp lại các VCL này khi học về Tích phân suy rộng (trong học phần Giải tích I này) và Chuỗi số (trong học phần Giải tích III, học kì 2).

9.9 Bài tập ôn tập

1 =

−

(x2, x3) sao cho f ′(c1) = f ′(c2) = 0. Tức là phương trình xn

(x1, x2), c2 ∈

−

1 + p

−

Bài tập 1.54. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q với n nguyên dương không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn và không thể có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ.

−

Chứng minh. Xét n chẵn, giả sử phương trình có 3 nghiệm thực x1 < x2 < x3, khi đó tồn p tại c1 ∈ n có 2 nghiệm thực, điều này mâu thuẫn do n chẵn. Xét n lẻ, giả sử phương trình có 4 nghiệm thực x1 < x2 < x3 < x4, khi đó theo định lý Rolle, phương trình xn n = 0 có 3 nghiệm thực, trong khi theo trên ta vừa chứng minh thì nó không thể có quá 2 nghiệm thực do n 1 chẵn.

− −

−

≤

không áp Bài tập 1.55. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f (b) g(b) f (a) g(a) f ′(c) g′(c) x dụng được với các hàm số f (x) = x2, g(x) = x3, 1 1

Bài tập 1.56. Chứng minh các bất đẳng thức

< a

< ln

−

| ≤ |

−

− a

− b

≤

b a b a) x y sin x sin y b) b , 0 a. a b

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 79

Chứng minh. a) Xét hàm số f (t) = sin t, thoả mãn điều kiện của định lý Lagrange

[x, y] sao cho

∃

∈

c trong khoảng [x, y] bất kì. Khi đó

−

⇒|

−

| ≤ |

−

y) x y sin x y) = cos c.(x sin x sin y sin y = f ′(c).(x

b) Xét hàm số f (x) = ln x, thoả mãn điều kiện của định lý Lagrange trong khoảng [b, a]

− c

−

⇒

−

⇒

< a

< ln

− a

− b

nên a b a) b) ln ln a ln ln b = f ′(c)(a b a 1 c a b Vậy b a b , do b < c < a. a b

Bài tập 1.57. Tìm giới hạn

∞ ∞

+∞

−

(∞

− xsin x (00),

−

− 1 x

tan πx 2 (a) x + x + √x x (∞ ∞), (f) , x) ln(1 lim → lim x 1− → p (cid:0) (cid:1) q x ∞), (g) x 1 ln x 1 − (b) lim x 1 → (cid:18) (cid:19) lim 0+ x →

−

x sin x (1∞),

0 0

−

e (c) , a tan2 x) lim ∞ x → 1 1 (h) lim x 0 →

− q ex sin x

−

0 0

cos x)tan x (00), cos 1 x 1 x2 (cid:0) (cid:1) x(1 + x) , (i) lim x 0 →

(sin x)tan x (1∞).

− x3 2 ln(2

−

(cid:0) (j) tan πx (cid:1) x) (∞.0), lim π x 2 → (d) lim x 0 → (e) lim x 1 →

[Gợi ý]

(a) Sử dụng phương pháp nhân liên hợp, đáp số: 1 2 .

x , sau đó độc giả có thể dùng khai triển Maclaurin hoặc công thức L’Hospital,

(b) Quy đồng mẫu số rồi sử dụng công thức L’Hospital, đáp số: 1 2 .

(d) Sử dụng khai triển Maclaurin hoặc công thức L’Hospital, đáp số: 1 3 .

2 xuống mẫu số), hoặc đặt t = 1

−

(e) Sử dụng trực tiếp công thức L’Hospital (đưa tan πx và dùng công thức thay tương đương. đáp số: 2 π .

−

(f) Sử dụng công thức L’Hospital, đáp số: ∞.

(g) Sử dụng công thức lim A(x)B(x) = elim B(x) ln A(x), đáp số: 1.

80 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

(h) Sử dụng công thức lim A(x)B(x) = elim B(x) ln A(x), đáp số: e−

(i) Sử dụng công thức lim A(x)B(x) = elim B(x) ln A(x), đáp số: 1.

(j) Sử dụng công thức lim A(x)B(x) = elim B(x) ln A(x), đáp số: 1.

Bài tập 1.58. Tính các giới hạn sau

−

− x2 sin x

1 x −

−

+∞

1 x2

[ln(1 + x)

1 , (a) x x2 ln 1 + 1 x , lim ∞ x → cos2 x − x sin 2x (i) lim x 0 → (cid:19) (cid:18) (cid:17)i sin x x cos x , 1 (cid:16) cot x h 1 x , ex 1 1 x − (j) lim x 0 → (cid:18) x2], x. 3√1 (cid:16) (cid:17) 5[sin(sin x) x− (k) (cid:19) − ( 2 π arctan x)x, (b) lim x 0 → (c) lim x 0 → lim →

−

x2 2

, ex x (d) lim x 0 → arctan x x sin x (l) lim x 0 →

− x4

cos x e− (m) , , ln x 1 + 2 ln(sin x) lim 0+ x → (e) lim x 0 →

−

− x3

sin x x cos x x ln(1 + x) , , x2 (n) lim x 0 → (f) lim x 0 →

− x sin x

√cos x

−

x sin x , , 1 sin x 1 x − x2 √1 + x sin x (o) lim x 0 → (g) lim x 0 → (cid:18) (cid:19)

= 0, b

= 0.

−

, , a tan x x x − sin x ln(cos ax) ln(cos bx) 6 6 (h) lim x 0 → (p) lim x 0 → (cid:18) (cid:19)

[Gợi ý]

(h) L’Hospital, đáp số: 2. (a) Đáp số: 1 2 .

(i) L’Hospital, đáp số: 1 2 . (b) Khai triển Taylor, đáp số: 1 3 .

3 2 .

−

2 π .

(j) Quy đồng mẫu số và L’Hospital, đáp (c) ĐS: 7 45 . số: 1 2 . (d) Khai triển Taylor, đáp số:

1 12 .

−

(k) ĐS: e− (e) Khai triển Taylor, đáp số: (l) L’Hospital, đáp số: ∞.

(f) Khai triển Taylor hoặc L’Hospital, đáp (m) L’Hospital, đáp số: 1 2 . số: 1 2 .

(n) L’Hospital, đáp số: 1 3 . (g) Khai triển Taylor hoặc L’Hospital, đáp

số: 0. (o) Nhân liên hợp, đáp số: 4 3 .

9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 81

a2 b2 .

(p) L’Hospital, thay tương đương, đáp số:

−

tồn tại và bằng 1 nhưng không tính được x sin x x + cos x Bài tập 1.59. Chứng minh rằng lim ∞ → bằng quy tắc L’Hospital.

= 1.

−

Chứng minh.

sin x 1 x − 1 + cos x x

= lim ∞ x →

x sin x x + cos x

−

lim ∞ x → Nếu áp dụng quy tắc L’Hospital một cách hình thức thì ta có

= lim ∞ x →

− −

sin x x x + cos x cos x sin x 1 1 lim ∞ x →

2 = 2kπ

Tuy nhiên giới hạn ở vế phải không tồn tại, có thể kiểm tra bằng cách chọn 2 dãy xk = 2kπ và yk = π

Bài tập 1.60. Tính các giới hạn sau:

2 π arctan x

a1/x+b1/x 2

(cosh x

1) ln(1+x)

x3/2

√1+x2 cos x

a) b) , a, b > 0. lim ∞ x → lim ∞ x → (cid:17) (cid:16) (cid:0) (cid:1) Bài tập 1.61. Dùng khai triển Maclaurin để tính các giới hạn sau:

−

1 x(tan x

sinh x) ,(1)

− x(sin x

− arcsin x)

−

. (2) a) lim x 0 → b) lim x 0 →

→

Bài tập 1.62. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x 0

−

x3 sin3 x(1 + ax + bx2) f (x) = b x 1 x3 − a x2 − 1 sin3 x − x3 sin3 x

+ o(x3)

Chứng minh. Tại lân cận của x = 0, ta có thể viết

−

sin x = x x3 3!

+ o(x3)]3 = x6 + o(x6)

do đó

−

Mẫu số = x3[x x3 3! và

[x3 + ax4 + (b

)x5 + cx6 + o(x6)]

−

Tử số = x3 sin3 x(1 + ax + bx2) = x3

⇒

−

ax4 + (b f (x) = 1 − − 2 1 2 )x5 + cx6 + o(x6) − x6 + o(x6)

→

(1)sinh x = ex e− − 2 (2)cosh x = ex+e− 2

Do đó để tồn tại giới hạn hữu hạn của f (x) khi x 0, ta phải có a = 0, b = 1 2

82 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

(a, b) có thể tìm được ít nhất 1 điểm c

(a, b) sao cho

∀

∈

Bài tập 1.63. Cho f là một hàm số thực, khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f ”(x) trên (a, b), chứng minh rằng x

−

∈ a)(x 2

−

− −

(a, b) bất kì.

b) a) = f (x) f (a) f ”(c) f (b) b f (a) a

Chứng minh. Lấy x0 ∈

−

− −

b) f (a) a) Đặt ϕ(x) := f (x) .λ f (b) b f (a) a a)(x 2

Trong đó λ được xác định bởi điều kiện :

(x0 −

−

− −

(a, x0) sao cho ϕ′(c1) = 0. Tương tự như thế, tồn tại c2 ∈

b) a) f (a) .λ = 0 ϕ(x0) = f (x0) f (b) b f (a) a a)(x0 − 2

)

Khi đó ta có ϕ(x0) = ϕ(a) = ϕ(b) = 0 Ta có hàm ϕ liên tục, khả vi trên [a, x0], đo đó ϕ thoả mãn các điều kiện trong định lý Rolle, suy ra tồn tại c1 ∈ (x0, b) sao cho ϕ′(c2) = 0. Mặt khác,

−

λ(x ϕ′(x) = f ′(x) f (b) b f (a) a a + b 2

(c1, c2) sao cho ϕ”(c) = f ”(c)

⇒

−

∈

− − Theo giả thiết, f có đạo hàm cấp 2, do đó ϕ cũng có đạo hàm cấp 2, và ϕ”(c1) = ϕ”(c2) = 0, λ = f ”(c), nên theo định lý Rolle ta có tồn tại c và ta có :

λ = 0

−

− −

b) f (x) f (a) a) = f ”(c) f (b) b f (a) a a)(x 2

10. Các lược đồ khảo sát hàm số 83

§10. CÁC LƯỢC ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x)

Mục này học sinh đã được nghiên cứu tương đối kĩ trong chương trình phổ thông nên chỉ nhấn mạnh cho sinh viên những điểm cần chú ý trong quá trình khảo sát hàm số và khảo sát một số hàm số khác với chương trình phổ thông như hàm số có chứa căn thức, ... Sơ đồ khảo sát

1. Tìm TXĐ của hàm số, nhận xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của hàm số (nếu có).

2. Xác định chiều biến thiên: tìm các khoảng tăng, giảm của hàm số.

3. Tìm cực trị (nếu có).

4. Xét tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có).

5. Tìm các tiệm cận của hàm số (nếu có).

6. Lập bảng biến thiên.

7. Tìm một số điểm đặc biệt mà hàm số đi qua (ví dụ như giao điểm với các trục toạ độ,

....) và vẽ đồ thị của hàm số.

Ví dụ 10.1 (Giữa kì, K61). Tìmcáccựctrịcủahàmsốsau

x2+2 .

x2+1 .

a) y = 2x b) y = 2x

Ví dụ 10.2 (Giữa kì, K59). Tìmcácđườngtiệmcậncủađườngcongy = x2 sin 1 x.

[Lời giải] TXĐ = R . 0

= 0

(giới hạn kẹp).

\ { } x2 sin

≤

⇒

≤

= ∞

x2 x2 sin 0 1 x 1 x lim x 0 → Đường cong không có tiệm cận đứng. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= lim ∞ x →

x. x2 sin 1 x lim ∞ x → sin 1 x 1 x

= 1.

Đường cong không có tiệm cận ngang.

= lim ∞ x →

y x lim ∞ x → sin 1 x 1 x

= 0

−

= lim t 0 →

t sin t đặt t = x 1 1 . x sin 1 x sin t t2 1 x − t − lim ∞ x → x) = lim ∞ → (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:19) 1 t (cid:18) Đường cong có một tiệm cận xiên là y = x.

2x).

84 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

Ví dụ 10.3. Tìmcáctiệmcậnxiêncủađườngcongy = ln(1 + e−

2x)

[Lời giải] Ta có

(L’Hospital).

= 0,

2x 2x =

+∞

−

= lim ∞ x →−

ln(1 + e− 2, y x y x x 2e− − 1 + e− a = lim ∞ x →− lim →

(y + 2x) = lim ∞ →−

2x) + 2x = lim ∞ →−

2x)e2x] = lim ∞ →−

ln(1 + e2x) = 0. ln(1 + e− ln[(1 + e−

−

b = lim ∞ x →− Kết luận: y = 2x là tiệm cận xiên của đường cong.

x2 1+x4 . −

Bài tập 1.64. Khảo sát và vẽ đường cong y = 2

x O

Hình 1.64

−

x2 Bài tập 1.65. Khảo sát và vẽ đường cong y = 3√x3 x + 1.

x O

Hình 1.65

2 − √x2+1

. Bài tập 1.66. Khảo sát và vẽ đường cong y = x

10. Các lược đồ khảo sát hàm số 85

x O

Hình 1.66

10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số

x = x(t) Giả sử cần khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số y = y(t)  

 1. Tìm TXĐ, nhận xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn của các hàm số x(t), y(t) (nếu có).

2. Xác định chiều biến thiên của các hàm số x(t), y(t) theo biến t bằng cách xét dấu các

đạo hàm của nó.

3. Tìm các tiệm cận của đường cong

t0(∞)

→

(a) Tiệm cận đứng: Nếu lim y(t) = ∞ và lim x(t) = x0 thì x = x0 là một tiệm

cận đứng của đường cong.

t0(∞)

→

(b) Tiệm cận ngang: Nếu lim x(t) = ∞ và lim y(t) = y0 thì y = y0 là một tiệm

cận ngang của đường cong.

t0(∞)

→

x(t) = ∞ thì đường cong có thể có (c) Tiệm cận xiên: Nếu lim y(t) = ∞ và lim

[y(t)

tiệm cận xiên. Nếu

−

t0(∞)

ax(t)] , y(t) x(t) a = lim t → b = lim t →

thì y = ax + b là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

4. Để vẽ đường cong được chính xác hơn, ta xác định tiếp tuyến của đường cong tại các

điểm đặc biệt. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm bằng

dy dx y′t x′t

86 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

Ngoài ra có thể khảo sát tính lồi lõm và điểm uốn (nếu cần thiết) bằng cách tính các đạo hàm cấp hai

d y′txt” y′t x′t (cid:19) (cid:18) dx d2y dx2 = ytt”x′t − 3 x′ t

5. Xác định một số điểm đặc biệt mà đồ thị hàm số đi qua và vẽ đồ thị hàm số.

Ví dụ 10.4 (Giữa kì, K61). Tìmcáctiệmcậncủađườngcongchobởiphươngtrìnhtham số

−

b) a)

−

x = 2016t t3 1 y = 2016t2 t3 . 1 x = 2016t 1+t3 y = 2016t2 1+t3 .    

 

−

x = 2t Bài tập 1.67. Khảo sát và vẽ đường cong y = 3t t2 t3.  



O x

Hình 1.67

10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực

≤

b). Bài tập 1.68. Khảo sát và vẽ đường cong r = a + b cos ϕ, (0 < a

10. Các lược đồ khảo sát hàm số 87

r = a + b cos ϕ

O x

Hình 1.68

Bài tập 1.69. Khảo sát và vẽ đường cong r = a (1 + cos ϕ) (a > 0), (đường Cardioid hay đường hình tim, trường hợp đặc biệt của đường cong trong Bài tập 1.68 với a = b)

O x 2a

−

Hình 1.69

√cos 3ϕ

Bài tập 1.70. Khảo sát và vẽ đường cong r = a , (a > 0).

88 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

√cos 3ϕ

r = a

x O

Hình 1.70

(x2 + y2)2 = 2a2(x2

Bài tập 1.71. Khảo sát và vẽ đường cong Lemniscate

−

y2) (a > 0).

Phương trình của đường Lemniscate trong tọa độ cực là r = a 2 cos 2ϕ.

r = a 2 cos 2ϕ

x O

Hình 1.71

2 = 2a2xy (a > 0).

Bài tập 1.72. Khảo sát và vẽ đường cong x2 + y2

(cid:0) (cid:1)

x = r cos ϕ Tham số hoá đường cong đã cho, đặt , phương trình đường cong tương đương y = r sin ϕ (

với r2 = a2 sin 2ϕ.

10. Các lược đồ khảo sát hàm số 89

r = a sin 2ϕ

O x

Hình 1.72

Bài tập 1.73. Khảo sát và vẽ đường cong x3 + y3 = axy (a > 0) (Lá Descartes)

x = r cos ϕ Tham số hoá đường cong đã cho, đặt , phương trình đường cong tương đương y = r sin ϕ ( với

r = a sin ϕ cos ϕ sin3 ϕ + cos3 ϕ

1 2

x O

1 3

−

Hình 1.73 TCX: y = x

10.4 Bài tập

Bài tập 1.74. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số

90 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

−

a. y = x3 + x x b. y = arctan x

[Đáp số]

a) hàm số tăng với mọi x b) hàm số giảm với mọi x

Bài tập 1.75. Chứng minh các bất đẳng thức

∈

∀

≤

∀

R x a. 2x arctan x ln(1 + x2) x x b. x ln(1 + x) 0

≥ a) Xét hàm số f (x) = 2x arctan x

x2 2 ≤ − ln(1 + x2)

≥ f ′(x) = 2 arctan x.

−

⇒

Chứng minh.

≥

⇒

≥

≤

≤ b) Tương tự, xét g(x) = x

Nếu x f (x) 0 f (0) = 0 0, f ′(x) • Nếu x f (x) 0 f (0) = 0 0, f ′(x) •

−

x ln(1 + x), h(x) = ln(1 + x)

< 0

⇒ x2 2 − < 0, h′(x) =

−

⇒

≤

g(x) g(0) = 0, h(x) h(0) = 0. g′(x) = x2 1 + x x 1 + x

Bài tập 1.76. Tìm cực trị của hàm số

−

x(x+2)

3 , ymax = y(0) = 4.

(x2+x+1)2 , ymin = y(

−

b) y = x c) y = 3 x)(x ln(1 + x) 2)2 a) y = 3x2 + 4x + 4 x2 + x + 1 p Chứng minh. 2) = 8 a) y′ = −

1+x , ymin = y(0) = 0.

−

b) y′ = x

1 3

+ 2 3

3√1 3√x

x 2

2)2 x)2

3√(x 3√(1

3√(1

−

4 x 3 − − x)2(x − − 3 , ta có ymin = y( 4

3 ) =

3√4 3

. c) y′ =

•

• Xét x1 = 4 − Xét x2 = 1, y′ không đổi dấu, hàm số không đạt cực trị tại x2 = 1 Xét x3 = 2, ta có ymax = y(2) = 0 •

Bài tập 1.77. Chứng minh các bất đẳng thức sau

= 0

∀

x a) ex > 1 + x c) tan x > x + x3 3 0 < x < π 2 6

∀ < sin x < x

x3 6

−

b) x x > 0

∀ Bài tập 1.78. Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có

x+1

< e <

1 + 1 + 1 x 1 x (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18) Bài tập 1.79. Tính các giới hạn sau

10. Các lược đồ khảo sát hàm số 91

−

1 x2

(a) , x2 x , sin(sin x) x. 3√1 x− x2 ln(1 + 1 x ) lim ∞ x → (c) lim x 0 → i h i h

1 x

−

1 x −

. ln(1 + x) , cot x ex x (d) lim x 0 → (cid:20) (cid:21) (b) lim x 0 → (cid:16) (cid:17)

92 Chương 1. Hàm số một biến số (13LT+13BT)

CHƯƠNG2

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN MỘT BIẾN SỐ

§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1.1 Nguyên hàm của hàm số

Chương này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f (x) thì có tồn tại hay không một hàm số F(x) có đạo hàm bằng f (x)? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F(x) như vậy.

∀

∈

D haydF(x) = f (x)dx. x Định nghĩa 2.26. HàmsốF(x) đượcgọilàmộtnguyên hàm củahàmsố f (x) trênkhoảng D nếuF′(x) = f (x),

Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó.

Định lý 2.38. NếuF(x) làmộtnguyênhàmcủahàmsố f (x) trênkhoảngD,thì:

• HàmsốF(x) + C cũnglàmộtnguyênhàmcủahàmsố f (x),vớiC làmộthằngsốbất kỳ.

• Ngượclại,mọinguyênhàmcủahàmsố f (x) đềuviếtđượcdướidạngF(x) + C,trong đóC làmộthằngsố.

Như vậy biểu thức F(x) + C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x), mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm.

94 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

∈

Định nghĩa 2.27. Tíchphânbấtđịnhcủamộthàmsố f (x) làhọcácnguyênhàmF(x) + D,trongđó C làmộtnguyênhàmcủahàmsố f (x) và C làmộthằngsốbất C,với x

kỳ.Tíchphânbấtđịnhcủa f (x)dx đượckýhiệulà f (x)dx.Biểuthức f (x)dx đượcgọilà

biểuthứcdướidấutíchphânvàhàmsố f (x) đượcgọilàhàmsốdướidấutíchphân.

Vậy f (x)dx = F(x) + C, với F(x) là nguyên hàm của f (x).

′

Các tính chất của tích phân bất định

= f (x) hay d

f (x)dx f (x)dx = f (x)dx • (cid:21) (cid:20)Z

dF(x) = F(x) + C F′(x)dx = F(x) + C hay •

[ f (x)

a f (x)dx = a f (x)dx (a là hằng số khác 0) •

± Z

Z Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung

[α f (x) + βg(x)] dx = α

g(x)] dx = f (x)dx g(x)dx •

f (x)dx + β g(x)dx

trong đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0.

Các công thức tích phân dạng đơn giản

α+1 + C, (α

−

7) 1) exdx = ex + C xαdx = xα+1 1) 6

+ C

dx x = ln

+ C

a+x x a

2a ln

x2 = 1

−

2) x 8)

−

Z sin x + C

3) sin xdx = cos x + C cos xdx =

x2+a2 = 1

9) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a arctan x a + C

dx sin2 x

−

4) cot x + C

+ C

= ln

dx √x2+α

dx cos2 x = tan x + C

10) x + √x2 + α 5)

= 1)

a + C

ln a + C, (a > 0, a

dx √a2

−

(cid:12) (cid:12) (cid:12) 11) 6) axdx = ax (cid:12) (cid:12) (cid:12) x2 = arcsin x 6

√a2

a + C

2 x√a2

2 arcsin x

−

12) x2dx = 1 x2 + a2

+ C

√x2 + adx = 1 2

13) x + √x2 + a x√x2 + a + a ln

h i 94 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1. Tích phân bất định 95

1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định

1. Phương pháp khai triển

[α f (x) + βg(x)] dx = α

Để tính một tích phân bất kỳ, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân đơn giản ở trên. Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển. Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định:

f (x)dx + β g(x)dx

5 2

Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng (hiệu) của các hàm số đơn giản mà đã biết được nguyên hàm của chúng, các hằng số được đưa ra bên ngoài dấu tích phân.

3 2 dx

(2x√x

−

Ví dụ 1.1. x x3 + C 3x2)dx = 2 3 x2dx = 4 5 x •

+ C

Z sin xdx +

1 x

dx x =

−

4 −

−

− Z

Z (cid:16)

+ arctan x + C

Z 1 1 + x2

−

Z (cid:18)

x3dx x dx = 2 2 cos x + x4 ln 2 sin x + x3 • (cid:17) dx = • 1 x dx x2(1 + x2) 1 x2 − (cid:19)

2. Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân

Nhận xét: nếu f (x)dx = F(x) + C thì f (u)du = F(u) + C , trong đó u = u(x) là

một hàm số khả vi liên tục. Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo x. Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân g(x)dx về dạng

g(x)dx = f (u(x))u′(x)dx,

trong đó f (x) là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm F(x). Khi đó tích phân cần tính trở thành

g(x)dx = f (u(x))du = F(u(x)) + C f (u(x))u′(x)dx =

f (x)dx = F(x) + C

Trong trường hợp đơn giản u(x) = ax + b thì du = adx, do đó nếu ta suy ra

F(ax + b) + C f (ax + b)dx = 1 a

1 a cos ax + C

−

Ví dụ 1.2. (a) sin axdx =

Z eaxdx = eax a + C

(b)

96 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

(1 + tan2 x)d(tan x) = tan3 x

3 + tan x + C

dx cos4 x

(d)

+ C

√1 + 3x2

Z x√1 + 3x2dx = 1 6

√1 + 3x2d(1 + 3x2) = 1 9

(e)

(cid:17) (cid:16) (f)

√1

Z (cid:16)

−

arccos x arcsin x dx = I = arcsin x arcsin xd(arcsin x) π 2 − x2 (cid:17) nên

−

⇒

I = arcsin2 x arcsin3 x + C 1 3 π 4

3. Phương pháp đổi biến

Xét tích phân I = f (x)dx, trong đó f (x)là một hàm số liên tục. Để tính tích phân

này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép đổi biến x = ϕ(t), sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản hơn. Phép đổi biến thứ nhất: Đặt x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục. Khi đó ta có

Z Giả sử hàm số g(t) = f [ϕ(t)] ϕ′(t) có nguyên hàm là hàm G(t), và t = h(x) là hàm số ngược của hàm số x = ϕ(t), ta có

I = f (x)dx = f [ϕ(t)] ϕ′(t)dt

⇒

g(t)dt = G(t) + C I = G [h(x)] + C

Phép đổi biến thứ hai: Đặt t = ψ(x), trong đó ψ(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm f (x) = g [ψ(x)] ψ′(x). Khi đó ta có

I = f (x)dx = g [ψ(x)] ψ′(x)dx

Giả sử hàm số g(t) có nguyên hàm là hàm số G(t), ta có

I = G [ψ(x)] + C

Chú ý: Khi tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến số, sau khi tìm được nguyên hàm theo biến số mới, phải đổi lại thành hàm số của biến số cũ.

1. Tích phân bất định 97

Z r

−

∈

x dx Ví dụ 1.3. (a) Tínhtíchphân I1 = x 2 ,tatínhđược Đặtx = 2 sin2 t, t 0, π 2

= tan t

−

(cid:2) x 2 sin2 t (cid:3) dx = 4 sin t cos tdt, x 2 2(1 sin2 t) s r

−

Z r

− Đổilạibiếnx,vớit = arcsin

Z x 2,tathuđược

Suyra x dx = 4 sin2 tdt = 2t sin 2t + C I1 = x 2

−

Z r

−

p x x2 + C 2x dx = 2 arcsin I1 = x 2 x 2 − r p

dx (b) Tínhtíchphân I2 =

⇒

e2x ex + 1 Z exdx = dt,tacó Đặtex = t

+ C

−

Z (cid:18)

dt = t dt = ln t + 1 1 I2 = t t + 1 1 t + 1 (cid:19)

−

ln(ex + 1) + C.

x ln 2dx,tíchphântrởthành

⇒

dt = Đổilạibiếnx,tađược I2 = ex dx √1 + 4x 2− Đặtt = 2−

−

Z − dt − t ln 2√1 + t−

x + 1) + C

t2 + 1) + C ln(t + I3 = 1 ln 2 dt √t2 + 1 1 ln 2 Z p Đổilạibiếnx,tacó:

x + √4−

−

ln(2− I3 = 1 ln 2

Ví dụ 1.4 (Giữa kì, K61). Tínhtíchphân

−

x + ln x

1 x + ln x

−

b) a) dx. dx. xx+1 xx 1 + 1 1

(cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16)

4. Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục. Theo quy tắc lấy vi phân

⇒

d(uv) = udv + vdu uv = d(uv) = udv + vdu

Suy ra

− Z

udv = uv vdu

98 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

Xét tích phân I = f (x)dx. Ta cần biểu diễn

f (x)dx = [g(x)h(x)] dx = g(x) [h(x)dx] = udv

h(x)dx. Ta và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số u = g(x), v =

thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa một trong các hàm số sau đây: ln x, ax, hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. Cụ thể:

xnekxdx; xn sin kxdx; xn cos kxdx , n nguyên dương, ta • Trong các tích phân thường chọn u = xn.

−

xα lnn xdx, α 1 và n nguyên dương, ta thường chọn • 6 Trong các tích phân u = lnn x.

xn arctan kxdx; xn arcsin kxdx, n nguyên dương, ta thường • Trong tích phân chọn u = arctan kx hoặc u = arcsin kx; dv = xndx.

Ví dụ 1.5. Tínhcáctíchphânbấtđịnh

−

− Z

x + C ln xdx = x ln x dx = x ln x (a) I1 =

(b) I2 =

− x2 cos x + 2

v = x2 sin xdx Đặtu = x2, dv = sin xdx cos x,tađược

⇒ I2 =

−

Z v = sin x,tađược

x cos xdx

⇒

Đặtu = x, dv = cos xdx

−

− Z

x2 cos x + 2 x sin x sin xdx x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C I2 = (cid:18) (cid:19)

1 x+1 ; du = (x + 1)exdx,tađược

−

v = xexdx (x + 1)2 Đặtu = xex; dv = dx

+ ex + C =

+ C

(x+1)2 ⇒ xex x + 1

−

exdx = I3 = xex x + 1 ex x + 1

(d) I4 = xexdx √1 + ex

[ln(t

exdx √1+ex = 2dt,tacó I4 = 2

−

⇒ 1) + 2(t + 1) ln(t + 1)

Z 4t + C Đổilạibiếnx tacó

Đặt √1 + ex = t 1) + ln(t + 1)] dt = 2(t

−

= 2(x

1) ln(t

−

2)√1 + ex + 4 ln 1 + √1 + ex 2x + C xexdx √1 + ex (cid:16) (cid:17)

1. Tích phân bất định 99

√1

x2 ; v =

√1

x2 ⇒

−

− Đặtu = arcsin x; dv = xdx −

dx (e) I5 = x arcsin x √1 x2 x2,tađược du = dx √1 −

−

dx = 1 x2 arcsin x + x2 arcsin x + x + C 1 I5 =

p p

(f) I6 =

ex cos 2xdx Đặtu = cos 2x; dv = exdx v = ex; du = 2 sin 2xdx,tađược

⇒ − I6 = ex cos 2x + 2

Z v = ex; du = 2 cos 2xdx,tađược

ex sin 2xdx

⇒

Đặtu = sin 2x; dv = exdx

= ex cos 2x + 2ex sin 2x

−

2 ex sin 2x ex cos 2xdx I6 = ex cos 2x + 2 4I6 + 5C (cid:18) (cid:19)

5 (cos 2x + 2 sin 2x) + C.

Vậy I6 = ex

Ví dụ 1.6 (Giữa kì, K61). Tínhtíchphân

a) c) x3 arctan xdx. x2 sin 2xdx.

b) d) x3 arccot xdx. x2 cos 2xdx.

Ví dụ 1.7 (Ngụy biện toán học). Chứngminhrằng0 = 1.

Chứng minh. Xét tích phân

I = d ln x dx x ln x 1 ln x

(tích phân từng phần) ln xd . ln x 1 ln x 1 ln x (cid:19)

= 1

− Z ln x. −

− Z

= 1

(cid:18) dx . 1 x 1 ln2 x

− Z = 1 + I.

dx x ln x

Phương trình I = 1 + I dẫn đến 0 = 1. Sai lầm ở đâu?

Trong các mục sau đây chúng ta sẽ xét tích phân bất định của một số dạng hàm cơ bản: hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức; và trình bày một số phương pháp giải chung đối với tích phân các hàm này.

100 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ

Định nghĩa 2.28. Một hàm phân thức hữu tỷ làmộthàmsốcódạng f (x) = P(x) Q(x),trong đó P(x), Q(x) làcácđathứccủa x.Mộtphânthứchữutỷcóbậccủađathứcởtửsốnhỏ hơnbậccủađathứcởmẫusốlàmộtphân thức hữu tỷ thực sự.

Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng

f (x) = H(x) + r(x) Q(x)

trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia. Khi đó r(x) Q(x) là một phân thức hữu tỷ thực sự. Nguyên hàm của đa thức được tìm bởi công thức tích phân cơ bản. Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại r(x) Q(x) trong hai trường hợp đặc biệt: mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai. Trong những trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa về hai trường hợp trên. Phương pháp hệ số bất định Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự P(x) Q(x) thành tổng (hiệu) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai. Trước hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm

−

Q(x) = (x α1)a1...(x αm)am(x2 + p1x + q1)b1...(x2 + pnx + qn)bn

≤

i j n. m; 1 trong đó αi, pj, qj là các hằng số, ai, bj là các số nguyên dương, 1

−

Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng

≤ α)a, a là số nguyên dương thì Ai α)i , trong đó Ai là

−

• Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức (x trong phân tích của phân thức P(x)

≤

i a. hằng số và 1

Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng b.

• Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức (x2 + px + q)b, b là số nguyên Bjx+Cj dương thì trong phân tích của phân thức P(x) (x2+px+q)j ,

≤

j trong đó Bj, Cj là các hằng số và 1

Q(x) , ta tìm các hằng số Ai, Bj, Cj bằng cách quy đồng mẫu R ở hai vế. Như vậy việc dùng phương pháp hệ

∈

Sau khi viết được phân tích của P(x) số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của xn, n số bất định dẫn chúng ta tới việc tính bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản sau:

−

Adx I. II. 2) Adx a x

− (Mx + N)dx x2 + px + q

≥

IV. III. 2) a)k (x ≥ (Mx + N)dx (x2 + px + q)m (m

trong đó

100

1. Tích phân bất định 101

+ C

Adx x

a = A ln

−

Adx

1. x a

kdx =

1 + C

a)k =

a)k

− 1)(x

−

2. A(x a)−

(a =

(Mx + N)dx x2 + px + q

− t2 + a2

−

Mt + (N Mp/2) q dt p2/4, đổi biến t = x + p/2)

− t2 + a2

+ C

q Mp/2)dt

− 2N

Mtdt t2 + a2 + ln(t2 + a2) + Mp/2) arctan 1 a t a

+ C.

Z M 2 M 2

− 4q

−

arctan ln(x2 + px + q) + Mp p2 p2 2x + p 4q

p p 4.

(a =

(Mx + N)dx (x2 + px + q)m =

− (t2 + a2)m

−

Mt + (N Mp/2) dt q p2/4, đổi biến t = x + p/2)

q Mp/2)dt

− (t2 + a2)m

Mtdt (t2 + a2)m +

1 + C.

Mtdt (t2+a2)m =

2(m

1)(t2+a2)m

−

Tích phân thứ nhất •

cos2 z ,

Muốn xử lý tích phân thứ hai ta thực hiện phép đổi biến số lượng giác t = a tan z, •

cos2 z dz.

2 zdz.

−

(t2 + a2)m = a2m Tích phân của hàm lượng giác này sẽ được nghiên cứu kĩ ở phần sau.

khi đó t2 + a2 = a2 dt = a   Ta có  dt cos2m

Ví dụ 1.8. Tínhcáctíchphânbấtđịnh

− −

Z Tacó

x4 dx a. I1 = x3 + 2x2 − (x2 + 2)(x 2x + 1 1)

= x +

A x4 1

(x2 + 2)(x

−

− −

−

x 1 x3 + 2x2 − (x2 + 2)(x 2x + 1 1) 1) Bx + C x2 + 2

Quyđồngmẫusốởhaivế

−

C 3 = (A + B)x2 + (C B + 2)x

101

102 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

A + B = 0 C B + 2 = 0

− C = 1

⇒  

−

− −

= x +

A = 1 B = C = 1 1 Đồngnhấthệsốcủa x2, x vàhệsốtựdo,tađược   Suyra  x4 2x 1

−

− −

x  1 2 x3 + 2x2 − (x2 + 2)(x 2x + 3 1) 1 x2 + 2 1 − x2 + 2 −

Vậytíchphânbằng

+ C

+ ln

−

| −

I = x arctan 1 x2 2 ln(x2 + 2) 2 1 √2 x √2

dx b. I2 = 2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + 5 (x + 1)2(x2 + 2x + 3) Taviết

= 2 +

2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + 5 (x + 1)2(x2 + 2x + 3) 4 x2 + 2x + 3 x + 1 − 1 (x + 1)2 −

+ C

Suyra 1 I = 2x + 2 ln x + 1 2√2 arctan x + 1 − x + 1 √2

Ví dụ 1.9 (Giữa kì, K61). Tínhcáctíchphânsau

x2+2016x dx.

xdx (x2+1)(x2+2)

c) . a)

1 2016x dx.

xdx (x2+2)(x2+3)

−

. b) d)

Ví dụ 1.10 (Giữa kì, K61). Tínhtíchphân

−

a) b) x ln(x2 + x + 1)dx. x ln(x2 x + 1)dx.

1.4 Tích phân hàm lượng giác

1. Phương pháp chung

Xét tích phân hữu tỷ đối với sin x, cos x. Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tan t R(sin x, cos x)dx, trong đó hàm dưới dấu tích phân là một biểu thức 2 , khi đó

−

t2 2t sin x = t2 ; dx = 2t 1 + t2 ; cos x = 1 1 + t2 ; tan x = − 2dt 1 + t2 1

tích phân đang xét được đưa về tích phân của phân thức hữu tỉ của biến t.

102

1. Tích phân bất định 103

−

Ví dụ 1.11. Tínhtíchphân dx cos x + 2 sin x 1 + sin x + cos x Taviết

+ 2

−

− Z

dx = cos x + 2 sin x 1 + sin x + cos x d(1 + sin x + cos x) 1 + sin x + cos x dx 1 + sin x + cos x

2,suyra

+ C

= ln

Đặtt = tan x

1 + t dx 1 + sin x + cos x dt 1 + t

+ C

Thaylạibiếncũ,tađược

+ ln

−

dx = 1 + tan ln 1 + sin x + cos x cos x + 2 sin x 1 + sin x + cos x x 2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) 2. Tích phân dạng (cid:12) (cid:12) (cid:12) sinm x cosn xdx, trong đó m, n là các số nguyên

−

Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x. • Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sin x. • Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: • 1 sin2 x = ; cos2 x = cos 2x 2 1 + cos 2x 2

rồi đưa về tích phân dạng sink 2x cosl 2xdx.

Ví dụ 1.12. Tínhcáctíchphânbấtđịnh

⇒ −

sin3 x cos2 xdx • I1 = Z Đặtcos x = t sin xdx = dt tacó

+ C =

+ C

−

cos5 x t2)t2( dt) = sin3 x cos2 xdx = t3 3 cos3 x 3 t5 5 − 5 −

sin4 x cos2 xdx • I2 = Sửdụngcôngthứchạbậctacó

−

sin 2x

dx = dx 1 cos 2x cos2 2x + cos3 2x I2 = cos 2x)2 4 1 + cos 2x 2 (cid:17)

1+cos 4x 2

−

2 − Z

⇒ Vậy

x sin2 2x)d(sin 2x) 1 8 Z (cid:16) (1 I2 = 1 8 dx + 1 2 (cid:18) (cid:19)

+ C

⇒

sin 2x sin 2x sin3 2x I2 = sin 4x 8 x 2 − 2 − 2 − 1 8 6 !

103

104 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

Đốivớitíchphân I2 saukhisửdụngcôngthứchạbậclầnthứnhấttacũngcó thểtiếptụchạbậccủabiểuthứclượnggiácdướidấutíchphânbởicôngthức

− 4

3 sin x sin 3x ; cos3 x = sin3 x = 3 cos x + cos 3x 4

Ápdụngvàotíchphân I2 ,tacó:

− sin 2x

+ C

− sin 4x 8

dx 1 cos 2x I2 = 1 + cos 4x 2 3 cos 2x + cos 6x 4 (cid:19)

sin 6x 24 1 8 Z (cid:18) x 1 2 − 8 8 − (cid:18) (cid:19)

3. Tích phân R(sin x, cos x)dx có dạng đặc biệt

−

− sin x,

−

Đặt t = cos x nếu R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x). • Đặt t = sin x nếu R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x). • Đặt t = tan x nếu R( cos x) = R(sin x, cos x). •

⇒

−

dx sin x cos4 x dt = Ví dụ 1.13. Tínhtíchphân Đặtt = cos x sin xdx,tacó

− −

+ C

1 dt 2(t 1 2(t + 1) dt t2)t4 = dx sin x cos4 x (cid:21)

−

ln 1) − − t 1 − t + 1 1 1 t4 + t2 + Z (cid:20) 1 1 1 3t3 − t 2

+ C

nên

−

ln 1 cos x 1 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) cos x 1 1 + cos x dx sin x cos4 x 1 3 cos x3 −

1.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ

Xét các tích phân có dạng

R(x, √x2 + α2)dx, •

−

α2)dx, R(x, √x2 •

−

x2)dx, R(x, √α2 •

trong đó R(u, v) là các hàm số hữu tỷ.

Có hai phương pháp xử lý tích phân các biểu thức hữu tỉ là Phép thế lượng giác và Phép thế Euler. Ý tưởng của cả hai phương pháp này đều là khử các biểu thức vô tỉ bằng cách:

104

1. Tích phân bất định 105

1. đưa về tích phân của các hàm lượng giác bằng qua phép thế lượng giác,

2. đưa về tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ bằng phép thế Euler.

Phép thế lượng giác

Đặt x = α tan t đối với tích phân R(x, √x2 + α2)dx. •

−

đối với tích phân α2)dx. hoặc x = Đặt x = R(x, √x2 • α cos t α sin t

−

x2)dx. Đặt x = α sin t hoặc x = α cos t đối với tích phân R(x, √α2 •

√α2

x2.

−

Ví dụ 1.14. Tính

t = arcsin x α ,

< t < π

π 2

−

α cos t .

. [Lời giải] Đặt x = α sin t,

1 √α2

−

+ C

dx = α cos tdt, x2 = 1

2 ta có    dt = t + C = arcsin

I = x α

√α2

−

Ví dụ 1.15. Tính x2dx.

t = arcsin x α ,

−

π 2 ≤

≤

. t [Lời giải] Đặt x = α sin t,

−

x2 = α cos t.

2 ta có  dx = α cos tdt,  √α2  t +

+ C.

−

I = α2 α2 x2 + dt = x cos2 tdt = α2 sin 2t = arcsin x α 1 + cos 2t 2 α2 2 α2 4 1 2 α2 2 p

Phép thế Euler

Đặt t = x +√x2 + a đối với tích phân R(x,√x2 + a)dx, ở đây a có thể âm hoặc dương, • nghĩa là a = α2 đều áp dụng được. Khi đó,

⇒

dx dt = 1 + , dt t x √x2 + a x + √x2 + a √x2 + a dx √x2 + a

và tích phân đã cho được đưa về tích phân của phân thức hữu tỉ.

105

106 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

−

Đặt√α2 x2 = xt + α đối với tích phân x2)dx,. Khi đó, R(x,√α2 •

−

⇔

−

⇔

α2 x2 = (xt + α)2 α2 x = x2 = x2t2 + 2αxt + α2 2αt 1 + t2 ,

và tích phân đã cho được đưa về tích phân của phân thức hữu tỉ.

dx √x2+a

. Ví dụ 1.16. Tính

Z [Lời giải] Đặt t = x +√x2 + a, khi đó dt

t = dx √x2+a

và

= ln

+ C = ln

+ C.

√x2 + adx.

x + t x2 + a I = dt t p (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Ví dụ 1.17. Tính

[Lời giải] Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có

− Z

x2 + a I = x dx

= x

p x2 √x2 + a (x2 + a) a (2.1) dx x2 + a

= x

− Z x2 + a + a

−

− √x2 + a 1 √x2 + a

p dx I.

p Do đó,

+ C.

x + x2 + a x I = x2 + a + a ln 1 2 i h p p (cid:12) Nói chung việc tính tích phân của các biểu thức vô tỷ thông thường được đưa về việc (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) tính bốn loại tích phân cơ bản sau

α + C.

dx √α2

x2 = arcsin x

−

√α2

α + C.

2 x√α2

2 arcsin x

−

2. x2dx = 1 x2 + α2

= ln

+ C.

dx √x2+a

3. x + √x2 + a

+ C.

√x2 + adx = 1 2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) 4. x + √x2 + a (cid:12) (cid:12) x√x2 + a + a ln (cid:12)

h i Ví dụ 1.18. Tínhcáctíchphânsau (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

3 2 dx

−

Z Đặtx = sin t, t

a) x2)−

π 2 , π 2

−

∈

−

⇒ 3 2 dx =

x2 = cos t,thì dx = cos tdt, √1

= tan t + C = tan(arcsin x) + C

−

(cid:2) (1 (cid:3) x2)− dt cos2 t

106

1. Tích phân bất định 107

dx x2√1+x2 Z Đặtx = tan t

⇒

+ C =

+ C.

,tacó dx = dt cos2 t

−

1 sin t 1 sin(arctan x) cos tdt sin2 t dx x2√1 + x2

dx √x2+x+1

Z Tacó

c) .

+ C.

= ln

d x + 1 2 x + I = x2 + x + 1 1 2 p (cid:16) x + 1 2 (cid:17) + 3 4 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) r(cid:16) (cid:17)

px+q √ax2+bx+c

Tích phân có dạng dx

Viết

−

dx = q dx p 2a pb 2a px + q √ax2 + bx + c d(ax2 + bx + c) √ax2 + bx + c 1 √ax2 + bx + c (cid:19) Z (cid:18)

để đưa về việc tính tích phân của hàm vô tỉ cơ bản.

x2 dx.

√5

− 4x

−

Ví dụ 1.19. Tính

dx (px+q)√ax2+bx+c

Tích phân có dạng

px+q để đưa về việc tính tích phân của hàm vô tỉ cơ bản.

Đặt u = 1

(1+x)√3+6x+x2.

mp/np

m1/n1

Ví dụ 1.20. Tính

ax+b cx+d

Tính các tích phân có dạng dx R , ..., x,

= t, với k là bội chung nhỏ nhất của n1, n2, . . . , np, để đưa tích phân đã

(cid:19) (cid:18) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16)

ax + b cx + d Đặt k r cho về tích phân của phân thức hữu tỉ với biến t.

x+1 x+2 dx.

Z q

Ví dụ 1.21. Tính

107

108 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

2t2 t2

1 , dx = 2t (t2

1)2 dt và

− −

−

[Lời giải] Đặt t =

x+1 x+2 ta có x = − t2

(t2

q I = 2 1)2 dt

− 1

−

+ C

−

1 dt t 1 (t + 1)2 (cid:21) (2.2) 1 t + 1 1

−

+ x + 2 + C.

t 1 − 1 2 1)2 + 1 t + 1 1 − (cid:18) (cid:19) 1 ln q 1 2 1 2 Z (cid:20) − t 1 1 ln t + 1 − 2 x+1 x+2 − x+1 x+2 + 1 q

dx √x+ 3√x

Z [Gợi ý] Đặt 6√x = t, đáp số I = 2√x

. Ví dụ 1.22. Tính

−

3 3√x + 6 6√x 6 ln(1 + 6√x) + C.

− Bài tập 2.1. Tínhcáctíchphânsau

√x+9

√ex + 1dx,

x dx,

, g) a) d) dx 5√x −

3√x

4√x

√x 1 − √x+1

dx √x+ 3√x

−

, e) , b) h) dx,

dx x+ 3√x

3x+2 √x 9

dx √√x

−

f) , , c) i) dx.

+ C.

[Đáp số]

a) Đặt u =√x + 9, I = 2√x + 9 + 3 ln

b) Đặt u =√x, I = x (cid:12) (cid:12) 4√x + 4 ln(√x + 1) + C. (cid:12)

5√x

c) Đặt u = 3√x, I = 3

+ C.

√x+9 3 − √x+9+3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) − 2 ln( 3√x2 + 1) + C. 5√x2 2 + 5√x + ln

5√x4 4 +

5√x3 3 +

−

1 d) Đặt 5√x = u, I = 5

(cid:17) (cid:16)

3√x2 +

12√x7 + 2√x +

12√x5 + 3 3√x + 4 4√x + 6 6√x + 12 12√x + 12 ln

12√x˘1

+ C.

I = e) Đặt 12√x = u, 3 2 12 7 12 5

√x

√x˘2

√x˘2 + C.

3 + 8

−

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f) Đặt 2 = u, I = 4 3

+ C.

p q(cid:0) g) Đặt√ex + 1 = u, I = 2√ex + 1 p 1+√ex+1 1˘√ex+1 (cid:1) ln −

h) Đặt 6√x = t, I = 2√x 3 3√x + 6 6√x 6 ln(1 + 6√x) + C. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −

− 9 = u, I = 2(x

−

i) Đặt√x 9)3/2 + 58√x 9 + C

108

§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2.1 Định nghĩa tích phân xác định

[xi, xi+1] vàthànhlậpbiểuthức

Định nghĩa 2.29. Giảsửhàmsố f (x) xácđịnhvàbịchặntrên [a, b].Chia [a, b] thành n khoảngnhỏ[xi, xi+1] bởiphânhoạcha = x0 < x1 < . . . < xn = b.Trongmỗiđoạn[xi, xi+1] tachọnđiểmξi ∈

△

n 1 − ∑ i=0

n △

(2.3) Sn = xi f (ξi) xi với xi = xi+1 −

≤

Biểu thức Sn được gọi là tổng tích phân. Gọi λ = max ≤ xi. Nếu tồn tại giới hạn hữu Sn khôngphụthuộcvàocáchchiađoạn [a, b] vàkhôngphụthuộcvàocách hạn I = lim 0 → chọnđiểm ξi thì I đượcgọilàtíchphânxácđịnhcủahàmsố f (x) trên[a, b] vàkíhiệulà

f (x)dx.Trongtrườnghợpđótanóihàmsố f (x) khảtíchtrên[a, b].

− Z

Chú ý 2.19. Trongđịnhnghĩatrêntađãxéthàmsố f (x) trongkhoảngđóng[a, b] tứclà đãgiảthiếta < b.Bâygiờnếub < a tađịnhnghĩa f (x)dx vàkhia = b f (x)dx :=

tađịnhnghĩa f (x)dx = 0.

2.2 Các tiêu chuẩn khả tích

−

Định lý 2.39. Điềukiệncầnvàđủđểhàmsốbịchặn f (x) khảtíchtrên[a, b] là lim 0 → s) = 0,trongđó:

n+1 ∑ i=1

S = xi, s = xi Mi △ mi △

[xi,xi+1]

∈

f (x) f (x), mi = inf Mi = sup x

Áp dụng định lý 2.39 chúng ta có thể chứng minh được các định lý sau:

Định lý 2.40. Nếu f (x) liêntụctrên[a, b] thì f (x) khảtíchtrên[a, b].

Định lý 2.41. Nếu f (x) bịchặntrên[a, b] vàcómộtsốđiểmgiánđoạntrên[a, b] thì f (x) khảtíchtrên[a, b].

Định lý 2.42. Nếu f (x) bịchặnvàđơnđiệutrên[a, b] thì f (x) khảtíchtrên[a, b].

109

110 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

2.3 Các tính chất của tích phân xác định

Trong các phần tiếp theo sau đây, nếu không có chú thích gì thì khi viết f (x)dx ta

hiểu là f (x) được giả thiết là khả tích trên [a, b].

•

Tính chất 1.

[α f (x) + βg(x)]dx = α

•

g(x)dx f (x)dx + β

Tính chất 2. Cho 3 khoảng đóng [a, b], [a, c], [b, c], nếu f (x) khả tích trên khoảng có độ dài lớn nhất thì cũng khả tích trên 2 đoạn còn lại, và

•

f (x)dx f (x)dx + f (x)dx =

[a, b] thì

∀

∈

≥

Tính chất 3. Giả thiết a < b. Khi đó: b (i) Nếu f (x) x f (x)dx 0, 0

Z [a, b] thì

≥

∀

∈

≥ Z

(ii) Nếu f (x) g(x) x f (x)dx g(x)dx

Z (iii) Nếu f (x) khả tích trên [a, b] thì

f (x) khả tích trên [a, b] và:

≤

f (x)dx f (x) dx

[a, b] thì

≤

∀

∈

≤

(iv) Nếu m f (x) x M, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

≤

−

≤

f (x)dx M(b a) m(b a)

•

[a, b], khi đó tồn tại µ sao cho:

≤

∀

∈

≤

x Tính chất 4.(Định lý trung bình thứ nhất) Giả sử f (x) khả tích trên [a, b] và m f (x) M,

−

≤

f (x)dx = µ(b µ a), m M.

[a, b] sao cho:

∈

Đặc biệt, nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại c

−

f (x)dx = f (c)(b a).

110

•

2. Tích phân xác định 111

Tính chất 5.(Định lý trung bình thứ hai) Giả thiết

(i) f (x) và f (x)g(x) khả tích trên [a, b].

[a, b].

≤

∀

∈

≤

(ii) m f (x) x M,

(iii) g(x) không đổi dấu trên [a, b].

Khi đó

≤

µ f (x)g(x)dx = µ g(x)dx, m M.

[a, b] sao cho:

∈

Đặc biệt nếu f (x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại c

f (x)g(x)dx = f (c) g(x)dx.

Ví dụ 2.1 (Cuối kì, K61-Viện ĐTQT). Chứngminh rằng nếu f (x) làmột hàm số liên

[3, 4] và

≥

∈

tụctrên [3, 4] saocho f (x) 0 vớimọi x f (x)dx = 0 thì f (x) = 0 vớimọi

[3, 4].

∈

2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân)

[a, b] thì f cũng khả tích

∈

Giả sử f (x) là một hàm khả tích trên [a, b], khi đó với mỗi x

f (t)dt. trên [a, x]. Ta xác định hàm số F(x) =

[a, b] thìF(x) cóđạohàmtạix0 vàF′(x0) = f (x0).

Định lý 2.43. (1) Nếu f (t) khảtíchtrên[a, b] thìF(x) liêntụctrên[a, b].

(2) Nếu f liêntụctạix0 ∈

Định lý 2.44 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu f (x) liêntụctrongkhoảngđóng[a, b] vàF(x) làmộtnguyênhàmcủa f (x) thì

−

f (x)dx = F(b) F(a).

111

112 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định

1. Sử dụng công thức tích phân từng phần.

Giả sử u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trong [a, b]. Khi đó:

b a −

udv = uv vdu

2. Sử dụng các phép đổi biến số.

Định lý 2.45 (Đổi biến x := ϕ(t)).

Xét I = f (x)dx với f (x) liêntụctrong[a, b].Thựchiệnphépđổibiếnx = ϕ(t) thoả

mãn3điềukiệnsau:

(1) ϕ(t) cóđạohàmliêntụctrong[a, b].

(2) ϕ(a) = α; ϕ(b) = β.

(3) Khit biếnthiêntrong[α, β] từα đến β thì x = ϕ(t) biếnthiênliêntụctừ a đến

Khiđótacócôngthức:

Zα

f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt.

Định lý 2.46 (Đổi biến t := ϕ(x)).

Giảsửtíchphâncầntínhcódạng I = f [ϕ(x)].ϕ′(x)dx.Trongđó ϕ(x) biếnthiên

ϕ(b)

đơnđiệungặtvàcóđạohàmliêntụctrên[a, b].Khiđó:

Zϕ(a)

f (t)dt. f [ϕ(x)].ϕ′(x)dx =

3. Sử dụng các phép truy hồi, quy nạp.

112

2. Tích phân xác định 113

2.6 Hệ thống bài tập

′

Dạng 1. Tính đạo hàm của hàm tích phân. Chúng ta có các công thức sau:

= f (x)

(2.4) f (t)dt

g(x)

′

(cid:18) (cid:19)

= f (g(x)).g′(x)

(2.5) f (t)dt

(cid:19) (cid:18)

Công thức 2.4 chúng ta đã biết trong Định lý 2.43, còn công thức 2.5 được suy ra từ công thức đạo hàm của hàm hợp.

Bài tập 2.1. Tínhcácđạohàm:

dt √1+x4

et2 dt et2 dt a) d dx b) d dy c) d dx

−

Chứng minh. a) et2 dt = et2 dt = ex2( do y là hằng số) d dx d dx

b) et2 dt = ey2( do x là hằng số) d dy

= −

−

Zx2

c) d dx d dx d dx 2x √1 + x8 3x2 √1 + 12x2 dt √1 + x4 dt √1 + x4 dt √1 + x4

Dạng 2. Tính giới hạn của hàm số dựa vào công thức L’Hospital và đạo hàm của hàm tích phân.

sin x

(arctan t)2dt

√tan tdt

Z0 tan x

√x2+1

Bài tập 2.2. Tìmgiớihạn:

→

√sin tdt

b) B = lim +∞ a) A = lim 0+

113

sin x

tan x

114 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

√sin tdt = 0 nên áp dụng quy

√tan tdt = lim 0+

Chứng minh. a) Nhận xét:

→

lim 0+ x →

sin x

′

√tan tdt

tắc L’Hospital ta có:

= 1

Z0 tan x

⇒

′

1 cos2 x

= lim 0+ x →

√sin tdt

! A = 1 tan(sin x). cos x sin(tan x). p lim 0+ x →

p !

√x2 + 1 = ∞ nên áp dụng quy tắc L’Hospital

+∞

(arctan t)2dt = lim +∞

→

′

(arctan t)2dt

b) Nhận xét: lim → ta có:

+∞

′

√x2 + 1

= lim +∞ x →

(arctan x)2 x √x2+1

! B = π2 4 π2 4 ⇒ lim →

(cid:0) (cid:1)

Dạng 3. Sử dụng công thức tổng tích phân để tính giới hạn của một số dãy số đặc biệt. Xuất phát từ công thức tính tổng tích phân 2.3

△

n 1 − ∑ i=0

Sn = f (ξi) xi với xi xi = xi+1 −

n thì:

−

a) i Nếu chúng ta chia đoạn [a, b] thành n khoảng có độ dài bằng nhau bởi phân hoạch a = x0 < x1 < . . . < xn = b, trong đó xi = a + (b

[xi, xi+1]

− n

n 1 − ∑ i=0

b a Sn = f (ξi) với ξi ∈

Khi đó nếu hàm f (x) khả tích trên [a, b], và chọn ξi = xi ta được công thức:

− n

n 1 − ∑ i=0

b a b (2.6) f (x)dx f a + .i a − n " !# lim ∞ n →

Còn nếu chọn ξi = xi+1 ta được công thức:

− n

n ∑ i=1

b a b (2.7) f (x)dx f a + .i a − n " !# lim ∞ n →

114

2. Tích phân xác định 115

1 nα + 1

nα+β + 1

nα+2β +

1 nα+(n

1)β

· · ·

−

Bài tập 2.3. Dùngđịnhnghĩavàcáchtínhtíchphânxácđịnh,tìmcácgiớihạn:

a) A = lim ∞ → i

n +

· · ·

1 + 1 1 + 2 h 1 n 1 + n n b) B = lim ∞ → q (cid:17) p Chứng minh. (cid:16)q a) Viết

· · ·

1)β − n

1 α # 1 n " 1 α + (n A = lim ∞ n → 1 α + β n 1 α + 2β n

α+βx ta được:

Áp dụng công thức 2.6 với a = 0, b = 1, f (x) = 1

A = dx = ln 1 α + βx 1 β α + β α

α+βx ta được:

= A =

Nếu áp dụng công thức 2.7 với a = 0, b = 1, f (x) = 1

· · ·

ln 1 nα + β 1 nα + nβ 1 β α + β α 1 nα + 2β A′ = lim ∞ → i h

b) Áp dụng công thức 2.7 với a = 0, b = 1, f (x) = √1 + x ta được:

√1 + xdx =

(2√2

−

B = 1) 2 3

Nếu áp dụng công thức 2.6 với a = 0, b = 1, f (x) = √1 + x ta được:

= B =

(2√2

· · ·

−

1 n

(2n)! n!

n 1 + 1 + 1 + 1) 1 n 2 3 1 n 1 − n ! B′ = lim ∞ n → r r

Bài tập 2.4. Tính lim ∞ → (cid:19) (cid:18) q

1 n

(2n)! n!

bằng cách viết biểu thức trong giới hạn dưới dạng tổng ln [Gợi ý] Tính lim ∞ → (cid:18) (cid:19) q

tích phân. Dạng 4. Tính tích phân xác định (xem mục 2.5)

Bài tập 2.5. Tínhcáctíchphân

115

116 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

(x + 1)dx

sin2 x cos x (1+tan2 x)2 dx

1 |

a) ln x d)

(x ln x)2dx

x 1+x dx

π 2

b) e) arcsin

x 2 dx

(x3

−

c) f) q cosn x cos nxdx 2x + 5)e−

[Gợi ý]

144 √e

−

c) Ic = 98 a) Ia = e2+5 4 b) Ib = 5e3 − 27

Z0 2

dx Id = sin2 x cos x (1 + tan2 x)2

Z0 2

sin2 x. cos x. cos4 xdx

−

Z0 sin3(2)

sin2 x.(1 sin2 x)d(sin x)

2 sin5(2) 5 sin7(2) 7 3 −

116

2. Tích phân xác định 117

dx arcsin Ie = x 1 + x r

= x arcsin

−

x 1+x

x x+1

−

1 1 . . x. 1 (x + 1)2 dx 1 2 r

q q

= π

√x x + 1

−

Z0 √3

= π

x 1 + x (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) dx 1 2

−

Z0 √3

= π

.2tdt (đặt √x = t) 1 2 t t2 + 1

−

Z0 (cid:16)

dt 1 1 t2 + 1

= π

(cid:17) √3 arctan t)

− √3

− 4π 3 −

i h (cid:12) (cid:12) (cid:12)

π 2

cosn x cos nxdx In =

π 2

cosn xd sin nx 1 n

1 x. sin xdx

−

π 2

cosn x sin nx sin nx.n. cosn 1 n 1 n

−

sin nx. cosn (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 x. sin xdx.

117

118 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

π 2

Suy ra

1 x. sin xdx

−

Z0 π 2

cosn x cos nxdx + sin nx. cosn 2In =

1 x cos(n

−

Z0 = In

−

cosn 1)xdx

1 2

2n+1 .

Vậy theo phép truy hồi ta có In = I0 = π

π 2

(cid:16) (cid:17) Bài tập 2.6. Tính

sinn xdx cosn xdx a) In = b) Jn =

Dạng 5. Chứng minh các đẳng thức tích phân

π 2

Bài tập 2.7. Chứngminhrằngnếu f (x) liêntụctrên[0, 1] thì:

b) f (cos x)dx. a) f (sin x)dx = f (sin x)dx x f (sin x)dx = π 2

Z x.

−

2 −

x, còn câu b) đặt t = π [Gợi ý] Đây là bài tập dễ, câu a) đặt t = π

π 2

Bài tập 2.8. Ápdụngkếtquảcủabàitập 2.7hãychứngminh

√sin x √sin x + √cos x

√cos x √sin x + √cos x

dx = dx = π 4

Z0 Bài tập 2.9. Giảsử f (x) liêntụctrên[

−

a, a](a > 0),hãychứngminh

−

nếu f (x) làhàmsốlẻtrên[ 0 a, a]

−

Z a −

I = f (x)dx nếu f (x) làhàmsốchẵntrên[ 2 a, a]

−

Bài tập 2.10. Cho f (x) liêntục,chẵntrên[ a, a],chứngminh f (x)dx =   

= 1

≤

Z a −

b f (x)dx với0 f (x)dx 1 + bx = 6

π 2

Ápdụngtính

Z 1 −

Z π 2 −

x2 dx dx, I3 = I2 = I1 = 2x cos 2x 2002x + 2x dx, sin x | 1 + 2x 1 (x2 + 1)(ex + 1)

118

2. Tích phân xác định 119

−

Bài tập 2.11. Chứngminh xn(a + b x)mdx xm(a + b x)ndx =

−

x)ndx vàchứngminh x2(1 Ápdụngtính In =

(

−

n ∑ k=0

1 1)kCk n. 1 k + 3 2 n + 2 1 n + 3 n + 1 −

Dạng 6. Chứng minh các bất đẳng thức tích phân

Bài tập 2.12. Cho f (x), g(x) làhaihàmsốkhảtíchtrên [a, b].Khiđó f 2(x), g2(x) cũng khảtíchtrên[a, b].Chứngminhbấtđẳngthứcsau(a < b)

≤

f (x)g(x)dx f 2(x)dx g2(x)dx . ! ! !

(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt)

Chứng minh. Xét 2 trường hợp:

TH1. Nếu f 2(x)dx = g2(x)dx = 0 thì:

≤

f (x)g(x) dx f (x)g(x)dx dx = 0 0 f 2(x) + g2(x) 2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Khi đó ta có dấu ” = ” xảy ra.

TH2. Nếu ít nhất một trong hai tích phân g2(x)dx khác 0, không mất tính f 2(x)dx,

= 0

[α f (x) + g(x)]2

tổng quát ta giả sử f 2(x)dx 6

≥

⇒

Khi đó [α f (x) + g(x)]2 0. Suy ra 0

∀

∈

≥

R (2.8) f 2(x)dx f (x)g(x)dx g2(x)dx α .α2 + 2 .α + 0

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)

119

120 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

∈

R khi và chỉ

Biểu thức ở vế trái là tam thức bậc 2 đối với α nên 2.8 đúng với mọi α khi

′ =

△

−

f (x)g(x)dx f 2(x)dx g2(x)dx . 0. ! ! !≤

[ f (x)]2dx

[ f ′′(x)]2dx.

[ f ′(x)]2dx

Bài tập 2.13 (Cuối kì, K62). Chohàmsố f (x) khảviliêntụcđếncấphaitrên [a, b] và f (a) = f (b) = 0.Chứngminhrằng

≤

 

  Chứng minh. Ta có

[ f ′(x)]2dx =

−

a−

f (x) f ′′(x)dx. f (x) f ′′(x)dx = f ′(x)d f (x) = f (x) f ′(x)

[ f (x)]2dx

[ f ′′(x)]2dx.

(cid:12) (cid:12) (cid:12) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có

[ f ′(x)]2dx

≤

−

f (x) f ′′(x)dx    

   

Bài tập 2.14 (Cuối kì, K60). Cho hàm số f (x) khả vi liên tục trên [0, 1] và f (0) = 0.

[ f (x)]2dx

[ f ′(x)]2dx.

1 2

≤

Chứngminhrằng

Chứng minh. Ta có

[ f ′(t)]2dt

−

≤

f (x)2 = [ f (x) f (0)]2 = 12dt f ′(t)dt  

= x

 

[ f ′(t)]2dt

[ f ′(t)]2dt = x

[ f ′(x)]2dx.

≤

[ f (x)]2dx

Do đó,

[ f ′(x)]2dx.

[ f ′(x)]2dx

≤

xdx = 1 2

Bài tập 2.14 có thể được mở rộng như sau (với chứng minh hoàn toàn tương tự).

120

2. Tích phân xác định 121

Bài tập 2.15. Cho f làmộthàmsốkhảviliêntụctrên[a, b].Chứngminhrằng

[ f (x)

[ f ′(x)]2dx.

− 2

−

≤

b a f (a)]2dx

−

Cũng với ý tưởng viết f (x) f (a) = f ′(t)dt, bạn đọc có thể chứng minh các kết quả sau.

Bài tập 2.16. Cho f làmộthàmsốkhảviliêntụctrên [a, b] và f (a) = 0.Chứngminh rằng

≤

−

1 f (x) dx dx. f ′(x) b a

[Lời giải] Thật vậy,

≤

−

f (t) dt f (x) f (x) f (a) dt. f ′(t) f ′(t)dt

Do đó, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

−

≤

f (x) f (t) dt = (b a) f (t) dt dx = (b a) f (x) dx dx.  

 

Bài tập 2.17. Cho f làmộthàmsốkhảviliêntụctrên [a, b] và f (a) = 0.Chứngminh rằng

[ f ′(x)]2dx.

− 2

≤

b a dx f (x) f ′(x)

−

f (t)dt nên [Lời giải] Ta có f (x) = f (x) f (a) =

| ≤ |

. f ′(t)dt f (x) f ′(x) f ′(x)

Suy ra

≤

|

(2.9) dx dx f (x) f ′(x) f ′(x) f ′(t)dt 

  121

′

Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 122

= 2

| Z

Vì dt dt . Do đó, f ′(t) f ′(x) f ′(t) f ′(t)dt f ′(x) nên      

x=b

       

x=a

|

2dx.

− 2

≤

dx = dt f ′(t)dt f ′(x) f ′(t)   1 2  (2.10)     (cid:12) (cid:12) 2 (cid:12) b a dx f ′(x) f ′(x)  1 2 

  Từ (2.9) và (2.10) ta có điều phải chứng minh.

≤

1 với f ′(x)

[a, b].Chứngminhrằng

∈ b

Bài tập 2.18. Cho f làmộthàmsốkhảviliêntụctrên[a, b], f (a) = 0 và0 mọix

[ f (x)]3dx

1 2

≥

−

≤ 

≥

, a) f (x)dx f (b)2 f (a)2 . b) f (x)dx  (cid:3) (cid:2)  

[a, b]. Do đó,

∀

∈

a) Từ giả thiết ta có f (x) là một hàm số đơn điệu không giảm và f (x) x Chứng minh. f (a) = 0,

[a, b].

≥

∀

∈

f (x) x f (x) f ′(x),

[ f (x)]2

Suy ra

−

≥

f (b)2 f (a)2 f (x)dx . f (x) f ′(x)dx = 1 2 1 2 h i (cid:12) (cid:12) (cid:12) b) Xét hàm số

[ f (t)]3dt,

[a, b].

−

∈

F(x) = f (t)dt x  

 Ta có  x

[ f (x)]2

−

f (t)dt f (t)dt f (x)3 = f (x) . 2 F′(x) = 2 f (x)  

[ f (x)]2, ta có

  f (t)dt Đặt G(x) = 2

[a, b]

− G′(x) = 2 f (x)

−

∀

∈

≥

x 0, 2 f (x) f ′(x) = 2 f (x)(1 f ′(x))

− x

[a, b].

≥

∀

∈

⇒

G(x) G(a) = 0,

[ f (x)]3dx

[a, b]

≤ 

∀

∈

≥

⇒

≥

⇒

f (x)dx x F(b) . 0, F(a) = 0 Từ đó suy ra F′(x) 

 

122

123 2. Tích phân xác định

→

Bài tập 2.19 (Olympic Toán học Sinh viên Toàn quốc 2018 -Bảng A). Cho f : [a, b]

R làmộthàmsốkhảviliêntụcsaocho f (x)dx = 0.Chứngminhrằng

− 8

[a,b] |

≤

[a,b] (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

a)2 f (t)dt . f ′(x) max x ∈ max x ∈

∈

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) f ′(x). [Lời giải] Do f ′(x) liên tục nên tồn tại M = max [a,b]

[a, b].

−

∈

Đặt • b) (2.11) x f (t)dt + M F(x) = , a)(x 2

[a, b].

∀

∈

≥

x 0, Ta có F(a) = F(b) = 0 và F′′(x) = f ′(x) + M

≤

≥

[a, b]. Từ (2.11) ta có

∀

∈

0 nên F(x) là hàm lồi trên [a, b], hơn nữa F(a) = F(b) = 0 nên F(x) • Vì F′′(x) x 0,

[a, b].

−

− 8

≤

∀

∈

x) x) a)2 f (t)dt M x M, a)(b 2 M 2 a) + (b 2 (cid:18) (cid:19)

Một cách tương tự, đặt •

[a, b]

−

∈

b) (2.12) G(x) = f (t)dt M x , a)(x 2

sẽ dẫn đến G là một hàm lõm trên [a, b] và bất đẳng thức

[a, b].

− 8

≥ −

∀

∈

a)2 f (t)dt x M,

Kết luận:

− 8

≤

[a,b] |

a)2 f (t)dt . f ′(x) max x ∈ max x ∈

[a,b] (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

123

124 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

§3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Khi định nghĩa tích phân xác định, chúng ta đã xét các hàm số xác định trên một đoạn hữu hạn [a, b] và bị chặn trên đoạn đó. Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân, từ đó đưa vào khái niệm tích phân suy rộng với cận vô hạn và tích phân của hàm số không bị chặn.

3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn

Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a, +∞)] và khả tích trên mọi đoạn hữu

≤

A < +∞). hạn [a, A] , (a

+∞ đượcgọilàtíchphân

→

Định nghĩa 2.30. Giớihạncủatíchphân f (x)dx khi A

+∞

suyrộngcủahàmsố f (x) trênkhoảng[a, +∞) vàkýhiệunhưsau

+∞

→

+∞

f (x)dx f (x)dx = lim

Nếugiớihạnnàytồntạihữuhạntanóitíchphânsuyrộng f (x)dx hộitụ.Ngượclại,

nếukhôngtồntạigiớihạnnàyhoặcgiớihạnbằngvôcùngtanóitíchphânđóphânkỳ.

−

∞, a] và

−

+∞

Tương tự ta định nghĩa tích phân của một hàm số f (x) trên các khoảng ( ( ∞, +∞) bởi các công thức sau

∞

→

ZA′

Z ∞ −

f (x)dx f (x)dx = f (x)dx và f (x)dx = lim →− lim +∞,A′→−

+∞

Ta có thể viết

Z ∞ −

Za khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ. Qua các định nghĩa trên ta thấy rằng tích phân suy rộng là giới hạn của tích phân xác định (hiểu theo nghĩa thông thường) khi cho cận tích phân dần tới vô cùng. Do đó có thể dùng công thức Leibniz để tính tích phân, sau đó cho cận tiến ra vô cùng.

f (x)dx + f (x)dx f (x)dx =

−

f (x)dx = F(A) F(a)

124

3. Tích phân suy rộng 125

kí hiệu

+∞

F(A) F(+∞) = lim ∞ → thì có thể viết

+∞ a

−

+∞

f (x)dx = F(+∞) F(a) = F(x)

Ze2

Ví dụ 3.1. a) Tínhtíchphân dx x ln x(ln ln x)2

Tacó

+∞

−

⇒

Ze2

nên 1 ln ln x 1 ln ln A 1 ln 2 dx x ln x(ln ln x)2 = dx x ln x(ln ln x)2 = 1 ln 2 − lim →

Ze2 Vậy

+∞

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Ze2

+∞

1 ln 2 dx x ln x(ln ln x)2 =

Z ∞ −

b) Tínhtíchphân dx (x2 + 1)2

= cos2 tdt,

(x2+1)2,đặtx = tan t

(1+x2)2 = dt

1+tan2 t

⇒

ZA′

arctan A

Trướchếttatính

arctan A′

Zarctan A′

dt = 1 + cos 2t 2 t 2 sin 2t 4 dx (x2 + 1)2 = (cid:18)

π 2 ,suyra

ZA′ +∞, A′ → −

→

+∞

π 2

2 ; arctan A′ → − sin 2t t 4 2

(cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Khi A ∞ thìarctan A

π 2

−

Z ∞ −

π 2 dx (x2 + 1)2 = (cid:18)

(cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(

(A cos A

∞

−

0 A = lim ∞ A →−

Z ∞ − Giớihạnnàykhôngtồntại,dođótíchphânphânkỳ.

c) sin A) x cos x + sin x) x sin xdx = lim →− x sin xdx = lim →−

+∞

d) Xétsựhộitụcủatíchphân

I = dx xα

≤

Tíchphânsuyrộng I hộitụkhivàchỉkhiα > 1,vàphânkỳkhivàchỉkhiα 1.

125

126 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

3.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn

Giả sử f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a, b) và khả tích trên mọi đoạn [a, t], (t < b f (x) = ∞. Điểm x = b được gọi là điểm bất thường (điểm kỳ dị) của hàm số bất kỳ), và lim b → f (x).

→

Định nghĩa 2.31. Giớihạncủatíchphân f (x)dx khit b−,đượcgọilàtíchphânsuy

rộngcủahàmsố f (x) trênkhoảng[a, b) vàđượckýhiệunhưsau:

→

f (x)dx f (x)dx = lim b−

Nếugiớihạnởvếphảitồntại,tanóitíchphânsuyrộnghộitụ.Ngượclạinếukhôngtồn tạigiớihạnnàyhoặcgiớihạnbằngvôcùng,tanóitíchphânphânkỳ.

t′

Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f (x) không bị chặn trên khoảng (a, b] và (a, b) lần lượt nhận x = a và x = b làm điểm bất thường.

b−

→

f (x)dx f (x)dx = f (x)dx và f (x)dx = lim a+ lim a+,t′→

Đối với tích phân có hai điểm bất thường x = a, x = b, ta có thể viết

f (x)dx f (x)dx + f (x)dx =

khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.

√1

−

Z 1 −

dx Ví dụ 3.2. a) Xétsựhộitụcủatíchphân x2

(

−

√1

= lim t 1 →−

−

Z 1 −

dx dx arcsin x arcsin t) = π 2 x2 x2

√1

= lim t 1 →

−

dx dx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) arcsin x arcsin t = π 2 x2 x2

nên

= π

dx dx (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) dx

√1

−

Z 1 −

x2 x2 x2

126

3. Tích phân suy rộng 127

b) Xétsựhộitụcủatíchphân I =

≥

dx xα Tíchphânsuyrộng I hộitụkhivàchỉkhiα < 1,phânkỳkhivàchỉkhiα 1.

3.3 Các tiêu chuẩn hội tụ

Định lý 2.47 (Tiêu chuẩn so sánh).

≤

A) và 1. Chohaihàmsố f (x) vàg(x) khảtíchtrênmọikhoảnghữuhạn[a, A](a

≤

≥

f (x) 0 g(x), x a.

+∞

Khiđó

Za +∞

+∞

i) Nếu g(x)dx hộitụthì f (x)dx hộitụ

ii) Nếu f (x)dx phânkỳthì g(x)dx phânkỳ.

≤

+∞

A) và 2. Giảsử f (x) và g(x) làhaihàmsốkhảtíchtrênmọiđoạnhữuhạn [a, A](a

= k(0 < k < +∞).Khiđócáctíchphân

+∞

f (x)dx và g(x)dx hoặccùng f (x) g(x)

lim → hộitụ,hoặccùngphânkỳ.

+∞

Hệ quả 2.6. Cho f vàg làhaihàmsốdươngkhảtíchtrên[a, +∞).Khiđó

= 0 vànếu

→

+∞

= +∞ vànếu

g(x)dx hộitụthì f (x)dx hộitụ. 1. Nếu lim +∞ f (x) g(x)

→

g(x)dx phânkìthì f (x)dx phânkì. 2. Nếu lim +∞ f (x) g(x)

Tương tự chúng ta cũng có các tiêu chuẩn hội tụ cho trường hợp tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn.

Định lý 2.48 (Tiêu chuẩn so sánh).

1. Chohaihàmsố f (x) vàg(x) khảtíchtrên(a, b] vàcócùngđiểmbấtthườnglàx = a

saocho

(a, b]

≤

∀

∈

f (x) x 0 g(x),

Khiđó

127

128 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

Za b

i) Nếu g(x)dx hộitụthì f (x)dx hộitụ

ii) Nếu f (x)dx phânkỳthì g(x)dx phânkỳ

2. Giả sử f (x) và g(x) là hai hàm số dương khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất

= k(0 < k < +∞)

thườngx = a.Nếutồntạigiớihạn

f (x) g(x) lim a+ x →

Khiđócáctíchphân f (x)dx và g(x)dx hoặccùnghộitụ,hoặccùngphânkỳ.

Hệ quả 2.7. Cho f và g là hai hàm số dương khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất thườngx = a.Khiđó

= 0 vànếu

→

= +∞ vànếu

g(x)dx hộitụthì f (x)dx hộitụ. 1. Nếu lim a+ f (x) g(x)

→

g(x)dx phânkìthì f (x)dx phânkì. 2. Nếu lim a+ f (x) g(x)

Chú ý:

• Khi xét đến tính chất hội tụ hay phân kì của một tích phân suy rộng, nói chung chúng ta chỉ "quan tâm" tới dáng điệu của hàm số tại các điểm bất thường.

+∞

• Khi sử dụng tiêu chuẩn so sánh chúng ta thường hay so sánh các tích phân suy rộng đã cho với hai loại tích phân suy rộng sau:

≤

hội tụ nếu α > 1 a) I1 = phân kì nếu α 1 dx xα   b) 

−

≥

hội tụ nếu α < 1 hội tụ nếu α < 1 dx dx I2 = , I′2 = phân kì nếu α phân kì nếu α 1 1 a)α   x)α  

  Ví dụ 3.3 (Cuối kì, K61 Viện ĐTQT). Xétsựhộitụ,phânkỳcủatíchphân

128

∞

3. Tích phân suy rộng 129

−

(1 cos 2x)dx x2 ln(1+3√x)

(1 cos 3x)dx x2 ln(1+2√x)

a) . b) .

3.4 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

+∞

Định lý 2.49. 1. Nếu f (x) dx hộitụthì f (x)dx hộitụ

2. Nếu f (x) f (x)dx cũnghộitụ dx (cóđiểmbấtthườnglàa hoặcb)hộitụthì

+∞

Định nghĩa 2.32.

| +∞

+∞

1. Nếu f (x) dx hộitụthìtanói f (x)dx hộitụtuyệtđối,cònnếu f (x)dx hộitụ

nhưng f (x) dx phânkìthìtanói f (x) dx bánhộitụ.

2. Nếu f (x) f (x)dx hội tụ dx (có điểm bất thường là a hoặc b) hội tụ thì ta nói

tuyệtđối,cònnếu f (x)dx hộitụnhưng f (x) dx phânkìthìtanói f (x) dx

+∞

bánhộitụ.

cos x x2 hộitụtuyệtđối.

Ví dụ 3.4. Chứngminhrằng

Chứng minh. Ta có

≤

+∞

cos x x2 1 x2 ,

1 x2 hội tụ nên

+∞

mà (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) cos x x2 hội tụ tuyệt đối. (cid:12)

sin x x làbánhộitụ.

Ví dụ 3.5 (Tích phân Dirichlet). Chứngminhrằng

+∞

Chứng minh. Ta có

. sin x x sin x x sin x x

129

130 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

sin x x

sin x x = 1, do đó

sin x x ∈

+∞

→ là hội tụ. Theo công thức tích phân từng phần,

Z chỉ ra rằng

sin x x

R. Vì vậy chỉ cần thực chất là tích phân xác định vì lim 0+

−

dx = sin x x cos x x cos M M cos x x2 = cos 1 cos x x2 dx.

+∞ ta có

+∞

→

(cid:12) (cid:12) (cid:12) Cho M

+∞

dx = cos 1 + sin x x cos x x2 dx.

sin x x

cos x x2 dx là hội tụ nên

Mà cũng hội tụ. Việc tiếp theo là chỉ ra dx

(n+1)π

+∞

là phân kì. Thật vậy, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

+∞ ∑ n=0

Znπ

dx = dx = dv. sin x x sin x x sin v v + nπ

1 (n+1)π

1 v+nπ ≥

≤ π

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Vì v π nên (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) với 0 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤

≥

+∞

dv . sin vdv = sin v v + nπ 1 (n + 1)π 2 (n + 1)π

sin x x

2 (n+1)π

+∞ ∑ n=0

Mà là phân kì nên dx là phân kì theo tiêu chuẩn so sánh.

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

3.5 Bài tập

+∞

Bài tập 2.1. Xétsựhộitụvàtính(trongtrườnghợphộitụ)cáctíchphânsau:

∞

−

− 1

+∞

c) a) xexdx dx (x2 + 1)2

−

d) b) cos xdx x) dx x(1

= 1

−

∞

Z ∞ −

−

+∞

p Chứng minh. a) xexdx = ex(x 1)

→

Z0 phân kì.

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) b) sin x nên tích phân đã cho cos xdx = sin x . Do không tồn tại giới hạn lim +∞

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 130

+∞

π 2

+∞

3. Tích phân suy rộng 131

(x2 + 1)2 = 2

Z ∞ −

1 2

dx c) . Đặt x = tan t thì I = 2 cos2 tdt = π 2 dx (x2 + 1)2

−

Z1 2

d) x) x) x) dx x(1 dx x(1 dx x(1

p p p

→

−

| {z } {z } | . Mặt 0, Xét tích phân I1 có điểm bất thường là x = 0. Khi x • 1 √x x) ∼ 1 x(1

p khác tích phân hội tụ nên I1 hội tụ. dx √x

→

−

. 1, Xét tích phân I2 có điểm bất thường là x = 1. Khi x • x 1 √1 x) ∼ 1 x(1

√1

−

dx p Mặt khác tích phân hội tụ nên I2 hội tụ. x

Vậy I = I1 + I2 hội tụ.

−

ta thực hiện phép đổi Trong trường hợp tổng quát, muốn tính I = dx a)(b x)

biến p x = a cos2 ϕ + b sin2 ϕ

π 2

sẽ chuyển I về tích phân xác định

dϕ = π I = 2

+∞

Bài tập 2.2. Xétsựhộitụcủacáctíchphânsuyrộngsau

dx tan x

x2 e− x2 dx

√xdx √1 x4

−

+∞

x2dx

e) c) a)

ln(1+x)dx x

√xdx esin x 1

x2+1

−

d) b) f)

Chứng minh. a) Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = 0 và

− 131

: x 1 x3 = 1 tan x 1 3 lim x 0 →

132 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

−

cũng phân kì. phân kì nên Mặc khác x dx x3 dx tan x

−

∼

→

∼

√x

√xdx

x nên 0, esin x 1 sin x b) Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = 0 và khi x

−

. Do hội tụ nên cũng hội tụ. esin x esin x 1 1 ∼ 1 √x dx √x

→

√x

c) Tích phân đã cho có điểm bất thường là x = và khi x 1 thì

√1

−

x 1 2√1 x)(1 + x + x2 + x3) ∼ x4

√1

−

+∞

dx Do hội tụ nên cũng hội tụ. x p √xdx √1 x4

> 1 x

−

d) Ta có phân kì nên cũng với mọi x > e 1. Mà ln(1 + x) x dx x ln(1 + x)dx x

+∞

phân kì.

x2 < 1 với mọi x > 0 nên

< 1 x2

+∞

x2 e− x2 dx cũng hội tụ.

hội tụ nên với mọi x > 0. Mặt khác e) Ta có e− e− x2 dx x2

+∞ thì

→

−

+∞

nên tích phân đã cho hội tụ. f) Khi x 1 x2 x4 x2 x2 + 1 ∼

+∞ không?

→

+∞

Bài tập 2.3. Nếu f (x)dx hộitụthìcósuyrađược f (x) 0 khix

+∞.

→

+∞

[Gợi ý] f (x)dx hội tụ không suy ra được f (x) 0 khi x

→

+∞

Ví dụ như sin(x2). sin(x2)dx hội tụ (xem bài tập 2.5) nhưng không tồn tại giới hạn lim +∞

= 0.Hỏi

→

f (x)dx f (x) = A Bài tập 2.4. Chohàmsố f (x) liêntụctrên[a, +∞) và lim +∞ 6

cóhộitụkhông?

132

+∞

3. Tích phân suy rộng 133

= 1, mà

+∞

[Gợi ý] Theo giả thiết f (x)dx cũng phân Adx phân kì nên f (x) A lim → kì.

+∞

Bài tập 2.5. Xétsựhộitụcủacáctíchphânsuyrộngsau

xdx

1e−

−

+∞

a) g) d) xp sin(x2)dx x2)5 x2dx (1

Z +∞

Z 1

−

b) e) dx p π 2 (tan x)pdx e− h) , ( f liêntục) f (x)dx √1 x2

1dx

1(1

−

Z1 (cid:18)

c) f) dx xp x)q 1 cos 2 x (cid:19)

+∞

Chứng minh. , đưa tích phân đã cho về a) Thực hiện phép đổi biến x = √t, dx = dt 2√t dạng

I = 1 2 sin tdt √t

+∞

π 2

Ta có thể viết

Zπ 2

sin tdt √t sin tdt √t sin tdt √t

= 0 nên tích phân I1 thực chất là tích phân xác định nên hội tụ, do đó chỉ

| {z } {z } |

+∞

sin t Vì lim √t t 0 → cần xét I2.

−

π 2

Zπ 2

dt = I2 = 1 2 1 2 cos t t3/2 dt = cos t t3/2 dt sin t √t d(cos t) √t

+∞

cos t √t (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

≤

Zπ 2

Vì nên cos t t3/2 1 t3/2 cos t t3/2 dt hội tụ. Vậy ta có I2 cũng hội tụ và tích phân đã cho

+∞

1 hội tụ nên

x mà

(cid:12) (cid:12) (cid:12) hội tụ. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

xdx = e−

x2 < e−

+∞

dx cũng hội tụ. e− b) Ta có với x > 1 thì e− e−

= 2 sin2 1

+∞, 1

−

→

−

Z1 (cid:18)

nên dx hội tụ. c) Khi x 1 cos cos 2 x 2 x 2 x2 x ∼ (cid:19)

133

134 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

→

3√32. 3

[(1

−

x2 nên d) Khi x 1, x2)5 x)5 x2)5 x2 x)(1 + x)]5 ∼ 1 (1 x2dx (1

π 2

hội tụ. p p p p

(tan x)pdx có điểm bất thường là x = 0 khi

e) Trước hết ta có nhận xét rằng I =

−

p < 0 và x = khi p > 0. π 2

p nên I hội tụ nếu

−

∼

≤ −

1 < 0, (tan x)p = • cos x sin x 1 x− (cid:17) (cid:16) Nếu p < 0 thì khi x → p < 0 và phân kì nếu p 1.

= 

→

∼

≥

π 2

1 Nếu p > 0 thì khi x , (tan x)p =  • π 2 sin x cos x x sin x (cid:18) sin x π 2 − π 2 − (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)     (cid:19) nên I hội tụ nếu 0 < p < 1 và phân kì nếu p 1.

(tan x)pdx hội tụ khi

< 1 và phân kì khi

| ≥

Kết luận: p p 1.

f) Trước hết ta có nhận xét rằng nếu p < 1 thì x = 0 là điểm bất thường, còn nếu q < 1

1 2

thì x = 1 là điểm bất thường. Phân tích

1dx =

1dx

1(1

−

Z1 2

I = xp x)q xp x)q xp x)q

−

} | | } q < 1, nghĩa là {z {z p < 1, nghĩa là p > 0; còn I2 chỉ hội tụ khi 1

I1 chỉ hội tụ khi 1 − q > 0. Vậy I chỉ hội tụ khi p > 0, q > 0.

≥

[xp

x] :

1e−

−

+∞

g) Nếu p 1 thì tích phân đã cho chỉ có điểm bất thường tại +∞ và

→

xp+1 ex = 0 1 x2 = lim lim →

xdx hội tụ.

1e−

−

+∞

Zx →

nên xp

+∞

Nếu p < 1 thì x = 0 cũng là một điểm bất thường. Ta có

xdx

xdx =

xdx

1e−

−

1e−

−

1e−

−

xp xp xp

{z } | | {z } 134

3. Tích phân suy rộng 135

+∞

Tích phân I1 hội tụ khi p > 0 và I2 hội tụ với p bất kì.

xdx hội tụ nếu p > 0.

1e−

−

Vậy xp

arcsin c

π 2

h) Mặc dù tích phân đã cho là tích phân suy rộng có điểm bất thường là x = 1 nhưng ta có thể đưa I về tích phân thường bằng cách đổi biến. Đặt x = sin θ, trên [0, c] ta có

= lim c 1− →

−

f (sin θ)dθ = f (sin θ)dθ f (x)dx √1 x2 f (x)dx √1 x2

và tích phân đã cho là tích phân xác định nên hội tụ. Vì f là một hàm số liên tục trên [0, 1] nên hàm hợp f (sin θ) là một hàm số liên tục và bị chặn trên 0, π 2 i h

+∞

Bài tập 2.6. Tínhcáctíchphânsuyrộngsau

ax sin bxdx

ax cos bxdx

+∞

a) b) c) e− e− dx 1 + x4

ax sin bxdx =

−

+∞

Chứng minh. a) e− e− a sin bx + b cos bx a2 + b2 b a2 + b2

+∞

ax cos bxdx =

− a2 + b2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) b sin bx a cos bx b) e− e− b a2 + b2

+∞

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ta có c) Thực hiện phép đổi biến x = 1 t

I = dx 1 + x4 = t2dt 1 + t4 = x2dx 1 + x4

+∞

Do đó

(1 + x2)dx

dx 1 + 1 x2 (cid:18) 2I = dx 1 + x4 + x2dx 1 + x4 = 1 + x4 = x2 + (cid:19) 1 x2

−

+∞

ta được Lại đặt z = x 1 x

∞

−

Z ∞ −

I = arctan 1 2 z z2 + 2 1 2√2 π 2√2

z √2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

135

136 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

§4. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

4.1 Tính diện tích hình phằng

1. Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ Descartes (tính diện tích "hình

thang cong")

≤

a x b

≤ y = f (x)

−

 (2.13) Nếu S giới hạn bởi f (x) g(x) dx thì S = y = g(x)

∈

f , g C[a, b]

≤

  y d c

−

 x = ϕ(y) (2.14) Nếu S giới hạn bởi ϕ(y) ψ(y) dy thì S = x = ψ(y)

[c, d]

∈

ϕ, ψ

≤

  x b a

≤ y = 0

Zt1

 (2.15) thì S = dt Nếu S giới hạn bởi ψ(t)ϕ′(t) x = ϕ(t)

y = ψ(t)  

  

C[t1, t2].

Trong đó giả thiết rằng phương trình ϕ(t) = a, ψ(t) = b có nghiệm duy nhất là t1, t2 và ϕ, ψ, ϕ′ ∈ Ví dụ 4.1 (Cuối kì, K61-Viện ĐTQT). Tínhdiệntíchcủamiền

≤

2 2 a) D : b) D : x + y ≥ x2 + y2 x y − ≥ x2 + y2 2x. 2x.    

  Bài tập 2.1. Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi:

−

a) Đườngparaboly = x2 + 4 vàđườngthẳngx y + 4 = 0.

b) Parabolbậcbay = x3 vàcácđườngy = x, y = 2x.

c) Đườngtrònx2 + y2 = 2x vàparaboly2 = x

−

d) Đườngy2 = x2 x4

136

4. Các ứng dụng của tích phân xác định 137

[Gợi ý]

Các câu a), b), c) có thể vẽ hình và tính toán dễ dàng như sau:

[(x + 4)

(x2 + 4)]dx = 1 6

−

√2

a) S =

(2x

−

b) S = x2)dx + x3)dx = 3 4

(√4x

√2x)dx = 2π

16 3

−

x2) c) S = 2

≤

∈

∈ C 1

≤

x y) d) Trước hết ta có điều kiện 0 1, và nhận xét rằng nếu M(x, y) x, thì M′(

. Do đó S = 4S(D), trong đó D là miền giới hạn bởi: x 0 ≤ y = √x2 x4.

≤

− 1, hơn nữa hàm số ≤ x4 liên tục, y(0) = y(1) = 0 nên đồ thị của nó trong [0, 1] có hình dáng

y x   1, 0 

Do miền D nằm hoàn toàn trong hình vuông 0 y = √x2 − như hình vẽ dưới đây:

O 1 x

√x2

3 ⇒

−

Áp dụng công thức 2.13 ta có S(D) = x4dx = 1 S = 4 3 .

2. Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ cực (tính diện tích của miền có

dạng hình quạt)

ϕ = α

Zα

 ϕ = β (2.16) thì S = Nếu S giới hạn bởi r2(ϕ)dϕ 1 2 r = r(ϕ)

∈

r(ϕ) C[α, β]

 

137

Chương 2. Phép tính tích phân một biến số 138

Bài tập 2.2. Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởiđườnghìnhtimr2 = a2 cos 2ϕ

[Gợi ý]

r = a cos 2ϕ

x O

Hình 2.2

Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong trong toạ độ cực và nhận xét tính đối xứng của

π 4

hình vẽ ta có:

r2(ϕ)dϕ = a2. S = 4S(D) = 4. 1 2

4.2 Tính độ dài đường cong phẳng

Trường hợp đường cong AB cho bởi phương trình y = f (x)

y = f (x)

≤

Za q

(2.17) thì s = b a 1 + [ f ′(x)]2

∈

f x ≤ C1[a, b]

AB    Trường hợp đường cong AB cho bởi phương trình tham số:

x = x(t)

 y = y(t)

[x′(t)]2 + [y′(t)]2dt

≤

Zα q

(2.18) thì s = AB α t β

[α, β]

≤ C1[a, b] x(t), y(t) ∈ 2(t) > 0 2(t) + y′

∀

∈

t x′

Trường hợp đường cong AB cho bởi phương trình trong toạ độ cực:  

r = r(ϕ)

2(ϕ)dϕ

Zα q

≤ r(ϕ)

(2.19) thì s = ϕ α r2(ϕ) + r′

∈

β ≤ C1[α, β]

AB   

138

4. Các ứng dụng của tích phân xác định 139

1 khix biếnthiêntừ1 đến2.

Bài tập 2.1. Tínhđộdàiđườngcong

a) y = ln ex+1 −

3 đến π 2 .

x = a(cos t + ln tan t 2 ) b) khit biếnthiêntừ π y = a sin t

a) Ta có   Chứng minh. 

2(x) = 1 +

−

ex 1 + y′ ex e2x + 1 e2x ex ex + 1 − 1 ! 1 !

Nên áp dụng công thức 2.17 ta được:

(t=e2x) =

= ln

−

Ze2

t + 1 s = dx e2 + 1 e2 2t(t 1) e2x + 1 e2x 1

π 2

b) Áp dụng công thức 2.18 ta có

2(t) = a2.

2(t) + y′

Zπ 3

s = a dt = a ln x′ s cos2 t sin2 t ⇒ cos2 t sin2 t 2 √3 s

4.3 Tính thể tích vật thể

Trường hợp vật thể được giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a, x = b. Giả thiết ta biết rằng diện tích S của thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳn x = x0 là S(x0), và S(x) là hàm số xác định, khả tích trên [a, b]. Khi đó

(2.20) S(x)dx V =

Bài tập 2.1. Tínhthểtíchcủavậtthểlàphầnchungcủahaihìnhtrụ x2 + y2 = a2 và y2 + z2 = a2(a > 0).

∩ {

≥

}

x 0, y 0, z 0

∈

. Một Ox, qua M ta dựng thiết diện của V′ vuông góc với Ox thì được một hình

−

Lời giải: Do tính đối xứng nên V = 8V′ trong đó V′ = V điểm M(x, 0, 0) vuông có cạnh là √a2 x2. Áp dụng công thức 2.20 ta được x2, do đó S(x) = a2

(a2

−

a3 x2)dx = V = 8 16 3

139

140 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

−

y2,cácmặtphẳng

Bài tập 2.2. Tìmthểtíchvậtthểgiớihạnbởimặtparaboloit z = 4 toạđộvàmặtphẳngx = a.

Chứng minh. Sau khi vẽ hình và áp dụng công thức 2.20 ta có:

−

V = S(x)dx mà S(x) = y2)dy = nên V = a 16 3 16 3

Tính thể tích vật thể tròn xoay

Trường hợp vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong

≤

b a x

≤ y = 0

∈

quanh trục Ox, trong đó f C[a, b] thì

y = f (x)

   (2.21) f 2(x)dx V = π

Tương tự, nêú vật thể là vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong

≤

d c y

≤ x = 0

∈

quanh trục Oy, trong đó ϕ C[c, d] thì

x = ϕ(y)

   (2.22) ϕ2(y)dy V = π

−

Bài tập 2.3. Tínhthểtíchkhốitrònxoaytạonênkhiquayhìnhgiớihạnbởicácđường y = 2x x2 vày = 0

a) quanhtrụcOxmộtvòng b) quanhtrụcOymộtvòng.

[Gợi ý]

a) Áp dụng công thức 2.21:

(2x

−

V = π x2)dx =

b) Áp dụng công thức 2.22:

−

y y dy π dy V = π 1 1 1 1 +

Z0 (cid:16)

(cid:17) (cid:17) p p

140

4. Các ứng dụng của tích phân xác định 141

4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay

≤

b a x

≤ y = 0

∈

với f C1[a, b]. Quay hình thang cong

y = f (x)

Cho hình thang cong giới hạn bởi    này quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay. Khi đó diện tích xung quanh của vật thể được tính theo công thức:

2(x)dx

(2.23) f (x) S = 2π 1 + f ′

≤

d c y

≤ x = 0

∈

với ϕ C1[c, d], quanh trục Oy thì:

x = ϕ(y)

Tương tự nếu quay hình thang cong   

2(y)dy

(2.24) ϕ(y) S = 2π 1 + ϕ′

Bài tập 2.1. Tínhdiệntíchmặttrònxoaytạonênkhiquaycácđườngsau

π 4 quanhtrụcOx.

≤

a) y = tan x, 0 < x

a2 + y2

b2 = 1 quanhtrụcOy(a > b)

b) x2

−

≤

x c) 9y2 = x(3 x)2, 0 3 quanhtrụcOx.

141

142 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

π 4

Chứng minh. a) Áp dụng công thức 2.23 ta có:

tan x 1 + (1 + tan2 x)dx S = 2π

Z0 1

(đặt t = tan x)

= 2π

Z0 1

= π

t 1 + (1 + t2)2. dt 1 + t2 q

Z0 p 2

= π

.d(t2 + 1) 1 + (1 + t2)2 1 + t2

(đặt s = 1 + t2)

√1 + s2 s

Z1 √5

= π

−

Z√2 (cid:16)

√5

√2 +

1 du 1 + u2 1 (cid:17)

= π.

−

√5 √2

√5 + 1 √2 + 1

− −

ln ln 1 2 1 1 − ) ( i h

b) Nhận xét tính đối xứng của miền và áp dụng công thức 2.24 ta có:

−

Z0 b

b2 dy y2. 1 + . S = 2.2π a b a b y b2 y2 s q (cid:16) (cid:17) p

= 4π

−

Z0 q

b4 + (a2 b2)y2dy a b

= 4π

−

Z0 b

b4 a2 b2 y2 + a b a2 b2 dy s p

= 4π

−

Z0 q

b4 a2 b2 y2 + βdy( đặt β = a b a2 b2 ) p

= 4π

−

y a2 y + y2 + β b2. y2 + β + β ln a b 1 2 q q i p

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) y2 + βdy = y + y2 + β y y2 + β + β ln h 1 2 ! q q Z q i h

c) Trước hết

2 =

−

− 4x

⇒

−

⇒

−

⇒

x)2 x) x)2 x) 9y2 = x(3 x)(1 y′ 18yy′ = 3(3 y′ = x)(1 6y

142

4. Các ứng dụng của tích phân xác định 143

Nên áp dụng công thức 2.23 ta có:

−

√x(3 3

− 4x

−

x)2 x) 1 + . dx = 2π. x)(1 + x)dx = 3π. S = 2π 1 6 r

"Nghịch lý sừng Gabriel"

1 x,

≤ y = 0, y = 1 x

quanh trục Ox.

Tính thể tích và diện tích mặt của nó. Cho một vật thể tròn xoay tạo bởi khi xoay miền giới hạn bởi   

+∞

[Lời giải] Ta có

Z1 (cid:18)

V = π dx = π 1 x (cid:19)

+∞

và

−

≥

dx 1 + dx = +∞. S = 2π 2π 1 x 1 x2 1 xs (cid:18) (cid:19)

Như vậy, đây là một vật thể có diện tích mặt bằng +∞, trong khi đó lại có thể tích hữu hạn. Giả sử bạn có một vật thể như vậy và cần sơn nó.

i) Một mặt, vì diện tích mặt là +∞, bạn cần một lượng vô hạn sơn để sơn nó.

ii) Mặt khác, vì miền giới hạn bởi vật đó có thể tích hữu hạn, bạn có thể đổ đầy nó bằng một lượng hữu hạn sơn (ở đây là π đơn vị thể tích), và khi đó toàn bộ mặt trong của nó sẽ được sơn.

Một nghịch lý phải không?

143

144 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số

144

CHƯƠNG3

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

§1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

{

Ta nói rằng dãy điểm Mn(xn, yn) M0

+∞ nếu lim +∞

} d(Mn, M0) = 0 hay nếu xn →

→

khi n dần tới điểm M0(x0, y0) trong R2 và viết Mn → y0. x0, yn →

Định nghĩa 3.33. Chohàmsố z = f (M) = f (x, y) xácđịnhtrongmộtlâncận V nàođó củađiểm M0(x0, y0),cóthểtrừtạiđiểm M0.Tanóirằnghàmsố f (x, y) cógiớihạnlà L khi M dầnđến M0 nếu

< ǫ.

−

∀

∃

f (M) L ǫ > 0, δ > 0 : nếud(M, M0) < δ thì

Mộtcáchtươngđương,vớimọidãyđiểm Mn(xn, yn) thuộclâncậnV dầnđến M0 tađềucó

+∞

f (xn, yn) = L. lim →

Khiđótaviết

(x,y)

(x0,y0)

f (M) = L. f (x, y) = L hay lim → lim →

• Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến số.

• Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương đối với hàm số một biến số cũng đúng cho hàm số nhiều biến số và được chứng minh tương tự.

Nhận xét:

145

146 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

{

→

• f (xn, yn) = l với mọi dãy số

{

, yn → y0}

Theo định nghĩa trên, muốn chứng minh sự tồn tại của giới hạn của hàm số nhiều biến số là việc không dễ vì phải chỉ ra lim xn → +∞ . Trong thực hành, muốn tìm giới hạn của hàm số nhiều biến số, x0} phương pháp chứng minh chủ yếu là đánh giá hàm số, dùng nguyên lý giới hạn kẹp để đưa về giới hạn của hàm số một biến số.

{

• và x0, yn → x0, y′n → x′n → xn → y0} Với chiều ngược lại, muốn chứng minh sự không tồn tại giới hạn của hàm số nhiều biến số, ta chỉ cần chỉ ra tồn tại hai dãy y0} sao cho

+∞

= lim +∞ n →

(x0, y0) khác nhau mà f (x, y) tiến tới hai

→

f (xn, yn) f (x′n, y′n) 6 lim →

hoặc chỉ ra tồn tại hai quá trình (x, y) giới hạn khác nhau.

1.2 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số

• Giả sử hàm số f (M) xác định trong miền D, M0 là một điểm thuộc D. Ta nói rằng hàm số f (M) liên tục tại điểm M0 nếu

M0 f (M) được hiểu là giới hạn

→

f (M) = f (M0) lim →

Nếu miền D đóng và M0 là điểm biên của D thì limM của f (M) khi M dần tới M0 ở bên trong của D.

• Hàm số f (M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.

•

Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến số liên tục. Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng, bị chặn thì nó liên tục đều, bị chặn trong miền ấy, đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong miền đó.

1.3 Bài tập

Bài tập 3.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau

− x

−

y 1 a) z = c) z = arcsin 1 x2 + y2 1

(x2 + y2

−

p x2 y2) b) z = d) z = 1)(4 x sin y

p p

− Bài tập 3.2. Tìm giới hạn (nếu có) của các hàm số sau

146

2. Đạo hàm và vi phân 147

→

∞) ∞, y b) f (x, y) = sin a) f (x, y) = 0, y 0) πx 2x + y

Chứng minh. x2 y2 x2 + y2 (x − a) Nếu cho (x, y)

−

(0, 0) theo phương của đường thẳng y = kx thì ta có → k2x2 x2 x2 + k2x2 =

→

(0, 0 theo những phương khác nhau thì f (x, y) dần tới những giới

→

khi x f (x, kx) = 0 k2 1 − 1 + k2 k2 1 1 + k2 →

(x,y)

(0,0)

Vậy khi (x, y) hạn khác nhau. Do đó không tồn tại f (x, y). lim →

(∞, ∞) theo phương của đường thẳng y = kx thì ta có π

b) Nếu cho (x, y)

= sin

→ f (x, kx) = sin

→

(0, 0 theo những phương khác nhau thì f (x, y) dần tới những giới

→

khi x sin 0 πx 2x + kx π 2 + k 2 + k →

(x,y)

(0,0)

Vậy khi (x, y) hạn khác nhau. Do đó không tồn tại f (x, y). lim →

Bài tập 3.3. [Cuối kì, K62, GT2, Nhóm ngành 2] Tính các giới hạn

(x,y)

(0,0)

(x,y)

(0,0)

a) . b) . 2x4 + y4 x2 + 2y2 x4 + 2y4 2x2 + y2 lim → lim →

[Lời giải] Ta có

(x,y)

(0,0)

(x,y)

(0,0)

a) y4 2x4

→

x2 + 2y2 + lim x2 + 2y2 = 0 + 0 = 0,

1 2 y2 và nguyên lý giới hạn kẹp.

≤

2x4 + y4 x2 + 2y2 = lim (0,0) y4 lim → 2x4 2x2, 0 do 0 x2 + 2y2 ≤ x2 + 2y2 ≤

(x,y)

(0,0)

(x,y)

(0,0)

b) x4 2y4

→

2x2 + y2 + lim 2x2 + y2 = 0 + 0 = 0,

1 2 x2,

≤

lim → x4 x4 + 2y4 2x2 + y2 = lim (0,0) → 2y4 0 do 0 2y2 và nguyên lý giới hạn kẹp. 2x2 + y2 ≤ 2x2 + y2 ≤

(x,y)

(x0,y0)

Chú ý 3.20. Không nhầm lẫn f (x, y) và f (x, y) với các giới hạn lặp lim x0 → lim → f (x, y).Chẳnghạnnhư,bạnđọccóthểkiểmtravớihàmsố f (x, y) = x2 lim y0 y → x2+y2 tacó lim y0 y → lim x0 x →

x2 x2+y2 khôngtồntại.

(x,y)

(0,0)

lim →

x2 x2+y2 = 1,

x2 x2+y2 = 0.

f (x, y) ii) lim x 0 → lim y 0 →

iii) lim y 0 → lim x 0 →

147

148 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

§2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

2.1 Đạo hàm riêng

∈

7→

• Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M(x0, y0) hàm số một biến số x D. Nếu cho y = y0, f (x, y0) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì đạo hàm đó gọi là

hay f (x, y). đạo hàm riêng của f với biến x tại M0 và được kí hiệu là ∂ ∂x

△

−

∂ f ∂x f (x0, y0) f (x0 +

= lim x → △

△

∂ f ∂x x, y0) x

∈

7→

• Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền D, điểm M(x0, y0) hàm số một biến số x D. Nếu cho x = x0, f (x0, y) có đạo hàm tại điểm y = y0 thì đạo hàm đó gọi là

hay f (x, y). đạo hàm riêng của f với biến x tại M0 và được kí hiệu là ∂ f ∂y ∂ ∂y

−

f (x0, y0 + f (x0, y0)

= lim y → △

△ △

≥

∂ f ∂y y) y

Chú ý: Các đạo hàm riêng của các hàm số n biến số (với n 3) được định nghĩa tương tự. Khi cần tính đạo hàm riêng của hàm số theo biến số nào, xem như hàm số chỉ phụ thuộc vào biến đó, còn các biến còn lại là các hằng số và áp dụng các quy tắc tính đạo hàm như hàm số một biến số.

2.2 Vi phân toàn phần

∈

△

−

∈

Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong miền D. Lấy các điểm M0(x0, y0) • D. Biểu thức x0, y0 + f = f (x0 + x0, y0 + y0) y0)

D, M(x0 + f (x0, y0)(x0, y0) được △ gọi là số gia toàn phần của f tại M0. Nếu như có thể biểu diễn số gia toàn phần dưới dạng

△

→

x + B y + α y + β y f = A.

→ △

△

M0, thì ta nói 0 khi M y được gọi là vi phân toàn

trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc x0, y0 còn α, β hàm số z khả vi tại M0, còn biểu thức A. y + α x + B △ phần của z = f (x, y) tại M0 và được kí hiệu là dz. Hàm số z = f (x, y) được gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm của miền ấy.

•

Đối với hàm số một biến số, sự tồn tại đạo hàm tại điểm x0 tưong đương với sự khả vi của nó tại x0. Đối với hàm số nhiều biến số, sự tồn tại của các đạo hàm riêng tại M0(x0, y0) chưa đủ để nó khả vi tại M0 (xem bài tập 3.4). Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y) khả vi tại M0.

148

2. Đạo hàm và vi phân 149

Định lý 3.50. Nếuhàmsố f (x, y) cócácđạohàmriêngtronglâncậncủa M0 vànếucác đạohàmriêngđóliêntụctại M0 thì f (x, y) khảvitại M0 và

y dz = f ′x △ x + f ′y △

Ví dụ 2.1 (Cuối kì, K61 Viện ĐTQT). Sửdụngviphân,tínhgầnđúng

(8, 05)2 + (5, 96)2.

(6, 05)2 + (7, 96)2.

a) b)

p p

2.3 Đạo hàm của hàm số hợp

Cho D là một tập hợp trong R2 và các hàm số

ϕ →

⊂

R D ϕ(D) R2 f →

◦

và F = f ϕ là hàm số hợp của hai hàm số f và ϕ:

F(x, y) = f (u(x, y), v(x, y))

Định lý 3.51. Nếu f cócácđạohàmriêng , liêntụctrong ϕ(D) vànếu u, v cócác ∂ f ∂x ∂ f ∂y

đạohàmriêng và trongD thìtồntạicácđạohàmriêng , , , , ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y ∂F ∂x ∂F ∂y

(3.1)

  ∂F ∂x ∂F ∂y ∂ f ∂u ∂ f ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂ f ∂v ∂ f ∂v ∂v ∂x ∂v ∂y

 Công thức 3.1 có thể được viết dưới dạng ma trận như sau

  ∂F ∂x ∂F ∂y ∂ f ∂u (cid:18) (cid:19) (cid:18) ∂ f ∂v (cid:19) ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y       trong đó ma trận

 

∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y      

. Jacobi của u, v với x, y và được kí hiệu là được gọi là ma trận Jacobi của ánh xạ ϕ, định thức của ma trận ấy được gọi là định thức D(u, v) D(x, y)

149

150 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao

•

xx =

( f ′x)′x = f ”

Cho hàm số hai biến số z = f (x, y). Các đạo hàm riêng f ′x, f ′y là những đạo hàm riêng cấp một. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tồn tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai. Có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu như sau:

( f ′x)′y = f ”

xy =

 (cid:18) (cid:19)

( f ′y)′x = f ”

yx =

(cid:18) (cid:19)

( f ′y)′y = f ”

yy =

(cid:18) (cid:19)

∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ f ∂x ∂ f ∂x ∂ f ∂y ∂ f ∂y ∂2 f ∂x2 ∂2 f ∂y∂x ∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y2 (cid:18) (cid:19)

 

xy, f ”

Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba, ...

xy = f ”

Định lý 3.52 (Schwarz). NếutrongmộtlâncậnU nàođócủađiểmM0(x0, y0) hàm số z = f (x, y) cócácđạohàmriêng f ” yx vànếucácđạohàmriêngấyliêntụctại M0 thì f ” yx tại M0.

•

Xét hàm số z = f (x, y), vi phân toàn phần của nó dz = f ′xdx + f ′ydy, nếu tồn tại, cũng là một hàm số với hai biến số x, y. Vi phân toàn phần của dz, nếu tồn tại, được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z và được kí hiệu là d2z. Ta có công thức

xxdx2 + 2 f ”

xydxdy + f ”

yydy2

d2z = f ”

Ví dụ 2.2 (Cuối kì, K62, GT2, Nhóm ngành 2). Chohàmsốz = z(x, y) cócácđạohàm

x = r cos ϕ, riêngcấpmộtliêntục,ởđó y = r sin ϕ.   Chứngminhrằng

.  ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂r ∂z ∂ϕ 1 r2 (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:18) (cid:18)

2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient

∈

R3 và~l =

Định nghĩa 3.34. Cho f (x, y, z) làmộthàmsốxácđịnhtrongmộtmiền D (l1, l2, l3) làmộtvéctơđơnvịbấtkìtrongR3.Giớihạn,nếucó,

−

f (M) (3.2) f (M0 + t~l) t lim t 0 →

150

(M0).

2. Đạo hàm và vi phân 151

đượcgọilàđạohàmcủahàmsố f theohướng~l tại M0 vàđượckíhiệulà ∂ f ∂~l

−

• Nếu ~l không phải là véc tơ đơn vị thì giới hạn trong công thức 3.2 có thể được thay bằng u(x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) u(x0, y0, z0) , t lim t 0 →

(M0) =

(M0)

• trong đó cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của −→l . Nếu~l trùng với véctơ đơn vị i của trục Ox thì đạo hàm theo hướng~l chính là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f

∂ f ∂x ∂ f ∂~l

Vậy đạo hàm riêng theo biến x chính là đạo hàm theo hướng của trục Ox, cũng như • vậy, là các đạo hàm của f theo hướng của trục Oy và Oz. Định lý sau đây cho , ∂ f ∂y ∂ f ∂z ta mối liên hệ giữa đạo hàm theo hướng và đạo hàm riêng:

(M0) cos α +

(M0) cos β +

(M0) cos γ

(M0) =

Định lý 3.53. Nếuhàmsố f (x, y, z) khảvitạiđiểm M0(x0, y0, z0) thìtại M0 cóđạohàm theomọihướng~l vàtacó

∂ f ∂x ∂ f ∂y ∂ f ∂z ∂ f ∂~l

trongđó(cos α, cos β, cos γ) làcosinchỉphươngcủa~l.

(M0),

(M0)

Cho f (x, y, z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại M0(x0, y0, z0). Người ta gọi gradient của f tại M0 là véctơ

∂ f ∂x ∂ f ∂y ∂ f ∂z (cid:19) (cid:18)

và được kí hiệu là −−→grad f (M0).

Định lý 3.54. Nếu−→l làmộtvéctơđơnvịvàhàmsố f (x, y, z) khảvitạiM0 thìtạiđótacó (M0) = −−→grad f .~l ∂ f ∂~l

(M0) thể hiện tốc độ biến thiên của hàm số f tại M0 theo hướng ~l. Từ công

Chú ý: ∂ f ∂~l

−−→grad f

(M0) = −−→grad f .~l =

(M0)

−−→grad f ,~l (cid:17)

~l (cid:12) (cid:12) (cid:12) nếu~l có cùng phương với −−−→grad f . Cụ thể (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

ta có đạt giá trị lớn nhất thức . cos ∂ f ∂~l (cid:16) bằng (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) •

• ∂ f ∂~l ~l −−→grad f (cid:12) (cid:12) (cid:12) Theo hướng ~l, hàm số f tăng nhanh nhất tại M0 nếu ~l có cùng phương, cùng hướng (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) với −−−→grad f . Theo hướng~l, hàm số f giảm nhanh nhất tại M0 nếu~l có cùng phương, ngược hướng với −−−→grad f .

151

152 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn

⊂

• R là một hàm số có các đạo hàm → = 0. Khi đó phương trình F(x, y) = 0 6 Cho phương trình F(x, y) = 0 trong đó F : U R2 và F′y(x0, y0) riêng liên tục trên tập mở U xác định một hàm số ẩn y = y(x) trong một lân cận nào đó của x0 và có đạo hàm

−

y′(x) = F′x F′y

→

⊂

•

R là một hàm số có các Tương tự, cho phương trình F(x, y, z) = 0 trong đó F : U R3 và F′z(x0, y0, z0) đạo hàm riêng liên tục trên tập mở U = 0. Khi đó phương trình F(x, y, z) = 0 xác định một hàm số ẩn z = z(x, y) trong một lân cận nào đó của (x0, y0) và có đạo hàm

−

, z′y = z′x = F′x F′z F′y F′z

2.7 Bài tập

Bài tập 3.4. Chứng minh rằng hàm số

= (0, 0)

nếu (x, y) 6 f (x, y) = xy x2 + y2 0 nếu (x, y) = (0, 0)  



có các đạo hàm riêng tại (0, 0) nhưng không liên tục tại (0, 0) và do đó không khả vi tại (0, 0).

Bài tập 3.5. Tính các đạo hàm riêng của hàm số sau

e) u = xyz , (x, y, z > 0) c) z = xy3 x + x2 + y2 a) z = ln

x2 y2 − x2+y2

x2+y2+z2 , (x, y, z > 0)

(cid:16) (cid:17) p d) z = arctan f) u = e b) z = y2 sin x y r Chứng minh. a)

y √x2+y2

1 + x

√x2+y2 x2 + y2

z′x = ; z′y = x + 1 x2 + y2 x + x2 + y2

p p p b)

x cos . ; z′y = 2y sin z′x = y cos x y x y x y −

152

2. Đạo hàm và vi phân 153

−

1; z′y = 3y2 ln x.xy3

z′x = y3xy3

−

z′x = x2 y2 − x2 + y2 x y2 x4 y4 ∂ ∂x s ! 1 x2 y2 x2+y2 + 1

− x4

−

p y z′y = x2 y2 − x2 + y2 y4 ! ∂ ∂y s 1 x2 y2 x2+y2 + 1

p e)

−

1. ln x; u′z = xyz

1; u′y = xyz

zyz yz ln y ln x u′x = yzxyz

1 x2+y2+z2

1 x2+y2+z2 .

−

(x2 + y2 + z2)2 ; u′y = e

(x2 + y2 + z2)2 ; u′z = e

2x 2y u′x = e 2z − (x2 + y2 + z2)2 .

Bài tập 3.6. Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của các hàm số f (x, y) sau

= 0

y x

nếu x x arctan 6 a) f (x, y) = 0 nếu x = 0 (cid:0) (cid:1)  

= (0, 0)

− x2 + y2

x sin y y sin x nếu (x, y) 6

0 nếu (x, y) = (0, 0) .  b) f (x, y) =  

= (0, y).

2 = 0 = f (0, y) . Vậy f (x, y)

y x

≤

Chứng minh. 6 x x arctan a) Dễ thấy hàm số liên tục với mọi (x, y) π x. arctan 2 | nên lim x 0 → (cid:0) (cid:1) (cid:1) (cid:0) (cid:12) (cid:12) (cid:12)  Xét x = 0, vì liên tục trên R2. Với x 6

−

z′x = arctan y x (cid:12) (cid:12) (cid:12) = 0 các đạo hàm riêng tồn tại và liên tục: 2x2y2 x4 + y4 , z′y = 2x3y x4 + y4 (cid:16) (cid:17) Xét tại x = 0,

= arctan

h y

− h

= 0

−

f (h, y) f (0, y)   f ′x (0, y) = lim 0 → 0, y = 0 π 2 , y 6 f (0, y) 

f ′y (0, y) = lim 0 →

f (0, y + k) k Vậy ta thấy f ′x (x, y) liên tục trên R2 (cid:17) (cid:16) 0 = 0 = lim k 0 → (0, 0) ; f ′y (x, y) liên tục trên R2.  

153

154 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

(0, 0), còn tại (0, 0) thì

b) Hàm số liên tục trên R2

\ ysinx

− x2 + y2

≤

= 0

− x2 + y2

sin y sin y x sin y 0 sin x x sin x x xy x2 + y2 1 2 y − y − (cid:18) nên (cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) x sin y ysinx

Vậy f (x, y) liên tục trên R2. (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) lim x 0 0 (cid:12) → y (cid:12) → (cid:12) (cid:12)

−

x2 , ở đó f là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối với

(cid:0) y2 Bài tập 3.7. Giả sử z = y f hàm số z hệ thức sau luôn thoả mãn (cid:1)

z′x + z′y = 1 x 1 y z y2

Chứng minh. Ta có

+ y. f

−

x2 y2 x2 y2 x2 y2 . ( 2y) z′x = y f .2x, z′y = f

− y

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:17) nên f x2 (cid:17) y2 z′x + z′y = 1 x 1 y z y2 (cid:0) (cid:1)

2v2

Bài tập 3.8. Tìm đạo hàm của hàm số hợp sau đây

−

a) z = eu2 , u = cos x, v = x2 + y2.

p u2 + v2 b) z = ln , u = xy, v = x y .

(cid:0) c) z = arcsin (x (cid:1) y) , x = 3t, y = 4t3. −

Chứng minh. a) Ta có

x √x2+y2 y √x2+y2

v′x = sin x ; ; u′x = − u′y = 0 v′y = (  

nên

−

sin 2x 4x] .

−

 2(x2+y2) [ − 2(x2+y2) [ 4y] . z′x = ecos x2 z′y = ecos x2  

b) Ta có 

; u′x = y u′y = x ( ( v′x = 1 y x v′y = − y2

nên

z′x = , z′y = 2 x y4 2 1 − y (y4 + 1) (cid:1) (cid:0)

154

2. Đạo hàm và vi phân 155

c) Ta có

( x′t = 3 y′t = 12t2

−

nên 1 12t2 3 z′t = y)2 1 (cid:17) (cid:16) q

Bài tập 3.9. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số

x2 + y2 a) z = sin c) z = arctan x+y y − (cid:0) (cid:1) d) u = xy2z b) z = ln tan y x

Chứng minh. a)

(2xdx + 2ydy)

x2 + y2 dz = cos

(cid:16) (cid:17) b)

− x2

xdy ydx dz = . . 2 sin 2y x (cid:18) (cid:19)

− (x

−

dz = . y) dx + (x + y) dy y)2 + (x + y)2

du = xy2z dx + 2yz ln xdy + y2 ln xdz . y2z x (cid:19) (cid:18)

Bài tập 3.10. Tính gần đúng

3√1, 03 + 4√0, 98

(1, 02)2 + (0, 05)2

−

b) B = ln 1

(cid:0) (cid:1) a) A = 3 q Chứng minh. x2 + y2, ∆x = 0, 02; ∆y = 0, 05; x = 1; y = 0. Ta có a) Xét hàm f (x, y) = 3

p 1 f ′x = 3 (x2 + y2)2/3 2x; f ′y = 1 3 (x2 + y2)2/3 2y

Khi đó

≈

f (1 + ∆x, 0 + ∆y) .0, 02 + 0.0, 05 = 1, 013. f (1, 0) + f ′x (1, 0) ∆x + f ′y (1, 0) ∆y = 1 + 2 3

155

Chương 3. Hàm số nhiều biến số 156

b) Xét hàm

3√x + 4√y

−

1 ; x = 1; y = 1; ∆x = 0, 03; ∆y = 0, 02 f (x, y) = ln

2 3

3 4

3√x + 4√y

−

(cid:1) (cid:0) Ta có 1 1 1 1 . . f ′x = ; f ′y = 1 1 3x 3y

Khi đó

(

f (1 + ∆x, 1 + ∆y) f (1, 1) + f ′x (1, 1) ∆x + f ′y (1, 1) ∆y

≈ = 0 +

−

0, 02) = 0, 005. .0, 03 + 1 3 1 4

Bài tập 3.11. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau

a) x3y y3x = a4; tính y′ c) x + y + z = ez; tính z′x, z′y

− b) arctan x+y

a = y

a ; tính y′

−

d) x3 + y3 + z3 3xyz = 0, tính z′x, z′y

−

y3x a) Xét hàm số ẩn F (x, y) = x3y a4 = 0, có F′x = 3x2y y3; F′y =

−

Chứng minh. x3 3y2x. Vậy

−

1 a

3x2y x3 y3 − 3y2x F′x y′ = − F′y

a )2 =

a −

−

F′x = nên b) Xét hàm số ẩn F (x, y) = arctan x+y

a a2+(x+y)2 a2 a = a2

y a có  

(x+y)2 − a(a2+(x+y)2)

1+( x+y a a2+(x+y)2 −

F′y =

y′ =  a (x + y)2 .

−

ez nên c) Xét hàm số ẩn F (x, y, z) = x + y + z ez có F′x = 1; F′y = 1; F′z = 1

1 ez 1 1 1 ez ; z′y = − −

−

d) Xét hàm số ẩn F (x, y) = x3 + y3 + z3 z′x = − − 3xyz = 0 có F′x = 3x2 3yz; F′y = 3y2 3xz; F′z =

−

3z2 3xy nên

− −

y+z , tính u′x, u′y biết rằng z là hàm số ẩn của x, y xác định bởi

; z′x = z′x = 3x2 3xy 3y2 3xy 3yz 3z2 3xz 3z2

Bài tập 3.12. Cho u = x+z phương trình z.ez = x.ex + y.ey

156

−

2. Đạo hàm và vi phân 157

(ex + xex) (ey + yey)

−

nên xex Chứng minh. Xét hàm số F (x, y, z) = zez

F′x = F′y = − F′z = ez + zez

(x + z) (z′x)

(1 + z′x) . (y + z)

− (y + z)2

(y + z)

(x + z) .

1 + ex+xex ez+zez u′x = (cid:16) 

ey+yey ez+zez

− (cid:17) (y + z)2

1 + z′y z′y yey = 0 có    (x + z) ex+xex ez+zez − (cid:17) (y + z)2 1 + ey+yey ez+zez u′y = (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:16) (cid:16) (cid:17)

  Bài tập 3.13. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ

x + y + z = 0 x2 + y2 + z2 = 1  

= 0

Chứng minh. Lấy đạo hàm hai vế của các phương trình của hệ ta có 

1 + y′x + z′x 2x + 2yy′x + 2zz′x = 0  

nên  y′x =

− − − −

z′x =   x z y z z y x y

x =

−

 y2 z2, xác định hàm ẩn z = z (x, y). Chứng minh

−

Bài tập 3.14. Phương trình z2 + 2 y z′y = 1 rằng x2z′x + 1 z p

x −

−

nên y2 Chứng minh. Xét hàm số F (x, y, z) = z2 + 2

2 F′x = x2 F′y = − √y2 F′z = 2z + z √y2 −

2 x2

z2 có    z′x = 

z′y =

2z + z √y2 − y − √y2 z2 − 2z + z √y2 −

z′y y = 1 z .

  Từ đó suy ra x2z′x +

Bài tập 3.15. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau

157

158 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

(x2 + y2)3

x2 + y2 b) z = x2 ln c) z = arctan y x a) z = 1 3 (cid:1) (cid:0) q Chứng minh. a) Ta có

x2 + y2 + x z′′xx = 2  p p x2 + y2 + y z′′yy = 2x2 + y2 x2 + y2 x2 + 2y2 p x2 + y2 2 x2 + y2 x2 + y2 ⇒ p z′x = x z′y = y   p p p z′′xy = p  2xy x2 + y2 2x x2 + y2 2y x2 + y2 xy x2 + y2 2

p p   b) Ta có

− (x + y)2

+ −

⇒

x2 2x (x + y) z′′xx = 2 ln (x + y) + 2x x + y  z′x = 2x ln (x + y) + x2 x + y z′′xy = x2 (x + y)2 z′y = x2 x + y z′′yy = 2x x + y x2 (x + y)2   

  c) Ta có

2 . −

+ y.2y

y x

⇒

y x

z′′xx = 1  z′x = 1 + z′′xy = − y2 x2 − (x2 + y2)2 (cid:1) 1 (cid:0) z′y = (cid:1) 2 y x2 = − 1 x y x2 + y2 x x2 + y2 1 + (cid:0) z′′yy = − 2xy (x2 + y2)2 x2 + y2 (x2 + y2)2 2xy (x2 + y2)2 (cid:0) (cid:1)      Bài tập 3.16. Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau

1 2(x2+y2)

−

b) z = a) z = xy2 x2y

Chứng minh. a) Ta có dz = y2 dx + x2 dy nên 2xy 2xy

− (cid:0) (cid:1) 2y (dx)2 + 4 (y

− x) dxdy+ (2y) (dy)2

(cid:1)

−

(cid:0) d2z = −

2(x2+y2)2 dx +

2(x2+y2)2 dy nên

b) Ta có dz =

−

(x2 + y2)3 dxdy +

4xy d2z = y2 3x2 (x2 + y2)3 (dx)2 x2 3y2 (x2 + y2)3 (dy)2

158

3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 159

§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

3.1 Cực trị tự do

∈

−

Định nghĩa 3.35. Chohàmsốz = f (x, y) xácđịnhtrongmộtmiền D và M0(x0, y0) D. Tsnóirằnghàmsố f (x, y) đạtcực trị tạiM0 nếuvớimọiđiểmM tronglâncậnnàođócủa M0 nhưngkhác M0,hiệusố f (M) f (M0) códấukhôngđổi.

f (M0) > 0 trongmộtlâncậnnàođócủa M0 thì M0 đượcgọilàcực tiểu • Nếu f (M) − củahàmsố f tại M0.

f (M0) < 0 trongmộtlâncậnnàođócủa M0 thì M0 đượcgọilàcực đại • Nếu f (M) − củahàmsố f tại M0.

Trong phần tiếp theo chúng ta sử dụng các kí hiệu sau:

p = f ′x(M), q = fy(M), r = fxx”(M), s = fxy”(M), t = fyy”(M)

Định lý 3.55. Nếu hàm số f (x, y) đạt cực trị tại M và tại đó các đạo hàm riêng p = f ′x(M), q = fy(M) tồntạithìcácđạohàmriêngấybằngkhông.

Định lý 3.56. Giảsửhàmsốz = f (x, y) cócácđạohàmriêngđếncấphailiêntụctrong mộtlâncậnnàođócủa M0(x0, y0).Giảsửtại M0 tacó p = q = 0,khiđó

−

rt < 0 thì f (x, y) đạtcựctrịtại M0.Đólàcựctiểunếur > 0,làcựcđạinếu

1. Nếus2 r < 0.

−

2. Nếus2 rt > 0 thì f (x, y) khôngđạtcựctrịtại M0.

Chú ý: Nếu s2 rt = 0 thì chưa kết luận được điều gì về điểm M0, nó có thể là cực trị, cũng có thể không. Trong trường hợp đó ta sẽ dùng định nghĩa để xét xem M0 có phải là f (M0), nếu nó xác định dấu trong một lân cực trị hay không bằng cách xét hiệu f (M) cận nào đó của M0 thì nó là cực trị và ngược lại.

Ví dụ 3.1 (Cuối kì, K61 Viện ĐTQT). Tìmcáccựctrịcủahàmsố

−

a) z = x2 b) z = y2 2x + arctan(y2). 2y + arctan(x2).

Bài tập 3.17. Tìm cực trị của các hàm số sau

159

160 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

−

− (x2+y2)

a) z = x2 + xy + y2 + x x2 y + 1 c) z = 2x4 + y4 2y2

−

b) z = x + y d) z = x2 + y2 x.ey e−

− y = 1

−

x = 1 . Vậy Chứng minh. a) Xét hệ phương trình p = z′x = 2x + y + 1 = 0 q = z′y = x + 2y 1 = 0 ⇔     1, 1) là điểm tới hạn duy nhất.   AC = 1 4 = 3 <

ta có M ( Ta có A = z′′xx(M) = 2; B = z′′xy(M) = 1; C = z′′yy(M) = 2 nên B2 0. Vậy hàm số đạt cực trị tại M và do A > 0 nên M là điểm cực tiểu.

b) Xét hệ phương trình

−

p = 1 x = 1

−

q = 1 y = 0   ey = 0 xey = 0 ⇔  

−

− c) Xét hệ phương trình

Vậy hàm số có điểm tới hạn duy nhất M (1, 0). Ta có A = z′′xx(M) = 0; B = z′′xy(M) =  AC = 1 > 0. Hàm số đã cho không có cực trị.  1 nên B2 1; C = z′′yy(M) =

2 ∨

−

∨

x = x x = 1 1 x = 0

1 2 − 1

− 1

= 0 = 0 ⇔  (cid:1) 

∨

−

y = y y = 0 y = 1 4x2 y2 (cid:0) z′x = 8x3 z′y = 4y3 2x 4y ⇔  

(cid:0) (cid:1)   Vậy các điểm tới hạn của hàm số là   

, 1 , 0 ; 1) ; M5 M3 (0, M2 (0, 1) ; M4 M1 (0, 0) ; 1 2 1 2 (cid:19) (cid:18) (cid:18)

− 1 2

−

, 0 , 1 , 1 (cid:19) , 1 M6 ; M7 ; M8 ; M9 1 2 1 2 1 2 (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:18)

−

4. (cid:18) (cid:19) Ta có z′′xx = 24x2 2; z′′xy = 0; z′′yy = 12y2

− 4; B2

−

AC = 2; B = 0; C = 8 < 0 nên M1 là điểm cực đại • Tại M1(0, 0), A = với z = 0.

−

1) ; A = 2; B = 0; C = 8; B2 AC = 16 > 0 nên M2, M3 • Tại M2 (0, 1) ; M3 (0, không phải là điểm cực đại với z = 0.

1 2 , 0 −

1 2 , 0

−

; A = 4; B = 0; C = 4; B2 ; M7 AC = 16 > 0 nên M4, M7 • (cid:16) (cid:17) (cid:17) Tại M4 không phải là điểm cực đại với z = 0. (cid:16)

1 2 , 1

1 2 ,

−

1 2 , 1 − − 32 < 0 nên M5, M6, M8, M9 là các điểm cực tiểu với giá trị tại đó là (cid:16)

; A = 4; B = 0; C = 8; B2 1 1 ; M6 ; M8 ; M9 • (cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16)

−

Tại M5 AC = (cid:16) − 9 8 . z =

(x2+y2).2x = 0 (x2+y2).2y = 0 ⇔  

x = 0 d) Xét hệ phương trình y = 0 p = z′x = 2x + e− q = z′y = 2y + e−  

  160

3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 161

(x2+y2)

Vậy M(0, 0) là điểm tới hạn duy nhất. Xét

−

(x2+y2)

4x2.e−

− AC =

4y2.e− z′′xx = 2 + 2.e− z′′xy = 4xy.e− − z′′yy = 2 + 2.e−

−

16 < 0; A > 0 nên tại M hàm số đạt

Tại M(0, 0) có A = 4; B = 0; C = 4; B2 cực tiểu.

3.2 Cực trị có điều kiện

→

Cho tập mở U R. Xét bài toán tìm cực trị của hàm số f (x, y)

R2 và hàm số f : U ⊂ khi các biến x, y thoả mãn phương trình

ϕ(x, y) = 0

≤

⊂

U sao cho f (x, y)

≥

∈

f (x0, y0)) với mọi (x, y)

U thoả mãn điều kiện ϕ(x0, y0) = 0 hàm f có cực đại tương Ta nói rằng tại điểm (x0, y0) ∈ đối (tương ứng cực tiểu tương đối) nếu tồn tại một lân cận V f (x0, y0) V thoả mãn điều kiện ϕ(x, y) = 0. Điểm (tương ứng f (x, y) (x0, y0) được gọi là cực trị có điều kiện của hàm số f (x, y), còn điều kiện ϕ(x, y) = 0 được gọi là điều kiện ràng buộc của bài toán. Nếu trong một lân cận của (x0, y0) từ hệ thức ϕ(x, y) = 0 ta xác định được hàm số y = y(x) thì rõ ràng (x0, y(x0)) là cực trị địa phương của hàm số một biến số g(x) = f (x, y(x)). Như vậy, trong trường hợp này bài toán tìm cực trị ràng buộc được đưa về bài toán tìm cực trị tự do của hàm số một biến số. Ta xét bài toán sau đây

Bài tập 3.18. Tìm cực trị có điều kiện

x + 1

y với điều kiện 1

x2 + 1

y2 = 1 a2

a) z = 1

b) z = x.y với điều kiện x + y = 1

sin t ; y = a

cos t , ta có 1

x2 + 1

y2 = 1

a2 . Khi đó

Chứng minh. a) Đặt x = a

z = . 1 x 1 y sin t a cos t a

= 0

√2 a

⇔

√2 a

Ta có cos t t = t = t sin z′t = sin t a 5π 4 a − π 4 − (cid:16) (cid:17) .

√2a; y =

√2a, hàm số đạt cực đại và zCĐ = √2 a .

−

Với t = π Với t = 5π π 4 ∨ 4 ta có x = √2a; y = √2a, hàm số đạt cực tiểu và zCT = − 4 ta có x =

161

162 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

−

x). Dễ dàng nhận b) Từ điều kiện x + y = 1 ta suy ra y = 1 x. Vậy z = xy = x(1

2 và zCĐ = 1 4 .

−

x) đạt cực đại tại x = 1 thấy hàm số x = x(1

→

Tuy nhiên không phải lúc nào cũng tìm được hàm số y = y(x) từ điều kiện ϕ(x, y) = 0. Do đó bài toán tìm cực trị điều kiện không phải lúc nào cũng đưa được về bài toán tìm cực trị tự do. Trong trường hợp đó ta dùng phương pháp Lagrange được trình bày dưới đây.

Định lý 3.57 (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị điều kiện). Giảsử U làmộttập mởtrong R2, f : U R và (x0, y0) làđiểmcựctrịcủahàm f vớiđiềukiện ϕ(x, y) = 0. Hơnnữagiảthiếtrằng:

a. Cáchàm f (x, y), ϕ(x, y) cócácđạohàmriêngliêntụctrongmộtlâncậncủa(x0, y0).

= 0.

∂y (x0, y0)

b. ∂ϕ 6

∂ f

Khiđótồntạimộtsốλ0 cùngvớix0, y0 tạothànhnghiệmcủahệphươngtrìnhsau(đốivới λ, x, y)

∂x (x, y) = 0 ∂y (x, y) = 0

⇔

∂x (x, y) + λ ∂ϕ ∂y (x, y) + λ ∂ϕ ϕ(x, y) = 0

∂φ ∂x = 0 ∂φ ∂y = 0 ∂φ ∂λ = 0 vớiφ(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y) đượcgọilàhàmLagrange.

(3.3)

     

Định lý trên chính là điều kiện cần của cực trị có ràng buộc. Giải hệ phương trình 3.3 ta sẽ thu được các điểm tới hạn. Giả sử M(x0, y0) là một điểm tới hạn ứng với giá trị λ0. Ta có

−

φ(x, y, λ0) φ(x0, y0, λ0) = f (x, y) + λ0 ϕ(x, y) f (x0, y0) λ0 ϕ(x0, y0) = f (x, y) f (x0, y0)

(x0, y0, λ0)dxdy +

nên nếu M là một điểm cực trị của hàm số φ(x, y, λ0) thì M cũng là điểm cực trị của hàm số f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0. Muốn xét xem M có phải là điểm cực trị của hàm số φ(x, y, λ0) hay không ta có thể quay lại sử dụng định lý 3.56 hoặc đi tính vi phân cấp hai

d2φ(x0, y0, λ0) = ∂2φ ∂x∂y ∂2φ ∂x2 (x0, y0, λ0)dx2 + 2 ∂2φ ∂y2 (x0, y0, λ0)dy2

(x0, y0)dx +

(x0, y0)dy = 0

trong đó dx và dy liên hệ với nhau bởi hệ thức

∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y

hay

−

∂ϕ ∂x (x0, y0) ∂ϕ ∂y (x0, y0)

dx dy =

162

3. Cực trị của hàm số nhiều biến số 163

Thay biểu thức này của dy vào d2φ(x0, y0, λ0) ta có

d2φ(x0, y0, λ0) = G(x0, y0, λ0)dx2

Từ đó suy ra

Nếu G(x0, y0, λ0) > 0 thì (x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện. •

Nếu G(x0, y0, λ0) < 0 thì (x0, y0) là điểm cực đại có điều kiện. •

x + 1

y với điều kiện 1

x2 + 1

y2 = 1 a2

x + 1

y + λ( 1

x2 + 1

1 a2 ). Từ hệ phương

y2 −

Bài tập 3.19. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số z = 1

−

2λ x3 2λ y3

∂φ 1 ∂x = x2 − ∂φ 1 ∂y = y2 − − ∂φ ∂λ = 1 x2 + 1

1 a2 = 0

y2 −

Chứng minh. Xét hàm số Lagrange φ(x, y, λ) = 1 trình

a √2

−

a√2, a√2) ứng , M2(    . Ta có ta thu được các điểm tới hạn là M1(a√2, a√2) ứng với λ1 = với λ2 = a √2

x2 + 1

1 a2 = 0 suy ra

2 x3 dx

2 y3 dy = 0 nên dy =

dx2 + dy2 dxdy + d2φ = ∂2φ ∂x∂y ∂2φ ∂x2 dx2 + 2 ∂2φ ∂y2 dy2 = 2 x3 + 2 y3 + 6λ x4 6λ y4 (cid:19) (cid:19) (cid:18)

y2 −

−

√2 4a3 (dx2 + dy2) =

2√2 4a3 (dx2) < 0 nên M1 là điểm cực đại có điều

(cid:18) y3 x3 dx, thay vào biểu thức Từ điều kiện 1 d2φ ta có

−

4a3 (dx2 + dy2) = 2√2

4a3 (dx2) > 0 nên M2 là điểm cực tiểu có điều

• Tại M1, d2φ(M1) = kiện.

• Tại M2, d2φ(M2) = √2 kiện.

3.3 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất

→

Giả sử f : A

R là hàm số liên tục trên tập hợp đóng A của R2. Khi đó, f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên A. Để tìm các giá trị này ta hãy tìm giá trị của hàm số tại tất cả các điểm dừng trong miền A cũng như tại các điểm đạo hàm riêng không tồn tại, sau đó so sánh các giá trị này với các giá trị của hàm trên biên ∂A của A (tức là ta phải xét cực trị có điều kiện).

Bài tập 3.20. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

163

164 Chương 3. Hàm số nhiều biến số

−

x y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 6. a) z = x2y(4

2 , y = 0, y = π π 2 .

b) z = sin x + sin y + sin(x + y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường x = 0, x =

164