TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC
TS. BÙI XUÂN DIỆU
Bài Giảng
GIẢI TÍCH I
(lưu hành nội bộ)
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập và Lời giải
Hà Nội- 2019
(bản cập nhật Ngày 13 tháng 7 năm 2019)
Tập Bài giảng này vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứa những lỗi đánh
máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được
sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi
về địa chỉ “dieu.buixuan@hust.edu.vn”.
Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos.
Use at your own risk!
Hà Nội, Ngày 13 tháng 7 năm 2019.
MỤC LỤC
Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 . Hàm số một biến số (13LT+13BT). . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Sơ lược về các yếu tố Lôgic; các tập số: N,Z,Q,R. . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Trị tuyệt đối và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.1 Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Hàm số đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Hàm số bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Hàm số tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.6 Hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7 Hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.8 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Dãy số và giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Các phép toán trên giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Giới hạn của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Giới hạn vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.5 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.6 Mối liên hệ giữa giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số . . . . . 29
5.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Vô cùng lớn, vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
2 MỤC LỤC
6.1 Vô cùng bé (VCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2 Các phép toán số học đối với hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3 Sự liên tục của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4 Sự liên tục của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.5 Các định lý về hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.6 Điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . 39
7.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.2 Các phép toán trên đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.3 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.4 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.5 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.6 Vi phân của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.7 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.8 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.10 Đọc thêm: Về khái niệm vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.1 Các định lý về hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.2 Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.4 Về một số dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.5 Thay tương đương khi có hiệu hai VCB? . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.6 Hiệu hai VCB tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.7 Ba phương pháp (mới) để tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.8 Về các VCL tiêu biểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.9 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10 Các lược đồ khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=f(x). . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số . . . . . . . . . . . 85
10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực . . . . . . . . . . . . . 86
10.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2
MỤC LỤC 3
Chương 2 . Phép tính tích phân một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.1 Nguyên hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2 Các tiêu chuẩn khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.3 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) . . . . . . . . . . . . 111
2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.6 Hệ thống bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn . . . . . . . . . . . . . 126
3.3 Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . . . . . . 129
3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 Các ứng dụng của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1 Tính diện tích hình phằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2 Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Chương 3 . Hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.2 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2 Đạo hàm và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.2 Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.3 Đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm của hàm số ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3
