1. Định nghĩa, cách tính tích phân kép
2. Tọa độ cực
3. Ứng dụng hình học
4. Ứng dụng cơ học
Nhắc lại
= lim n→∞
Bài toán: Tìm diện tích.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa
Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai ,
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D,
giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn).
Bài toán: Tìm thể tích hình trụ.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa
Cho hình trụ được giới hạn trên bởi mặt bậc hai , giới hạn dưới bởi miền D = [a,b]x[c,d] (đóng, bị chặn). giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên D. Bài toán: Tìm thể tích hình trụ.
1) Chia D một cách tùy ý ra thành n hình chữ nhật rời nhau: D1, D2, ..., Dn.
Có diện tích tương ứng là
2) Trên mỗi miền lấy tùy ý một điểm
3) Thể tích của vật thể: (tổng Riemann)
4)
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa
Cho f = f (x,y) xác định trên miền đóng và bị chặn D (tổng quát).
y
Do đó, D có thể được bao kín trong một miền chữ nhật C.
D
Xác định hàm F(x,y) như sau:
C
x
Nếu giới hạn: tồn tại hữu hạn, thì ta nói hàm f(x,y)
khả tích trên miền D. Ký hiệu:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính chất
1) Hàm liên tục trên miền đóng, bị chặn thì khả tích trên miền này.
2)
5) Nếu D được chia làm hai miền D1 và D2 rời nhau:
6)
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai
giới hạn dưới bởi hình vuông:
giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song Oz, tựa trên biên R.
Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau:
a) Chia R thành 4 phần bằng nhau;
b) Chia R thành 16 phần bằng nhau;
c) Chia R thành 64 phần bằng nhau;
d) Chia R thành 256 phần bằng nhau;
e) Tính thể tích của vật thể.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Cho f liên tục trên miền đóng và bị chặn D.
Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp
y = y2(x)
y = y1(x)
a
b
1) Giả sử D xác định bởi:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định lý Fubini: tích phân lặp
y
g2(x)
g1(x)
b
a 23-Feb-21
x TS. Nguyễn Văn Quang
17
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
x = x1(y)
Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp
d
x = x2(y)
c
2) Giả sử D xác định bởi:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định lý Fubini: tích phân lặp
y
d
c
h1(y)
h2(y)
x
19 23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Giải câu e) 2
2
Tính thể tích của vật thể:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi:
Tính tích phân kép
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 21
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính tích phân kép
, trong đó D là tam giác OAB, với:
Cần chia D ra thành hai miền: D1 và D2
D1
D2
Nếu lấy cận x trước, y sau thì không cần chia D.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 22
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính tích phân kép
D là miền phẳng giới hạn bởi:
D1
D2
D2
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 23
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
Tính tích phân kép
Tích phân không tính được (qua các hàm sơ cấp).
Thay đổi thứ tự lấy tích phân:
1) Xác định miền D.
2) Vẽ miền D.
3) Thay đổi thứ tự.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 24
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
Thay đổi cận:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 25
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính tích phân kép
Tích phân không tính được (qua các hàm sơ cấp).
Thay đổi cận:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 26
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
Thay đổi thứ tự lấy tích phân
Vẽ miền D:
Thay đổi cận:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 27
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Thay đổi thứ tự lấy tích phân
D1
D3
Vẽ miền D: Thay đổi cận: Phải chia D làm 3 miền:
D2
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 28
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Tổng quát, xét phép đổi biến T từ mặt Ouv sang mặt Oxy:
𝑇(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦)
với x và y liên hệ với u và v bởi:
𝑥 = 𝑔 𝑢, 𝑣 ; 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣)
Có thể viết: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣). Giả sử T là một phép biến thỏa mãn: g và h có đạo hàm riêng bậc nhất liên tục. Nếu 𝑇(𝑢1, 𝑣1) = (𝑥1, 𝑦1), thì (𝑥1, 𝑦1) được gọi là ảnh của điểm (𝑢1, 𝑣1). Nếu không có 2 điểm nào có cùng chung 1 ảnh và ngược lại, thì ta gọi T là đổi biến 1-1.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 29
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Nếu T là đổi biến 1-1, nó sẽ có một phép biến đổi ngược 𝑇−1 từ mặt Oxy sang mặt Ouv.
Do đó, ta có thể tìm u và v theo x và y :
𝑢 = 𝐺(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝐻(𝑥, 𝑦)
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 30
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Xét một hình chữ nhật nhỏ S trong mặt Ouv: ảnh của S là miền R trong mặt Oxy. Một điểm trên cạnh biên của nó sẽ là:
(𝑥0, 𝑦0) = 𝑇(𝑢0, 𝑣0)
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 31
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Ta có vector vị trí của điểm (u, v):
𝒓(𝑢, 𝑣) = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝒋 = 𝑔(𝑢, 𝑣) 𝒊 + ℎ(𝑢, 𝑣) 𝒋
Phương trình của cạnh dưới của S là: 𝑣 = 𝑣0 Ảnh của nó được cho bởi hàm vector 𝒓(𝑢, 𝑣0).
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 32
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Nếu một đường cong trong mặt phẳng cho bởi hàm vector:
𝒓(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝒊 + 𝑦(𝑡) 𝒋
với 𝑡 là tham số thì vector tiếp tuyến tại 𝑡0 đối với đường cong không gian này sẽ là:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 33
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Do đó vector tiếp tuyến tại (𝑥0, 𝑦0) đối với đường cong ảnh này sẽ là:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 34
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Tương tự, vector tiếp tuyến tại (𝑥0, 𝑦0) đối với đường cong ảnh của cạnh trái của (𝑢 = 𝑢0) là:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 35
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Ta có thể xấp xỉ miền ảnh 𝑅 = 𝑇(𝑆) bởi một hình bình hành xác định
bởi các vector cát tuyến:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 36
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Tuy nhiên, Nên, Tương tự,
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 37
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Điều này có nghĩa là ta có thể xấp xỉ R bởi một hình bình hành xác định
bởi 2 vector ∆𝑢. 𝒓𝑢 và ∆𝑣. 𝒓𝑣 .
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 38
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Vậy, có thể xấp xỉ diện tích của R bởi diện tích của hình bình hành này:
|(∆𝑢 𝒓𝑢) × (∆𝑣 𝒓𝑣)| = |𝒓𝑢 × 𝒓𝑣| ∆𝑢 ∆𝑣
Tích có hướng của 2 vector:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 39
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Jacobian của biến đổi T cho bởi 𝑥 = 𝑔(𝑢, 𝑣) và 𝑦 = ℎ(𝑢, 𝑣) là:
Với ký hiệu này ta có thể xấp xỉ một diện tích ∆A của R:
ở đây Jacobian được
tính tại (u0, v0).
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 40
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Tiếp theo, ta chia miền S trong mặt Ouv thành các hình chữ nhật nhỏ 𝑆𝑖𝑗
và gọi ảnh của nó trong mặt Oxy là 𝑅𝑖𝑗.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 41
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Áp dụng công thức xấp xỉ đối với 𝑅𝑖𝑗 ở trên, ta có xấp xỉ của tích phân
2 lớp của f trên miền R như sau.
ở đây Jacobian được tính tại (𝑢𝑖, 𝑣𝑗).
Chú ý đây chính là tổng Riemann của tích phân:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 42
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Đổi biến tổng quát
Định lý:
Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 ; sao cho phép đổi biến này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ 0 (có thể 𝐽 = 0 tại một số điểm hữu hạn), khi đó:
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
= 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)). 𝐽 . 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷𝑥𝑦
𝐷𝑢𝑣
Trong đó:
𝑢
𝑣
𝐽 =
=
𝑥′ 𝑦′
𝜕(𝑥, 𝑦) 𝜕(𝑢, 𝑣)
𝑥′ 𝑢 𝑦′
𝑣
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 43
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Định nghĩa
y
Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes:
y
r
Chú ý:
x
x
Ví dụ. Phương trình đường tròn tâm 0, bán kính bằng 2:
Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 44
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
• Phương trình đường tròn tâm (1,0), bán kính bằng 1:
Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là:
• Phương trình đường tròn tâm (0,1), bán kính bằng 1:
Phương trình đường tròn này trong tọa độ cực là:
• Phương trình đường thẳng x = 2
Phương trình đường thẳng này trong tọa độ cực là:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 45
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 46
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Qua phép đổi biến:
Chia [a,b] thành m phần.
Chia thành n phần.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 47
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Miền
Trên Rij lấy một điểm
Diện tích miền Rij là:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 48
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tọa độ cực của điểm Rij là:
Tổng Riemann:
Đặt
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 49
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
Tính tích phân kép
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 50
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 51
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 52
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 53
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi:
Tính
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 54
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
Tính
D2 D1
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 55
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tọa độ cực suy rộng
Trường hợp 1. Miền phẳng D là hình tròn:
Dùng phép đổi biến:
Khi đó định thức Jacobi:
Khi lấy cận của ta coi như gốc tọa độ dời về tâm hình tròn.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 56
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tọa độ cực suy rộng
Trường hợp 2. Miền phẳng D là Ellipse:
Dùng phép đổi biến:
Khi đó định thức Jacobi:
Khi đó cận của
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 57
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
Tính Tính
Gốc tọa độ dời về đây
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 58
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
Tính Tính
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 59
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
Tính
Vì đường y = x nên
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 60
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Diện tích miền D:
Tính diện tích miền D giới hạn bởi:
Diện tích miền D là:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 61
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính thể tích
Để tính thể tích khối
1) Xác định mặt giới hạn bên trên:
2) Xác định mặt giới hạn bên dưới:
3) Xác định hình chiếu của xuống Oxy:
Chú ý: 1) Có thể chiếu Ω xuống Oxz, hoặc Oyz. Khi đó mặt phía trên, mặt phía dưới phải theo hướng chiếu xuống.
2) Để tìm hình chiếu của Ω xuống Oxy, ta khử z trong các phương trình của Ω.
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 62
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi:
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
Hình chiếu: khử z trong 2 phương trình:
Hình chiếu
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 63
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Ví dụ
Đổi sang tọa độ cực:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 64
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi:
Mặt trên:
Mặt phía dưới:
Hình chiếu: D
D
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 65
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 66
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: và các mặt tọa độ.
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
Hình chiếu: là tam giác màu đỏ.
Mặt dưới
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 67
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi:
z
Có thể chiếu xuống Oxy tương tự các ví dụ trước.
Chiếu vật thể xuống Oyz:
Mặt phía trên:
Mặt phía dưới:
y
x
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 68
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Thể tích vật thể cần tính:
z
D
y
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 69
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Diện tích mặt cong
Mặt S cho bởi phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), D là hình chiếu của S xuống Oxy.
Chia miền D thành n miền con D1, D2, ..., Dn. Khi đó tương ứng, S được chia thành các mặt con S1, S2, ..., Sn .
Diện tích tương ứng: ∆𝑆1, ∆𝑆2, ⋯ , ∆𝑆𝑛 .
Lấy điểm tùy ỳ
Tương ứng với điểm
Gọi Ti là mặt tiếp diện với Si tại Mi .
Và Ti là mảnh có hình chiếu xuống Oxy là Di
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 70
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Diện tích mặt cong
Với Di nhỏ, ta coi diện tích của Ti là diện tích gần đúng của mảnh Si :
Gọi là góc giữa hai mảnh Di và Ti :
Ta có là góc giữa pháp tuyến tại Mi với mặt S và trục Oz.
Véctơ pháp của S tại Mi :
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 71
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Diện tích mặt cong có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là Dxy được tính bởi công thức:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 72
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
Tính diện tích phần mặt paraboloid nằm trong hình trụ:
Hình chiếu của S xuống Oxy:
Phương trình mặt S:
Diện tích phần mặt paraboloid:
23-Feb-21 TS. Nguyễn Văn Quang 73
Đại học Công nghệ - ĐHQGHN
23-Feb-21 74
23-Feb-21 75
23-Feb-21 76
