Bài giảng Giải tích 2: Chương 6

1. Tích phân mặt loại 1

2. Tích phân mặt loại 2

Định nghĩa

Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆. Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1, 𝑆2, ⋯ , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau). Diện tích tương ứng: ∆𝑆1, ∆𝑆2, ⋯ , ∆𝑆𝑛. Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖) tùy ý. Lập tổng Riemann:

𝑛

𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 . ∆𝑆𝑖

𝑖=1

𝐼𝑛, không phụ thuộc cách chia mặt cong 𝑆, và cách lấy điểm 𝑀𝑖.

𝐼 = lim 𝑛→∞

𝐼 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆

𝑆

được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên mặt 𝑆.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 2

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Tính chất

1. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trên mặt cong trơn 𝑆 thì khả tích trên 𝑆.

2. Diện tích của mặt 𝑆:

𝑑𝑆 𝑆

3. 𝑘𝑓 + 𝑚𝑔 𝑑𝑆 =

𝑘 𝑓𝑑𝑆 + 𝑚 𝑔𝑑𝑆

𝑆

4. Nếu 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 thì:

𝑓𝑑𝑆 =

𝑓𝑑𝑆 + 𝑓𝑑𝑆

𝑆

𝑆1

𝑆2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 3

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Phương trình tham số mặt cong S:

𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 , 𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷

Phương trình tham số hàm vector mặt cong S:

𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 4

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Xác định mặt cong S biết phương trình tham số hàm vector của mặt S có dạng: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝐢 + 𝑣. 𝐣 + 2𝑠𝑖𝑛𝑢. 𝐤

Phương trình tham số mặt cong S:

𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢; 𝑦 = 𝑣; 𝑧 = 2𝑠𝑖𝑛𝑢

Do đó: 𝑥2 + 𝑧2 = 4, mặt S là mặt trụ song song với trục Oy.

Nếu thêm điều kiện: 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋/2,0 ≤ 𝑣 ≤ 3, mặt S có dạng:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 5

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tìm phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦2

Phương trình tham số mặt cong S:

𝑥 = 𝑥; 𝑦 = 𝑦; 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦2

Do đó phương trình tham số hàm vector của mặt cong S:

𝐫 𝑥, 𝒚 = 𝑥. 𝐢 + 𝑦. 𝐣 + (𝑥2 + 2𝑦2). 𝐤

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 6

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Giả sử mặt cong S có phương trình tham số hàm vector:

𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷,

khi đó: trong đó:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 7

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó S là hình cầu: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2.

Tính 𝐼 = 𝑥2𝑑𝑆

𝑆

Tham số hóa mặt cầu S bằng hệ tọa độ cầu:

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐷 𝜑, 𝜃 = { 𝜑, 𝜃 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋}

Tức là: 𝐫 𝜑, 𝜃 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐢 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐣 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝐤

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 8

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Do đó:

Vậy:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 9

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 10

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó S là hình cầu đơn vị: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2.

Tính 𝐼 = 𝑥2𝑑𝑆

𝑆

Cách 2:

Do các hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn, và mặt cầu đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ.

𝐼 = 𝑥2𝑑𝑆 𝑆

= 𝑦2𝑑𝑆 𝑆

= 𝑧2𝑑𝑆 𝑆

Do đó: 𝐼 =

(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑆

𝑆

𝑑𝑆 𝑆

1 3

𝑅2 3

4𝜋𝑅4 3

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 11

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦). Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1, 𝑆2, ⋯ , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau). Diện tích tương ứng: ∆𝑆1, ∆𝑆2, ⋯ , ∆𝑆𝑛. Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖) tùy ý. Lập tổng Riemann:

𝑛

𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 . ∆𝑆𝑖

𝑖=1

Trong phần ứng dụng tích phân kép (tính diện tích mặt cong), ta có:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 12

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Do đó:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 13

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

1. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxy

z = z(x,y)

Nếu 𝑆 có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)

và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxy là 𝐷𝑥𝑦 :

Dxy

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆

= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦

′ )2𝑑𝑥𝑑𝑦

1 + (𝑧𝑥

′ )2 + (𝑧𝑦

𝑆

𝐷𝑥𝑦

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 14

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

2. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxz Nếu 𝑆 có phương trình 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxz là 𝐷𝑥𝑧 :

′)2𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆

= 𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥, 𝑧), 𝑧

′)2 + (𝑦𝑧

1 + (𝑦𝑥

𝑆

𝐷𝑥𝑧

3. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oyz Nếu 𝑆 có phương trình 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oyz là 𝐷𝑦𝑧 :

′ )2𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆

= 𝑓 𝑥(𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧

′ )2 + (𝑥𝑧

1 + (𝑥𝑦

𝑆

𝐷𝑦𝑧

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 15

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Chú ý

Nếu hình chiếu của 𝑆 xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một đường cong

(trường hợp này xảy ra khi 𝑆 là một mặt trụ có đường sinh song song

với trục Oz) thì phải chiếu 𝑆 xuống các mặt phẳng tọa độ khác,

không được chiếu xuống mặt phẳng Oxy.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 16

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S là phần của mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = 3.

Z=3

𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9}

Phương trình mặt nón: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑦

𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑥

𝑥2 + 𝑦2

Z=0

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 17

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝐼 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑆

= 2 𝑥2 + 𝑦2

2𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆

𝐷𝑥𝑦

Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 3,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}

2𝜋

𝐼 = 2 2 𝑟2. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑

= 2 2 𝑑𝜑

= 81 2𝜋

3 𝑟3𝑑𝑟

𝐷𝑟𝜑

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 18

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S là phần của mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = 3.

Cách 2:

Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu:

𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝜃 = 𝜋/4

Do đó: 𝑥 =

𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 =

𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 =

𝜌 2

𝐷 𝜌, 𝜑 = 𝜌, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜌 ≤ 3 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 19

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Do đó: 𝐫𝜌 × 𝐫𝜑 =

𝜌2 4

𝜌 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 20

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 21

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S là phần của mặt paraboloid 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2

trong miền 𝑧 ≥ 0.

𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2}

Phương trình mặt S: 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2

= −2𝑦

= −2𝑥

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑥

𝑑𝑆 = 1 +

𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 + 4(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑥

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 22

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝐼 = 𝑧𝑑𝑆

= 2 − 𝑥2 − 𝑦2

1 + 4(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆

𝐷𝑥𝑦

Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}

2𝜋

𝐼 = (2 − 𝑟2) 1 + 4𝑟2. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑

= 𝑑𝜑

(2 − 𝑟2) 1 + 4𝑟2. 𝑟𝑑𝑟

𝐷𝑟𝜑

𝜋

37 10

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 23

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S là phần của mặt paraboloid 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2

trong miền 𝑧 ≥ 0.

Cách 2:

Tham số mặt S qua hệ tọa độ trụ:

𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 2 − 𝜌2

Do đó: 𝑥 = 2 − 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 2 − 𝑧𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧

𝐷 𝑧, 𝜑 = 𝑧, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 24

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

− 𝑧

Do đó: 𝐫𝑧 × 𝐫𝜑 = (2 − 𝑧) +

1 4

9 4

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 25

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 26

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S là phần nửa trên của mặt cầu:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2, 𝑧 ≥ 0.

𝑧 = 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2

𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑅2}

Phương trình mặt S: 𝑧 = 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2

Dxy

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 27

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝑅

−𝑥

−𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

→ 𝑑𝑆 =

;

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑥

𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2

Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}

2𝜋

𝑅

. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑

𝐼 = 𝑟2.

= 𝑅 𝑑𝜑

𝑑𝑟

𝑅 𝑅2 − 𝑟2

𝑟3 𝑅2 − 𝑟2

𝐷𝑟𝜑

4𝜋𝑅4 3

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 28

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S là phần nửa trên của mặt cầu:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2, 𝑧 ≥ 0.

Cách 2:

Tham số mặt cầu S qua hệ tọa độ cầu:

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝐷(𝜑, 𝜃) = {(𝜑, 𝜃): 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2}

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 29

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Do đó:

Vậy:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 30

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 31

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S cho bởi: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

và 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 32

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

x + y + z = 1 z = 1 – x – y

Dxy

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 33

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S cho bởi: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

và 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0.

𝐼 = 𝑥 + 𝑦 + (1 − 𝑥 − 𝑦) 1 + 1 + 1𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷𝑥𝑦

1−𝑥

Dxy

= 3 𝑑𝑥

𝑑𝑦

3 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 34

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính , trong đó S là mặt xung quanh hình chóp cho bởi:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0.

Mặt S gồm 4 mặt của tứ diện OABC.

Tích phân 𝐼1 trên mặt ABC đã tính trong ví dụ trước.

Ta tính tích phân trên các mặt còn lại 𝑂𝐴𝐵

, 𝑂𝐵𝐶 𝐼3

, 𝑂𝐶𝐴 𝐼4

𝐼2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 35

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 36

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Trên mặt OAB, phương trình của mặt là: z = 0.

Hình chiếu của mặt xuống Oxy là tam giác OAB.

1−𝑥

= 𝑑𝑥

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦

𝐼2 = 𝑥 + 𝑦 + 0 1 + 0 + 0𝑑𝑥𝑑𝑦

1 3

𝑂𝐴𝐵

Tích phân trên các mặt còn lại tính tương tự.

→ 𝐼 = 1 +

3 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 37

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính diện tích nửa trên mặt cầu bán kính R và diện tích toàn bộ mặt cầu.

2𝜋

𝑅

𝑑𝑟

𝑆 = 𝑑𝑆

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑟 𝑅2 − 𝑟2

𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2

= 𝑅 𝑑𝜑 0

𝑆

𝐷𝑥𝑦

= 2𝜋𝑅2

Diện tích toàn bộ mặt cầu bằng 2 lần diện tích nửa mặt cầu và bằng 4𝜋𝑅2.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 38

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính diện tích của mặt cong S, trong đó S là phần của mặt paraboloid

𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 lấy trong phần 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.

z=1

z=0

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 39

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Cách 1:

Phương trình mặt S: 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2

′ = −2𝑦

Do đó: 𝑧𝑥

′ = −2𝑥, 𝑧𝑦

𝐷(𝑥, 𝑦) = { 𝑥, 𝑦 : 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2}

1 + 4 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦

Diện tích mặt S: 𝐼 = 𝑑𝑆

𝑆

𝐷(𝑥,𝑦)

Đổi biến qua hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝐷(𝑟, 𝜑) = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 1 ≤ 𝑟 ≤ 2}

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 40

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

1 + 4𝑟2. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑

Do đó, diện tích mặt S: 𝐼 =

𝐷(𝑟,𝜑)

2𝜋 = 𝑑𝜑 0

𝑟 1 + 4𝑟2𝑑𝑟 1

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 41

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Cách 2:

Tham số mặt S qua hệ tọa độ trụ:

𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 2 − 𝜌2

Do đó: 𝑥 = 2 − 𝑧. 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 2 − 𝑧. 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧

𝐷 𝑧, 𝜑 = 𝑧, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 42

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

− 𝑧

Do đó: 𝐫𝑧 × 𝐫𝜑 = (2 − 𝑧) +

1 4

9 4

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 43

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 44

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Định nghĩa mặt 2 phía

Cho mặt cong S. Di chuyển vector pháp tuyến của S từ một điểm

A nào đó theo một đường cong (kín) tùy ý.

Nếu khi quay lại vị trí xuất phát, vector pháp tuyến không đổi

chiều thì mặt cong S được gọi là mặt hai phía.

Trong trường hợp ngược lại, vector pháp tuyến đổi chiều thì mặt

cong S được gọi là mặt một phía.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 45

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Mặt Mobius

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 46

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Mặt cầu, mặt nón, mặt bàn… là mặt 2 phía.

Mặt cầu

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 47

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Định nghĩa mặt định hướng

S là mặt cong hai phía.

Nếu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại là âm thì mặt S được gọi là mặt định hướng.

Vector pháp tuyến của mặt định hướng là vector pháp tuyến hướng về phía dương của mặt định hướng.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 48

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tìm vector pháp tuyến của mặt cầu tại

biết phía ngoài của mặt cầu là phía dương.

Phương trình mặt cầu:

Vector pháp tuyến:

Vector pháp tuyến tại điểm A:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 49

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tìm vector pháp tuyến của mặt nón tại

biết phía dương của mặt nón là phía dưới nhìn từ hướng của trục Oz.

Phương trình mặt nón:

Vecto pháp tuyến:

Vecto pháp tuyến tại điểm A:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 50

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Phía ngoaøi

Phía trong

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 51

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Định nghĩa

P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S.

Vector pháp tuyến đơn vị của mặt S là:

𝛼, 𝛽, 𝛾 lần lượt là góc hợp bởi 𝐧 với các trục Ox, Oy, Oz.

Tích phân mặt loại một

được gọi là tích phân mặt loại hai của P, Q, R trên mặt định hướng S lấy theo hướng dương của mặt S, khi đó:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 52

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Định nghĩa

Định lý

Cho 𝑆 là mặt định hướng các hàm 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên

tục trên mặt 𝑆. Khi đó tích phân mặt loại 2 luôn tồn tại.

Tính chất

• Tích phân mặt loại 2 có các tính chất tương tự như đối với tích phân

đường loại 2.

𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦

= − 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆−

𝑆+

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 53

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Nếu 𝐅 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 là trường vector liên tục

xác định trên mặt định hướng S, hướng dương của S trùng với vector

pháp đơn vị n, thì tích phân mặt của F trên S là:

Nếu S được cho bởi hàm vector r(u, v), thì:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 54

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng

Vector pháp tuyến đơn vị hướng về phía dương của mặt S:

Mặt khác:

Do đó,

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 55

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦).

Hình chiếu của 𝑆 trên mp Oxy là miền 𝐷𝑥𝑦 .

′ , 1).

Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(−𝑧𝑥

′ , −𝑧𝑦

Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 𝐥 hướng về phía dương của mặt S.

𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦

= (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆+

𝐷𝑥𝑦

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 56

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧).

Hình chiếu của 𝑆 trên mp Oyz là miền 𝐷𝑦𝑧 .

′ ).

Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(1, −𝑥𝑦

′ , −𝑥𝑧

Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 𝐥 hướng về phía dương của mặt S.

𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦

= (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑆+

𝐷𝑦𝑧

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 57

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Cách tính

Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧).

Hình chiếu của 𝑆 trên mp Oxz là miền 𝐷𝑥𝑧 .

′).

Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(−𝑦𝑥

′, 1, −𝑦𝑧

Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 𝐥 hướng về phía dương của mặt S.

𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦

= (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑆+

𝐷𝑥𝑧

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 58

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

. Trong đó 𝑆+ là phía ngoài

𝑺+

Tính 𝐼 = 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 của mặt cầu: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2.

Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu:

; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 59

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝐫𝜑 × 𝐫𝜃 hướng vào trong mặt cầu, ngược hướng với phía ngoài của mặt cầu. Do đó:

= 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑅2𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑅2𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝐷𝜑𝜃

+ 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑅2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜑𝑑𝜃 =

2𝜋

𝜋

= 𝑅3𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃

= 𝑅3 𝑑𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃

= 4𝜋𝑅3

𝐷𝜑𝜃

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 60

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝑺+

Tính 𝐼 = 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó 𝑆+ là phía ngoài của vật thể được giới hạn bởi các mặt:

𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2, 𝑧 = 0.

𝐼 = 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑺+

= 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑺𝟏

+ 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑺𝟐

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 61

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

𝑆1: 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2. Do đó:

′ = −2𝑦

′ = −2𝑥, 𝑧𝑦 𝑧𝑥

Hình chiếu của 𝑆1 xuống mặt phẳng Oxy là miền:

𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1}

+ hướng ra ngoài nên vector pháp tuyến của mặt 𝑆1 𝑆1

′ , 1)

𝐥 = (−𝑧𝑥

′ , −𝑧𝑦

𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

= 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + (1 − 𝑥2 − 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑺𝟏

′ . 𝑥 + (1 − 𝑥2 − 𝑦2) 𝑑𝑥𝑑𝑦

= 1 + 4𝑥𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦

= −𝑧𝑥

′ . 𝑦 − 𝑧𝑦

𝐷𝑥𝑦

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 62

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑.

𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 1,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}

Do đó:

1 + 4𝑥𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦

= 1 + 4𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑟2 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑

𝐷𝑥𝑦

𝐷𝑟𝜑

2𝜋

= 𝑟 − 𝑟3 + 4𝑟3𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝑟𝑑𝜑

+ 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑

1 4

𝜋 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 63

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

𝑆2: 𝑧 = 0. Do đó:

′ = 0

′ = 𝑧𝑦 𝑧𝑥

Hình chiếu của 𝑆2 xuống mặt phẳng Oxy là miền:

𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1}

𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

= 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 0. 𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑺𝟐

= 𝑦. 0 + 𝑥. 0 + 0. −1 𝑑𝑥𝑑𝑦

= 0. 𝑑𝑥𝑑𝑦

= 0

𝐷𝑥𝑦

𝐼 = 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

𝜋 2

𝑺+

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 64

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝑺+

Tính (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (2𝑧 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó 𝑆+ là phía phần của mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 nằm trong hình trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥, phía dương là phía dưới nhìn từ hướng dương của Oz.

′ = −1.

𝑆: 𝑧 = 3 − 𝑥 − 𝑦. Do đó: ′ = 𝑧𝑦 𝑧𝑥

𝑆+ là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz.

′ , −1).

Vector pháp tuyến của mặt 𝑆 có dạng: 𝐥 = (𝑧𝑥

′ , 𝑧𝑦

𝐷𝑥𝑦 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 65

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

(2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (2𝑧 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑺+

= (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (2𝑦 + 3 − 𝑥 − 𝑦)𝑑𝑧𝑑𝑥 + (6 − 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑺+

′ − 1. (6 − 𝑥 − 2𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦

= 2𝑥 + 𝑦 𝑧𝑥

′ + 𝑦 − 𝑥 + 3 𝑧𝑦

𝐷𝑥𝑦

= −9 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷𝑥𝑦

= −9. 𝑆𝐷𝑥𝑦 = −9𝜋

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 66

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Tính 𝐼 = 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆+ Trong đó 𝑆+ là phần của mặt phẳng 𝑧 = 2 − 𝑥 giới hạn bởi mặt 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, phía dương là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz.

𝑆: 𝑧 = 2 − 𝑥. Do đó:

′ = 0.

′ = −1, 𝑧𝑦 𝑧𝑥

𝑆+ là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz.

′ , −1).

Vector pháp tuyến của mặt 𝑆 có dạng: 𝐥 = (𝑧𝑥

′ , 𝑧𝑦

)2+𝑦2 ≤

}

𝐷𝑥𝑦 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2 − 𝑥 = { 𝑥, 𝑦 : (𝑥 +

1 2

9 4

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 67

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

𝐼 = 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦

= 𝑥 + (2 − 𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑦

= 2𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆+

= 2. −1. 𝑑𝑥𝑑𝑦

= −

= −2. 𝑆𝐷𝑥𝑦 = −2𝜋

3 2

9𝜋 2

𝐷𝑥𝑦

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 68

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó 𝑆+ là phía ngoài của vật thể:

Tính I = 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆+

Ω: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑅2; 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ

Mặt 𝑆 được chia thành 5 mặt gồm: • Hai mặt đáy 𝑆1, 𝑆2. • Hai mặt bên 𝑆3, 𝑆4 nằm trong mp: 𝑦 = 0, 𝑥 = 0. • Mặt trụ cong 𝑆5.

𝐼 = 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

= 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆+

+ 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑺𝟏 + 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑺𝟐

+ 𝑺𝟑

+ 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

+ 𝑺𝟒

+ 𝑺𝟓

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 69

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

= 0.

= (0.0 + 0. −1 + 𝑦𝑧. 0)𝑑𝑥𝑑𝑧

𝑆3: 𝑦 = 0 nên 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷𝑥𝑧

+ 𝑺𝟑

= 0.

= (0. −1 + 0.0 + 𝑦𝑧. 0)𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑆4: 𝑥 = 0 nên 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷𝑦𝑧

+ 𝑺𝟒

, + 𝑦𝑧. 0)𝑑𝑦𝑑𝑧

= 0.

𝑆5: 𝑥 = 𝑅2 − 𝑦2 nên 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

= (0.1 + 0. −𝑥𝑦

𝐷𝑦𝑧

+ 𝑺𝟓

= 0.

= (0.0 + 0.0 + 𝑦. 0. −1)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆1: 𝑧 = 0 nên 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷𝑥𝑦

+ 𝑺𝟏

𝑆2: 𝑧 = ℎ → 𝑧𝑥

′ = 𝑧𝑦

′ = 0. Vector pháp tuyến của mặt 𝑆2: 𝐥 = (0,0,1)

𝐷 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑅2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0}

= ℎ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦

𝐼 = 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑺𝟐

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 70

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑.

𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2}

= ℎ 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑

𝐷𝑟𝜑

𝐼 = 𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑺𝟐

𝑅

𝜋/2

= ℎ 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑑𝜑 𝑟2𝑑𝑟

= ℎ

𝑅3 3

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 71

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Công thức Stokes

Giả sử mặt cong 𝑆 trơn, định hướng, có biên là đường cong 𝐶. Hàm số 𝑃, 𝑄, 𝑅, và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên mặt 𝑆 thì:

𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧

𝑑𝑦𝑑𝑧 +

𝑑𝑧𝑑𝑥 +

𝑑𝑥𝑑𝑦

−

𝜕𝑃 𝜕𝑧

𝜕𝑅 𝜕𝑥

𝜕𝑄 𝜕𝑥

𝜕𝑃 𝜕𝑦

𝜕𝑅 𝜕𝑦

𝜕𝑄 𝜕𝑧

𝐶+

𝑆+

Sự phụ hợp về chiều lấy tích phân trên đường cong C và phía dương của mặt S: • Đi theo chiều lấy tích phân trên đường cong C, mặt S nằm ở bên tay trái.

• Hướng từ chân lên đầu là hướng của

vecto pháp tuyến của mặt S.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 72

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Công thức Stokes

Dạng vector: Cho trường vector 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤, và mặt định hướng S có biên C.

= 𝐫𝐨𝐭𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆

𝐅 ∙ 𝑑𝐫 𝐶

𝑆

Trong đó:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 73

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó 𝐶 là giao tuyến của

𝐶+

Tính 𝐼 = −𝑦2𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑧2𝑑𝑧 mặt 𝑥2 + 𝑦2 = 1 và mặt 𝑦 + 𝑧 = 2, chiều của 𝐶 như hình vẽ.

Ta có 𝑃 = −𝑦2, 𝑄 = 𝑥, 𝑅 = 𝑧2. Áp dụng công thức Stokes:

𝐼 = −𝑦2𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑧2𝑑𝑧

= 1 + 2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆+

𝐶+

Trong đó 𝑆 là mặt định hướng, có vector pháp tuyến hướng lên trên, nhìn từ phía dương của trục Oz.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 74

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Do đó:

1 + 2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐼 = 1 + 2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆+

𝐷(𝑥,𝑦)

Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

𝐷 𝑟, 𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1}

2𝜋

𝐼 = 1 + 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑

= 𝑑𝜑 1 + 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑟𝑑𝑟

𝐷(𝑟,𝜑)

2𝜋

𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑

= 𝜋

1 2

2 3

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 75

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó 𝐶 là giao tuyến của

𝐶+

Tính 𝐼 = −𝑦2𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑧2𝑑𝑧 mặt 𝑥2 + 𝑦2 = 1 và mặt 𝑦 + 𝑧 = 2, chiều của 𝐶 như hình vẽ.

Cách 2: Tham số đường cong C qua hệ tọa độ trụ:

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 2 − 𝑠𝑖𝑛𝜑

0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋

2𝜋

𝐼 = 𝑠𝑖𝑛3𝜑 + 𝑐𝑜𝑠2𝜑 − (2 − 𝑠𝑖𝑛𝜑)2𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑

= 𝜋

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 76

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝐶

Tính 3𝑥 − 𝑦2 𝑑𝑥 + 3𝑦 − 𝑧2 𝑑𝑦 + 3𝑧 − 𝑥2 𝑑𝑧 , trong đó C là giao của mặt phẳng 2𝑥 + 𝑧 = 2 và mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz.

S là phần mặt 2𝑥 + 𝑧 = 2 nằm trong paraboloid.

Mặt S có phương trình: 𝑧 = 2 − 2𝑥.

S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là phía dương, nhìn từ phía dương của trục Oz.

Vector pháp tuyến của S là: 𝐥 = (2,0,1). 23-Mar-21

TS. Nguyễn Văn Quang 77

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Theo Stokes:

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 78

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝐶

Tính 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧 , trong đó C là giao của mặt 𝑧 = 𝑦2 và mặt 𝑥2 + 𝑦2 = 1, chiều của 𝐶 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz.

S là phần mặt 𝑧 = 𝑦2 nằm trong hình trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 1.

S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là phía dương, nhìn từ phía dương của trục Oz.

Vector pháp tuyến của S là: 𝐥 = (0, −2𝑦, 1).

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 79

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Theo Stokes:

Vì hình chiếu S xuống Oyz có diện tích bằng 0, nên

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 80

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝐶

Tính 𝐼 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 , trong đó 𝐶 là giao tuyến của mặt cầu: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2 và mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, chiều của 𝐶 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz.

Cách 1: S là phần mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 nằm trên mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2.

Ta có: 𝑃 = 𝑦, 𝑄 = 𝑧, 𝑅 = 𝑥. Theo Stokes:

𝐼 = − 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆

S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là phía dương, nhìn từ phía dương của trục Oz.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 81

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Vector pháp tuyến của 𝑆: 𝐥 = (1,1,1).

Vector pháp tuyến đơn vị của 𝑆: 𝐧 = (

1 3

𝐼 = −3 𝑑𝑥𝑑𝑦

= −3. 𝐷𝑡(𝐷(𝑥, 𝑦)) = −3. 𝐷𝑡 𝑆 . 𝑐𝑜𝑠𝛾

𝐷(𝑥,𝑦)

= −3. 𝐷𝑡 𝑆 .

= − 3𝜋𝑅2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 82

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Cách 2: Tham số hóa đường cong 𝐶.

Phương trình hình chiếu 𝐶1 của 𝐶 trên mp Oxy:

𝐶1: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 = 𝑅2/2.

Đưa dạng toàn phương 𝑓 𝜔 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao.

Ma trận của dạng toàn phương: 𝐴 =

1 1/2

1/2 1

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 83

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Trị riêng của 𝐴: det 𝐴 − 𝜆𝐸 = 0 → 𝜆 =

, 𝜆 =

1 2

3 2

Vector riêng của 𝐴: det 𝐴 − 𝜆𝐸 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2 .

𝜆 =

: vector riêng 𝑎 = (−1,1).

𝜆 =

: vector riêng 𝑏 = (1,1).

1 2 3 2

Hệ vector riêng trực chuẩn:

, −

1 2

−

1 2

Ma trận trực giao: 𝑃 =

1 2 1 2

1 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 84

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Phép đổi biến:

𝑢 𝑣

𝑥 𝑦 = 𝑃 𝑣

𝑢

𝑥 =

−

= 𝑢. 𝑐𝑜𝑠

− 𝑣. 𝑠𝑖𝑛

2 𝑢

2 𝑣

𝑦 =

= 𝑢. 𝑠𝑖𝑛

+ 𝑣. 𝑐𝑜𝑠

𝜋 4 𝜋 4

Phép quay hệ trục Oxy sang Ouv một góc 𝛼 = 𝜋 4 .

Do đó 𝐶1 có phương trình:

𝑢2 +

𝑣2 =

↔

𝐶1:

2 +

3 2

1 2

𝑅2 2

𝑣2 𝑅2 = 1.

𝑢2 𝑅 3

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 85

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Dùng phép đổi biến qua hệ tọa độ cực suy rộng, đưa Ellipse trên về đường tròn:

𝑅

𝑢 =

𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑣 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑.

Do đó phép đổi biến đưa 𝐶1 về đường tròn:

𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑥 =

−

, 𝑦 =

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 86

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Vậy phương trình tham số đường cong 𝐶:

𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑

−2𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑥 =

−

, 𝑦 =

, 𝑧 = − 𝑥 + 𝑦 =

0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋.

2𝜋

𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑠𝑖𝑛𝜑

−

2𝑅2𝑐𝑜𝑠𝜑 6

𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑠𝑖𝑛𝜑

−

𝑑𝜑

𝐼 = −𝑅2 𝑐𝑜𝑠𝜑 6 2𝑅2𝑠𝑖𝑛𝜑 6

= − 3𝜋𝑅2.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 87

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Công thức Gauss

Giả sử 𝑉 là khối đóng, giới nội trong 𝑅3 có biên là mặt trơn 𝑆. Nếu

các hàm số 𝑃, 𝑄, 𝑅 và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên

khối 𝑉 thì:

𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦

= ±

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝜕𝑃 𝜕𝑥

𝜕𝑄 𝜕𝑦

𝜕𝑅 𝜕𝑧

𝑉

𝑆+

Dấu + : khi phía dương của mặt S là phía ngoài của khối 𝑉.

Dấu - : khi phía dương của mặt S là phía trong của khối 𝑉.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 88

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Công thức Gauss

Dạng vector: Cho trường vector 𝐅 = 𝑃𝐢 + 𝑄𝐣 + 𝑅𝐤 xác định trên mặt

định hướng 𝑆. Ký hiệu:

𝑑𝑖𝑣𝐅 =

𝜕𝑃 𝜕𝑥

𝜕𝑄 𝜕𝑦

𝜕𝑅 𝜕𝑧

Khi đó:

𝐅 ∙ 𝑑𝐒

= 𝐅 ∙ 𝐧𝑑𝑆

= 𝑑𝑖𝑣𝐅𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑆

𝑉

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 89

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó 𝑆+ là phía

𝑆+

Tính 𝐼 = 𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 ngoài của các mặt: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0.

Áp dụng công thức Gauss ta có:

𝐼 = 𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆+

= 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

Trong đó khối 𝑉 có các mặt là S. 23-Mar-21

TS. Nguyễn Văn Quang 90

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝐼 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

1−𝑥

1−𝑥−𝑦

= 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑧

1−𝑥

= 𝑑𝑥

1 − (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦

1 8

1 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 91

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó 𝑆+ là phía

𝑆+

Tính 𝐼 = 𝑥3𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦3𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧3𝑑𝑥𝑑𝑦 ngoài của mặt cầu: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2.

Theo công thức Gauss:

2𝜋

𝜋

𝐼 = 3 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

= 3 𝑑𝜑

𝑑𝜃

𝑅 𝜌2𝜌2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌

𝑉 12𝜋𝑅5 5

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 92

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

𝑆+

Tính 𝐼 = 𝑧2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧𝑑𝑥 − 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 , trong đó 𝑆+ là mặt xung quanh, phía dương là phía ngoài của vật thể được giới hạn bởi các mặt: 𝑧 = 4 − 𝑦2, 𝑧 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 0.

z

Theo công thức Gauss:

z=4-y2

𝐼 = 0 + 0 − 1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

4−𝑦2

= − 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

= − 𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑉

−2

y

= −32/3 23-Mar-21

1 x TS. Nguyễn Văn Quang

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó 𝑆+ là phía dưới

𝑆+

Tính 𝐼 = 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 của mặt: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 (nhìn từ phía dương trục Oz).

𝑆 chưa phải là mặt kín, nên ta bổ sung thêm mặt 𝐷. Biên của khối 𝑉 là 𝛿𝑉 = 𝑆 ∪ 𝐷. Trong đó D là miền hình tròn:

𝑧 = 1, 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1

𝛿𝑉+ là phía ngoài của khối 𝑉. Theo công thức Gauss ta có:

= 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝛿𝑉+

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 94

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Chuyển sang hệ tọa độ trụ: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧

𝑉 𝑟, 𝜑, 𝑧 = { 𝑟, 𝜑, 𝑧 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 1}

2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

2𝜋

= 2 𝑑𝜑 𝑑𝑟 𝑟 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑧 𝑑𝑧

𝜋 2

𝑟

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 95

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Do đó:

𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦

𝛿𝑉+

𝜋 2

= 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆+

+ 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷+

Suy ra: 𝐼 = 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆+

− 𝑥2𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷+

𝜋 2

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 96

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

Pt mặt định hướng 𝐷: 𝑧 = 1. Phía dương của mặt D là phía trên, do đó

vector pháp tuyến của mặt 𝐷: 𝐥 = (0,0,1). Vậy:

𝐼 =

− 12. 1𝑑𝑥𝑑𝑦

− 𝑑𝑥𝑑𝑦

− 𝑆𝐷 = −

𝜋 2

𝐷

Do 𝐷 là đường tròn có 𝑅 = 1, nên 𝑆𝐷 = 𝜋.

23-Mar-21 TS. Nguyễn Văn Quang 97

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Ví dụ

, trong đó 𝑆+

𝑆+

Tính 𝐼 = 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 − 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧 + 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 là phía trên của nửa trên mặt cầu: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2 (nhìn từ phía dương trục Oz).

Gọi 𝑆1 là mặt: 𝑧 = 0, 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑅2, phía dương của 𝑆1 là phía dưới (nhìn từ phía dương của trục Oz). Theo công thức Gaus:

= 1. 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

; khối 𝑉 có biên là các mặt 𝑆 và 𝑆1.

𝑉

𝑆1

→ 𝐼 =

−

−1. (0 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆 2𝜋𝑅3 3

2𝜋𝑅3 3

𝑥2+𝑦2≤𝑅2

+ 𝜋𝑅2

2𝜋𝑅3 3 TS. Nguyễn Văn Quang

23-Mar-21 98

Đại học Công nghệ - ĐHQGHN

Bài giảng Giải tích 2: Chương 6 - TS. Nguyễn Văn Quang