NHẬN DẠNG MẶT BẬC 2
Nhận dạng mặt bậc 2
Phương trình tổng quát của mặt bậc 2:
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz
+ ax + by + cz + d = 0
trong đó ít nhất 1 số hạng bậc 2 phải khác 0.
Phương trình chính tắc của mặt bậc 2
2
2
2
Elippsoid
2
2
2
2
Mặt cầu
1
2
2
2
y b 2 y z c 2 z R x a 2 x
Hyperboloid 1 tầng.
2
2
2
1
2
2
2
x a y b z c
Hyperboloid 2 tầng.
2
2
2
1
x a y b z c
2
2
2
Nón
0
2
2
2
x a
y b
z c
2
2
2
(Dạng thường gặp của nón)
z
2
2
x a
y b 2
2
Paraboloid elipptic
cz d
2
2
x a
y b
2
2
Paraboloid hyperbolic
cz d
2
2
x a
y b
2
2
Trụ elipptic
2
2
1
2
2
Trụ hyperbolic
x a y b
2
2
1
2
Trụ parabolic
y
px
2
x a y b
Hình ảnh các mặt cơ bản
z
Elippsoid
y
x
2
2
2
1
2
2
2
x a
y b
z c
Mặt cầu
z
y
x
2
2
2
2
x
y
z
R
Hyperboloid
Hai tầng
2
2
z
z
2
2
2
2
x a
z 2 y b
Một tầng z 2 x a
y b
2
2
z 2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
x 2 a 2 y b
y 2 b 2 z c
x a
x a
y b
z c
Nón
z
y
x
2
2
2
2
2
2
z c
x a
y b
Vẽ nón
Vẽ nón
Paraboloid elipptic
2
2
2
2
z
x
y
2
2
2
z
x a y b
Vẽ paraboloid elliptic
2
2
2
2
z
x a y b
Vẽ paraboloid elliptic
2
2
2
2
z
x a y b
Parapoloid hyperbolic
2
2
2
2
z
x a y b
Trụ elliptic
z
Cách vẽ các mặt trụ:
1.Vẽ đường chuẩn ( là đường cong bậc 2 trong phương trình mặt)
y
x
2
2
1
2
2
x a
y b
2.Cho đường bậc 2 di chuyển dọc theo trục không chứa biến xuất hiện trong phương trình mặt
Vẽ trụ
2
2
1
2
2
x a
y b
Vẽ trụ
2
2
2
2
1
x a y b
Trụ hyperbolic z
x
y
2
2
2
2
1
x a y b
Trụ parabolic
z
z
2
y
2
px
y
x
x
y
2
2
y
px
2
y
pz
2
Cách phân loại mặt bậc 2:
• Đưa dạng toàn phương trong phương trình tổng quát về chính tắc.
• Khử các số hạng bậc nhất (nếu có số
hạng bậc 2 đi chung) để đưa pt về dạng
chính tắc và nhận dạng.
Trong chương trình chỉ vẽ những mặt chính tắc.
Ví dụ
Tìm pt chính tắc và phân loại các mặt bậc 2:
2
2
2
y
x
z
xy
xz
yz
4
4
4
(1)
8 1 / 4
10 x
y
z
16
16
8
72 0
Đưa dạng toàn phương (các số hạng bậc 2) về
dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao:
2
2
2
x y xy xz yz Q x y z ( , , ) 4 4 z 8 10 4 4
2
2
2
2
2
x y z xy xz yz Q x y z ( , , ) 4 4 8 10 4 4
x y 9 9
2 1 3 2 1 2 3 x x
Phép biến đổi
y y 1 2 1 3 2 2 3
z z 0 4 3 2 1 3
y
y ,
z 2 3 z 2 3 x 2 y 3 2
x
z x 2 3 2 z y 4 3 3 2
2
2 z 8
xy 10 xz 4 yz 4 x 16 y 16 z 8 72 0
y
-16
,
-16
y
x 2 3 2 x 2
-8
z
2 x y 4 4 x
2
2
Phương trình (1) viết lại
x
y
9
9
z 2 3 z 2 3 z 3 y 3 2 y 4 3 2
2
2
Paraboloid hyperbolic
z 24 72 0
1
x 8 y 8 z 3
2
2
1
x 8 y 8 z 3
(2)
2
2
2
y
x
z
xy
xz
4
4
5 2 / 6
7 x
y
z
4
4
16
8 0
Đưa dạng toàn phương về chính tắc
2
2
2
2
2
2
x
y
z
xy
xz
x
y
z
6
5
7
4
4
3
6
9
Phép biến đổi:
x x 2 3 1 3 2 3
y y 2 3 2 3 1 3
z z 1 3 2 3 2 3
Phương trình (2) viết lại
2
2
2
2
2
2
x
y
z
3
6(
1)
9(
2 3)
18 0
2
2
2
x y z y z 3 6 9 12 12 8 0
2
2
2
Elippsoid
1
x 6
y 3
z 2
x y z 3 6 9 18
3 / z
xy
Dùng phép biến đổi Lagrange
2
2
z
x
y
Parapoloid hyperbolic
x x x z y y , y z ,
Các mặt phẳng song song các mặt tọa độ
z
z
z
y
x
y
x
x
y
z = a
y = a
x = a
Một số mặt phẳng
z
z
y
x
x
x + y = 1
x + z = 1
Một số mặt phẳng
z
y = x
1
x a
y z b c
Nhận dạng các mặt cong sau
2
2
x
xy
z
0
2
2
z
x
xy
y
4
xy
yz x y
2
0
2
2
2
x
xy
y
z
2
2
9
2
2
2
x
y
xy
x
y
z
2
2
z 5
2
2
4
4
2 0
