1
PGS TS TÔ VĂN BAN
BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH I
(Phiên bản bê ta II: 03-09 / 2010)
Hà nội - 2010
2
M ỤC L ỤC
Mục lục
Lời nói đầu
Các ký hiệu hay sử dụng
1
4
6
Chương I. Giới hạn, liên tục 7
§1.1. Số thực 7
1.1.1. Mở đầu 7
1.1.2. Các tính chất sơ cấp của số thực 11
1.1.3. Các tính chất cơ bản của
12
1.1.4. Đường thẳng thực mở rộng 15
1.1.5. Lực lượng của
,
16
§ 1.2. Giới hạn dãy số 18
1.2.1. Hội tụ - Phân kỳ 18
1.2.2. Dãy đơn điệu 23
§ 1.3. Hàm một biến số 30
1.3.1. Các phương pháp biểu diễn hàm số 30
1.3.2. Hàm chẵn, lẻ, 37
1.3.3. Hàm số ngược 37
1.3.4. Các hàm sơ cấp cơ bản 39
1.3.5. Một số hàm thông dụng khác 40
1.3.6. Mô hình toán học 42
§ 1.4. Giới hạn hàm số 42
1.4.1. Định nghĩa 42
1.4.2. Các tính chất của giới hạn hàm số 43
1.4.3. Các phép toán về giới hạn 46
1.4.4. Sử dụng VCB, VCL để tìm giới hạn 47
§ 1.5. Sự liên tục 48
1.5.1. Định nghĩa 48
1.5.2. Các tính chất sơ bộ 51
1.5.3. Các tính chất của hàm liên tục trên đoạn kín 52
1.5.4. Bổ sung về giới hạn 55
1.5.5. Một số ví dụ 56
Chương 2 Đạo hàm, vi phân 59
§2.1. Đạo hàm và vi phân cấp một 59
2.1.1. Định nghĩa 59
2.1.2. Các phép toán với đạo hàm tại một điểm 60
2.1.3. Đạo hàm của hàm hợp 61
2.1.4. Đạo hàm hàm ngược 61
2.1.5. Đạo hàm theo tham số 62
2.1.6. Bảng các đạo hàm cơ bản 63
2.1.7. Đạo hàm từng phía, đạo hàm vô cùng 64
2.1.8. Vi phân 64
2.1.9. Đạo hàm hàm ẩn 66
§2.2. Đạo hàm và vi phân cấp cao 68
2.2.1. Định nghĩa 68
2.2.2. Quy tắc Leibnitz 69
2.2.3. Vi phân cấp cao 70
§2.3. Các định lý về giá trị trung bình 70
2.3.1. Định lý Rolle 70
2.3.2. Định lý Lagrange 72
2.3.3. Quy tắc L'Hôpital 74
§2.4. Công thức Taylor 76
2.4.1. Thiết lập công thức 76
2.4.2. Khai triển Marlourin của một số hàm sơ cấp 77
2.4.3. Ứng dụng 78
§ 2.5. Các ứng dụng của đạo hàm 80
2.5.1. Quy tắc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, bé nhất 80
2.5.2. Lồi, lõm, điểm uốn 80
2.5.3. Khảo sát hàm số
y f(x)
80
3
2.5.4. Khảo sát đường cong cho dưới dạng tham số 85
2.5.5. Khảo sát đường cong cho dưới dạng tọa độ cực 87
2.5.6. Mối quan hệ giữa các vận tốc 94
Chương III. Tích phân 96
§ 3.1. Tích phân 96
3.1.1. Định nghĩa, tính chất 96
3.1.2. Bảng các tích phân cơ bản 98
3.1.3. Phương pháp tính tích phân bất định 98
3.1.4. Tích phân bất định của một số lớp hàm sơ cấp 104
§ 3.2. Tích phân xác định 112
3.2.1. Định nghĩa và các tính chất mở đầu 112
3.2.2. Các lớp hàm khả tích 113
3.2.3. Các tính chất của tích phân xác định 115
3.2.4. Cách tính tích phân xác định 118
3.2.5. Tính gần đúng tích phân xác định 125
§ 3.3. Ứng dụng của tích phân xác định 128
3.3.1. Tính diện tích hình phẳng 128
3.3.2. Độ dài đường cong 129
3.3.3. Thể tích vật thể 131
3.3.4. Diện tích mặt cong 132
3.3.5. Tọa độ trọng tâm
3.3.6. Moment tĩnh, moment quán tính, công…
3.3.7. Định lý biến thiên toàn cục
133
133
133
3.3.8. Hai lược đồ áp dụng tổng quát 134
§ 3.4. Tích phân suy rộng 137
3.4.1. Tích phân với cận vô hạn 137
3.4.2. Tích phân của hàm không bị chặn 141
3.4.3. Một số ví dụ 142
Chương 4. Chuỗi 149
§ 4.1. Chuỗi số 149
4.1.1. Định nghĩa 149
4.1.2. Điều kiện cần của chuỗi hội tụ 150
4.1.3. Tiêu chuẩn Cauchy 151
4.1.4. Các tính chất về phép toán 151
§ 4.2. Chuỗi số dương 152
4.2.1. Các tính chất mở đầu 152
4.2.2. Các quy tắc khảo sát sự hội tụ 153
§ 4.3. Chuỗi với dấu bất kỳ 156
4.3.1. Chuỗi đan dấu 156
4.3.2. Hội tụ tuyệt đối 157
§ 4.4. Chuỗi hàm số 159
4.4.1. Sự hội tụ, miền hội tụ 159
4.4.2. Hội tụ đều 160
4.4.3. Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 161
§ 4.5. Chuỗi lũy thừa 162
4.5.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ 162
4.5.2. Quy tắc tìm bán kính hội tụ 163
4.5.3. Tính chất của chuỗi lũy thừa 164
4.5.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa 165
4.5.5. Ứng dụng 167
4.5.6. Tính tổng một số chuỗi 169
4.5.7. Một số ví dụ 176
4.5.8. Sự tồn tại hàm liên tục không khả vi 178
§ 4.6. Chuỗi Fourier 179
4.6.1. Chuỗi lượng giác 179
4.6.2. Chuỗi Fourier 179
Tài liệu tham khảo 186
4
KÝ HIỆU HAY SỬ DỤNG
Ký hiệu Ý nghĩa
,
tập các số thực, tập các số thực dương
*
,
tập các số tự nhiên 0,1,2,…, tập các số 1, 2, ...
tập các số nguyên 0; 1; 2;...
tập các số hữu tỷ
n
không gian Euclide thực n chiều
(a;b), [a; b], (a;b],...
khoảng suy rộng trên
: khoảng, đoạn, nửa khoảng
|a| trị tuyệt đối của số thực a,
[x] phần nguyên của số thực x
{x} {x} phần phân (lẻ) của số thực x x = x - [x] ; tập
hợp gồm một phần tử x
n ! giai thừa n ! = 1. 2. 3... n
Max A (MinA) phần tử lớn nhất (nhỏ nhất) của tập A
n
n
lim x
giới hạn của dãy số xn
x a
lim f (x)
giới hạn của hàm số f(x) khi x dẫn đến a
x a x a
lim f (x),( lim f (x))
giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a từ bên phải
(từ bên trái).
f(x) hàm số; - giá trị của hàm f tại điểm x.
1
f (x)
hàm ngược của hàm f(x)
BA:f
ánh xạ từ A vào B; - hàm số với tập xác định là A,
tập giá trị chứa trong B.
dx
xdf
xf ;' đạo hàm bậc nhất của hàm f(x)
' '
0 0
f (x ) (f (x ))
đạo hàm phía phải (trái) của hàm f(x) tại x0
n
(n)
n
d f (x)
f (x);
dx
đạo hàm bậc n của hàm f(x).
df, d2f,... vi phân cấp một, cấp 2,... của hàm f(x).
a
f (x)dx
tích phân suy rộng loại I của hàm f(x) trên
[a; )
.
f (x) o(g(x))
f(x) là vô cùng bé bậc cao hơn so với vô cùng bé g(x)
f (x) O(g(x))
f(x) là vô cùng bé cùng bậc so với vô cùng bé g(x)
f (x) g(x)
xf là vô cùng bé tương đương với vô cùng bé g(x)
VCB vô cùng bé
kết thúc chứng minh
# kết thúc ví dụ
(☼), (☼) bắt đầu (kết thúc) mục, phần… có thể bỏ qua trong
lần đọc đầu tiên
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bêta II: 03-09/2010
----------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------
PGS TS Tô Văn Ban - Bài giảng Giải tích I - Phiên bản bê ta II: 03-09/2010 7
Chương 1
GIỚI HẠN, LIÊN TỤC
§ 1.1. SỐ THỰC
1.1.1. Mở đầu
a. Giới thiệu
Chúng ta đã có những hiểu biết khá tốt về số hữu tỷ ngay từ thời học phổ
thông; chúng ta cũng có những hiểu biết nhất định về số vô tỷ, số thực. Để hiểu
chúng sâu sắc và chính xác, người ta phải xây dựng hệ thống tiên đề chính xác
cho số thực. Sau đây là các loại số mà loài người nhận thức được trong lịch sử
phát triển của mình:
* Các số tự nhiên khác không
1, 2, ..., n, ...
ký hiệu là
*
;
* Các số tự nhiên
0, 1, ..., n, ...
ký hiệu là
.
* Bởi vì trong
thiếu các phần tử mà cộng với nhau bằng 0, người ta đưa
vào các số nguyên âm được
... , 2, 1, 0, 1, 2, ...
, ký hiệu là
.
Trong
không có các phần tử mà nhân với 2, 3, ... bằng 1. Vậy người ta
đưa thêm vào trong
các phần tử dạng
p / q
, được các số hữu tỷ
*
p, q , p
q
, ký hiệu là
. Trong đại số ta biết
là một trường.
Trong
không có các phần tử kiểu như
2, e, , ...
, gọi là các số vô tỷ.
Cần đưa vào
các số vô tỷ để được
- tập các số thực - rộng hơn
. Có nhiều
cách xây dựng tập các số thực như dùng các số thập phân vô hạn tuần hoàn, lát
cắt Dedekin, ... Chúng ta đưa ra phương pháp xây dựng số thực sau đây, dễ hiểu
và được chấp nhận rộng rãi.
b. Tiên đề số thực
Chúng ta công nhận sự tồn tại và duy nhất tập hợp các số thực, ký hiệu là
, ở đó có trang bị hai luật hợp thành trong (phép toán)
và .
và một quan hệ
thứ tự
sau cho:
i)
( , , .)
là một trường, cụ thể là: (☼)
1) Phép cộng có tính chất kết hợp:
a, b, c , (a b) c a (b c)
.
2) Phép cộng có tính chất giao hoán:
a,b , a b b a
.
