Ậ
Ạ
Ặ
Ậ
NH N D NG M T B C 2
ặ ậ ạ ậ Nh n d ng m t b c 2
ươ ặ ậ ủ ổ Ph ng trình t ng quát c a m t b c 2:
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz
+ ax + by + cz + d = 0
ấ ậ ả ố ạ trong đó ít nh t 1 s h ng b c 2 ph i khác 0.
2
2
2
+
+
=
ươ ắ ủ ặ ậ Ph ng trình chính t c c a m t b c 2
1
2
2
2
x a
y b
z c
+ + +
(
)
2
2
2
2
+
+
=
Ellipsoid
x
y
z
R
2
2
+
ặ ầ M t c u
1
2
2
2 = 2
x a
y b
z c
+ + -
- Hyperboloid 1 t ng.ầ
(
)
,
0C
2
2
+
(cid:0)
1
2
2
2 = - 2
x a
y b
z c
- Hyperboloid 2 t ng.ầ
2
2
+
0
2
2
2 = 2
x a
y b
z c
+ + -
(
)
= 0C
,
2
2
2
- Nón
ườ
=
+
ạ (D ng th ặ ủ ng g p c a nón)
z
2
2
x a
y b 2
2
(
)+ +
+ =
+
cz d
2
2
x a
y b
2
2
(
)+ -
Paraboloid elliptic
+ =
- Paraboloid hyperbolic
cz d
2
2
x a
y b
2
2
+
=
1
2
2
x a
y b
2
ụ Tr elliptic
1
2
2 = 2
x a
y b
2
=
- ụ Tr hyperbolic
y
px
2
ụ Tr parabolic
2 bi nế
ả ặ ơ ả Hình nh các m t c b n
z
Ellipsoid
y
2
2
2
+
+
=
1
2
2
2
x a
y b
z c
x
2
2
2
2
+
+
=
x
y
z
R
ặ ầ M t c u
2
2
Hyperboloid
z
z
2
2
2
2
Hai t ngầ z 2 y b
x a
ộ ầ M t t ng z 2 x a
y b
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 2
z 2
2
2
+
(cid:0) (cid:0)
1
2
2
2
2
2 = 2
x a y b
x a
y 2 b 2 z = - 2 c
- + - 1
x a y b z c
z
y
x
2
2
2
=
+
2
2
2
z c
x a
y b
Nón
ẽ V nón
ẽ V nón
2
2
2
2
Paraboloid elliptic
=
+
z
x
y
= - 2
z
2
2
x a
y b
-
2
2
=
+
z
2
2
x a
y b
ẽ V paraboloid elliptic
2
2
=
+
z
2
2
x a
y b
ẽ V paraboloid elliptic
2
2
=
Parapoloid hyperbolic
z
2
2
x a
y b
-
z
ụ Tr elliptic
ẽ ặ ụ Cách v các m t tr :
ẩ ng chu n ( là ậ ng cong b c 2 trong
y
ươ ặ ẽ ườ 1.V đ ườ đ ph ng trình m t)
x
2
2
ườ 2.Cho đ ể
ế ươ
1
2
2
(cid:0) (cid:0)
x a
y b
ậ ng b c 2 di ụ ọ chuy n d c theo tr c ấ ứ không ch a bi n xu t ệ hi n trong ph ng trình m tặ
2
2
+
=
1
2
2
x a
y b
V trẽ ụ
2
2
+
=
1
2
2
x a
y b
V trẽ ụ
ụ
x
y
2
Tr hyperbolic z
1
2
2 = 2
x a
y b
-
z
z
2 (cid:0)
y
px
2
y
x
x
y
2
=
2
y
px
2
=
y
pz
2
ụ Tr parabolic
ặ ậ ạ Cách phân lo i m t b c 2:
ư ạ ươ ng trong ph ng trình
ươ ắ • Đ a d ng toàn ph ề ổ t ng quát v chính t c.
ử ố ạ ố ạ ế ậ ấ
• Kh các s h ng b c nh t (n u có s h ng ậ ể ư ề ạ ắ b c 2 đi chung) đ đ a pt v d ng chính t c
ạ ậ và nh n d ng.
ươ ỉ ẽ ữ ặ ng trình ch v nh ng m t chính
Trong ch t c.ắ
2
Ví dụ
2
- x + xy + = 2 x z 0
2 y + 4
- + = 2 z x 0
2
2
2
y � �- � � � x 2 � �
+ + = - � X Z + X 0
2
2
2
Y 2 Y 4
+ = - - -
(
� (cid:0) (cid:0) Y Z
) 1
0
(cid:0) (cid:0) 1 � �+ X 2 1 4 1 + 4 1 4
2
2
2
2
2
+ + + = x xy y z 2 2 9
+ + + =
(
) 2
2
2
� x y y z 9
2
= + - x z xy y 4
= + -
(
) 2
2
2
� z x y y 2 5
= - x z + xy y 4 4
= -
(
) 2
� z x y 2
2
2
2
2
2
+ + 2 - - - - x y z xy x 2 2 5 2 2 + = z y 4 4 2 0
- - - - y z x 2 5 2 + = y z 4 4 2 0
2
2
2
3 2 y � �+ + � � � x 2 � �
+ - - - - - � X Y Z 2 5 + = Y Z 4 4 2 0 2
2
3 2 Y 2 � � �
- - -
(
2 2 � � + 5 � � 5 � �
Y Z 2 � X � � ) 1
2 3 1 � � + � � � X 2 2 � � 1 4 3 = - + + - = - 2 5 2
2
4 5
2
2
2
2
- - - - x y yz 2 2 + = z x 2 8 9 0
- - -
(
) 2 +
2
2
� x + y z z x 2 8 + = z 2 9 0
2
2
+ 2 - - - � X Y Z X 2 8 + = Z 2 9 0
- - -
(
)
(
� X + 2 Y Z 2 2
) = 1
0
2
2
2
+
Ví dụ ạ ặ ậ ắ Tìm pt chính t c và phân lo i các m t b c 2:
x
y
z
+ xy
yz
1 / 4
4
8
(1)
- -
10 x
z
16
16
+ xz 4 + y 8
4 = 72 0
- - -
ư ạ ươ ố ạ ậ Đ a d ng toàn ph ề ng (các s h ng b c 2) v
2
2
2
=
+
ắ ằ ổ ự ế ạ d ng chính t c b ng phép bi n đ i tr c giao:
x
y
z
+ xy
+ xz
yz
Q x y z ( , , )
4
4
8
10
4
4
- -
2
2
2
=
+
x
y
z
+ xy
+ xz
yz
Q x y z ( , , )
4
4
8
10
4
4
2
2
- -
=
x
y
9
9
2
1 3 2
2 3
1
2
1 3 2
2 3
(cid:0) (cid:0) -
Phép bi n ế đ i ổ
x � � � � y � � � � z � �
0
4 3 2 1 3
� 1 � = -� � � �
� (cid:0) x � � � � �(cid:0) y � � � � � � (cid:0) � z � � �
-
y
+
=
+
+
=
+
y
x
,
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
z 2 3
z 2 3
x 2
y 3 2
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)
=
+
z
(cid:0) (cid:0) - (cid:0)
z 3
x 2 3 2 y 4 3 2
(cid:0) (cid:0)
2
2
2
+
x
y
z
+ xy
+ xz
yz
x
4
4
8
10
4
4
16
+ y 16
= z 8
72 0
- - - - -
y
+
=
+
16
x
,
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
+
=
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
16
y
(cid:0)
(cid:0)
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
8
z
- (cid:0)
2
2
(cid:0)
x
y
x 2 3 2 y x 3 2 2 y 4 + 3 2 ng trình (1) vi
z 2 3 z 2 3 z 3 ế ạ t l i
9
9
z(cid:0) +
24
72
0=
2
(cid:0) (cid:0) - - ươ Ph
2 =
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
�
1
x 8
y 8
z 3
- - Paraboloid hyperbolic
2
2 =
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
x 8
y 8
z 3
- -
2
2
2
(2)
+
+
x
y
2 / 6
5
+
z +
xz 4 - =
7 x
+ xy 4 + y
z
4
4
16
8 0
-
2
2
2
2
ư ạ ươ ề Đ a d ng toàn ph ắ ng v chính t c
+
+
+ 2
+ 2
x
y
z
+ xy
= xz
x
y
z
6
5
7
4
4
3
6
9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) -
ổ ế Phép bi n đ i:
x
2 3
1 3
2 3
(cid:0) -
2 3
1 3
2 3
-
y z
1 3
2 3
2 3
� � � � � � = � � � � � � � � �
x �� � �� �(cid:0) y �� � �� �(cid:0) z �� �
-
2
2
2
ươ Ph ng trình (2) vi ế ạ t l i
+
+
+
+
- =
x
y
z
y
z
3
6
9
12
12
8 0
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
+
+
+
�
x
y
z
3
6(
1)
9(
2 3)
= 18 0
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) -
+
+
=
�
x
y
z
3
6
9
18
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
+
=
�
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
x 6
y 3
z 2
Elippsoid
xy=
3 / z
ổ
+
=
x
x
x
z
= y z ,
y y ,
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế Dùng phép bi n đ i Lagrange = -
=
z
x
y
(cid:0) (cid:0) (cid:0) -
Parapoloid hyperbolic
ặ ọ ộ
ẳ
ặ
Các m t ph ng song song các m t t a đ
z
z
z
y
x
y
x
x
y
z = a
y = a
x = a
z
z
y
x
x
x + y = 1
x + z = 1
ộ ố ặ ẳ M t s m t ph ng
z
+
y = x
1
x a
y b
z + = c
ộ ố ặ ẳ M t s m t ph ng
