Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Phép biến đổi Fourier - TS. Đặng Quang Hiếu

ET 2060 - Tín hiệu và hệ thống Các phép biến đổi Fourier

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông

TS. Đặng Quang Hiếu

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

2015-2016

cuu duong than cong . co m

Vai trò của biến đổi Fourier

◮ Quan trọng trong toán học, vật lý và các ngành kỹ thuật đặc

◮ Khái niệm chuỗi Fourier do Joseph Fourier giới thiệu vào năm 1807, và sau đó được phát triển bởi nhiều nhà khoa học nổi tiếng khác. Phân loại: ◮ Chuỗi Fourier (FS) ◮ Chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFS) ◮ Biến đổi Fourier (FT) ◮ Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFT)

◮ Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) có thể được thực hiện nhanh

biệt là xử lý tín hiệu.

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

(các thuật toán FFT).

cuu duong than cong . co m

Tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số

x(t)

1

t

2

1

3

4

5

-1

|X (f )|

-1

-3

-2

1

2

3

f

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

cuu duong than cong . co m

Outline

Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

cuu duong than cong . co m

Chuỗi Fourier (FS)

∞

Mọi tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T đều có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier (FS) như sau:

x(t) = ck ej 2π T kt Xk=−∞

T

T kt dt

trong đó

0

T t được gọi là thành phần hài bậc k.

◮ ck ejk 2π ◮ {ck } được gọi là các hệ số chuỗi Fourier hay các hệ số phổ

x(t)e−j 2π ck = 1 T Z

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

của tín hiệu x(t).

cuu duong than cong . co m

Ví dụ về FS

T t)

∞

Hãy tìm khai triển chuỗi Fourier cho các tín hiệu sau với chu kỳ cơ bản T . (a) x(t) = cos( 2π (b) Dãy xung đơn vị tuần hoàn

x(t) = δ(t − kT ) Xk=−∞

(c) Dãy xung vuông tuần hoàn

2 ≤ t ≤ ℓT + T0 2 ,

x(t)

t

− T0 2

− T 2

T 2

T0 2 https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

ℓ ∈ Z x(t) = ℓT − T0 t còn lại 1, 0, (cid:26)

cuu duong than cong . co m

Khai triển chuỗi Fourier của hàm xung vuông tuần hoàn

ck

0.25

T0 T = 1

4

b b b b b

k

-12

-16

-20

12

16

20

-4

-8

4

8

ck

T0 T = 1

8

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

k

-16

16

-8

8

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b

cuu duong than cong . co m

Điều kiện tồn tại FS

Các điều kiện Dirichlet:

1. x(t) bị chặn 2. x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ 3. x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ

Tín hiệu có năng lượng hữu hạn trên một chu kỳ:

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

|x(t)|2dt < ∞ ZT

cuu duong than cong . co m

Dạng biểu diễn khác của FS

∞

x(t) = t) + ak cos(k t) + bk sin(k 2π T 2π T a0 2 Xk=1

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Quan hệ giữa ak , bk và ck ?

cuu duong than cong . co m

Tính chất tuyến tính

Nếu x(t), y (t) cùng chu kỳ

k

x1(t)

k

FS ←−−→ c (1) FS ←−−→ c (2) x2(t)

thì

k

k + βc (2)

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

FS ←−−→ αc (1) αx1(t) + βx2(t)

cuu duong than cong . co m

Tính chất dịch

Dịch theo thời gian:

T kt0ck

FS ←−−→ e−j 2π x(t − t0)

T k0t x(t)

Dịch tần số: FS ej 2π ←−−→ ck−k0

Ví dụ: Tìm khai triển FS cho tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

ℓ ∈ Z x(t) = ℓT ≤ t ≤ ℓT + T0, t còn lại 1, 0, (cid:26)

cuu duong than cong . co m

Đảo trục thời gian

◮ Nếu x(t) chẵn? ◮ Nếu x(t) lẻ?

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

FS x(−t) ←−−→ c−k

cuu duong than cong . co m

Tính chất đối xứng

◮ Nếu x(t) thực? ◮ Nếu x(t) ảo?

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

x ∗(t) FS ←−−→ c ∗ −k

cuu duong than cong . co m

Quan hệ Parseval

∞

|x(t)|2dt = |ck |2 1 T ZT Xk=−∞

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Ý nghĩa: FS bảo toàn công suất của tín hiệu.

cuu duong than cong . co m

Outline

Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

cuu duong than cong . co m

Dãy tuần hoàn và chuỗi Fourier

Dãy ˜x[n] (hoặc ˜x[n]N ) tuần hoàn với chu kỳ N:

∀n, r ∈ Z ˜x[n] = ˜x[n + rN],

N kn

Khai triển chuỗi Fourier cho dãy ˜x[n]:

˜x[n] = ck ej 2π Xk

N kn,

∀k ∈ Z? Đặc điểm của các thành phần tần số ej 2π

N kn = ej 2π

N (k+rN)n,

N−1

N kn,

ej 2π ∀r ∈ Z

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

˜x[n] = ˜ck ej 2π ˜ck = ck+rN Xk=0 Xr

cuu duong than cong . co m

Tính ˜ck?

N mn, tính tổng với n = 0, (N − 1)

N−1

N−1

N−1

N (k−m)n

(i) Nhân cả hai vế với e−j 2π

N mn =

˜x[n]e−j 2π ˜ck ej 2π Xn=0 Xn=0 Xk=0

N−1

N−1

N−1

N (k−m)n

(ii) Đổi thứ tự lấy tổng ở vế phải

N mn =

ej 2π ˜x[n]e−j 2π ˜ck Xn=0 Xn=0 Xk=0

N−1

(iii) Tính trực giao:

N (k−m)n =

N−1

ej 2π k − m = rN k − m 6= rN N, khi khi 0, (cid:26) Xn=0

N mn = N · ˜cm

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

˜x[n]e−j 2π =⇒ Xn=0

cuu duong than cong . co m

Khái niệm chuỗi Fourier rời rạc (DTFS)

N−1

N kn

˜x[n]e−j 2π ˜ck = 1 N Xn=0

˜ck tuần hoàn với chu kỳ N.

N−1

N kn

˜x[n] DTFS ←−−−→ ˜ck

◮ Biên độ: |˜ck | ◮ Pha: arg{˜ck }.

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

˜x[n] = ˜ck ej 2π Xk=0

cuu duong than cong . co m

Ví dụ về DTFS

∞

(1) Tìm khai triển Fourier của dãy

∀r ∈ Z δ(n − rN) = ˜x[n] = 1, n = rN, 0, n 6= rN (cid:26) Xr =−∞

(2) Cho ˜x[n] là dãy tuần hoàn với chu kỳ N

ℓN ≤ n ≤ ℓN + M − 1, ∀n ∈ Z, M < N ˜x[n] = 1, 0, n còn lại (cid:26)

Hãy tìm ˜ck , |˜ck |, arg{˜ck }.

k

(3) Dãy ˜x[n] tuần hoàn với chu kỳ N cũng có thể coi là một dãy

k

k

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

. := DTFS{˜x[n]N } và theo ˜c (N) := DTFS{˜x[n]2N }. Hãy tính ˜c (2N) tuần hoàn có chu kỳ 2N. Nếu ˜c (N) ˜c (2N) k

cuu duong than cong . co m

DTFS của dãy xung chữ nhật tuần hoàn N = 100, M = 10

0.1

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

| ] k [ X

|

0.04

0.03

0.02

0.01

0 −100

−60

−40

−20

−80

100

20

40

60

80

0 k

3

2

1

0

} ] k [ X { g r a

−1

−2

−3 −100

−60

−40

−20

−80

100

20

40

60

80

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

0 k

cuu duong than cong . co m

Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc

(1) Tuyến tính (cùng chu kỳ N):

k

k + a2 ˜c (2)

a1 ˜x (1)[n] + a2 ˜x (2)[n] DTFS ←−−−→ a1 ˜c (1)

(2) Dịch thời gian

N kn0 ˜ck

DTFS ←−−−→ e−j 2π ˜x[n − n0]

(3) Dịch tần số

N k0n ˜x[n]

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

ej 2π DTFS ←−−−→ ˜ck−k0

cuu duong than cong . co m

Tính chất đối ngẫu

Nếu

˜x[n] DTFS ←−−−→ ˜ck

thì

DTFS ←−−−→ ˜X [n] ˜c−k 1 N

∞

Ví dụ: Cho

δ(k − rN) ˜X [k] = Xr =−∞

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Hãy tìm ˜ck ?

cuu duong than cong . co m

Các tính chất đối xứng

(a) ˜x ∗[n]

(b) ˜x[−n]

2 [˜ck + ˜c ∗ k ] DTFS ←−−−→ Re[˜ck ]

2 [˜x[n] + ˜x ∗[−n]]

(c) Re[˜x[n]] DTFS ←−−−→ ˜c ∗ −k DTFS ←−−−→ ˜c ∗ k DTFS ←−−−→ 1

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

(d) 1 (e) Khi ˜x[n] ∈ R ◮ ˜ck = ˜c ∗ −k ◮ Re[˜ck ] = Re[˜c−k ] ◮ Im[˜ck ] = −Im[˜c−k ] ◮ |˜ck | = |˜c−k | ◮ arg{˜ck } = − arg{˜c−k}

cuu duong than cong . co m

Bài tập

9

Cho tín hiệu liên tục (tuần hoàn) xc (t) có khai triển Fourier như sau:

6 10−3 [s] để tạo thành dãy x[n] = xc (nT ).

xc (t) = akej2πkt/10−3 Xk=−9

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

trong đó các hệ số ak = 0, ∀|k| > 9. Tín hiệu này được lấy mẫu với chu kỳ T = 1 (a) Dãy x[n] có tuần hoàn không, nếu có thì chu kỳ bao nhiêu? (b) Hãy tính ˜ck theo các hệ số ak .

cuu duong than cong . co m

Outline

Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

cuu duong than cong . co m

Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu không tuần hoàn

FT

t

Ω

FT−1

FT x(t) ←−−→ X (jΩ)

∞

trong đó:

−∞

∞

x(t)e−jΩt dt X (jΩ) = FT{x(t)} = Z

−∞

x(t) = FT−1{X (jΩ)} = X (jΩ)ejΩt dΩ 1 2π Z

◮ |X (jΩ)| - phổ biên độ ◮ arg{X (jΩ)} - phổ pha

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

X (jΩ) được gọi là phổ của tín hiệu x(t):

cuu duong than cong . co m

Điều kiện tồn tại FT

∞ −∞ |x(t)|dt < ∞

(i) R (ii) x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong bất cứ khoảng thời gian hữu hạn nào.

(iii) x(r ) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong bất cứ khoảng

thời gian hữu hạn nào và mỗi điểm gián đoạn đó phải có giá trị hữu hạn.

Ví dụ: Hãy tìm FT của các tín hiệu sau (a) Hàm lũy thừa: x(t) = eat u(t) (b) Xung đơn vị: x(t) = δ(t) (c) Xung vuông:

x(t) = 1, 0, |t| < T0/2 |t| > T0/2 (cid:26)

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

(d) x(t) = cos(Ω0t)

cuu duong than cong . co m

Phổ của tín hiệu hàm mũ thực x(t) = eatu(t)

1

a = −2 a = −0.5

0.8

0.6

) t ( x

0.4

0.2

0

10

0

8

9

7

3

2

1

4

6

5 t [s]

2

a = −2 a = −0.5

1.5

| ) f (

1

X

|

0.5

0 −5

−1

−2

−3

−4

3

5

4

2

1

0 f [Hz]

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

cuu duong than cong . co m

Phổ của xung vuông T0 = 1

1

0.8

0.6

| ) f (

X

|

0.4

0.2

0 −10

−8

−6

−4

−2

10

6

8

2

4

0 f [Hz]

4

3

} ) f (

2

X { g r a

1

0 −10

−8

−6

−4

−2

10

6

8

2

4

0 f [Hz]

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

cuu duong than cong . co m

FT cho tín hiệu tuần hoàn

∞

Xét tín hiệu ở miền tần số X (jΩ) = 2πδ(Ω − Ω0), ta có:

−∞

x(t) = 2πδ(Ω − Ω0)ejΩt dΩ

1 2π Z = ejΩ0t

∞ k=−∞ δ(t − kT )

=⇒ Nếu biết FS của x(t) (tuần hoàn), tìm FT? Ví dụ: Tìm FT của các tín hiệu sau (a) x(t) = cos(Ω0t) (b) x(t) =

P (c) Xung vuông tuần hoàn

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

ℓ ∈ Z x(t) = ℓT ≤ t ≤ ℓT + T0, t còn lại 1, 0, (cid:26)

cuu duong than cong . co m

Các tính chất của biến đổi Fourier

(1) Tuyến tính

a1x1(t) + a2x2(t) FT ←−−→ a1X1(jΩ) + a2X2(jΩ)

(2) Dịch thời gian

FT ←−−→ e−jΩt0 X (jΩ) x(t − t0)

(3) Dịch tần số

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

ejΩ0tx(t) FT ←−−→ X (j(Ω − Ω0))

cuu duong than cong . co m

Tính chất đối xứng

◮ Phổ của các tín hiệu trên thực tế? ◮ Nếu x(t) thực và x(t) = xe(t) + xo(t), hãy tìm FT của xe(t)

x ∗(t) FT ←−−→ X ∗(−jΩ)

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

và của xo(t)?

cuu duong than cong . co m

Vi phân và tích phân

Vi phân: FT x(t) ←−−→ jΩX (jΩ) d dt

t

Tích phân:

−∞

FT ←−−→ x(τ )dτ X (jΩ) + πX (0)δ(Ω) 1 jΩ Z

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Ví dụ: Tìm FT của dãy nhảy đơn vị u(t).

cuu duong than cong . co m

Co dãn trên miền thời gian và tần số

X ( ) FT ←−−→ x(at) jΩ a 1 |a|

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

với a ∈ R, const.

cuu duong than cong . co m

Đối ngẫu

Nếu FT ←−−→ X (jΩ) x(t)

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

thì FT ←−−→ 2πx(−Ω) X (jt)

cuu duong than cong . co m

Quan hệ Parseval

∞

∞

−∞

−∞

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

|x(t)|2dt = |X (jΩ)|2dΩ Z 1 2π Z

cuu duong than cong . co m

Chập trên miền thời gian

◮ Chứng minh? ◮ Tự đọc thêm về FT của tích, tương quan chéo giữa hai tín

x1(t) ∗ x2(t) FT ←−−→ X1(jΩ)X2(jΩ)

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

hiệu.

cuu duong than cong . co m

Đáp ứng tần số của hệ thống LTI

x(t)

y (t)

h(t)

◮ Đáp ứng tần số:

∞

−∞

◮ Đáp ứng biên độ: |H(jΩ)| ◮ Đáp ứng pha: arg{H(jΩ)} ◮ Đồ thị Bode: 20 log10 |H(jΩ)| ◮ Khi hệ thống LTI không ổn định, có tồn tại H(jΩ) không?

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

h(t)e−jΩt dt H(jΩ) := FT{h(t)} = Z

cuu duong than cong . co m

Khái niệm bộ lọc

|X (jΩ)|

Ω

|H(jΩ)|

1

Ω

−Ωc

Ωc |Y (jΩ)|

Ω

−Ωc

Ωc

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

cuu duong than cong . co m

Phân loại bộ lọc lý tưởng

◮ Mọi hệ thống LTI đều có thể được coi là bộ lọc. ◮ Các bộ lọc chọn lọc tần số lý tưởng: Thông thấp, thông cao,

|Hbp(jΩ)|

|Hlp(jΩ)|

1

1

Ω

Ω

−Ωc

−Ωc2

−Ωc1

Ωc2

Ωc1

Ωc |Hhp (jΩ)|

|Hbs (jΩ)|

1

1

Ω

Ω

−Ωc

Ωc

−Ωc2

−Ωc1

Ωc2

Ωc1

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

thông dải, chắn dải.

cuu duong than cong . co m

Đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng

Ví dụ: Hãy tìm đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng sau

hlp (t)

t

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

H(jΩ) = 1, 0, |Ω| ≤ Ωc |Ω| > Ωc (cid:26)

cuu duong than cong . co m

Khái niệm độ rộng băng thông (bandwidth)

Xét hệ thống LTI với đáp ứng tần số H(jΩ)

◮ B = Ωc (hệ thống thông thấp lý tưởng) ◮ B = ΩH − ΩL (hệ thống thông dải lý tưởng).

(i) Độ rộng băng thông tuyệt đối:

(ii) Độ rộng băng thông 3-dB: |H(jΩ)|2 giảm một nửa so với giá trị lớn nhất.

|H(jΩ)|

Ω

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

(iii) Tương tự đối với tín hiệu.

cuu duong than cong . co m

Outline

Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian

cuu duong than cong . co m

FT cho tín hiệu rời rạc ko tuần hoàn theo thời gian

FT

n

ω

FT−1

∞

Biến đổi thuận:

x[n]e−jωn FT −−→ X (ejω) = FT{x[n]} = x[n] Xn=−∞

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

X (ejω) - phổ của tín hiệu x[n]. ◮ Tuần hoàn với chu kỳ 2π ◮ Phổ biên độ: |X (ejω)|, và phổ pha: arg{X (ejω)}.

cuu duong than cong . co m

Ví dụ

Tìm X (ejω), |X (ejω)| và arg{X (ejω)} của các dãy sau:

(a) x[n] = δ[n] (b) x[n] = δ[n − 2] (c) x[n] = δ[n − 2] − δ[n] (d) x[n] = rectN [n] (e) x[n] = (0.5)nu[n] (f) x[n] = u[n]

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Nhận xét?

cuu duong than cong . co m

Phổ biên độ và phổ pha của dãy rect10[n]

10

8

| )

6

ω

j (

X

|

4

2

0 −8

−4

−6

−2

2

4

6

8

0 ω

4

2

} )

ω

j (

0

X { g r a

−2

−4

−4

−6

−2

−8

2

4

6

8

0 ω

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

cuu duong than cong . co m

Biến đổi Fourier ngược

π

−π

X (ejω) FT−1 −−−−→ x[n] = FT−1{X (ejω)} = X (ejω)ejωndω 1 2π Z

H(ejω)

1

ω

ωc

−ωc

−π

π

Ví dụ: Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng tần số như trong hình vẽ

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

(a) Hãy tìm đáp ứng xung hlp[n] của bộ lọc này. (b) Xét các trường hợp bộ lọc thông cao, thông dải, chắn dải lý tưởng?

cuu duong than cong . co m

Sự tồn tại của biến đổi Fourier

∞

FT tồn tại khi dãy sau hội tụ:

x[n]e−jωn Xn=−∞

∞

Điều kiện hội tụ trên miền n:

|x[n]| < ∞ Xn=−∞

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

Xét trên quan điểm hệ thống? Hệ thống LTI tồn tại đáp ứng tần số khi hệ thống đó ổn định

cuu duong than cong . co m

Khi x[n] tuần hoàn?

∞

ejω0n FT ←−−→ 2π δ(ω − ω0 − 2πℓ) Xℓ=−∞

N−1

N kn

Nếu ˜x[n]N có khai triển Fourier (DTFS):

˜x[n] = ˜ck ej 2π Xk=0

∞

thì có biến đổi Fourier (FT) như sau:

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

) X (ejω) = 2π ˜ck δ(ω − k 2π N Xk=−∞

cuu duong than cong . co m

Các tính chất của FT

dω

π

◮ Tuyến tính: FT{a1x1[n] + a2x2[n]} = a1X1(ejω) + a2X2(ejω) ◮ Trễ thời gian: FT{x[n − n0]} = e−jωn0X (ejω) ◮ Trễ tần số: FT{ejω0nx[n]} = X (ej(ω−ω0)) ◮ Đảo trục thời gian: FT{x[−n]} = X (e−jω) ◮ Đạo hàm trên miền tần số: FT{nx[n]} = j dX (ejω) ◮ Chập FT{x1[n] ∗ x2[n]} = X1(ejω)X2(ejω) ◮ Nhân FT{x1[n]x2[n]} = 1 2π

−π X1(ejθ)X2(ej(ω−θ))dθ R

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

cuu duong than cong . co m

Các tính chất đối xứng của FT

2 [X (ejω) + X ∗(e−jω)]

◮ X (e jω) = X ∗(e −jω) ◮ Re[X (e jω)] = Re[X (e −jω)] ◮ Im[X (e jω)] = −Im[X (e −jω)] ◮ |X (e jω)| = |X (e −jω)| ◮ arg{X (e jω)} = − arg{X (e −jω)}

(a) FT{x ∗[n]} = X ∗(e−jω) (b) FT{x ∗[−n]} = X ∗(ejω) (c) FT{Re[x[n]]} = 1 (d) Khi x[n] ∈ R

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

(e) Khi x[n] ∈ R và x[n] chẵn? (f) Khi x[n] ∈ R và x[n] lẻ?

cuu duong than cong . co m

Các tính chất khác

◮ Quan hệ Parseval:

∞

π

−π

◮ Tương quan:

|x[n]|2 = |X (ejω)|2dω 1 2π Z Xn=−∞

◮ Định lý Wiener - Khintchine: Nếu x[n] ∈ R thì

FT{rx1x2[n]} = SX1X2(ejω) = X1(ejω)X2(e−jω)

FT{rxx [n]} = SXX (ejω) = |X (ejω)|2

◮ Điều chế (modulation):

trong đó SXX (ejω) gọi là phổ mật độ năng lượng (energy density spectrum) của tín hiệu x[n].

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

FT{x[n] cos(ω0n)} =?

cuu duong than cong . co m

Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

N−1

M−1

Xét hệ thống LTI được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng:

ar x[n − r ] ak y [n − k] = Xr =0 Xk=0

M−1

N−1

Biến đổi Fourier cả hai vế và áp dụng tính chất dịch

br e−jr ωX (ejω) ak e−jkωY (ejω) = Xr =0 Xk=0

Ta có đáp ứng tần số của hệ thống:

M−1 r =0 br e−jr ω N−1 k=0 ake−jkω

H(ejω) = = P Y (ejω) X (ejω)

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

P

cuu duong than cong . co m

Bài tập Matlab

1. Viết chương trình Matlab để tính biến đổi Fourier cho một dãy có chiều dài hữu hạn.

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

2. Vẽ phổ biên độ và phổ pha của các dãy đã cho trong ví dụ. 3. Dùng hàm freqz và freqs trong Matlab để vẽ đáp ứng tần số của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân / vi phân tuyến tính hệ số hằng.

cuu duong than cong . co m