Bài giảng Toán tài chính gồm 5 chương nhằm giúp bạn nắm bắt các kiến thức về lãi đơn, lãi kép, chuỗi tiền tệ, vay vốn, trái phiếu. Hy vọng bài giảng bên dưới giúp ích cho bạn
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán tài chính
- CHƯƠNG I
LÃI ĐƠN (SIMPLE INTEREST)
I. TỔNG QUAN
TỔ
• 1.1 Lợi tức
– Ở giác độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn,
lợi tức là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư
ban đầu trong một giai đoạn thời gian nhất định
– Ở giác độ người đi vay hay người sử dụng vốn,
lợi tức là số tiền mà người đi vay phải trả cho
người cho vay (là người chủ sở hữu vốn) để
được sử dụng vốn trong một thời gian nhất định
I. TỔNG QUAN
TỔ
• 1.2 Lợi tức đơn.
– Lợi tức đơn được định nghĩa là lợi tức chỉ tính
trên số vốn vay hoặc vốn gốc ban đầu trong
suốt thời gian vay (hoặc đầu tư).
– Trong khái niệm này, chỉ có vốn phát sinh lợi
tức. Nói cách khác, lợi tức được tách khỏi vốn
gốc.
1
- I. TỔNG QUAN
TỔ
• 1.3 Tỷ suất lợi tức - Lãi suất (Interest
rate)
– Là tỷ số giữa lợi tức (nhận được) phải trả so với
vốn (cho) vay trong một đơn vị thời gian.
Laõi phaûi traû (nhaän ñöôïc) trong 1 ñôn vò thôøi gian
Laõi suaát =
Voán vay (cho vay)
II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
THỨ TÍ
V0 : Vốn (cho) vay ban đầu.
i : Lãi suất (cho) vay.
n : Thời gian (cho) vay.
IĐ : Lợi tức tính theo lãi đơn
VnĐ : Vốn gốc + lợi tức theo lãi đơn.
II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
THỨ TÍ
• 2.1 Lãi đơn và giá trị đạt được theo lãi đơn
– Ở cuối năm 1:
• Vốn gốc: V0
• Lợi tức của năm đầu tiên : V0 i
• Ta có: V0+ V0 i= V0 (1+ i)
– Ở cuối năm thứ 2
• Vốn gốc: V0
• Lợi tức của năm thứ 2: V0 i
• Lợi tức của năm đầu tiên : V0 i
• Ta có : V0 + 2V0 i= V0 (1+2.i)
2
- II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
THỨ TÍ
• VnĐ= V0 (1+ ni)
• IĐ = VnĐ – V0 = V0 (1+n.i) – V0
Suy ra : IĐ = V0.n.i
II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
THỨ TÍ
• Nếu lãi suất tính theo năm còn thời hạn vay tính
theo tháng : V0 .n.i
IÑ =
12
• Nếu lãi suất tính theo tháng còn thời hạn vay tính
theo ngày: V .n.i
I = 0
Ñ
30
• Nếu lãi suất tính theo năm còn thời hạn vay tính
V .n.i
theo ngày: IÑ = 0
360
II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
THỨ TÍ
• 2.2 Lãi suất tương đương (Lãi suất ngang
giá)
i
i′ =
k
• Ví dụ:Một người gửi ngân hàng 20 triệu
đồng trong thời gian 42 tháng với lãi suất
9% năm. Ta có thể xác định giá trị đạt được
VnĐ theo 2 cách:
3
- II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
THỨ TÍ
• Cách 1:
VnĐ = 20.000.000 (1+ 42/12 x 9%)
= 26.300.000 đồng.
• Cách 2: Quy đổi lãi suất i = 9%/năm sang
lãi suất i' theo tháng = 0,75%/tháng
Ta có VnĐ = 20.000.000 (1 + 42 x 0,75%)
= 26.300.000 đồng.
II. CÔNG THỨC TÍNH LÃI ĐƠN
THỨ TÍ
• 2.3 Áp dụng công thức tính lãi đơn
III. LÃI SUẤT TRUNG BÌNH
SUẤ
• Lãi suất trung bình là lãi suất thay thế cho
các mức lãi suất khác nhau trong những giai
đoạn khác nhau sao cho giá trị đạt được
hoặc lợi tức có được không thay đổi
i=
∑n i k k
∑n k
4
- IV. LÃI SUẤT THỰC
SUẤ THỰ
• Lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà
người đi vay phải trả để sử dụng một khoản
vốn vay nào đó trong thời hạn nhất định.
IV. LÃI SUẤT THỰC
SUẤ THỰ
• it :là lãi suất thực
• f :là chi phí vay
• V0t :vốn thực tế sử dụng
=> V0t = V0 - f - I (nếu lợi tức phải trả
ngay khi nhận vốn vay)
I+ f
it =
V0 t
5
- CHƯƠNG II
LÃI KÉP (COMPOUND INTEREST)
KÉ
I. TỔNG QUAN
Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong
đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính
lãi kỳ sau.
Lãi kép phản ánh giá trị tiền tệ theo thời
gian của vốn gốc và lợi tức phát sinh.
Các thuật ngữ đồng nghĩa: lãi kép, lãi
nhập vốn, lãi gộp vốn…
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP
2.1 Công thức
0 1 2 3 n
V0
V0
V0.i
=
V1 V1
= V2 = V0 (1 + i)2
V1.i
1
- II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP
Một cách tổng quát, sau n kỳ, giá trị đạt
được từ quá trình đầu tư sẽ là:
Vn = V0 (1+ i)n
Biểu thức (1+ i)n có thể tính bằng máy tính
hoặc sử dụng bảng tài chính 1 (phần phụ
lục)
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP
2.2 Lãi suất tỷ lệ và lãi suất tương
đương (ngang giá)
Lãi suất tỷ lệ (il)
i
il =
m
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP
Lãi suất tương đương (i’)
Lãi suất tương đương được hiểu là một mức
lãi suất mà với bất kỳ kỳ ghép lãi dài hay ngắn
thì lợi tức đạt được vẫn không thay đổi.
i′ = m 1 + i − 1
2
- II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH LÃI KÉP
2.3 Ap dụng công thức tính lãi kép
III. LÃI SUẤT TRUNG BÌNH (LÃI KÉP)
Vn = V0 (1 + i) n
Vn =V 0(1 + i1 ) n1 (1 + i2 ) n2 (1 + i3 ) n3 ....(1 + ik ) nk
i = n (1 + i1 ) n1 (1 + i2 ) n2 (1 + i3 ) n3 ....(1 + ik ) nk − 1
IV. LÃI SUẤT THỰC TRONG LÃI KÉP
Ký hiệu (như chương lãi đơn)
Vn
it = n −1
V0 − f
3
- V. SO SÁNH GIỮA LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP
Xem xét 2 công thức tính giá trị đạt được
theo lãi đơn và lãi kép:
VnĐ = V0 (1+n.i)
VnK = V0 (1+i)n
V. SO SÁNH GIỮA LÃI ĐƠN VÀ LÃI KÉP
Nếu n = 1; ta có: (1+n.i) = (1+i)n
VnĐ = VnK IĐ = IK => giá trị đạt được của lãi đơn và lãi
kép sẽ bằng nhau nếu thời gian đầu tư là 1 năm.
Nếu n > 1; ta có: (1+n.i) < (1+i)n
VnĐ < VnK IĐ < IK => giá trị đạt được của lãi đơn sẽ
thấp hơn so với lãi kép nếu thời gian đầu tư là trên 1
năm.
Nếu n < 1; ta có: (1+n.i) > (1+i)n
VnĐ > VnK IĐ > IK => giá trị đạt được của lãi đơn sẽ
cao hơn so với lãi kép nếu thời gian đầu tư là dưới 1
năm
4
- CHƯƠNG V
CHUỖI TIỀN TỆ (ANNUITIES)
CHUỖ TIỀ TỆ
I.TỔNG QUAN
• Chuỗi tiền tệ là một loạt các khoản tiền phát sinh
định kỳ theo những khoảng cách thời gian bằng
nhau.
• Một chuỗi tiền tệ hình thành khi đã xác định được:
• Số kỳ phát sinh (số lượng kỳ khoản) : n
• Số tiền phát sinh mỗi kỳ (thu hoặc chi): a
• Lãi suất tính cho mỗi kỳ :i
• Độ dài của kỳ: khoảng cách thời gian cố định giữa 2 kỳ trả
(có thể là năm, quý, tháng…)
I.TỔNG QUAN
• Phân loại chuỗi tiền tệ:
• Theo số tiền phát sinh mỗi kỳ:
• Chuỗi tiền tệ cố định (constant annuities): số tiền
phát sinh trong mỗi kỳ bằng nhau.
• Chuỗi tiền tệ biến đổi (variable annuities): số tiền
phát sinh trong mỗi kỳ không bằng nhau.
1
- I.TỔNG QUAN
Năm 0 1 2 3 4 n-1 n
a1 a2 a3 a4 an-1 an
Năm 0 1 2 3 4 n-1 n
a2 an
a3
a1 a4 an-1
I.TỔNG QUAN
• Phân loại chuỗi tiền tệ:
• Theo số kỳ khoản phát sinh:
• Chuỗi tiền tệ có thời hạn: số kỳ phát sinh là hữu hạn.
• Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: số kỳ phát sinh là vô hạn.
• Theo phương thức phát sinh:
• Chuỗi phát sinh đầu kỳ: số tiền phát sinh ở đầu mỗi kỳ.
• Chuỗi phát sinh cuối kỳ: số tiền phát sinh ở cuối mỗi
kỳ.
I.TỔNG QUAN
• Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ
Năm 0 1 2 3 4 n-1 n
a2 an
a3
a1 an-1
a4
2
- I.TỔNG QUAN
• Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ
Năm 0 1 2 3 4 n-1 n
a3
a1
a2 a4 an
a5
II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
• Giá trị tương lai (definitive value): là tổng
giá trị tương lai của các kỳ khoản được xác
định vào thời điểm cuối cùng của chuỗi tiền
tệ (cuối kỳ thứ n).
• Hiện giá (giá trị hiện tại – present value): là
tổng hiện giá của các kỳ khoản được xác
định ở thời điểm gốc (thời điểm 0)
II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
• 2.1 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ phát
sinh cuối kỳ.
Năm 0 1 2 3 n-1 n
a2 a3
a1 an-1
an
an-1 (1 + i)
…
a2 (1 + i)n-2
a1 (1 + i)n-1
3
- II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
• Vậy giá trị tương lai (giá trị cuối) của chuỗi tiền
tệ được biểu diễn như sau:
Vn = a1 (1+i)n-1 + a2 (1+i)n-2 + a3 (1+i)n-3 +…+ an
• Nếu ta gọi:
• ak : giá trị của kỳ khoản thứ k
• i : lãi suất.
• n : số kỳ phát sinh.
n
Vn = ∑ a k (1 + i ) n − k
k =1
II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
• 2.1 Hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối
kỳ. Năm 0 1 2 n-1 n
a2
a1 an-1
an
a1 (1 + i)-1
a2 (1 + i)-2
…
an-1(1 + i)-(n-1)
an (1 + i)-n
II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
V0= a1(1+i)-1 + a2(1+i)-2 + a3(1+i)-3 +…+ an(1+i)-n
n
V0 = ∑ a k (1 + i ) − k
k =1
4
- II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
2.2 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ phát sinh
đầu kỳ (Vn’)
Năm 0 1 2 n-1
n
an
a1 a2 an (1 + i)
…
a2 (1 + i)n-1
a1 (1 + i)n
II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
Vn’ = a1(1+i)n + a2(1+i)n-1 +…+ an(1+i)
n
Vn′ = ∑ a k (1 + i ) n − k +1 = Vn (1 + i)
k =1
II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
• Hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu
kỳ (V0’)
Năm 0 1 2 3 n-1 n
a3
a2 an
a1
a2 (1 + i)-1
a3 (1 + i)-2
…
an (1 + i)-(n-1)
5
- II. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ
V0’ = a1 + a2(1+i)-1 + a3(1+i)-2 +…+ an(1+i)-(n-1)
n
V0′ = ∑ a k (1 + i ) − k +1 = V0 (1 + i )
k =1
III. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA
MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
3.1 Giá trị tương lai và hiện giá của một
chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ
3.2 Giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi
tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ
III. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
• Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đều
phát sinh cuối kỳ
Chuỗi tiền tệ đều, giá trị của tất cả các kỳ
khoản đều bằng nhau:
a1 = a2 = ……= an-1 = an
6
- III. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
Vn = a (1 + i ) n −1 + a (1 + i ) n − 2 + ... + a (1 + i ) + a
⇒ Vn =a
(1 + i )n − 1
i
III. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
• Hiện giá của 1 chuỗi tiền tệ đều phát sinh
cuối kỳ
V0 = a (1 + i ) − n + a (1 + i ) − (n −1) + ... + a (1 + i ) −2 + a (1 + i ) −1
1 − (1 + i ) − n
Vo = a
i
III. GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ
CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU
• Hiện giá của một chuỗi tiền tệ cố định phát
sinh vĩnh viễn (n →∞)
a
Vo =
n → +∞ i
7
- Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền
tệ đều
• Tính kỳ khoản a
Vn i
⇒a=
(1 + i ) n − 1
• Tính lãi suất i (tra bảng tài chính 3 hay áp
dụng công thức nội suy)
(1 + i ) n − 1 Vn
=
i a
Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền
tệ đều
• Tính số lượng kỳ khoản n
Vn i
log( + 1)
n= a
log(1 + i )
Trong trường hợp n không phải là số nguyên
ta phải biện luận thêm
Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền
tệ đều
Gọi
• n1 là số nguyên nhỏ hơn gần nhất với n
• n2 là số nguyên lớn hơn gần nhất với n
8
- Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền
tệ đều
• CÁCH 1: chọn n = n1 nghĩa là quy tròn n
sang số nguyên nhỏ hơn gần nhất. Lúc đó
Vn1Vn.
Để đạt được giá trị Vn sau n2 kỳ khoản, chúng
ta phải giảm bớt ở kỳ khoản cuối cùng số còn
thừa (Vn2-Vn) nên
an2 = a - (Vn2 -Vn)
Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền
tệ đều
• CÁCH 3: chọn n = n1 và thay vì tăng thêm 1
khoản ở kỳ khoản cuối cùng, ta có thể để Vn1
trên tài khoản thêm một thời gian x để Vn1
tiếp tục phát sinh lợi tức (kép) cho đến khi đạt
được giá trị Vn
9
- Hệ quả từ công thức tính V0 của chuỗi tiền
tệ đều
• Tính giá trị kỳ khoản a
i
a = V0
1 − (1 + i ) − n
• Tính giá trị của lãi suất i
1 − (1 + i ) − n V0
=
i a
Hệ quả từ công thức tính V0 của chuỗi tiền
tệ đều
⎡ ⎤
• Tính số kỳ khoản n ⎢ 1 ⎥
log ⎢ ⎥
⎢1 − V0 i ⎥
⎢
⎣ a ⎥ ⎦
⇒n=
log(1 + i )
• Trường hợp n không phải là số nguyên, ta đặt
• n1: là số nguyên nhỏ hơn gần nhất với n
• n2: là số nguyên lớn hơn gần nhất với n
• Có 2 cách để quy tròn số n
Hệ quả từ công thức tính V0 của chuỗi tiền
tệ đều
• CÁCH 1: chọn n = n1, nghĩa là quy tròn n
sang số nguyên nhỏ hơn gần nhất. Lúc đó
V01< V0 Để đạt được hiện giá V0, phải tăng
thêm vào kỳ khoản cuối cùng n1 một khoản x.
Vì V0 = V01 + x(1+i)-n1
⇒ x = (Vo − Vo1 )(1 + i ) n1
10
- Hệ quả từ công thức tính V0 của chuỗi tiền
tệ đều
• CÁCH 2: chọn n = n2, nghĩa là quy tròn n
sang số nguyên lớn hơn gần nhất, lúc đó V02
>V0. Để đạt được hiện giá V0, phải giảm bớt ở
kỳ khoản cuối cùng n2 một khoản x
Vì V0 = V01 - x(1+i)-n2
⇒ x = (Vo1 − Vo )(1 + i ) n 2
3.2 Giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ
cố định phát sinh đầu kỳ:
• Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ cố định
phát sinh đầu kỳ (Vn’)
Từ công thức Vn’ = Vn (1+i)
(1 + i ) n − 1
⇒V = a n
'
(1 + i )
i
3.2 Giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ
cố định phát sinh đầu kỳ:
• Hiện giá của chuỗi tiền tệ cố định phát sinh
đầu kỳ (Vo’)
Từ công thức V0’ = V0 (1+i)
1 − (1 + i ) − n
⇒V = a 0
'
(1 + i )
i
11
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
