Bài giảng Trị riêng - Véctơ riêng - TS. Lê Xuân Đại

Chia sẻ: May Trời Gio Bien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

94
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Trị riêng - Véctơ riêng" cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán thực tế; trị riêng, véctơ riêng của ma trận; chéo hóa ma trận; trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Trị riêng - Véctơ riêng - TS. Lê Xuân Đại

TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 1 / 75
Bài toán thực tế Lĩnh vực đồ họa hoạt hình trên máy tính 4PQR → 4P 0Q 0R 0 bằng cách lấy đối xứng qua trục Ox. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 2 / 75
Bài toán thực tế 1 0 A= là ma trận của phép biến đổi. 0 −1 Như vậy, với một điểm bất kỳ trong mặt phẳng có tọa độ (x1, x2) qua phép biến đổi này ta sẽ thu được một điểm mới có tọa độ (y1, y2) y1 1 0 x1 x1 = . = y2 0 −1 x2 −x2 Câu hỏi: Nếu thực hiện phép biến đổi này liên x1 tiếp đối với điểm (x1, x2) có nghĩa là Ak . x2 thì tọa độ của điểm mới được tính như thế nào? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 3 / 75
Bài toán thực tế Nội dung 1 Trị riêng, véc-tơ riêng của ma trận 2 Chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực 3 Trị riêng, véc-tơ riêng của ánh xạ tuyến tính 4 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 4 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận 1 0 −1 0 A= ,u= ,v= . 0 −1 −1 1 −1 −1 Ta thấy A = và −1 1 0 0 0 A = = −1. 1 −1 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 5 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa Cho ma trận vuông A ∈ Mn×n (K ). Nếu tồn tại X ∈ K n , X 6= 0 sao cho AX = λ.X , λ ∈ K thì λ được gọi là trị riêng của ma trận A và X được gọi là véctơ riêng của ma trận A ứng với trị riêng λ. Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận 1 4 A= 2 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 6 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận AX = Biểu thức λXcó dạng 1 4 x1 λx1 = ⇔ 2 3 x2 λx2 1−λ 4 x1 0 = . Hệ phương 2 3−λ x2 0 trình thuần nhất này phải có nghiệm X 6= 0 nên
1−λ 4
= 0 ⇔ λ2 − 4λ − 5 = 0
2 3−λ
⇔ λ1 = −1, λ2 = 5. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 7 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ứng với λ1 = −1. Ta có 2x1 + 4x2 = 0 ⇔ x1 = −2α, x2 = α. 2x1 + 4x2 = 0 Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α 6= 0. Ứng với λ2 = 5. Ta có −4x1 + 4x2 = 0 ⇔ x1 = β, x2 = β. 2x1 − 2x2 = 0 Vậy véctơ riêng có dạng β(1, 1), β 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 8 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận 1 2 A= −2 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP. HCM — 2013. 9 / 75
Trị riêng, véctơ riêng của ma trận Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận Biểu thứcAX = λX có dạng 1 2 x1 λx1 = ⇔ −2 1 x2 λx2 1−λ 2 x1 0 = . Hệ phương −2 1 − λ x2 0 trình thuần nhất này phải có nghiệm X 6= 0 nên