Bài giảng Vật lý 2: Chương 4

Nội dung

4. Các hệ quả khác

a. Quan hệ nhân quả b. Sự bất biến của

a. Thời gian dãn ra b. Chiều dài co ngắn

Thuyết tương đối

khoảng không-thời gian

lại

c. Phép cộng vận tốc

c. Tính tương đối

mới

của sự đồng thời

1. Hai tiên đề 2. Các hệ quả

1. Hai tiên đề – 2

1. Hai tiên đề – 1

5. Động lượng và năng 3. Phép biến đổi lượng Lorentz Biên soạn: Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com

• Nguyên lý tương đối Galilei: các hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính.

• Tiên đề 1 mở rộng nguyên lý tương đối cho

mọi hiện tượng vật lý.

A. Einstein (1905)

• Các hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong • Thí nghiệm Michelson-Morley (1887): đo sự phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào trạng thái chuyển động của nguồn nhưng thất bại. mọi hệ quy chiếu quán tính.

• Do đó đã xác nhận tiên đề 2.

• Vận tốc của ánh sáng trong chân không là một hằng số (c = 3.108 m/s), không phụ thuộc vào hệ quy chiếu và phương truyền.

2a. Thời gian dãn ra – 1

2a. Thời gian dãn ra – 2 • Trong hqc nhìn thấy đồng hồ chuyển động với

(

) 2 =

(

) 2 + D

(

)

c t

V t

c t

vận tốc V : D D

• Xét một đồng hồ ánh sáng, • Một “tích tắc” là một lần ánh sáng đi từ dưới lên trên và phản xạ trở về.

• Trong hệ quy chiếu gắn liền với

cΔt/2

đồng hồ,

cΔt0/2

D = t 0

2L c

VΔt/2

2a. Thời gian dãn ra – 3

2a. Thời gian dãn ra – 4

• thời gian của một “tích tắc” là:

• Vậy đối với quan sát viên nhìn thấy đồng hồ • Khi hai biến cố xảy ra tại cùng một nơi trong

một hệ quy chiếu quán tính,

g ”

> 2

D • khoảng thời gian giữa chúng, đo trong hqc ấy,

1 V c

0 2 V c

được gọi là thời gian riêng (Δt0). - -

chuyển động, một tích tắc của đồng hồ là: D = t D > D t

D = t

0 2 v c

• Theo quan sát viên nhìn thấy đồng hồ chuyển D động, đồng hồ có nhịp điệu dãn ra. ” D Minh họa. (Theo tiên đề 1) • Mọi đồng hồ khác cũng vậy. - • Khoảng thời gian giữa hai biến cố đó, đo trong mọi hệ quy chiếu khác, đều lớn hơn thời gian riêng:

• v là vận tốc giữa hai hệ quy chiếu.

2a. Thời gian dãn ra – 5

2a. Thời gian dãn ra – 6

• Hạt muon đứng yên có thời gian sống là Δt0 = 2,200 μs. • Chuyện Từ Thức thời hiện đại. • Từ Thức du hành đến một ngôi sao xa với vận

tốc V = 0,9996c. Sau 3 năm thì trở về. • Khi chuyển động với vận tốc V = 0,9994c, thời

= 2

V c

28,87

• Theo người trên Trái Đất thì thời gian của D = D t -

)2 =

35,36

0,9994 (

1 1 )

= s

)( m 28,87 2,200

m 63,51

1 (

( 0,9996 )( ) = 35,36 3n

106,1n

- gian sống của muon sẽ dài ra. b = D = D = g t

chuyến du hành là: g = tD = • Điều này đã được thực nghiệm kiểm chứng.

2b. Chiều dài co ngắn lại – 1

2b. Chiều dài co ngắn lại – 2

• Đã hơn 100 năm trôi qua trên Trái Đất!

= L L

0 1

VΔt0

• Chó Milou đang chạy chơi với vận tốc V thì thấy • Tuy nhiên, theo Tintin thì thời gian giữa hai một khúc xương, biến cố là: Δt = γΔt0 > Δt0 và muốn đo chiều dài của nó. • Milou đo thời gian Δt0 giữa hai lần đi qua hai đầu khúc xương. - • Và suy ra chiều dài khúc xương là: L = VΔt0 • Do đó chiều dài khúc xương là: L0 = VΔt > L 2 V c • Suy ra: • Chiều dài vật chuyển động co ngắn lại.

2b. Chiều dài co ngắn lại – 3

2c. Tính tương đối của sự đồng thời – 1

• Chiều dài của một vật đo trong hqc quán tính gắn liền với vật được gọi là chiều dài riêng (L0). • Chiều dài của cùng vật đó, đo trong mọi hệ quy • Một xung sáng được phát ra từ giữa một toa tàu đang đi vào ga, và truyền về hai đầu toa. • Theo hành khách trên toa, hai tia sáng đạt tới

hai đầu toa cùng một lúc.

= L L

2 v c

0 1

L 0 g

- ”

chiếu khác, đều nhỏ hơn chiều dài riêng:

2c. Tính tương đối của sự đồng thời – 2

Bài tập áp dụng 1

• v là vận tốc giữa hai hệ quy chiếu.

• Theo người đứng dưới sân ga, tia sáng đi ngược chiều chuyển động của tàu đạt tới vách trước.

• Vì vận tốc ánh sáng là không đổi về cả hai phía, Một hạt không bền đi vào một máy dò và để lại một vệt dài 1,05 mm trước khi phân rã. Vận tốc hạt đối với máy dò là 0,992c. Thời gian sống riêng của hạt là bao nhiêu? và vì vách này tiến lại gặp tia sáng.

• Hai biến cố xảy ra đồng thời trong một hqc, lại

không đồng thời trong một hqc khác.

Trả lời BT 1

Bài tập áp dụng 2

t d V

3,53

- · Trong một đời người, liệu có thể du hành đến một thiên hà ở cách xa Trái Đất 23.000 năm ánh sáng hay không?

D = D = t

· ·

• Thời gian sống của hạt đối với máy dò là: d là chiều dài của vệt 1,05 10 m = 8 m s 0,992 3 10 • Thời gian sống riêng luôn luôn ngắn hơn và xác

định từ:

g =

7,92

D = t 0

2 1 0,992

0,45

D = t 0

ps 3,53 = 7,92

Trả lời BT 2 – 1

Trả lời BT 2 – 2 = 2

287,5

• Gọi V = βc là vận tốc phi hành gia. • Ánh sáng mất 23.000 năm để bay đến thiên hà thì phi hành gia phải mất 23.000/β năm, theo thời gian trên Trái Đất.

• Giả sử tuổi thọ trung bình của con người là 80

năm.

• Phi hành gia muốn thực hiện chuyến bay trong

23.000

nas

= D

(

)

nas =

L L 0 gb⇒ =

23.000 80 287,5

23.000 =

D = t t gb⇒ =

23.000 80 287,5

• Hay: • Giải phương trình trên ta được: • β = 0,998265393 • Cũng có thể lập luận như sau. • Phi hành gia phải chuyển động sao cho đối với ông ta khoảng cách 23.000 nas (chiều dài riêng) co lại còn 80β nas: b g 80 80 năm (thời gian riêng). Do đó: g

3a. Phép biến đổi Galilei

3b. Phép biến đổi Lorentz

• Hqc K’ chuyển động theo trục x của hqc K với vận tốc V.

• Để phù hợp với các hiệu ứng tương đối, Lorentz đưa ra các phép biến đổi mới:

)

+ x Vt

x’

¢ ¢

y z

x Vt

• Lúc K ≡ K’ thì t = t’ = 0. • Một biến cố xảy ra trong K’ có tọa độ (x’, y’, z’, t’) • đối với K sẽ có tọa độ:

( = g y¢= z¢= g  + t 

  

V 2 c

¢ ¢

¢= + y¢= z¢= t¢=

x y z t

4a. Quan hệ nhân quả – 2

4a. Quan hệ nhân quả – 1 • Xét hai biến cố xảy ra trong hqc K’, ở cách nhau một khoảng Δx’, lệch nhau một khoảng thời gian Δt’.

Khi V << c, γ → 1, V/c2 → 0 Lorentz → Galilei.

• Phải chăng trong một hqc chuyển động đối với Trái Đất người ta có thể thấy • Từ phép biến đổi Lorentz ta có độ lệch thời

g  D + t  

  

V 2 c

¢ ¢ D • chú vịt cồ trẻ dần thành vịt con, rồi chui lại vào vỏ trứng !? gian giữa hai biến cố trong hqc K: D = t

D > D x

V 2 c

¢ ¢ • Nếu Δt’ > 0 và Δx’ < 0, và

g   

  

V 2 c

• Thật ra, không thể đảo ngược thứ tự của các biến cố trên đây, ¢ ¢ D - D D = t • vì chúng có quan hệ nhân

quả với nhau. • Thứ tự của hai biến cố đã bị đảo ngược!

4a. Quan hệ nhân quả – 3

4b. Sự bất biến của khoảng không-thời gian

• Phải có thông tin được truyền đi từ nguyên • Khoảng cách không-thời gian Δs giữa hai biến

v t

¢ ¢ v: tốc độ truyền thông tin • Do đó: nhân đến kết quả, D = D x -

)

( D + D + D 2 2 t

D = D 2 s c

= D g

V 2 c

 - 1 

  

Vv 2 c

 - 

 ¢ 

0t⇒ D >

cố được định nghĩa bởi: ¢ D ¢ ¢ D

s¢

• Từ phép biến đổi Lorentz, ta có thể chứng minh là khoảng Δs không thay đổi khi chuyển hệ quy chiếu: D = D 2 s D = D t Vv < 2 1 c

• Không thể đảo ngược thứ tự của hai biến cố có

4c. Công thức cộng vận tốc mới

Bài tập áp dụng 3

quan hệ nhân quả.

• Xét một chất điểm chuyển động trong hqc K’

dy dt

dz dt

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ với vận tốc: dx v dt

• Từ phép biến đổi Lorentz, ta tìm được vận tốc

dx dt

của chất điểm đối với hqc K:

¢ + v V x ¢+ v V c x g ¢ v

Một nhà thực nghiệm thực hiện một mạch điện giúp ông ta bật cùng một lúc hai bóng đèn, bóng màu đỏ ở gốc hệ quy chiếu và bóng màu vàng ở khoảng cách x = 30 km. Đối với quan sát viên chuyển động theo trục x dương với vận tốc 0,250c: a) Khoảng thời gian giữa hai biến cố là bao nhiêu? b) Bóng nào được bật sáng trước?

¢+

dy dt

y v V c x

tương tự cho vz

Trả lời BT 3 – 1

Trả lời BT 3 – 2

• Theo qsv K’ • Hay:

b =

0,250

K’

¢ D - D = - t

D = x

vang

= x do

Δx

g  =  

  

D = t

2,58 10

vang

= - t do

- • Ta có: ¢ - t ¢ ¢ ¢ - · • Do đó: thì K chuyển động với vận tốc V = 0,250c theo chiều âm của trục x, • Biến đổi Lorentz cho ta: V 2 c • Thời gian giữa hai biến

D = - t

D = t

V 2 c

g   

  

V 2 c

Bài tập áp dụng 4

Trả lời BT 4 – 1 • Đối với thiên hà A chúng ta có vận tốc –V, do đó

cố là: • Theo K’ thì đèn vàng bật sáng trước một ¢ ¢ D D - D khoảng thời gian là 25,8 μs.

¢ = x

V v x v V c x

- Hai thiên hà A và B đang đi ra xa khỏi chúng ta ở hai phía đối diện với cùng vận tốc 0,55c. Tìm vận tốc của thiên hà B đối với thiên hà A. - thiên hà B có vận tốc cho bởi: v

v’

K’

• Vận tốc của thiên hà B đối với chúng ta: vx = –V

Trả lời BT 4 – 2

5a. Khối lượng tương đối tính

• Suy ra:

= -

c 0,84

¢ = x

V V + 2 V c

c 2 0,55 = - 2 1 0,55

• Khối lượng của một chất điểm: • đo trong hệ quy chiếu gắn liền với chất điểm - - · đó, là khối lượng nghỉ m0 của nó.

• đo trong một hệ quy chiếu khác, trong đó chất điểm chuyển động với vận tốc v, thì lớn hơn khối lượng nghỉ:

m 0

m 0 2 v c

5b. Động lượng tương đối tính

5c. Năng lượng tương đối tính

• Khác với kết quả theo cơ học cổ điển (1,10c). • Công thức cộng vận tốc của thuyết tương đối đảm bảo rằng vận tốc tổng hợp luôn nhỏ hơn c. ” -

E mc=

• Động lượng của một chất điểm trong thuyết • Năng

lượng của một chất điểm chuyển động:

= E m c 0

• Năng lượng nghỉ:

tương đối là: (cid:1) (cid:1) (cid:1) = p mv m v 0

(

) 2 K m m c

)

- • Động năng:

(cid:1) F

(

)

• Phương trình động lực học: (cid:1) ( g d m v 0 • Hệ thức giữa động

(

)2

m c 0

(cid:1) dp dt

(

Km c 0

lượng và năng lượng:

Bài tập 5.1

Trả lời BT 5.1 – 1

+ u

+ mK u

≈ 0

• Năng lượng được bảo toàn trong phản ứng:

+ K m c m m ) 2c

m= K

m m m

u +

Độ hụt khối Δm của phản ứng

= D

( ) 1

u+ K

- - - ﬁ

(

)

⇒

(

)

p c u

p c m

(cid:1) = 0 p m

(cid:1) p u

Trả lời BT 5.1 – 2

m c p ( K Một hạt pion (mπ = 273me) đang đứng yên phân rã thành một muon (mμ = 207me) và một phản neutrino (mῡ ≈ 0) theo phản ứng: p Tìm (bằng eV): (a)Động năng của muon. (b) Động năng của phản neutrino. • Động lượng được bảo toàn:

( ) 2

2 m

K m c m m

= u

• Biểu diễn qua động năng: • Δm = (273−207)me = 66me

m =

m c e

2 66 273

4356 273

2 2 m c e m e

• Thay Kῡ từ (1): K