Bài giảng Xác suất và thống kê - ThS. Đoàn Vương Nguyên









XÁC SUT VÀ THNG KÊ

(ði hc và Cao ñng)

Tài liu tham kho:

1. Giáo trình Xác sut – Thng kê và ng dng – Nguyn Phú Vinh – NXB Thng kê.

2. Ngân hàng câu hi Xác sut – Thng kê và ng dng – ðHCN TP.HCM.

3. Lý thuyt Xác sut và Thng kê – ðinh Văn Gng – NXB Giáo dc.

4. Lý thuyt Xác sut và Thng kê toán – Nguyn Thanh Sơn, Lê Khánh Lun – NXBTKê.

5. Xác sut – Thng kê – Lý thuyt và các bài tp – ðu Th Cp – NXB Giáo dc.

6. Lý thuyt Xác sut và Thng kê – ðinh Văn Gng – NXB Giáo dc.

7. Xác sut – Thng kê và ng dng – Lê Sĩ ðng – NXB Giáo dc.

8. Xác sut và Thng kê – ðng Hn – NXB Giáo dc.

9. Giáo trình Xác sut và Thng kê – Phm Xuân Kiu – NXB Giáo dc.

10. Giáo trình Lý thuyt Xác sut & Thng kê Toán–Nguyn Cao Văn–NXB Kt Quc dân.

PHN I. LÝ THUYT XÁC SUT

B TÚC ðI S T HP

1. Tính cht các phép toán

∩

∪

a) Tính giao hoán:

   

∩ ∩

   

∪ ∪

b) Tính kt hp:

     

∩ ∩ ∩ ∩

     

∪ ∪ ∪ ∪

c) Tính phân phi:

      

∩ ∪ ∩ ∪ ∩

      

∪ ∩ ∪ ∩ ∪

d) Tính ñi ngu (De–Morgan):

   

∩ ∪



   

∪ ∩



2. Quy tc nhân

Gi s mt công vic nào ñó ñưc chia thành k giai

ñon. Có n

cách thc hin giai ñon th 1, có n

cách

thc hin giai ñon th 2,..., có n

cách thc hin giai

ñon th k. Khi ñó ta có n = n

…n

cách thc hin

toàn b công vic.

3. Quy tc cng

Gi s mt công vic có th thc hin ñưc k cách

(trưng hp) loi tr ln nhau: cách th nht cho m

kt

qu, cách th hai cho m

kt qu, …, cách th k cho m

kt qu. Khi ñó vic thc hin công vic trên cho

m = m

+ m

+ … + m

kt qu.

4. Mu lp, mu không lp



− Mu không lp: các phn t ca mu ch có mt mt

ln (các phn t khác nhau tng ñôi mt).

− Mu có lp: các phn t ca mu có th lp li nhiu

ln trong mu.

− Mu không th t: khi thay ñi v trí các phn t khác

nhau ca mu ta không nhn ñưc mu mi.

− Mu có th t: khi thay ñi v trí các phn t khác

nhau ca mu ta nhn ñưc mu mi.

5. Các công thc thưng dùng

5.1. Hoán v

ðnh nghĩa: Hoán v ca n phn t là mt nhóm có th

t gm ñ mt n phn t ñã cho. S hoán v ca n phn

t ñưc ký hiu là







 

5.2. Chnh hp lp (có th t)

ðnh nghĩa: Chnh hp lp k ca n phn t

 

≤

là

mt nhóm (b) có th t gm phn k t không nht thit

khác nhau chn t n phn t ñã cho. S các chnh hp

lp k ca n phn t là n

5.3. Chnh hp (mu không lp, có th t)

ðnh nghĩa: Chnh hp chp k ca n phn t

 

≤

là

mt nhóm (b) có th t gm phn k t khác nhau chn

t n phn t ñã cho. S chnh hp chp k ca n phn t

ký hiu là













    

 

= − − + = −



 hp (mu không lp, không có th t)

ðnh nghĩa: T hp chp k ca n phn t

 

≤

là

mt nhóm (b) không phân bit th t gm k phn t

khác nhau chn t n phn t ñã cho.

S t hp chp k ca n phn t ký hiu là







và

(

)









   

=−

. Quy ưc: 0! = 1.

Tính cht:

  

 

 

−

 

   

    

  

−

− −

= +



----------------------------------------------







Chương 1. CÁC KHÁI NIM CƠ B N C!A XÁC SUT

§1. BIN C NG"U NHIÊN

1.1. Phép th# và bi$n c%

• Phép th là vic thc hin 1 thí nghim hay quan sát

mt hin tưng nào ñó ñ xem có xy ra hay không.

Hin tưng có xy ra hay không trong phép th ñưc gi

là bin c ngu nhiên.

Bin c ngu nhiên thưng ñưc ký hiu A, B, C…

VD 1. + Tung ñng tin lên là mt phép th, bin c là

“mt sp xut hin” hay “mt nga xut hin”.

+ Chn ngu nhiên mt s sn ph m t mt lô hàng ñ

kim tra là phép th, bin c là “chn ñưc sn ph m

tt” hay “chn ñưc ph ph m”.

+ Gieo mt s ht lúa là phép th, bin c là “ht lúa ny

mm” hay “ht lúa không ny mm”.

1.2. Các loi bi$n c%

a) Không gian mu và bi$n c% sơ cp

• Trong mt phép th, tp hp tt c các kt qu có th

xy ra ñưc gi là không gian mu ký hiu là



• M!i phn t

ω ∈ 

không th phân nh thành hai bin

c ñưc gi là bin c sơ cp.

VD 2. Xét phép th gieo 3 ht lúa.

Gi A

là bin c “có i ht ny mm” (i = 0, 1, 2, 3).

Khi ñó các A

là các bin c sơ cp và



= {A

, A

Gi B là “có ít nht 1 ht ny mm” thì B không là

bin c sơ cp.

b) Bi$n c% chc chn và bi$n c% không th&

• Trong mt phép th, bin c nht ñnh xy ra là ch#c

ch#n, ký hiu là



• Bin c không th là bin c không th xy ra khi thc

hin phép th, ký hiu

∅

VD 3.

T mt nhóm có 6 nam và 4 n$ chn ra 5 ngưi.

Khi ñó, bin c “chn ñưc 5 ngưi n$” là không th,

bin c “chn ñưc ít nht 1 nam” là ch#c ch#n.

c) S% trưng hp ñ'ng kh năng

• Hai hay nhiu bin c trong mt phép th có kh năng

xy ra như nhau ñưc gi là ñng kh năng.

• Trong mt phép th mà mi bin c sơ cp ñu ñng

kh năng thì s phn t ca không gian mu ñưc gi

là s trưng hp ñng kh năng ca phép th.

VD 4.

Gi ngu nhiên mt hc sinh trong lp ñ kim tra thì

m!i hc sinh trong lp ñu có kh năng b gi như nhau.

d) Các phép toán

• Tng ca A và B là C, ký hiu

  

∪

hay

C = A + B, xy ra khi ít nht 1 trong hai bin c A, B

xy ra.

VD 5. B#n hai viên ñn vào 1 tm bia. Gi A

: “viên th

nht trúng bia”, A

: “viên th hai trúng bia” và

C: “bia b trúng ñn” thì

 

  

=∪

• Tích ca A và B là C, ký hiu

   

= =

∩

, xy

ra khi và ch khi c A và B cùng xy ra.

VD 6.

Mt ngưi chn mua áo. Gi A: “chn ñưc áo màu

xanh”, B: “chn ñưc áo sơ–mi” và

C: “chn ñưc áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB.

VD 7.

Chn ngu nhiên 10 linh kin trong 1 lô ra kim tra. Gi

: “chn ñưc linh kin th



tt” và

C: “chn ñưc 10 linh kin tt” thì



   

 

     

= =∩ ∩ ∩

∩

• Phn bù ca A, ký hiu:

{

}

   

=  = ω ∈  ω ∉

VD 8.

B#n ln lưt 2 viên ñn vào 1 tm bia.

Gi A

: “có i viên ñn trúng bia” (i = 0, 1, 2),

B: “có không quá 1 viên ñn trúng bia”.

Khi ñó



 

 

 

≠

và

 

 

≠

1.3. Quan h gi)a các bi$n c%

a) Bi$n c% xung khc

• Hai bin c và B ñưc gi là xung kh#c nu chúng

không ñng thi xy ra trong mt phép th.

• H các bin c A

, A

,…, A

ñưc gi là xung kh#c

(hay ñôi mt xung kh#c) khi mt bin c bt kỳ trong h

xy ra thì các bin c còn li không xy ra.

Nghĩa là

 

    

= ∅ ∀ ≠

∩

VD 9. Mt hp có 3 viên phn màu ñ, xanh và tr#ng.

Chn ngu nhiên 1 viên. Gi A: “chn ñưc viên màu

ñ”, B: “chn ñưc viên màu tr#ng” và C: “chn ñưc

viên màu xanh” thì A, B, C là xung kh#c.

b) Bi$n c% ñ%i l*p

• Hai bin c A và B ñưc gi là ñi lp nhau nu chúng

tha mãn 2 ñiu sau:

1) A và B xung kh#c vi nhau.

2) Phi có ít nht mt trong 2 bin c xy ra.

VD 10. Trng 1 cây bch ñàn. Gi A: “cây bch ñàn

sng”, B: “cây bch ñàn cht” thì A và B là ñi lp.

• H các bin c {A

} (i = 1,…, n) ñưc gi là h ñy ñ

các bin c nu tha mãn 2 ñiu sau:

1) H xung kh#c, nghĩa là

 

    

= ∅ ∀ ≠

∩

2) Phi có ít nht 1 bin c trong h xy ra,

nghĩa là

  

   

= 

∪ ∪ ∪

VD 11. H {A, B, C} trong VD 9 là ñy ñ.

Chú ý. H

{

}

 

là ñy ñ vi bin c A tùy ý.







§2. XÁC SUT C!A BIN C

2.1. ðnh nghĩa xác sut dng c ñi&n

• Trong mt phép th có tt c n bin c sơ cp ñng kh

năng, trong ñó có m kh năng thun li cho bin c A

xut hin thì xác sut ca A là:







= =





VD 1. Mt hp cha 10 sn ph m trong ñó có 3 ph

ph m. Tính xác sut:

a) Chn ngu nhiên 1 sn ph m t hp ñưc ph ph m.

b) Chn ngu nhiên 1 ln t hp ra 2 sn ph m ñưc 2

ph ph m.

VD 2. Mt hp có 10 sn ph m trong ñó có 4 ph ph m.

Ly ngu nhiên t hp ñó ra 3 sn ph m (ly 1 ln), tính

xác sut ñ:

a) C 3 sn ph m ñu tt; b) Có ñúng 2 ph ph m.

VD 3. Mt lp có 60 hc sinh trong ñó có 28 em gii

toán, 30 em gii lý, 32 em gii ngoi ng$, 15 em va

gii toán va gii lý, 10 em va gii lý va gii ngoi

ng$, 12 em va gii toán va gii ngoi ng$, 2 em gii

c 3 môn. Chn ngu nhiên mt hc sinh ca lp. Tính

xác sut:

a) Chn ñưc em gii ít nht 1 môn.

b) Chn ñưc em ch gii toán.

c) Chn ñưc em gii ñúng 2 môn.

Ưu ñim và hn ch ca ñnh nghĩa dng c ñin

• Ưu ñim: Tính ñưc chính xác giá tr ca xác sut mà

không cn thc hin phép th.

• Hn ch: Trong thc t có nhiu phép th vô hn các

bin c và bin c không ñng kh năng.

2.3. ðnh nghĩa theo hình hc

Cho min



. Gi ñ ño ca



là ñ dài, din tích, th

tích (ng vi



là ñưng cong, min ph)ng, khi).

Gi A là bin c ñim

 

∈ ⊂ 

Ta có

 =







VD 6. Tìm xác sut ca ñim M rơi vào hình tròn ni

tip tam giác ñu cnh 2 cm.

VD 7. Hai ngưi bn h*n gp nhau ti 1 ña ñim theo

quy ưc như sau:

– M!i ngưi ñc lp ñi ñn ñim h*n trong khong t 7

ñn 8 gi.

– M!i ngưi ñn ñim h*n nu không gp ngưi kia thì

ñi 30 phút hoc ñn 8 gi thì không ñi n$a.

Tìm xác sut ñ hai ngưi gp nhau.

2.4. Tính cht c+a xác sut

  

≤ ≤

, vi mi bin c A;

  

∅ =

; 3)

  

 =

2.5. Ý nghĩa c+a xác sut

• Xác sut là s ño mc ñ tin ch#c, thưng xuyên xy ra

ca 1 bin c trong phép th.

Chú ý. Xác sut ph thuc vào ñiu kin ca phép th.

§3. CÔNG TH,C TÍNH XÁC SUT

3.1. Công thc cng xác sut

a) Bi$n c% xung khc

• A và B xung kh#c thì:

   

= +

∪

• H {A

} (i = 1, 2,…, n) thì:

(

)

     

        

∪ ∪ ∪

b) Bi$n c% tùy ý

• A và B là hai bin c tùy ý thì:

    

= + −

∪

• H {A

} (i = 1, 2,…, n) các bin c tùy ý thì:



   

     

 

     

  

      

        

= = <

−

< <

 





= −







 

+ −

∑ ∑

∑

∪

c) Bi$n c% ñ%i l*p

(

)

   

= −

VD 1. Mt hp phn có 10 viên trong ñó có 3 viên màu

ñ. Ly ngu nhiên t hp ra 3 viên phn. Tính xác sut

ñ ly ñưc ít nht 1 viên phn màu ñ.

VD 2. Có 33 hc sinh tham d kỳ thi chn hc sinh gii

gm 2 vòng thi. Bit r+ng có 17 hc sinh thi ñ! vòng 1;

14 hc sinh thi ñ! vòng 2 và 11 hc sinh trưt c hai

vòng thi. Chn ngu nhiên mt hc sinh trong danh sách

d thi. Tìm xác sut ñ hc sinh ñó ch thi ñ! duy nht 1

trong 2 vòng thi.

3.2. Công thc nhân xác sut

a) Xác sut có ñi-u kin

• Trong mt phép th, xét 2 bin c bt kỳ A, B vi

 

. Xác sut có ñiu kin ca A vi ñiu kin B

ñã xy ra ñưc ký hiu và ñnh nghĩa:

( )



  



• Xác sut có ñiu kin cho phép chúng ta s dng thông

tin v s xy ra ca 1 bin c ñ d báo xác sut xy ra

bin c khác.

• Tính cht: 1)

(

)

    

≤ ≤

;

(

)

   

; 3)

(

)

(

)

      

= −

;

4) nu A

và A

xung kh#c thì:

(

)

(

)

(

)

   

         

= +∪

VD 3. Mt hp có 10 vé, trong ñó có 3 vé trúng thư,ng.

Ngưi th nht ñã bc 1 vé không trúng thư,ng. Tính

xác sut ñ ngưi th 2 bc ñưc vé trúng thư,ng (m!i

ngưi ch bc 1 vé).

b) Công thc nhân

• A và B là 2 bin c ñc lp nu B có xy ra hay không

cũng không nh hư,ng ñn kh năng xy ra A và ngưc

li, nghĩa là

(

)

   

và

(

)

   

Khi ñó ta có

 

• Vi A, B không ñc lp (ph thuc) thì:

(

)

(

)

      

= =







VD 4. Mt lô hàng có 100 sn ph m trong ñó có 10 ph

ph m. Kim tra liên tip không hoàn li 5 sn ph m, nu

có ít nht 1 ph ph m thì không nhn lô hàng ñó. Tính

xác sut ñ nhn lô hàng.

VD 5. Mt lô hàng gm 12 sn ph m trong ñó có 8 sn

ph m tt và 4 ph ph m. Rút ngu nhiên 1 sn ph m t

lô hàng và không ñ ý ti sn ph m ñó, sau ñó rút tip

sn ph m th 2. Tính xác sut ñ sn ph m th hai là tt.

VD 6. Mt cu th bóng r có 4 qu bóng ñang ném

tng qu vào r. Nu bóng vào r hoc ht bóng thì cu

th ngng ném. Bit xác sut vào r ca qu bóng th 1,

2, 3 và 4 ln lưt là 90%, 80%, 85% và 70%.

Tính xác sut cu th ném ñưc bóng vào r.

3.3. Công thc xác sut ñ.y ñ+ và Bayes.

a) Công thc xác sut ñ.y ñ+

• Cho h các bin c {A

} (i = 1, 2,…, n) ñy ñ và B là

bin c bt kỳ trong phép th, ta có:

( )

(

)

(

)



 

 

   

    

         

= + +

∑

VD 7. Mt ñám ñông có s ñàn ông b+ng na s ñàn bà.

Xác sut ñ ñàn ông b bnh tim là 0,06 và ñàn bà là

0,0036. Chn ngu nhiên 1 ngưi t ñám ñông, tính xác

sut ñ ngưi này b bnh tim.

b) Công thc Bayes

• Cho h các bin c {A

} (k = 1, 2,…, n) ñy ñ và B là

bin c bt kỳ trong phép th. Xác sut ñ xut hin A

sau khi ñã xut hin B là:

( )

(

)

( )

 



 

 

   

  

   

∑

VD 8. T. s ôtô ti và ôtô con ñi qua ñưng có trm

bơm du là 5/2. Xác sut ñ 1 ôtô ti ñi qua ñưng này

vào bơm du là 10%; ôtô con là 20%. Có 1 ôtô qua

ñưng ñ bơm du, tính xác sut ñ ñó là ôtô ti.

VD 9. Có 3 bao lúa cùng loi. Bao 1 nng 20kg cha 1%

ht lép, bao 2 nng 30kg cha 1,2% ht lép và bao 3

nng 50kg cha 1,5% ht lép. Trn c 3 bao li ri bc

ngu nhiên 1 ht thì ñưc ht lép.

Tính xác sut ñ ht lép này là ca bao th ba.

VD 10. Ba kin hàng ñu có 20 sn ph m vi s sn

ph m tt tương ng là 12, 15, 18. Ly ngu nhiên 1 kin

hàng (gi s 3 kin hàng có cùng kh năng) ri t kin

ñó ly tùy ý ra 1 sn ph m.

a) Tính xác sut ñ sn ph m chn ra là tt.

b) Gi s sn ph m chn ra là tt, tính xác sut ñ sn

ph m ñó thuc kin hàng th hai.

Chương II. BIN (ðI LƯNG) NG"U NHIÊN

§1. BIN NG"U NHIÊN VÀ LU0T PHÂN PHI XÁC SUT

1.1. Khái nim và phân loi bi$n ngu nhiên

a) Khái nim

• Mt bin s ñưc gi là ngu nhiên nu trong kt qu

ca phép th nó s/ nhn mt và ch mt trong các giá

tr có th có ca nó tùy thuc vào s tác ñng ca các

nhân t ngu nhiên.

• Các bin ngu nhiên ñưc ký hiu: X, Y, Z, …còn các

giá tr ca chúng là x, y, z,…

VD 1.

Khi tin hành gieo n ht ñu ta chưa th bit có bao

nhiêu ht s/ ny mm, s ht ny mm có th là 0, 1, …,

n. Kt thúc phép th gieo ht thì ta bit ch#c ch#n có bao

nhiêu ht ny mm. Gi X là s ht ny mm thì là X

bin ngu nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}.

b) Phân loi bi$n ngu nhiên

• Bin ngu nhiên (bnn) ñưc gi là ri rc nu các giá

tr có th có ca nó lp nên 1 tp hp h$u hn hoc

ñm ñưc.

• Bin ngu nhiên ñưc gi là liên tc nu các giá tr có

th có ca nó lp ñy 1 khong trên trc s.

VD 2. + Bin X trong VD 1 là bnn ri rc (tp h$u hn).

+ Gi Y là s ngưi ñi qua 1 ngã tư trên ñưng ph thì Y

là bnn ri rc (tp ñm ñưc).

VD 3. + B#n 1 viên ñn vào bia, gi X là “khong cách

t ñim chm ca viên ñn ñn tâm ca bia” thì X là

bin ngu nhiên liên tc.

+ Gi Y là “sai s khi ño 1 ñi lưng vt lý” thì Y là

bin ngu nhiên liên tc.

1.2. Lu*t phân ph%i xác sut c+a bi$n ngu nhiên

• Lut phân phi xác sut ca bin ngu nhiên là mt

cách biu din quan h gia các giá tr ca bin ngu

nhiên vi các xác sut tương ng mà nó nhn các giá

tr ñó.

1.2.1. Phân ph%i xác sut c+a bi$n ngu nhiên

a) Trưng hp ri rc

• Cho bin ngu nhiên ri rc X có

  

      

vi xác sut tương ng là

 

   

= =

Ta có phân ph%i xác sut (dng bng)

X x

… x

P p

… p

Trong ñó:



 

≥

;





 

 

∑

;



 

 

∞

∑

(vô hn);



  

   

< <

< < =

∑

VD 4. Mt lô hàng có 12 sn ph m tt và 8 ph ph m.

Ly ngu nhiên t lô hàng ra 8 sn ph m.

Gi X là s ph ph m trong 8 sn ph m ly ra.

Tìm phân phi xác sut ca X và chng minh:

      

        

         

+ + + + =







VD 5. Xác sut ñ 1 ngưi thi ñt m!i khi thi ly b+ng

lái xe là 0,3. Ngưi ñó thi cho ñn khi ñt mi thôi.

Gi X là s ln ngưi ñó d thi.

Tìm phân phi xác sut ca X và tính xác sut ñ ngưi

ñó phi thi không ít hơn 2 ln.

b) Trưng hp liên t1c

• Cho bin ngu nhiên liên tc X. Hàm f(x),



∈

ℝ

ñưc gi là hàm mt ñ xác sut ca X nu tha:

!  

≥ ∀ ∈

ℝ

; 2)

!" 

+∞

−∞

∫

;





   !"

< < =

∫

(a < b).

Chú ý

1) Nhiu khi ngưi ta dùng ký hiu f

(x) ñ ch hàm mt

ñ xác sut ca X.

2) Do



  !" 

= = =

∫

nên ta không quan

tâm ñn xác sut ñ X nhn giá tr c th. Suy ra





        

    !"

≤ < = < ≤ = ≤ ≤

= < < =

∫

3) V mt hình hc, xác sut bin ngu nhiên (bnn) X

nhn giá tr trong (a; b) b+ng din tích hình thang cong

gii hn b,i x = a, x = b, y = f(x) và trc Ox.

4) Nu f(x) tha

!  

≥ ∀ ∈

ℝ

và

!" 

+∞

−∞

∫

thì f(x) là hàm mt ñ xác sut ca 1 bnn nào ñó.

VD 6. Chng t

4x , x (0; 1)

f(x)

0, x (0; 1)

∈

=∉



là hàm mt ñ

xác sut ca bin ngu nhiên X.

VD 7. Cho bnn X có hàm mt ñ xác sut:

0, x 1

f(x) k

, x 1





=

≥





Tìm k và tính

   

− < ≤

1.2.2. Hàm phân ph%i xác sut

• Hàm phân phi xác sut ca bin ngu nhiên X, ký

hiu F(x) hoc F

(x), là xác sut ñ X nhn giá tr nh

hơn x (vi x là s thc bt kỳ). F(x) = P(X < x),



∀ ∈

ℝ

– Hàm phân phi xác sut cho bit t l phn trăm giá tr

ca X n+m bên trái ca s x.

– Vi bin ngu nhiên ri rc X = {x

, x

, …, x

 

   

#    

< <

= = =

∑ ∑

– Vi bin ngu nhiên liên tc X:



# !$"$

−∞

∫

• Gi s

  

   

< < <

, ta có hàm phân phi xác

sut ca X:



  

   %

     

  

    

     

# 



       

− −

≤

< ≤

+ < ≤

+ + + < ≤





  









>







• Tính cht:

 #  

≤ ≤ ∀ ∈

ℝ

;

2) F(x) không gim.

#  & #  

−∞ = +∞ =

;

   # #

≤ < = −

• Liên h v2i phân ph%i xác sut

1) X ri rc: p

= F(x

i+1

) – F(x

);

2) X liên tc: F(x) liên tc ti x và

#  !

′

VD 8. Mt phân xư,ng có 2 máy hot ñng ñc lp.

Xác sut trong 1 ngày làm vic các máy ñó hng tương

ng là 0,1 và 0,2. Gi X là s máy hng trong 1 ngày

làm vic.

Lp hàm phân phi xác sut ca X và v/ ñ th ca F(x).

VD 9. Tui th X(gi) ca 1 thit b có hàm mt ñ xác

sut

0, x 100

f(x) 100

, x 100





=≥





a) Tìm hàm phân phi xác sut ca X.

b) Thit b ñưc gi là loi A nu tui th ca nó kéo dài

ít nht là 400 gi. Tính t l (xác sut) loi A.

VD 10. Bin ngu nhiên X có hàm mt ñ xác sut:

 '()   & 

 

!

  & 

 



 

π π



 

∈ −



 



 

=

 



π π



 

∉ −



 



  

Tìm a và hàm phân phi xác sut F(x).

VD 11. Thi gian ch phc v ca khách hàng là bnn

X(phút) liên tc có hàm ppxs

0, x 0

F(x) ax , x (0; 3]

1, x 3

≤





= ∈



>



a) Tìm a và hàm mt ñ xác sut f(x) ca X.

b) Tính

(

)

P 2 Y 5

< ≤

vi

Y X 1

= +

c) V/ ñ th ca F(x).

Bài giảng Xác suất và thống kê - ThS. Đoàn Vương Nguyên

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi