3/11/2019
1
ƯỚC LƯỢNG
THAM SỐ
1
CHƯƠNG 6
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
ƯỚC LƯỢNG
• Ước lượng điểm
•Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai
•Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch
hai tỷ lệ
•Ước lượng tỷ số hai phương sai
2
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng
•Tổng thể có tham số chưa biết.
•Ta muốn xác định tham số này.
•Lấy một mẫu ngẫu nhiên cỡ n.
•Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của
tham số của tổng thể.
•Ước lượng điểm: dùng một giá trị.
•Ước lượng khoảng: dùng một khoảng.
3
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Thống kê mẫu và Ước lượng điểm
•Định nghĩa. Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, …, Xn)
của tổng thể. Một hàm của các biến ngẫu nhiên
X1,X2, ..., Xnđược gọi là thống kê mẫu (statistic).
•Định nghĩa. Một thống kê mẫu T(X1,X2, ..., Xn) được
sử dụng để ước lượng cho tham số được gọi là
một ước lượng điểm của .
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 4
6.1 Ước lượng điểm
•Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số
chưa biết của tổng thể.
•Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào
đó của mẫu ngẫu nhiên.
•Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng
được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho
tham số .
•Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu
quả, vững …
5
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng không chệch (ƯLKC)
•Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng không
chệch của tham số nếu:
•Nếu E(T) thì ước lượng T gọi là một ước lượng
chệch (ƯLC) của tham số .
•Độ chệch của ước lượng:
6
E(T) 
E(T) 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
2
Ví dụ 1
•Theo lý thuyết mẫu ta có:
7
*2 2
22
22
1
EX
ES
n
ES n
ES
E F p
*2 2 2
22
la ULKC cua
la ULKC cua
, la ULKC cua
la UL chech cua
X
Fp
SS
S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng KC tốt hơn
•Cho X, Y là hai ULKC của tham số .
•Có nghĩa là:
•Nếu:
•Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ
hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số
nhiều hơn).
8
E X E Y


V X V Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 1.
•Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).
a) CMR: các thống kê sau:
đều là các ước lượng không chệch của .
b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.
9
12
12
1 1 2 2
...
;; n
n
X X X
XX
Z X Z Z
n
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng hiệu quả
•Thống kê T(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả
của tham số nếu:
•T là ULKC của
•V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây
dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.
•Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để
đánh giá.
10
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
BĐT Cramer-Rao
•Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc công thức tính
xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn
một số điều kiện nhất định.
•Cho T là một ƯLKC của θ. Ta luôn có:
•Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ
11
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 2.
•Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì
vọng và phương sai 2. Xét 2 thống kê:
a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng
không chệch của .
b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.
12
1 2 1 2
1
2 ... ...
2;
1
nn
X X nX X X X
ZX
n n n

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
3
Ví dụ 3
Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR:
𝑋là ước
lượng hiệu quả nhất của tham số μ.
Giải.
Dễ thấy,
𝑋là ước lượng không chệch và:
Hàm ppxs của tổng thể:
13
2
Var X n
2
2
2
1
,,
2
x
f x f x e



nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 3
•Ta có:
•Và:
14
2
2
2
2
2








ln
ln ,
x
fx x
2
2
2 4 2
11X
E E X



nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 3
•Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:
•Vậy thống kê
𝑋là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất
trong các ước lượng không chệch của tham số μ
của tổng thể
15
2
2
1
ln ,
Var T Var X
n
fX
nE




nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Các ULHQ
•Ta chứng minh được:
16
2 *2 2
.
, .
.
X la ULHQ cua
S S la ULHQ cua
F la ULHQ cua p
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng hợp lý tối đa
•Sinh viên tự tham khảo tài liệu
17
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
6.2 Ước lượng khoảng
Giả sử tổng thể có tham số chưa biết. Dựa vào mẫu
ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho:
P(a < <b)=(1 - ) khá lớn.
Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số
với độ tin cậy (1 - ) .
Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.
Dạng khoảng tin cậy:
•(𝑎; 𝑏) : khoảng tin cậy hai phía
•(−∞; 𝑏) : khoảng tin cậy bên trái (tối đa)
•(𝑎: +∞) : khoảng tin cậy bên phải (tối thiểu)
18
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
4
Ước lượng khoảng
•(a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.
•(1 -): độ tin cậy của ước lượng.
•|b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.
•ε: độ chính xác (sai số).
•Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao nhiêu thì phù
hợp.
•a, b là 2 thống kê mẫu
19
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Nguyên tắc ULK
•Với mẫu đã chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định
và chứa tham số cần ước lượng.
•Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α1; α2sao
cho:
•Tìm các giá trị tới hạn mức (1-α1) và α2
•Ta có:
•Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số
cần tìm.
20
12

12
11P T T T

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
6.2.1. Ước lượng trung bình
•Tổng thể có phân phối chuẩn
•Ước lượng điểm không chệch:
𝑋
•Độ tin cậy: 1 − 𝛼
•Phân phối thống kê mẫu:
•Chú ý: t(n) hội tụ về N(0;1) khi n>30
21
~ 0;1 ~
X n X n
Z N Z t n
S



nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Khoảng tin cậy cho phân phối chuẩn
•Ta có:
•Từ đó:
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 22
0
/2
/2
1
/2
z
/2
z
/2 /2 1P z Z z

/2 / 2 1





Xn
P z z
???
Khoảng tin cậy cho phân phối Student
•Ta có:
•Từ đó:
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 23
0
/2
/2
1
1; 2




tn
1; 1; 1
22




P t n Z t n
1; 1; 1
22





Xn
P t n t n
S
???
1; 2



tn
Khoảng tin cậy
•Khoảng tin cậy hai phía_biết σ
•Khoảng tin cậy hai phía_chưa biết σ
•Chú ý:
24
2
;
X X z n
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
; 1; 2



S
X X t n n
/2
1; 30
2



t n Z khi n
3/11/2019
5
Độ chính xác, độ tin cậy, cỡ mẫu
•Khi ước lượng hai phía, sai số hay độ chính xác:
•Để xác định kích thước mẫu, ta dùng:
25
2
1; 2
S
z hay t n
nn





22
/2
21
z
n




2
2
2
1; 21
S t n
n














nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
6.2.2. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán
•Sinh viên tự tính toán
•Xét riêng các trường hợp
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 26
6.2.2. Ước lượng hiệu hai kỳ vọng toán
•Trường hợp mẫu cặp
•Paired t-Interval
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 27
6.2.3 Ước lượng phương sai
•Tổng thể có phân phối chuẩn
•Ước lượng điểm không chệch: S*2hay S2
•Độ tin cậy: 1 − 𝛼
•Phân phối thống kê mẫu:
•Chú ý: 𝜒2(n) hội tụ về N(n;2n) khi n>30
28
2
*2
22
22
1
~ ~ 1
nS
nS
Z n Z n


nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Khoảng tin cậy
•Khoảng tin cậy hai phía –biết µ
•Khoảng tin cậy hai phía –chưa biết µ
29
*2 *2
22
;
; ;1
22
nS nS
nn








nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
22
22
11
;
1; 1;1
22
n S n S
nn









6.2.4. Ước lượng tỷ số hai phương sai
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 30