203
Ch¬ng 12
XỬ LÝ DỮ LIỆU LẤY MẪU
12.1. GIỚI THIỆU
Trong các chương trước, chúng ta đã đề cập đến xử lý ảnh số mà không đặc boiệt
chú ý đến các ảnh hưởng của việc lấy mẫu. Chúng ta đã giả thiết rằng, được thực
hiện một cách hoàn chỉnh, việc lấy mẫu sẽ không làm mất hiệu lực các kết quả thu
được từ việc phân tích các hàm liên tục. Nhưng lấy mẫu vốn thuộc xử lý số. Cho nên,
chúng ta sẽ sử dụng các công cụ mà chúng ta đã phát triển trong các chương trước để
tiếp cận việc lấy mẫu một cách súc tích và hiệu quả trong chương này.
Trước hết, chúng ta điều tra nghiên cứu các nhánh (ramification) lấy mẫu ảnh liên
tục và xử lý dữ liệu lấy mẫu. Đặc biệt, chúng ta sẽ trả lời những câu hỏi sau đây: (1)
Trong phạm vi nào thì việc lấy mẫu sẽ làm mất mát thông tin? (2) Khi lấy mẫu một
hàm liên tục thì có thể khôi phục lại một cách đầy đủ được không và nếu có thig như
thế nào? (3) Chúng ta phải lấy mẫu một hàm chi tiết đến mức nào để có thể bảo toàn
được nó? (4) Việc lấy mẫu có ảnh hưởng gì lên phổ của một hàm? (5) Nếu chúng ta
coi một hàm được lấy mẫu như thể một hàm liên tục thì phải gồm những giả thiết,
những giá trị xấp xỉ, những lỗi gì?
12.2. LẤY MẪU VÀ PHÉP NỘI SUY
Trước khi chúng ta có thể miêu tả các kết quả lấy mẫu một cách định lượng,
chúng ta phải thiết lập một thủ tục toán học để mô hình hoá quá trình. Để thực hiện
điều này, chúng ta sử dụng một hàm đặc biệt gọi là hàm Shah.
12.2.1. Hàm Shah
Một công cụ quan trọng cho việc mô phỏng quá trình lấy mẫu là dãy (train) xung
vô hạn, III(x), đọc là “Shah của x” và được định nghĩa

n
nxxIII )()(
(1)
III(x) là chuỗi các xung đơn vị biên độ nằm cách đều nhau trên trục x. Thật may
mắn cho chúng ta, hàm Shah cũng chính là biến đổi Fourier của nó; tức là,
)()}({ sIIIxIII
(2)
Chúng ta sẽ sử dụng hàm này để mô phỏng quá trình lấy mẫu một tín hiệu liên
tục.
12.2.1.1. Tính đồng dạng
Nếu chúng ta thay thế lý thuyết đồng dạng
a
s
F
a
axf 1
)}({ (3)
204
Vào biểu thức (2), chúng ta sẽ được
)( sIII
x
III
(4)
Trong đó phổ là dãy các xung nằm cách đều nhau một khoảng 1/
trên trục s
(Hình 12-1).
Nên nhớ rằng do tính đồng dạng, xung có tính chất kỳ lạ đó là
)(
1
)( x
a
ax
(5)
Bởi vì III(x) là dãy vô hạn các xung có khoảng cách bằng nhau [biểu thức(1)] nên
nó cũng biểu hiện tính chất này dưới sự giãn ra và nén lại. Đặc biệt,


nn a
n
xanaxaxIII
)()( (6)
Nghĩa là

na
n
x
a
axIII
1 (7)
HÌNH 12-1
Hình 12-1 Hàm Shah và phổ của nó
Nếu ta đặt a = 1/
thì ta sẽ có

n
nx
x
III
(8)
Hay các xung nằm cách nhau từng khoảng
. Chú ý rằng khoảng cách
giữa các
xung chứ không phải các đơn vị khoảng cách nhân với hệ số cường độ xung
. Biến
đổi biểu thức (8) ta được

n
n
ssIII
x
III
(9)
205
Hai biểu thức sau cùng chỉ rõ rằng một dãy các xung cường độ
đặt cách nhau
từng khoảng
trong miền thời gian tạo ra một dãy xung đơn vị đặt cách nhau một
khoảng 1/
trong miền tần số. Dĩ nhiên, chúng ta có thể chia biểu thức (8) cho
để
được các xung đơn vị cường độ trong miền thời gian và các xung cường độ 1/
tương
ứng trong miền tần số.
12.2.2. Lấy mẫu bằng hàm Shah
Giả sử hàm Shah bị giới hạn dải tần tại tần số s0; tức là,
0
0)( sssF (10)
Điều này được cho thấy trong hình 12-2. Nếu chúng ta lấy mẫu f(x) tại các khoảng
cách
bằng nhau, chúng ta sẽ triệt tiêu toàn bộ hàm f(x) ngoại từ tại điểm x = n
.
Chúng ta có thể mô phỏng quá trình lấy mẫu như phép nhân đơn giản giữa hàm f(x)
với III(x/
) để tạo thành hàm được lấy mẫu g(x). Quá trình triệt tiêu hàm giữa các
điểm lấy mẫu bằng cách chia nó cho 0 và nhưng vẫn bảo toàn giá trị hàm tại các
điểm lấy mẫu trong cường độ các xung kết quả. Hình 121-3 minh hoạ cho một hàm
được lấy mẫu. Sự thuận tiện về toán học khiến cho mô hình này được lựa chọn làm
phương pháp lẫy mẫu.
HÌNH 12-2
Hình 12-2 Hàm giới hạn dải
HÌNH 12-3
Hình 12-3 Hàm được lấy mẫu
206
12.2.3. Lấy mẫu và phổ
Bây giờ chúng ta xem xét việc lấy mẫu phổ của f(x) sẽ cho ta cái gì. Lý thuyết
phép nhân chập cho rằng khi chúng ta nhân f(x) với III(x/
), chúng ta sẽ nhân chập
F(s) với
III(
s). Nhắc lại
III(
s) là chuỗi xung đơn vị cường độ nằm cách nhau
khoảng 1/
trên trục s. Cũng cần nhắc lại rằng phép nhân chập một hàm với một
xung đơn thuần chỉ tạo ra một bản sao của hàm đó. Vì thế, phép nhân chập trong
miền tần số tái tạo F(s) tại từng khoảng 1/
trên trục s.
Như đã chỉ ra trong hình 12-3, G(s) bao gồm vô vàn các bản sao phổ F(x) đặt
bằng nhau trên trục s từ - đến . Lưu ý phổ của hàm được lấy mẫu là tuần hoàn với
tần số
. Cho nên, bất kỳ hàm nào được lấy mẫu tại các khoảng cách
bằng nhau đều
có phổ tuần hoàn với tần số
.
12.2.4. Lý thuyết lấy mẫu
Bây giờ hàm f(x) đã được lấy mẫu, thông tin giữa các điểm lấy mẫu đã bị
mất.nhưng chúng ta có thể khôi phục lại hàm ban đầu nguyên vnj từ các điểm lấy
mẫu này không? Rõ ràng, chúng ta có thể phục hồi (reclaim) f(x) từ g(x) nếu chúng ta
có thể phục hồi F(s) từ G(s). Chúng ta có thể thực hiện phần sau đơn thần bằng cách
loại trừ tất cả các mô hình của F(s), ngoại trừ hàm F(s) đặt gữa gốc. Có một cách để
thực hiện điều này là nhân G(s) với
(s/2s1), trong đó
010
1sss
(11)
Khi đó
sF
s
s
sG
1
2 (12)
Và chúng ta lấy lại được phổ của f(x) từ phổ của tín hiệu lấy mẫu g(x). hàm ban
đầu được cho bởi
1
11
2s
s
sGsFxf (13)
Áp dụng lý thuyết nhân chập vào vế phải biểu thức (13) ta được
xs
xs
sxgxf
1
1
12
2sin
2
(14)
Biểu thức này cho biết cách thức khôi phục f(x) từ g(x): Chúng ta chỉ cần nhân
chập hàm được lấy mẫu với một hàm nội suy của dạng hàm sinc(x) = sin(x)/x.
Quả thực biểu thức (14) cho thấy rằng chúng ta có thể khôi phục f(x) từ g(x) và
cho ta biết cách thực hiện điều đó. Đầu tiên, f(x) phải được giới hạn dải tần tại s0
[xem biểu thức (11)] vf thứ hai, mối quan hệ giữa khoảng cách lấy mẫu
và dải giới
hạn s0 phải thoả mãn biểu thức (11). Điều mà chúng ta thực hiện đã chứng minh lý
thuyết lấy mẫu biểu diễn một hàm lấy mẫu với khoảng cách
giống nhau và có thể
khôi phục hoàn toàn từ các giá trị lẫy mẫu, với điều kiện là
0
2
1
s
(15)
207
Trong đó hàm được giới hạn dải tần tại s0.
12.2.5. Phép nội suy
Kết quả nhân chập g(x) với hàm nội suy cho trong biểu thức (14) đã tạo ra một mô
hình hàm sin(x)/x tại mỗi một điểm lấy mẫu, giống như hình 12-4. Biểu thức (14) bảo
đảm rằng tổng các hàm sin(x)/x chờm lên nhau sẽ tái tạo lại hàm ban đầu một cách
chính xác.
Hình 12-4 minh hoạ cho trường hợp s1 = 1/2
, nhưng biểu thức (11) cho phép
chọn tần số hàm sin(x)/x tuỳ ý nếu hàm nghịch đảo của khoảng cách lấy mẫu lớn hơn
nhiều so với giới hạn dải tần s0. Biểu thức đó cho phép chúng ta đặt s1 tại bất kỳ vị trí
nào giữa s0 và 1/
- s0. Để cho thuận tiện, chúng ta có thể đặt s1 tại trung điểm:
2
1
1s (16)
Sau đó hàm nội suy sẽ trở thành
x
x
sin
1 (17)
HÌNH 12-4
Hình 12-4 Nội suy hàm sin(x)/x
12.2.6. Dưới lấy mẫu và trùm phổ (Undersampling and Aliasing)
Biểu thức (15) xác định rõ cách mà người ta lấy mẫy một hàm khi nó có khả năng
khôi phục hoàn toàn từ các giá trị lấy mẫu của nó. Bây giờ chúng ta hãy xem xét điều
gì sẽ xảy ra nếu điều kiện đó không thoả mãn.
Giả sử
>1/2s0. Tiếp theo khi F(s) được tái tạo thành dạng G(s), các mô hình
riêng lẻ sẽ chờm lên và cộng lại với nhau (Hình 12-5). Sau đó nếu chúng ta nội suy,
dùng hàm trong biểu thức (17), ta sẽ không khôi phục được f(s) một cách chính xác,
bởi vì
sF
s
s
sG
1
2 (18)