zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn: Chương 2 - TS. Nguyễn Hồng Ân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Báo xấu

3
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Phương pháp phần tử hữu hạn" Chương 2 - Cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn, được biên soạn với các nội dung chính sau: Nguyên lý thế năng toàn phần; Phương pháp ritz- rayleigh; Phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn: Chương 2 - TS. Nguyễn Hồng Ân

BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TS. NGUYỄN HỒNG ÂN
CHƯƠNG II CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
CHƯƠNG II I. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN II. PHƯƠNG PHÁP RITZ- RAYLEIGH III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
I. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN Nguyên lý thế năng toàn phần dừng hay ng/lý biến phân về chuyển vị: Thế năng toàn phần  của một hệ đàn hồi là: =U-A (2.1) U: thế năng biến dạng của vật thể đàn hồi tích luỹ trong quá trình biến dạng A: công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển dời do vật thể bị biến dạng Nội dung NL: “Trong tất cả các trường chuyển vị khả dĩ động (tức thoả mãn các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực (tức tương ứng với sự cân bằng của vật thể) sẽ làm cho thế năng toàn phần  đạt giá trị dừng”. Nghĩa là: δ = 0 ↔ điều kiện cân bằng
I. NGUYÊN LÝ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN 1 1 Theo SBVL: U =     dV =     D   dV T T (2.2) 2V 2V 1 Trường hợp có biến dạng ban đầu: U =     D  dV − V    D 0  dV  T T (2.3) 2V Công A của ngoại lực (gồm lực khối {g} và lực mặt {p}) trên các chuyển dời {u}: A =  {u}T {g}.dV +  {u}T { p}.dS (2.4) V St { }T D ({ } − 2{ 0 }).dV −  {u}T {g}.dV −  {u}T { p}.dS 1   ({u}) = U − A = 2V V St (2.5)
II. PHƯƠNG PHÁP RITZ- RAYLEIGH Theo phương pháp: Hàm chuyển vị v(x) được biểu diễn gần đúng như tổ hợp tuyến tính các hàm vi(x) thỏa mản điều kiện biên động học của bài toán N v ( x )  vN =  Ci vi = C1v1 ( x ) + C2 v2 ( x ) + ... + C N vN ( x ) (2.6) i =1 vi(x) là các hàm được chọn trước và khả dĩ động, tức liên tục và thoả mãn điều kiện biên động học Ci : các tham số được xác định từ điều kiện cực trị của thế năng toàn phần Π Thay v(x) vào (2.5)  Π chỉ còn phụ thuộc vào Ci → Π(C1, C2, …, CN) Từ điều kiện cực trị của Π: δΠ = 0
II. PHƯƠNG PHÁP RITZ- RAYLEIGH  Hệ n phương trình:    C = 0  1    =0  C2 → Giải hệ PT  Ci → v(x) là xác định ....     C = 0  N
II. PHƯƠNG PHÁP RITZ- RAYLEIGH Ví dụ 2.2: Tính chuyển vị của dầm chịu uốn như hình bằng cách tìm nghiệm gần đúng của PP Ritz- Rayleigh. Dầm có độ cứng uốn EJ= const. q 2i Chọn: vi ( x ) = 1 − cos x (hàm thỏa đk của Ritz) x L EJ vi ( x) = 0 v(x)  tại x= 0 và x= l y Vì:  vi L  x = 0  → νi(x) là liên tục và khả vi trên đoạn 0 < x < l 2i vi ( x) = (1 − cos  i x);  i = 2 L dv d vi  i =  i sin  i x; =  i2 cos  i x dx dx 2 d 2v n  2 =  Ci i2 cos  i x dx i =1
II. PHƯƠNG PHÁP RITZ- RAYLEIGH q Tìm Π, ta có: x EJ  d 2v  L L L 1 M2 EJ U=  dx =   dx 2  dx ; A =  q v dx y v(x) 2 0 EJ 2 0  0 L 2 EJ  N  L L  Π = U-A =   2   i =1 Ci i2 cos  i x  dx − q  Ci (1 − cos  i x ) dx  0 0 0 khi i  j  L ta có:  cos  i x. cos  j x.dx =  L 0  2 khi i = j  EJL 2i  Π= 4  Ci2 i4 − qL Ci = Π ( C1 , C2 ,..., CN ) vôù  i = i: L
II. PHƯƠNG PHÁP RITZ- RAYLEIGH Áp dụng nguyên lý:  Π = 0  Π q =0 ( vôù: i i = 1, 2,..., N ) Ci x EJ EJL 4 2q 4 qL4 1 y v(x)  Ci i − qL = 0  Ci =  i = L 2 EJ EJ 8i 4 4 qL4 1 N 1  2i  Vaä: v ( x ) = y . 4  4 1 − cos x 8EJ  i =1 i  L 
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH III.1. Khái niệm về FEM: • Là một phương pháp số tìm dạng gần đúng của hàm ẩn trong miền V • Tuy nhiên, FEM không tìm dạng xấp xỉ trên toàn miền V mà chỉ tìm trong từng miền con Ve (e: phần tử) • Trong FEM, V chia thành một số hữu hạn các Ve – phần tử. Các phần tử được nối kết với nhau tại các điểm định trước trên biên (nút). • Trong phạm vi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ trong dạng hàm đơn giản, gọi là các hàm xấp xỉ (approximation function) • Các hàm này được nội suy (biểu diễn) qua giá trị của hàm (có thể cả đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này gọi là các bậc tự do của phần tử → là ẩn số chính của bài toán.
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH Trong CH VRBD, tuỳ ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, có 3 loại mô hình: 1.- Mô hình tương thích: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của CV trong phần tử. Các ẩn số là các CV hay đạo hàm của CV tại các nút và được xác định từ hệ PT thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng. 2.- Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của US, nội lực trong phần tử. Các ẩn số là lực tại các nút được xác định từ hệ PT thiết lập trên cơ sở nguyên lý cực tiểu của năng lượng bù toàn phần 3.- Mô hình hỗn hợp: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả CV và US trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ PT thiết lập trên cơ sở nguyên lý biên phân Reisner.
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH III.2. Trình tự phân tích bài toán theo FEM Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát: V được chia thành các miền con Ve có dạng hình học thích hợp và đơn giản. Hình 2.1: Các loại phần tử trong FEM Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp : Thường chọn dạng đa thức (thường đơn giản và dễ thoả mãn các tiêu chuẩn hội tụ). Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị (cả đạo hàm) của nó tại các nút của phần tử {q}e
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH Bước 3: Thiết lập ma trận độ cứng phần tử [K]e và vectơ tải phần tử {P}e   K e qe = Pe (2.7) (một cách hình thức) Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ cở mô hình tương thích và kết quả là:   K  laø traä cöùg toåg theå   ma n n n .   K  q  =  P    (2.8) P laø  vectô taûtoåg theå i n .  q  vectô chuyeå vònuùtoåg theå n t n  ( taä hôï caù giaù cuû ñaï löôï g caà tìm taï taácaû c nuù)  p p c trò a i n n i t caù t Từ điều kiện biên  hệ phương trình để giải:  K *  q * = P *   (2.9)
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH Bước 5: Giải hệ phương trình đại số:  K *  q * = P *   (2.9)  Tìm được các chuyển vị nút Bước 6: Hoàn thiện: Tìm tiếp chuyển vị, biến dạng , ứng suất trong các phần tử.
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH III.3. Hàm xấp xỉ – Đa thức xấp xỉ – Phép nội suy biểu diễn đa thức xấp xỉ theo vectơ các bậc tự do của phần tử {q}e a. Hàm xấp xỉ Tư tưởng cơ bản của FEM là xấp xỉ hóa các đại lượng cần tìm trong Ve  Cho phép thay thế việc tìm nghiệm trong miền V (phức tạp) bằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi Ve ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản ue = P q (2.10)  Bước đầu tiên cần chọn hàm đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm (chuyển vị) trong phạm vi mỗi phần tử. → Thường chọn dạng đa thức, vì:
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH - Đa thức được xem là hợp tuyến tính của các đơn thức → thỏa mã yêu cầu độc lập tuyến tính của Ritz, Galerkin - Hàm dạng đa thức dễ tính toán và thiết lập các phương trình của FEM và dễ tính toán bằng máy tính, đặc biệt dễ đạo hàm và tích phân - Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng bậc của đa thức xấp xỉ (về mặt lý thuyết đa thức bậc vô cùng cho nghiệm chính xác). Tuy nhiên, trong thực tế chỉ lấy đa thức xấp xỉ bậc thấp → dễ tính
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH Ví dụ 2.3: Bài toán 1-D: ue ( x ) = a1 + a2 x ue ( x ) = a1 + a2 x + a3 x 2 a1  a   2     ue ( x) = a1 + a2 x + ... + an +1 x n = 1 x x 2 ... x n  a3   Ma trận các đơ thức [P] ...    Vector tọa độ tổng quát {a} an +1  (Vector các tham số của đa   Bài toán 2-D: thức xấp xỉ) ue ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 xy + a5 x 2 + a6 y 2 =  P ( x, y )  a   P( x, y ) = 1 x y xy x 2 y 2  Với: {a} = a1 a2 ... a6  T
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH b. Phép nội suy Các hệ số ai của đa thức xấp xỉ được biểu diễn qua chính các giá trị của nó (hoặc cả các giá trị đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử  Hàm xấp xỉ được nội suy theo giá trị (đạo hàm) của nó tại các nút. Ví dụ 2.4: u u u 2 u0(x)= a1+ a2x+ a3x u0(x)= a1 u0(x)= a1+ a2x a+b u u (a )  u (b)  2  n1 n1 n2 n3 x n2 x x a a+b   b a b a a+ b b 2  2  u Nội suy tuyến tính Nội suy (xấp xỉ) hằng số Nội suy bậc 2 (u )x  u0 = u a + b     u ( x) = u1 ( x) = b.u (a ) − a.u (b) u (b) − u (a ) + x  2  e e e e 1 2 3 4 b−a b−a x n1 n2 n3 n4 n5 Pheù noäsuy Lagrange p i
III. PHÂN TÍCH BÀI TOÁN THEO PP PTHH c. Chọn bậc đa thức xấp xỉ: Cần xét tới các yêu cầu sau: ❖ Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ: + Liên tục trong phần tử (Ve) → Hiển nhiên khi chọn dạng đa thức. + Bảo đảm tồn tại trong Ve trạng thái đơn vị (hằng số) và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi. + Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r–1) là liên tục. Trong cơ học kết cấu, được hiểu như là yêu cầu liên tục của biến dạng, tức là: phần tử khi biến dạng không có sự đứt gẫy bên trong cũng như khi chuyển từ phần tử này sang phần tử bên cạnh.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.