Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 1: Tín hiệu và hệ thống rời rạc

ĐHNN Hà nội

ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC – XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

Chương 1: Tín hiệu & hệ thống rời rạc Chương 2: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống trong miền phức Z Chương 3: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống

trong miền tần số liên tục

Chương 4: Biểu diễn tín hiệu & hệ thống

trong miền tần số rời rạc

Chương 5: Tổng hợp bộ lọc số FIR Chương 6: Tổng hợp bộ lọc số IIR

Khoa CNTT

FITA- HUAChương 1: TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC

1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

1.2 TÍN HIỆU RÒI RẠC

1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN

1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH

1.5 SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG

1.6 TƯƠNG QUAN CÁC TÍN HIỆU

1.1 KHÁI NIỆM TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

FITA- HUA

1.1.1 KHÁI NiỆM VÀ PHÂN LOẠI TÍN HiỆU Khái niệm tín hiệu

 Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin  Tín hiệu được biểu diễn một hàm theo một hay nhiều

biến số độc lập.  Ví dụ về tín hiệu:  Tín hiệu âm thanh, tiếng nói là sự thay đổi áp suất

không khí theo thời gian

 Tín hiệu hình ảnh là hàm độ sáng theo 2 biến không gian

và thời gian

 Tín hiệu điện là sự thay đổi điện áp, dòng điện theo thời

gian

Phân loại tín hiệu

FITA- HUA

Tín hiệu

Tín hiệu rời rạc

Tín hiệu liên tục

Lượng tử

Tượng tự

Tín hiệu lấy mẫu

Tín hiệu số

Phân loại tín hiệu

FITA- HUA

 Tín hiệu liên tục: biểu diễn toán học có biến là liên tục  Tín hiệu rời rạc: hàm biểu diễn có biến rời rạc

Tín hiệu lượng tử Tín hiệu số

Tín hiệu tương tự (analog) Tín hiệu rời rạc (lấy mẫu)

Hàm Liên tục Liên tục Rời rạc Rời rạc

Biến Liên tục Rời rạc Liên tục Rời rạc

Phân loại tín hiệu

FITA- HUA

xa(t)

xa(nTs)

0 Ts 2Ts …

Tín hiệu rời rạc

Tín hiệu tương tự

xq(t)

xd(n)

9q 8q 7q 6q 5q 4q 3q 2q q 0

9q 8q 7q 6q 5q 4q 3q 2q q 0 Ts 2Ts …

Tín hiệu lượng tử

Tín hiệu số

FITA- HUA

1.1.2 KHÁI NiỆM VÀ PHÂN LOẠI HỆ THỐNG

Khái niệm hệ thống

 Hệ thống đặc trưng toán tử T làm nhiệm vụ biến đổi tín

hiệu vào x thành tín hiệu ra y

y

T

x

Hệ thống

 Các hệ thống xử lý tín hiệu:

 Hệ thống tương tự: Tín hiệu vào và ra là tương tự  Hệ thống rời rạc: Tín hiệu vào và ra là rời rạc  Hệ thống số: Tín hiệu vào và ra là tín hiệu số

FITA- HUA

Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc

T là toán tử trễ : Khi đó ta có : T[x(n)] = x(n-k) = y(n)

• Ví dụ:

FITA- HUA

Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc

y(n) x(n)

T

Hệ thống

 Hệ thống tuyến tính & phi tuyến

 Hệ tuyến tính: T[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1T[x1(n)]+a2T[x2(n)]  Hệ phi tuyến: không thoả tính chất trên

 Hệ thống bất biến & thay đổi theo thời gian

 Hệ bất biến theo thời guan: nếu tín hiệu vào dịch đi k

đơn vị x(n-k) thì tín hiệu ra cũng dịch đi k đơn vị y(n-k)

 Hệ thay đổi theo thời gian: không thoả tính chất trên

FITA- HUA

Phân loại các hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc

 Hệ thống nhân quả & không nhân quả

 Hệ nhân quả: Tín hiệu ra chỉ phụ thuộc tín hiệu vào ở

thời điểm quá khứ và hiện tại

 Hệ không nhân quả: không thoả tính chất trên

 Hệ thống ổn định & không ổn định

 Hệ thống ổn định: nếu tín hiệu vào bị chặn |x(n)| < ∞

thì tín hiệu ra cũng bị chặn |y(n)| < ∞

 Hệ thống không ổn định: không thoả tính chất trên

1.3 TÍN HIỆU RỜI RẠC

FITA- HUA

1.3.1 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU RỜI RẠC

 Tín hiệu rời rạc được biểu diễn bằng một dãy các giá trị

với phần tử thứ n được ký hiệu x(n).

Lấy mẫu

Tín hiệu liên tục xa(t) Tín hiệu rời rạc xs(nTs)  x(n) t = nTs Ts=1

Với Ts – chu kỳ lấy mẫu và n – số nguyên

 Tín hiệu rời rạc có thể biểu diễn bằng một trong các

dạng: hàm số, dãy số & đồ thị.

FITA- HUA

 Hàm số:

( 0 . 5 )n : 0≤ n≤ 3 0 : ¿ x ( n )= ¿{¿¿¿ ¿

n còn lại

↑

1 2

1 4

x (n )={1

 Dãy số:  - Gốc thời gian n=0

0.5

0.25 0.125

x(n)  Đồ thị:

0 1 2 3 4

FITA- HUA

1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN

(n)  Dãy xung đơn vị:

1

1 : n= 0 0 :

¿ n còn lại δ ( n )= ¿{¿¿¿ ¿

-2 -1 0 1 2

 Dãy nhảy bậc đơn vị:

1 : n≥ 0 0 : n< 0

u(n) 1

¿ u ( n )= ¿{¿¿¿ ¿

-2 -1 0 1 2 3

 Dãy chữ nhật:

1 : N-1≥ n≥ 0 0 : n

rectN(n) 1

¿ rect N ( n )= ¿{¿¿¿ ¿

còn lại

-2 -1 0 1 N-1 N

1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN

FITA- HUA

r(n)  Dãy dốc đơn vị:

3

n : n≥ 0 0 : n < 0

2

1

¿ r ( n )= ¿{¿¿¿ ¿

-2 -1 0 1 2 3

 Dãy sin:

s( n)= sin( ω0 n )

s(n)

1

0=2/8

0 1 2 3 4

-1

1.2.2 MỘT SỐ DÃY RỜI RẠC CƠ BẢN

FITA- HUA

¿ e ( n )= ¿{¿¿¿ ¿

 Dãy hàm mũ thực: a n : n≥ 0 0 : n < 0

FITA- HUA

Cho 2 dãy:

x1( n)= {1, 2

,3}; x2(n )= {2, 3

, 4}

↑

1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU

a. Cộng 2 dãy:

x1( n)+ x2( n)={3,5

,7}

↑

Cộng các mẫu 2 dãy với nhau tương ứng với chỉ số n

b. Nhân 2 dãy:

x1(n)x2(n)={2,6

,12}

↑

Nhân các mẫu 2 dãy với nhau tương ứng với chỉ số n

FITA- HUA

Cho dãy:

x (n )= {1, 2

, 3}

↑

1.2.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TÍN HiỆU

x(n− 1)={1

↑

↑} ,2,3};x(n+ 1)= {1,2,3

c. Dịch: x(n) ->x(n-no) n0>0 – dịch sang phải n0<0 – dịch sang trái

d. Gập tín hiệu: x(n) ->x(-n)

Lấy đối xứng qua trục tung

x(n)={1,2

,3} ⇒x(− n)={3,2

,1}

↑

FITA- HUA

1.2.4 NĂNG LƯỢNG VÀ CÔNG SUẤT TÍN HiỆU

∞

(cid:0)x( n)(cid:0)2

Nếu ∞>Ex>0 thì x(n) gọi là tín hiệu năng lượng

E x= ∑

n= − ∞

Ở đây | | là modul

a. Năng lượng dãy x(n):

(cid:0)x ( n )(cid:0)2

1 ( 2N+ 1 ) ∑

P x= Lim N →∞

n= − N

Nếu ∞>Px>0 thì x(n) gọi là tín hiệu công suất

b. Công suất trung bình dãy x(n):

FITA- HUA

x ( n )= rect 10( n ) ; y( n)= u( n )

∞

(cid:0)x( n)(cid:0)2

E x= ∑

= ∑

(cid:0)rect 10( n)(cid:0)2= 10

n= 0

n= − ∞

= 0

(cid:0)rect 10(n )(cid:0)2

10 (2N+ 1 )

= Lim N →∞

1 ( 2N+ 1 ) ∑

P x= Lim N →∞

n= 0

∞

(cid:0)y( n)(cid:0)2

(cid:0)u(n)(cid:0)2= ∞

E y= ∑

= ∑

n= − ∞

n= 0

(cid:0)u( n)(cid:0)2

N + 1 (2N+ 1 )

1 2

1 ( 2N+ 1) ∑

= Lim N →∞

P y= Lim N →∞

n= 0

Ví dụ 1.2.1: Cho Các tín hiệu trên tín hiệu nào là công suất, năng lượng?

1.3 HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH BẤT BiẾN

FITA- HUA

1.3.1 ĐÁP ỨNG XUNG CỦA HỆ THỐNG

,4,5}

a. Biểu diễn tín hiệu theo các xung đơn vị

x ( n )= {1,2, 3 ↑

Ví dụ 1.3.1: Biểu diễn dãy

x(n)= 1δ(n+ 2 )+ 2δ( n+ 1 )+ 3δ(n )+ 4δ( n− 1) + 5δ(n− 2 ) x(n)= x(− 2)δ(n+ 2)+ x(− 1)δ (n+ 1)+ x(0)δ(n) + x(1)δ( n− 1)+ x( 2)δ(n− 2)

∞

x(k )δ (n− k )

theo các xung đơn vị

x(n )= ∑

k= − ∞

Tổng quát:

FITA- HUA b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến

x(n) y(n)=T[x(n)]

T

(n) h(n)=T[(n)]

Đáp ứng xung của hệ thống là đáp ứng khi tín hiệu vào

∞

x(k )δ (n− k )

là dãy xung đơn vị, ký hiệu h(n)

∞

k= − ∞ ∞

x( k )T [δ (n− k )]

= ∑

k= − ∞

x(k )δ(n− k)]

k= − ∞

∞

x(k )h( n− k )= x( n)(cid:0)h( n)

x(n)= ∑ y(n)= T [x(n)]= T[ ∑ y(n)= ∑

, suy ra: Với

k= − ∞

Phép tích chập 2 dãy x(n) và h(n)

FITA- HUA

b. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến

x(n) y(n)= x(n) * h(n)

h(n)

 h(n) đặc trưng hòan tòan cho hệ thống trong miền n

∞

x( k)h(n− k )

y(n)= x(n)(cid:0)h(n)= ∑

k= − ∞

c. Cách tìm tích chập

• Đổi biến số n ->k: x(k) & h(k)

• Gập h(k) qua trục tung, được h(-k)

• Dịch h(-k) đi n đơn vị: sang phải nếu n>0, sang trái

nếu n<0 được h(n-k)

• Nhân các mẫu 2 dãy x(k) và h(n-k) và cộng lại

FITA- HUA

, 3}Ư

x ( n )= {2 ↑

, 3,4}và h ( n)= {1, 2 ↑

Ví dụ 1.3.2: Cho 2 dãy Hãy tìm y(n) = x(n)*h(n)

, 3}Ư

x ( k )= {2 ↑

, 3,4} và h( k )= {1, 2 ↑

 Đổi biến số n->k:

,1}Ư

h (− k )= {3, 2 ↑

 Gập h(k) qua trục tung:

 Xác định h(n-k): x(k) h(-k) h(1-k)

3

n n n

-1 0 1 2 3

-2 -1 0 1 2

-1 0 1 2 3

h(3-k) h(2-k)

3

h(-1-k) 3

3

n n n

0 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1

0 1 2 3 4

, 2,1}Ư

FITA- HUA

, 3,2,1}Ư

, 0,3,2,1} Ư

}Ư

h (1− k )= {3 ↑ h ( 2− k )= {0 ↑ h (3− k )= {0 ↑ (cid:0) (cid:0) Ư h (− 1− k )= {3,2, 1 ↑

}Ư

n>0 dịch sang phải

h (− 2− k )= {3,2,1, 0 ↑

(cid:0) (cid:0) Ư

n<0 dịch sang trái

(cid:0) (cid:0) Ư

x ( k ) h ( 0− k )= 7Ư

y ( 0)= ∑

x( k ) h(− 1− k )= 2

y (− 1 )= ∑

x ( k ) h( 1− k )= 16 Ư

y (1 )= ∑

x ( k ) h(− 1− k )= 0

y (− 2)= ∑

(cid:0) (cid:0) Ư

x ( k ) h ( 2− k )= 17 Ư

y ( 2)= ∑

, 16 ,17 ,12}Ơ

y (n )= {2, 7 ↑

x (k ) h( 3− k )= 12

y ( 3)= ∑

 Nhân các mẫu 2 dãy x(k) & h(n-k) và cộng lại được y(n)

FITA- HUA d. Các tính chất của tích chập

 Giao hoán: y(n) = x(n)*h(n)=h (n)*x(n)

 Kết hợp:

y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] = [x(n)*h1(n)]*h2(n)

 Phân phối: y(n) = x(n)*[h1(n) +h2(n)]

= x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

FITA- HUA

Định nghĩa : HTTTBB gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở một thời điểm bất kỳ n = no hoàn toàn độc lập với kích thích của nó ở thời điểm tương lai

1.3.2 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TTBB

h(n)=0: n<0 Định lý 1: Hệ thống TTBB là nhân quả 

Ví dụ 1.3.3: Xét tính nhân quả các hệ thống cho bởi: a) y(n)=x(n-1)+2x(n-2) b) y(n)=x(n+1)+2x(n)+3x(n-1)

Thay x(n)=(n), ta được biểu thức h(n) các hệ: a) h(n)= (n-1)+2(n-2)

Do h(n)=0: n<0 -> hệ nhân quả

b) h(n)=(n+1)+ (n)+3(n-1):

Do h(-1)=1 -> hệ không nhân quả

FITA- HUA

(cid:0)y (n)(cid:0)< ∞

Định nghĩa : HTTTBB gọi là ổn định, nếu đầu vào của dãy là giới hạn thì đáp ứng đầu ra cũng giới hạn. Tức là thì với n bất kỳ

nx |)(

∞

(cid:0)h(n)(cid:0)< ∞

1.3.2 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ TTBB

∑

n= − ∞

∞

(cid:0)a(cid:0)n

(cid:0)h (n)(cid:0)= ∑

Định lý 2: Hệ thống TTBB là ổn định 

n− ∞

n= − ∞

n= 0

Ví dụ 1.3.4: Xét tính ổn định của hệ thống: h(n)=anu(n) S = ∑ (cid:0)anu( n)(cid:0)= ∑

 |a|< 1 -> S=1/(1-|a|) : hệ ổn định  |a| 1 ->S=∞: hệ không ổn định

1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TTHSH

FITA- HUA

1.4.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

∑

ak (n ) y (n− k )= ∑

br (n ) x ( n− r )

k = 0

r= 0

Với: N – gọi là bậc của phương trình sai phân: N,M>0

ak(n), br(n) – các hệ số của phương trình sai phân

1.4.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH

∑

ak y (n− k )= ∑

br x ( n− r )

k = 0

r= 0

Với: ak , br – không phụ thuộc vào biến số n

1.4.3 GiẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HSH FITA- HUA

yp(n)

 Tìm nghiệm của PTSP thuần nhất: yh(n)  Tìm nghiệm riêng của PTSP:  Nghiệm tổng quát của PTSP: y(n) = yh(n) + yp(n)

a. Nghiệm của PTSP thuần nhất: yh(n) Giả thiết n là nghiệm của PTSP thuần nhất:

∑

ak y ( n− k )= 0

k = 0

a0 αN + a1 αN − 1+ (cid:0) + a N− 1α1+ aN = 0

Phương trình đặc trưng có dạng:

FITA- HUAa. Nghiệm của PTSP thuần nhất (tt)

yh( n)= A1 α1

n+ A2 α2

n+ (cid:0) + A N αN

 Phương trình đặc trưng có nghiệm đơn 1, 2,… N

n+ (cid:0) + AN αN

 Phương trình đặc trưng có nghiệm 1 bội r yh( n)= ( A0+ A1n+ (cid:0) + Ar− 1n r− 1)α1 n+ A2 α2

b. Nghiệm riêng của PTSP: yp(n)  Thường chọn yp(n) có dạng giống với x(n)

FITA- HUA

Ví dụ 1.4.1: Giải PTSP: y(n)- 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) (*) với n0, biết y(n)=0: n<0 và x(n)=3n

 Tìm nghiệm của PTSP thuần nhất yh(n)

yh(n) là nghiệm của phương trình: y(n) - 3y(n-1) + 2y(n-2) = 0 Phương trình đặc tính: 2 - 3 + 2 = 0  1=1; 2=2

 yh(n) = (A11n + A22n )  Tìm nghiệm riêng của PTSP yp(n)

Chọn yp(n) có dạng yp(n)=B3n , thay vào PTSP (*) : B3n - 3B3n-1 +2 B3n-2 = 3n  B = 9/2

 Nghiệm tổng quát của PTSP:

y(n) = yh(n) + yp(n) = (A11n + A22n )+ 4.5 3n

FITA- HUA

A1=0.5 A2=- 4  Nghiệm tổng quát của PTSP: y(n) = (A11n + A22n )+ 4.5 3n Dựa vào điều kiện đầu: y(n)=0: n<0: Từ: y(n)= 3y(n-1) - 2y(n-2) + x(n) với x(n)=3n  y(0)=3y(-1)-2y(-2)+30 =1=A1+A2+4.5  y(1)= 3y(0)-2y(-1)+31=6=A1+2A2+4,5.31

Vậy: y(n) = 0.5 1n - 4 2n + 4,5 3n : n0

FITA- HUA1.5 SƠ ĐỒ THỰC HIỆN HỆ THỐNG

1.5.1 HỆ THỐNG ĐỆ QUI & KHÔNG ĐỆ QUI

a. Hệ thống không đệ qui

 Hệ thống không đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi PTSP

y (n )= ∑

br x ( n− r ): a0= 1

r= 0

h( r ) x( n− r )

L [h(r )]= M + 1

h ( r )= b r ⇒y ( n )= ∑

r= 0

TTHSH bậc N=0 M

 Hệ thống không đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ dài hữu hạn – FIR (Finite Impulse Response)

FITA- HUA

∞

S = ∑

(cid:0)h( r )(cid:0)= ∑

(cid:0)br(cid:0)< ∞

r= 0

 Hệ thống không đệ qui luôn luôn ổn định do:

b. Hệ thống đệ qui

 Hệ thống đệ qui là hệ thống đặc trưng bởi PTSP TTHSH

∑

ak y (n− k )= ∑

br x ( n− r )

k = 0

r= 0

bậc N>0

 Hệ thống đệ qui còn gọi là hệ thống có đáp ứng xung độ

dài vô hạn – IIR (Infinite Impulse Response)

 Hệ thống đệ qui có thể ổn định hoặc không ổn định

FITA- HUA

Ví dụ 1.5.1: Xét tính ổn định của hệ thống cho bởi:

h ( n)= an : n≥ 0

h ( n)= y (n)(cid:0)x ( n)= δ ( n) ⇒h( n )= y ( n )= δ ( n )+ ay ( n− 1 )  n=0 -> y(0) =(0) + y(-1) = 1  n=1 -> y(1)= (1) + ay(0) = a  n=2 -> y(2)= (2) + ay(1) = a2  n=3 -> y(3)= (3) + ay(2) = a3

y(n) - ay(n-1) = x(n), biết y(n)=0:n<0