BÀI T P CH NG TOÁN CAO C P 3 – ĐHẬ ƯƠ Ấ
Ch ng I: Hàm nhi u bi nươ ề ế
1.1 Tìm mi n xác đ nh c a hàm s :ề ị ủ ố
a)
ln( )z x y= +
b)
2
1
zx y
=−
1.2 Tìm đ o hàm riêng c a các hàm s :ạ ủ ố
a)
3 3
2 2
x y
zx y
+
=+
b)
2 2
ln( )z x x y= + +
c)
4
, 0
y
z x x
= >
d)
2
sin x
z x x y
=+
1.3 Tìm đ o hàm riêng c p 2 c a các hàm s ;ạ ấ ủ ố
a)
2 3
2 ( )z xy y= +
b)
.
c)
arctan x
zy
=
d)
2
ln( )z x x y= +
1.4 Tìm vi phân toàn ph n c a các hàm s :ầ ủ ố
a)
2 2
sin( )z x y= +
b)
2
(sinx cos )
x
z e y x= +
1.5 Tìm đ o hàm c a hàm h p:ạ ủ ợ
a)
2
2 2
, cos ,
u v
z e u x v x y
−
= = = +
b)
2 2
ln( ), , x
z u v u xy v y
= + = =
1.6 Tìm c c tr c a các hàm s : ự ị ủ ố
a)
2 2
4ln 3ln , 0.z x y y x y x= + + − − >
b)
3 2 2
12 5
3
y y
z x x e e= − + − +
c)
3 2 2
2 8 17z x x xy y x y= + − − − − +
d)
3 2
3ln 2 7ln 3 4z x x y y y= − + − + −
1.7 Cho hàm s ố
3 2 2 2 2z x x y xy x y= + − − + +
a) Tìm c c tr c a hàm z.ự ị ủ
b) T i đi m N(1, 2) hàm z s tăng hay gi m n u d ch chuy n ra kh i đi m N theoạ ể ẽ ả ế ị ể ỏ ể
h ng l p v i tr c Ox góc ướ ậ ớ ụ
0
60
.
c) T i đi m N đó hãy tìm h ng đ hàm z thay đ i nhanh nh t. Bi u di n trên hình v .ạ ể ướ ể ổ ấ ể ễ ẽ
1.8 Cho hàm s : ố
3 2 2 2 4 3 27z x x y xy x y= + − − + + +
a) Tìm c c tr c a hàm z.ự ị ủ
b) T i đi m N(3, 1) hàm z s tăng hay gi m n u d ch chuy n ra kh i đi m N theoạ ể ẽ ả ế ị ể ỏ ể
h ng l p v i tr c Ox góc ướ ậ ớ ụ
0
60
.
c) T i đi m N đó hãy tìm h ng đ hàm z thay đ i nhanh nh t. Bi u di n trên hình v .ạ ể ướ ể ổ ấ ể ễ ẽ
1.9 Cho hàm số
3 3 2
1 1
3 2 4
3 3
x x
z e e y y x
= + + − −
a) Tìm c c tr c a hàm s .ự ị ủ ố
b) T i M(-1;0) hàm s s tăng hay gi m n u d ch chuy n ra kh iạ ố ẽ ả ế ị ể ỏ
đi m M theo h ng l p v i tr c Ox m t góc ể ướ ậ ớ ụ ộ
0
120
.
1.10 Tính g n đúng:ầ
a)
2 2
3
(1,03) (0,04)+
b)
0 0
sin(31 59 )+
Ch ng II – Tích phân b iươ ộ
2.1 Đ i th t tích phân trong các tích phân sau:ổ ứ ự
a)
2
2 4
2
( , )
x
dx f x y dy
−
∫ ∫
b)
2
5
2 0
( , )
y
dy f x y dx
∫ ∫
2.2 Tính
3
( )
D
dxdy
x y+
∫∫
, mi n D đ c xác đ nh b i ề ượ ị ở
1, 1, 3x y x y≥ ≥ + ≤
.
2.3 Tính
2
( )
D
x x y dxdy−
∫∫
, D là mi n gi i h n b i ề ớ ạ ở
2 2
,y x x y= =
.
2.4 Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho ba đi m A(-1, 4), B(2, 3), C(1, 1) và hàm m tặ ẳ ớ ệ ọ ộ ể ậ
đ ộ
( , ) 2x y x y
ρ
= −
. Tính:
a) Tính tích phân c a hàm ủ
( , )x y
ρ
trên mi n tam giác ABC.ề
b) T a đ tr ng tâm tam giác ABC v i m t đ là ọ ộ ọ ớ ậ ộ
( , ) 1x y
ρ
=
2.5 Tính
( )
D
x x y dxdy−
∫∫
, D là mi n gi i h n b i ề ớ ạ ở
2
2 , 2 1y x y x= − = +
2.6 Trên m t ph ng h t a đ Oxy cho 3 đi m A(2, 1), B(-1, 3), C(1, 4) và hàm m t đ :ặ ẳ ệ ọ ộ ể ậ ộ
( , ) 2 3x y x y
ρ
= +
. Tính:
a) Tính tích phân c a hàm ủ
( , )x y
ρ
trên mi n tam giác ABC.ề
b) T a đ tr ng tâm tam giác ABC v i m t đ là ọ ộ ọ ớ ậ ộ
( , ) 1x y
ρ
=
.
2.7 Tính
2 2
4
D
x y dxdy− −
∫∫
, D là mi n xác đ nh b i ề ị ở
2 2
2 0, 0x y x y+ − ≤ ≥
2.8 Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy cho ba đi mA(1, 1), B(2, -1),C(-1, 3) và hàm m tặ ẳ ớ ệ ọ ộ ể ậ
đ ộ
( , ) 2x y x y
ρ
= +
. Tính:
a) Tính tích phân c a hàm ủ
( , )x y
ρ
trên mi n tam giác ABC.ề
b) T a đ tr ng tâm tam giác ABC v i m t đ là ọ ộ ọ ớ ậ ộ
( , ) 1x y
ρ
=
2.9 Tính
V
zdxdydz
∫∫∫
, V là mi n xác đ nh b i: ề ị ở
2 2
1
0 , 2 , 0 1
4
x x y x z x y≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − −
2.10 Tính
(1 )
V
x y z dxdydz− − −
∫∫∫
, V là mi n xác đ nh b i: ề ị ở
0, 0, 0, 1x y z x y z≥ ≥ ≥ + + ≤
.
Ch ng III – Tích phân đ ng.ươ ườ
3.1 a) Tính I =
L
xydx
∫
; L là biên c a tam giác đi m A (-1;0); B(1;0), C (2;5)ủ ể
3.2 Tính I =
OA
xdy ydx−
∫
; Trong đó O là đi m (0;0); A là đi m (1;2), trong các tr ng h pể ể ườ ợ
a) OA là đo n th ngạ ẳ
b) OA là Parabol có tr c là Oyụ
c) OA là đ ng g p khúc g m các đo n OB c a tr c Ox và đo n BA song song v i Oyườ ấ ồ ạ ủ ụ ạ ớ
3.3 Tính I =
L
xyds
∫
, L là biên cung c a Elip ủ
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
n m trong góc ph n t th nh t.ằ ầ ư ứ ấ
3.4 Tính I =
L
xyds
∫
; v i L là biên hình ch nh t ABCD có 3 đ nh là A(0;0);B(4;0); C(4;2)ớ ữ ậ ỉ
3.5 Tính tích phân đ ng ườ
2 2
L
I y dx x dy= +
∫
, trong đó L là đ ng n i đi m (0;0) v i ườ ố ể ớ
đi m (1;1) trong các tr ng h p sau:ể ườ ợ
a) L là đo n th ngạ ẳ
b) L là cung Parabol y = x2
c) L là cung Parabol y =
x
3.6 Cho tam giácABC v i A (2,1), B(1,-2), C(3,-1).ớ Hãy tính
2 2 2
(2 3 ) ( 3 )
ABCA
x x y dx y x dy+ + −
∫Ñ
b ng 2 cách: ằ + Cách 1: Tính tr c ti p.ự ế
+ Cách 2: Áp d ng công th c Green.ụ ứ
3.7 Cho tam giác ABC v i A (1,1), B(-1,2), C(3,1). Tính ớ
2 2
( 3 ) (2 4 )
ABCA
x xy dy y yx dx
+ + −
∫
Ñ
b ng 2 cách:ằ+ Cách 1: Tính tr c ti p.ự ế
+ Cách 2: Áp d ng công th c Green.ụ ứ
3.8 Cho tam giácABC v i A (2, -1), B(3,1), C(-1,3).Hãy tính ớ
2 2
( 3 ) (2 4 )
ABCA
x xy dx y yx dy+ + −
∫Ñ
b ng 2 cách:ằ+ Cách 1: Tính tr c ti p.ự ế
+ Cách 2: Áp d ng công th c Green.ụ ứ
3.9 Xác đi nh tr ng tâm c a các đ ng d ng ch t:ị ọ ủ ườ ồ ấ
( sin ), (1 cos ), 0x a t t y a t t
π
= − = − ≤ ≤
3.10 Tính các tích phân đ ng sau:ườ
a)
2 2
( ) ( )
ABC
x y dx x y dy− + +
∫
, ABC là đ ng g p khúc ườ ấ
(0,0), (2,2), (4,0)A B C
.
b)
( ) ( )
L
xy x y dx xy x y dy+ + + + −
∫
, L là đ ng tròn ườ
2 2
2x y x+ =
.
Ch ng IV – Tích phân m tươ ặ
4.1 Tính I =
(2 )
s
x y z ds+ +
∫∫
;
Trong đó S là ph n m t ph ng x+ y + z = 1 trong góc ph n tám th nh t.ầ ặ ẳ ầ ứ ấ
4.2 Tính I =
( )
S
x y z dS+ +
∫∫
;
Trong đó S là ph n m t l p ph ng ầ ặ ậ ươ
0 1; 0 1; 0 1x y z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
4.3 Tính
( )
6 4 3
S
x y z dS+ +
∫∫
;
Trong đó S là ph n m t ph ng x + 2y + 3z = 6 n m trong góc ph n tám th nh tầ ặ ẳ ằ ầ ứ ấ
4.4 Tính
4
23
S
x y z ds
+ +
÷
∫∫
;
Trong đó S là ph n m t ph ng ầặẳ
1
2 3 4
x y z
+ + =
n m trong góc ph n tám th nh t.ằ ầ ứ ấ
4.5 Tính
( )
S
yz zx xy dS+ +
∫∫
, v i S là ph n m t nón ớ ầ ặ
2 2
z x y= +
n m trong m t ằ ặ
tr ụ
2 2
2 0x y ax+ − =
.
4.6 Tính kh i l ng c a m t : ố ượ ủ ặ
2 2
1( )
2
z x y= +
,
0 1z
≤ ≤
n u kh i l ng riêng ế ố ượ
( , , )x y z z
ρ
=
4.7 Tính
S
xzdydz yxdzdx zydxdy+ +
∫∫
, S là phía ngoài c a biên c a hìnhủ ủ
chóp
0, 0, 0, 1x y z x y z≥ ≥ ≥ + + ≤
4.8 Tính
2 2 2
S
x dydz y dzdx z dxdy+ +
∫∫
, S là phía ngoài c a biên c a hình l p ph ngủ ủ ậ ươ
0 , 0 , 0x a y a z a≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
.
4.9 Tính
( )
S
x y z dS+ +
∫∫
, S là m t nón ặ
2 2 2
, 0 1z x y z= + ≤ ≤
4.10 Tính
2
S
xdydz dzdx xz dxdy+ +
∫∫
, S là m t ngoài ph n hình c u xác đ nh b iặ ầ ầ ị ở
2 2 2
1,x y z+ + =
,
0, 0, 0x y z≥ ≥ ≥
.
Ch ng V – Ph ng trình vi phân.ươ ươ
5.1 Gi i các ph ng trình có bi n s phân ly sau:ả ươ ế ố
a)
c)
2 2
' 2 1y x xy y= + − +
b)
' os2 sin 0y c y y− =
d)
' os( )y c x y= −
5.2 Tìm nghi m riêng c a các ph ng trình th a mãn đi u ki n ban đâu:ệ ủ ươ ỏ ề ệ
a)
2 2
0
1 1 0, 1
x
x y dx y x dy y
=
+ + + = =
b)
2 2
( 1) ' 4x y y+ = +
,
1
2
x
y
=
=
5.3 Gi i các ph ng trình đ ng c p c p 1ả ươ ẳ ấ ấ
a)
( ) ( ) 0y x dx y x dy− + + =
b)
2 2
' 2 0xyy x y+ − =
c)
01)1( =
−++ dy
y
x
edxe
y
x
y
x
, V i đi u ki n y(0) = 1, y(1) = 1.ớ ề ệ
5.4 Gi i các ph ng trình vi phân tuy n tính:ả ươ ế
a)
2 ( 1) ' (2 1) 1 0x x y x y− + − + =
b)
3
2
' ( 1)
1
y
y x
x
− = +
+
,
0
1
2
x
y
=
=
5.5 Gi i các ph ng trình vi phân sau:ả ươ
a)
2 2
( 1) ' 3 5 0xy x x yy x+ + + − =
b)
2
4
dy
x y x y
dx − =
c)
2 2
2
'xy
yx y
=−
d)
2 2
1
'1 (1 )
x
y y
x x x
+ =
+ +
5.6 Gi i các ph ng trình vi phân toàn ph n.ả ươ ầ
a)
2
( 1) ( 3) 0x y dx x y dy+ + + − + =
b)
2 2
(2 ) ( ) 0xy y dx x y y dy− + + + =
5.7 Gi i các ph ng trình vi phânả ươ
a)
2
'' '
x
xy y x e− =
b)
2
'' ' ln ,xy y x x− =
1 1
4, ' 1
9
x x
y y
= =
= − = −
.
5.8 Gi i các ph ng trình vi phân sau:ả ươ
a)
'' ' 1
x
x
e
y y e
− = +
b) y’’ – 4y’ + 3y = e5x ,th a mãn y(0) = 3; yỏ’(0) = 9
c)
4
'' 9 ' 20
x
y y y e− + =
d)
6 7 x
y y y e
′′ ′
− − =
, bi t : y(1) = 0, y’(0) = 1.ế
5.9 Tìm nghi m riêng c a ph ng trình:ệ ủ ươ
a)
3 4 4sin 4y y y x
′′ ′
+ − =
, biêt '
(0) '(0) 0y y= =
b)
'' ' 2 8 osy y y c x+ − =
c)
sin
x
y y e x
′′ ′
+ =
v i y(0) = 1, y’ (0) = 0.ớ
5.10 Gi i ph ng trình vi phân:ả ươ
a)
3 4 .
x
y y y x e
′′ ′
+ − =
v i y(1) = 0, y’(1) = 2ớ
b)
2
6 5 3y y y x x
′′ ′
− + = +
, v i y(0) = 2, y’(0) = 1.ớ