Bài thảo luận về Toán cao cấp - ThS. Phạm Thị Thư

Chia sẻ: Nguyễn Đăng Mạnh | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

1.909
lượt xem 665
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu này cung cấp các bài tập về toán cao cấp có kèm đáp án.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài thảo luận về Toán cao cấp - ThS. Phạm Thị Thư

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ KĨ THUẬT CÔNG NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: th.s PHẠM THỊ THƯ Lớp: ĐẠI HỌC QUẢN TRỊ KINH DOANH K3A1 TỔ 2 NHÓM 1
Danh sách thành viên trong nhóm: stt Họ và tên Điểm 1 Điểm 2 1 LÊ THỊ HÀ NT 2 CAO PHƯƠNG LAN 3 ĐOÀN THỊ MAY 4 PHẠM THỊ HOA 5 VŨ THỊ HỒNG 6 NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH 7 NGUYỄN THƯƠNG HUYỀN 8 NGUYỄN ĐĂNG MẠNH 9 VŨ DUY KHANH 10 THÁI BÁ ĐỨC
I/KHÔNG GIAN CON: Bài 3: Trong P2[x] cho không gian con { F = p ( x ) ∈ P2 [ x ] p (1) = 0, p ( − 1) = 0 } E là một cơ sở của F. Khẳng định nào đúng? b/ dim F=2, E={x-1, x+1} a/ dim F=1, E={x2-1} c/ dim F=1, E={x-1} d/ dim F=1, E=(x-1)2(x+1) Giải: ∀ P(x)=ax2+bx+c ∈ F ⇔ P(1)=0, P(-1)=0 ⇒ { a −b+c = 0 a+b+c = 0 ⇔ a = α , b = 0, c = α ⇒ p ( x) = αx 2 − 0 x + α ⇔ p ( x) = α ( x 2 − 1) ⇒ E = {x2 −1 } là tập sinh của F E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F ⇒ Dim F=1 Vậy ý a/ là đúng
 a b   Bài 27: Trong M 2[R] cho không gian F =   0 0  a, b ∈ R   Tìm 1 cơ sở E của F?    Giải a 0 0 b  F =   + 0  a, b ∈ R  0 0  0   1 0 0 1  = a   + b 0 0 a, b ∈ R   0 0    F là tập hợp các ma trận vuông cấp 2:   1 0  0 1   ⇒ E =   ,  0 0  là tập sinh của F   0 0    E lại độc lập tuyến tính ⇒ E là cơ sở của F ⇒ Dim(F)=2
BÀI 17/ Trong R3 cho 2 không gian con F= (x1,x2,x3) / x1+x2+x3 = 0 G= (x1,x2,x3) / x1+x2-x3 = 0 Tìm chiều và 1 cơ số của F+G giải -Tìm tập sinh của F: ta có: x1+x2+x3 = 0 x3 = -x1-x2 do đó: x = (x1,x2,-x1-x2) = (x1,0,-x1) + (0,x2,-x2) = x1(1,0,-1) + x2(0,1,-1) F < (1,0,-1); (0,1,-1) > là tập sinh của F -Tìm tập sinh của G: ta có: x1+x2-x3 = 0 x3 = x1+x2 do đó: x =(x1,x2,x1+x2) = (x1,0,x1) + (0,x2,x2) = x1(1,0,1) + x2(0,1,1) G < (1,0,1); (0,1,1) > là tập sinh của G
G+F = (1,0,-1); (0,1,-1); (1,0,1); (0,1,1) Ta có: 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 A= 0 1 -1` BĐSC 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 1 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 1 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 F = < (1,0,-1); (0,1,-1); (0,0,2) > là cơ sở của F+G Dim (F+G) = 3 II/ KHÔNG GIAN VECTƠ: BÀI 15/ trong không gian R3 cho cơ sở B= (1,2,3); (3,4,5); (2,1,4) tìm tọa độ của vectơ (1,0,2) trong cơ sở B Giải Ta có: 1 2 3 1 2 3 A= bđsc 3 4 5 0 -2 -4 r(A) = 3 = số vectơ 2 1 4 0 -3 -2
vậy E = (1,2,3); (3,4,5); (2,1,4) là 1 cơ sở của không gian R3 giả sử tọa độ của vectơ U ( 1,0,2) trong cơ sở E là UE = (x,y,z) Ta có: U = x(1,2,3) + y(3,4,5) + z(2,1,4) = (1,0,2) x + 3y + 2z = 1 x = -1/8 2x + 4y + z = 0 y = - 1/8 3x + 5y + 4z = 2 z = 3/4 Vậy tọa độ của vectơ U = (1,0,2) trong cơ sở B là UE = ( -1/8,-1/8,3/4) BÀI 19/ Cho họ B = (1,1,1,1); (3,2,1,5); (2,3,0,m -11) Với giá trị nào của m thì B PTTT GIẢI Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 5 h2 h2 -3h1 0 -1 -2 2 h3 h3+h2 0 -1 -2 2 A= 2 3 0 m-11 h3 h3 -2h1 0 1 -2 m-13 0 0 -4 m-11
Để B PTTT thì r (A) < 3 (số vectơ) mà A luôn luôn có hạng = 3 với mọi m vậy không tồn tại m để B PTTT BÀI 21/ Trong R3 cho V = < x,y,z,t >,dim (V) = 2 , x, y ĐLTT Khẳng định nào luôn đúng? a. Dim V =2 b. x,y,z sinh ra V c. hạng của x,y,z
BÀI 23/ Cho M = (a,a+b,b-a) thuộc R3 / a,b thuộc R3 Khẳng định nào luôn đúng? a. 3 câu kia đều sai b. (1,0,0); (0,1,-1); (0,1,1) là tập sinh của M c. (1,0,0); (0,1,-1); (0,1,1) là cơ sở của M d. (1,1,-1); (0,1,1) là cơ sở của M Giải Tìm tập sinh của M: Ta có: U = (a,a+b,b-a) = (a,a,-a) + (0,b,b) = a(1,1,-1) + b(0,1,1) E = (1,1,-1); (0,1,1) là tập sinh của M Hiển nhiên E độc lập tuyến tính vậy E là cơ sở của M nên đáp án d đúng
Bài 13: Cho V = {(1,1,1), ( 0,0,0 ), ( 2,3,2 ) } biết E = { (1,1,1) , ( 0,1,0 ) } là cơ sở của V và x = (1,2,1) ∈ V . Tìm toạ độ của x trong E? a. Các câu khác đều sai c. (1,1,0) b. ( 2,1,0) d. (1,1,2) Giải: X1 Gọi [x]E = X x= x1e1+x2e2+x3e3 2 x3 X1(1,1,1) + x2(0,1,0) + x3(0,0,0) = (1,2,1) x1 = 1 x1=1 x1+x2 = 2x2=1 x1= 1 mọi x3 Vậy đáp án a đúng
Bài 17: Cho vectơ x có toạ độ trong cơ s{(1,2,3), ( 3,4,5) , ( 2,1,4 ) ở } là (1,2,−1) . Tìm toạ độ của x trong cơ s{ở1,1,1) , (1,1,0) , (1,0,0) } ( a.(1,5,−4) c. (1,5,2 ) b. ( − 4,5,1) d. ( 9,0,−4 ) Giải; Toạ độ của x trong cơ sở E1 = { (1,2,3) , ( 3,4,5) , ( 2,1,4 ) } là [ x]E 1 = (1,2,−1) ⇔ x =1(1,2,3) + 2( 3,4,5) −1( 2,1,4 ) x = (1.1 + 2.3 −1.2 ) + (1.2 + 2.4 −1.1) + (1.3 + 2.5 −1.4 ) x = ( 5,9,9 ) Vậy vectơ x = ( 5,9,9 )
Gọi toạ độ của x trong cơ sở E2 = { (1,1,1) , (1,1,0 ) , (1,0,0) } là [ x] E2 = ( a , b, c ) Ta có hệ a.1+b.1+c.1=5 a=9 a.1+b.1+c.0=9 ⇒ b=0 a.1+b.0+c.0=9 c=-4 Vậy x[ ]E 2 = ( 9,0,−4 )
Bài 1.25: Tìm chiều và cơ sở của không gian con các nghiệm của hệ phương trình: x + y − z + t = 0 x − y + z − t = 0   3 x + y − z + t = 0 3 x − y + z − t = 0  Giải: Thành lập ma trận hệ số: 1 1 −1 1 1 1 −1 1  h2 →h2 −h1 0 1 −1 1 −1 h3 →h3 −3 h1  −2 2 − 2  A =  h4 →h4 −3 h1 3 1 −1 1    →   0  −2 2 − 2    −4 4 − 4 3 −1 1 −1 0 1 1 −1 −1  h3 → h3 − h2 0 h4 → h4 − 2h2 −2 2 − 2    →  0 0 0  0    0 0 0 0 
BÀI 1.27/ Cho E ={ x =(x1,x2); x1,x2>0} Phép cộng hai phần tử xác định bởi x+y = (x1y1, x2y2) với x = (x1,x2), y = (y1,y2) phép nhân với số thực k cho bởi biểu thức kx = ( x1k , x2k) Tập hợp này với hai phép toán trên có phải là một không gian vectơ không Giải Tập hợp này với hai phép toán trên tạo thành 1 không gian vectơ vì theo định nghĩa thì nó thỏa mãn 8 tiên đề và 2 phép toán.
Bài 1.29/ Cho tập E={f(x): f(x) = acosx+bsinx+c với a,b,c thuộc R} với hai phép toán : Phép cộng hai phần tử xác định bởi f(x) + g(x) = (a+a’)cosx + (b+b’)sinx + (c+c’), Mọi f(x) = acosx + bsinx + c, g(x) = a’cosx + b’sinx + c’ thuộc E Phép nhân phần tử với một số thực k xác định bởi Kf(x) = (ka)cosx + (kb)sinx + (kc) Chứng minh rằng tập E với hai phép toán trên lập thàng không gian vectơ. Tìm một cơ sở của nó Giải Theo định nghĩa ta thấy:do f(x) và g(x) thuộc E nên: f(x) + g(x) = (a+a’)cosx + (b+b’)sinx + (c+c’) thuộc E Giả sử h(x) = a’’cosx + b’’sinx + c’’ Ta có:[ f(x) + g(x) ]+ h(x) = (a+a’+a’’)cosx + (b+b’+b’’) sinx + (c+c’+c’’) thuộc E Phép nhân phần tử với một số thực k xác định ta được:
K[f(x)+g(x)] = k(a+a’)cosx +k(b+b’)sinx + k(c+c’) Vậy theo định nghĩa thì tập E với 2 phép toán trên lập thành 1 không gian vectơ Đặt e1 = cox; e2 = sinx; e3 = 1 Với mọi f(x) = acosx + bsinx +c = ae1+be2+ce3 Do đó E’={e1,e2,e3} là tập sinh của E Ta thấy E’ độc lập tt Vậy E’ là cơ sở của E
) Bài 1.31: a. CMR: {( E = x1, x2 , x3 , x4 ∈ R 4 : x + x = x + x = 0 1 3 2 4 Lập nên một không gian con của R4 b. Tìm số chiều của E và một cơ sở của nó. Giải: a/ Ta có x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ E y = ( y1 , y2 , y3 , y4 ) ∈ E ⇒ x + y = ( x1 + x2 , y1 + y2 , x3 + y3 , x4 + y4 ) Nhân toạ độ của x với α ta được: α x = ( α x1 , α x2 , α x3 , α x4 ) x, y ∈ E nên ta có: Vì x1 + x3 = x2 + x4 = 0 y1 + y3 = y2 + y4 = 0
Do đó: ( x1 + x3 ) + ( y1 + y3 ) = ( x2 + x4 ) + ( y2 + y4 ) = 0 αx = α ( x1 + x3 ) = α ( x2 + x4 ) = 0 Vậy E lập nên một không gian con của R4 b/ ∀x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ E αx = α ( x1 + x3 ) = α ( x2 + x4 ) = 0 ∈ E ⇔ x1 = − x3 ; x2 = − x4 x = ( x1 , x2 ,−x1 ,−x2 ) Khi đó: ⇔ x = x1 (1,0,−1,0 ) + x2 ( 0,1,0,−1) ⇒ E = {(1,0,−1,0 ), ( 0,1,0,−1) } là tập sinh của F E lại độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F dim(E)=2