NGÀNH TOÁN HỌC
59
Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 4 (79) 2022
Một số bài toán trong kinh tế sử dụng ngôn ngữ R
Some maths problems in economy use the language R
Nguyễn Thị Diệp Huyền
Email: diephuyendhsaodo@gmail.com
Trường Đại học Sao Đỏ
Ngày nhận bài: 13/5/2022
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 22/6/2022
Ngày chấp nhận đăng: 03/01/2023
Tóm tắt
Trong bài báo này, bằng cách xây dựng các thuật toán cho các phép tính trên ma trận dưới dạng ngôn ngữ R,
chúng tôi nghiên cứu ứng dụng để tìm thông tin bằng một số phương pháp phân tích dữ liệu. Một số ví dụ chọn
lọc trong thực tế được trình bày trong bài báo.
Từ khóa: Ngôn ngữ R; xích Markov; bài toán cân bằng; trạng thái ổn định; hồi quy phi tuyến.
Abstracts
In this paper, by the algorithms in the form of R language, we used to find information by a number of data
analysis methods. Some selected examples in the real life are illustrated.
Keywords: R language; markov chain; balance problem; steady-state; nonlinear regression.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong khoa học
và công nghệ, nó là công cụ rất mạnh trong việc mô
hình hóa các bài toán thực tế. Sau khi thiết lập được
mô hình, bằng các công cụ của Toán học, tin học,… ta
có thể giải quyết được bài toán thực tế đặt ra. Từ đó ta
có những dự đoán, điều chỉnh phù hợp nhằm đạt được
mục đích mong muốn. Ứng dụng của Toán học trong
kinh tế được biết đến từ lâu và có rất nhiều mô hình
toán học trong kinh tế đã được trình bày trong [2, 3, 5].
Bài báo này đề cập tới một số ứng dụng quan trọng
của lý thuyết ma trận và hồi quy phi tuyến trong các mô
hình kinh tế. Xuất phát từ các bài toán nảy sinh từ trong
kinh tế, chúng tôi trình bày cách sử dụng các công cụ
toán học để mô hình hóa các bài toán đó. Dựa vào các
kết quả lý thuyết trong toán học và bằng sử dụng phần
mềm R, chúng tôi tìm được nghiệm xấp xỉ của bài toán
và từ đó đưa ra những kết luận của bài toán. Ưu điểm
của việc sử dụng phần mềm R là có khả năng phân
tích dữ liệu nhanh, cho phép thực hiện các tính toán
toán học phức tạp rất hiệu quả, (xem [7]).
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức và kết
quả khác trong [1, 2, 4, 6] phục vụ cho việc trình bày
các nội dung trong các mục sau.
Trong lý thuyết xác suất, một quá trình Markov là một
mô hình toán học được sử dụng để mô tả một dãy các
phép thử ngẫu nhiên. Một điều quan trọng khi tính xác
suất của một dãy phép thử liên tiếp là liệu các phép
thử có độc lập với nhau hay không. Chẳng hạn, khi
gieo một đồng xu cân đối và đồng chất n lần
(𝑛𝑛 ∈ ℕ∗)
,
thì ta thu được một dãy n phép thử độc lập, vì kết quả
của lần gieo sau không phụ thuộc vào kết quả của lần
gieo trước đó. Tuy nhiên, trong thực tế ta có thể gặp
các phép thử mà kết quả của phép thử ở lần sau phụ
thuộc vào kết quả của phép thử trước đó. Ta gọi đó là
dãy phép thử ngẫu nhiên độc lập có điều kiện. Để mô
tả một cách toán học các quy luật của dãy các phép
thử ngẫu nhiên độc lập có điều kiện, ta sử dụng một
quá trình Markov.
Xét một ví dụ minh họa như sau: Ta quan sát một cửa
hàng bán một loại sản phẩm nào đó trong hai ngày:
* Nếu ngày thứ nhất bán được sản phẩm, thì xác suất
bán được sản phẩm của ngày thứ hai là 0,7.
* Nếu ngày thứ nhất không bán được sản phẩm, thì
xác suất bán được sản phẩm của ngày thứ hai là 0,5.
Khi đó, các xác suất để bán được sản phẩm ở ngày
thứ hai phụ thuộc vào ngày hôm trước có bán được
hàng hay không, do đó chúng là các xác suất có điều
kiện và được cho ở bảng sau:
Bảng 1. Xác xuất có điều khiển
Bán được
sản phẩm
Không bán
được sản phẩm
Bán được sản phẩm 0,7 0,5
Không bán được sản phẩm 0,3 0,5
Nếu ta cứ tiếp tục quan sát như vậy trong nhiều ngày
sau đó, ta thu được một quá trình Markov, khi đó các
quan sát được lặp đi lặp lại và chúng ta có thể tính
được xác suất của biến cố sau một thời gian nào đó.
Chẳng hạn ta có thể tính được xác suất cửa hàng sẽ
bán được hàng vào một ngày nào đó sau tuần kể từ
ngày hôm nay là bao nhiêu? Việc phát triển các quá
Người phản biện: 1. PGS. TS. Nguyễn Văn Tuyên
2. TS. Nguyễn Viết Tuân
Ngày thứ nhất
Ngày thứ hai
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
60 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 4 (79) 2022
trình Markov đòi hỏi ta phải dự đoán về khả năng bán
được hàng trong ví dụ nói trên. Để mô hình hóa, ta sử
dụng vectơ
1
2
æö
=ç÷
èø
v
v
v
trong đó các thành phần
12
,vv
là các xác suất bán sản phẩm của ngày thứ nhất. Tức
là,
1
v
là xác suất mà ngày thứ nhất bán được sản
phẩm,
2
v
là xác suất mà ngày thứ nhất không bán
được sản phẩm. Sau một ngày, các thành phần của
vectơ
v
sẽ thay đổi tùy theo xác suất được cho trong
Bảng 1 ở trên và sẽ cho ta trạng thái hiện tại của của
hàng trong ngày thứ hai. Trong quá trình Markov đó,
ta gọi vectơ
v
là một vectơ trạng thái và một dãy các
vectơ trạng thái được gọi là một xích Markov. Sử dụng
Bảng 1, ta có vectơ trạng thái
của ngày thứ
hai có các thành phần là:
𝑣𝑣!
,= 0,7 × 𝑣𝑣!+ 0,5 × 𝑣𝑣#
Và
𝑣𝑣#
,= 0,3 × 𝑣𝑣!+ 0,5 × 𝑣𝑣#.
Điều này có nghĩa là, xác suất
,
1
v bán được hằng ngày
thứ hai bằng “0,7 nhân với xác suất bán được hàng
của ngày thứ nhất” cộng với “0,5 nhân với xác suất
không bán được hàng của ngày thứ nhất”. Tương tự
như vậy, xác suất
,
2
v
không bán được hằng ngày thứ
hai bằng “0,3 nhân với xác suất bán được hàng của
ngày thứ nhất” cộng với “0,5 nhân với xác suất không
bán được hàng của ngày thứ nhất”. Chẳng hạn, nếu
ngày hôm nay bán được hàng thì v1 = 1 và v2 = 0. Khi
đó ta có:
𝑣𝑣!
,= 0,7 × 1 + 0,5 × 0 = 0,7
Và
𝑣𝑣#
,= 0,3 × 1 + 0,5 × 0 = 0,3.
Để đơn giản, ta đặt:
0, 7 0, 5
0,3 0, 5
éù
=êú
ëû
T
Thì mối liên hệ giữa
v
và ,
v
có thể được mô tả
như sau:
,
11
,2
2
0, 7 0, 5 .
0,3 0,5
éù éù
éù
=
êú êú
êú
ëû
ëû
êú
ëû
vv
v
v
Một cách tổng quát, trong một xích Markov, ma trận
vuông
1,££
éù
=ëû
ij ij n
Tt
được sử dụng để chuyển từ
trạng thái này sang trạng thái kế tiếp được gọi là ma
trận chuyển. Chẳng hạn, với ma trận T ở trên t12 = 0,5 là
xác suất mà một ngày không bán được sản phẩm mà
trước đó là ngày bán được sản phẩm.
Một vectơ mà tất cả các thành phần đều dương và
tổng các thành phần bằng 1 được gọi là một vectơ xác
suất. Một ma trận mà các cột được tạo thành từ các
vectơ xác suất được gọi là một ma trận xác suất.
Xét ví dụ trên, ma trận
0, 7 0, 5
0,3 0, 5
éù
=êú
ëû
T
là một ma trận
xác suất. Để dự đoán được trạng thái của 2 ngày sau
đó, ta nhân ma trận xác suất T với vectơ trạng thái ,
v
2
,, ,
11 1
,, ,
22 2
0, 7 0,5 0, 7 0,5 0, 64 .
0,3 0, 5 0,3 0, 5 0, 36
æö æö æö
éùéùæö
== =
ç÷ ç÷ ç÷ç÷
êúêú
ç÷ ç÷ ç÷
ëûëûèø
èø èø èø
vv v
vv v
Từ đó, một cách tổng quát sau n ngày thì vectơ trạng
thái bán sản phẩm được tính bởi.
1
2
0, 7 0, 5 .
0,3 0,5
æö
éù
=ç÷
êú
ëû
èø
n
n
v
Tv
v
Lưu ý rằng, để tính được ma trận n
T
ta có thể sử
dụng kĩ thuật chéo hóa ma trận thông qua các giá trị
riêng và các vectơ riêng tương ứng của ma trận T.
Chẳng hạn, sau 1 tuần thì vectơ trạng thái là:
7
7
0, 7 0, 5 1 0, 625 .
0,3 0, 5 0 0,375
é ùæ ö æ ö
==
ç÷ ç ÷
êú
ë ûè ø è ø
Tv
Điều này có nghĩa là, nếu hôm nay của hàng bán được
sản phẩm thì sau 1 tuần xác suất bán được sản phẩm
là 0,625 và xác suất không bán được sản phẩm là
0,375. Thực tế, vectơ
=v
(0,625, 0,375)T thỏa mãn
phương trình
.=Tv v
Khi đó ta gọi vectơ
v
là vectơ trạng thái ổn định của
mô hình b. Tổng quát từ các phân tích trên ta có các
định nghĩa sau.
Định nghĩa 1. Cho ma trận.
12
1 11 12 1
2 21 22 2
12
0 A A ..... A
P P ..... P
P P ..... P ,
..............................
P P ..... P
éù
êú
êú
êú
=êú
êú
êú
ëû
n
n
n
n n n nn
A
TA
A
Khi đó ta gọi ma trận.
11 12 1
21 22 2
12
P P ..... P
P P ..... P
..........................
P P ..... P
éù
êú
êú
=êú
êú
ëû
n
n
n n nn
P
là ma trận xác suất chuyển đổi nếu
12
... 1, 1, 2,..., .+ ++ = =
j j nj
PP P j n
Như vậy, ta luôn có
ij
0 1, 1,..., ; 1,..., .££ ==P i nj n
Định nghĩa 2.
Ta gọi ma trận trạng thái n của một xích Markov ứng
với ma trận xác suất chuyển đổi P và ma trận trạng thái
ban đầu
0
X
là.
0
,=
n
n
X PX
Với
...= ×××
n
P PP P
là tích của n ma trận P.
Định nghĩa 3.
NGÀNH TOÁN HỌC
61
Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 4 (79) 2022
Xét xích Markov
0
n
n
X PX=
trong đó P là ma trận xác
suất chuyển đổi,
0
X
là vectơ trạng thái ban đầu,
n
X
là vectơ trạng thái thứ n. Nếu các phần tử của P đều
dương ta gọi ma trận P là ma trận chính quy của xích
Markov.
Định nghĩa 4.
Cho xích Markov
0
,=
n
n
X PX
trạng thái
X
được
gọi là trạng thái ổn định của xích Markov
n
X
nếu
.=PX X
Ta có kết quả quan trọng sau về sự tồn tại của vectơ
trạng thái ổn định.
Định lý 1. ([2, Theorem 6, 314]). Nếu một xích Markov
có ma trận chuyển đổi là P, thì tồn tại duy nhất vectơ
trạng thái
X
ổn định của xích Markov đó với vectơ
trạng thái ban đầu tùy ý.
2. MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG TRONG KINH T
Có rất nhiều ứng dụng của toán học trong các bài toán
nảy sinh từ kinh tế. Tuy nhiên, trong mục này chúng tôi
trình bày hai bài toán điển hình, quan trọng đó là bài
toán tìm vectơ trạng thái ổn định và bài toán ước lượng
một đại lượng nào đó thông qua tìm mặt hồi quy của mô
hình. Đây là những bài toán quan trọng và có nhiều ứng
dụng trong toán học cũng như trong thực tiễn.
Bài toán 1. (Tìm vectơ trạng thái ổn định) Giả sử ta
có bài toán cân bằng đưa về hệ phương trình tuyến
tính dạng.
,=Ax b
(1)
Trong đó:
( )
=
ij n
Aa
là ma trận vuông cấp n;
( ) ( )
11
,..., , ,..., .==
TT
nn
bb b xx x
Bằng phép biến đổi
=+B AI
với I là ma trận đơn vị,
ta đưa hệ (1) về hệ phương trình tương đương dạng.
=+X BX g
(2)
Với
( )
( ) ( )
11
, ,..., , ,..., .== =
TT
ij n n
n
Bb g g g X x x
Ta xét các chuẩn
1
11
, x .
nn
i ij
in
ij
x x B ma a
££
==
==
åå
Khi
đó ta có kết quả sau.
Định lý 2. Nếu
1B<
thì dãy lặp
1, 0,1, 2,...
+=+=
kk
X BX g k với
0
X
bất kỳ cho
trước sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất
*
X
của hệ phương
trình (2) và ta có đánh giá.
**
, k =1, 2,...
1
-£ -
-
kk
B
XX XX
B
Để giải hệ (2), ta sử dụng phương pháp lặp đơn qua
các bước sau:
Bước 1. Chọn sai số
e
.
Bước 2. Biến đổi (1) về dạng (2) với điều kiện
1.B<
Bước 3. Chọn
0
X
tùy ý.
Bước 4. Tính
1
, k=0, 1,...,m,
kk
X BX g
+
=+
với
( )
1
1
.
mm
B
XX
B
e
-
-
-<
Bước 5. Kết luận nghiệm xấp xỉ tìm được sau m bước
lặp là
.
m
X
Sai số mắc phải là
e.
Bài toán 2. (Hồi quy phi tuyến) Giả sử hàm hồi quy
phi tuyến lý thuyết của
Y
đối với
X
là một hàm bậc 2.
( )
2
.x xx
j ab g
=+ +
Dựa trên mẫu quan sát
( )
{ }
1
,,
n
ii
i
xy =
ta sẽ xác định
các tham số theo phương pháp hồi quy tuyến tính bội.
Để làm điều này, ta bổ sung biến ngẫu nhiên
2.VX=
Khi đó ta có mẫu quan s át
( )
{ }
2
1
,, , .
n
ii i i i
i
xvy v x
=
=
Ta đi tìm (a, b, c) là các ước lượng cho (
a
,
b
,
g
).
Ta có (a, b, c) là nghiệm của phương trình sau:
!𝑎𝑎!𝑏𝑏+𝑎𝑎"𝑐𝑐=𝑎𝑎#
𝑎𝑎"𝑏𝑏+𝑎𝑎$𝑐𝑐=𝑎𝑎%
𝑎𝑎=𝑦𝑦(−𝑏𝑏𝑥𝑥−𝑐𝑐𝑣𝑣
Với.
và
( )
( )( )
( )( )
2
1
1
1
1
1
1
,
=
=
=
ì=-
ï
ï
ï=--
í
ï
ï
=--
ï
î
å
å
å
n
i
i
n
ii
i
n
ii
i
b xx
c x xv v
d x xy y
( )
( )( )
( )( )
2
1
1
2
1
4
1
=
=
=
ì=-
ï
ï
ï=--
í
ï
ï
=--
ï
î
å
å
å
n
i
i
n
ii
i
n
ii
i
a xx
a x xv v
a x xy y
( )( )
( )
4
1
5
1
.
=
=
ì=--
ï
ï
í
ï=-
ï
î
å
å
n
ii
i
n
i
i
a v vy y
a vv
Sử dụng các kiến thức của Đại số tuyến tính và phần
mềm R ta có thể tìm được mặt hồi quy có phương
trình
2
y a bx cx=+ +
cho dữ liệu quan sát ở trên để
dự đoán kết quả.
3. MỘT SỐ VÍ DỤ CỤ THỂ
Dựa vào cơ sở lý thuyết của mục 3, trong mục này
chúng tôi trình bày một số ví dụ áp dụng tìm vectơ
trạng thái cân bằng cụ thể trong thực tiễn, các kết quả
thu được nhờ sử dụng phần mềm R.
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
62 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 4 (79) 2022
Ví dụ 1. (Mô hình đầu vào - đầu ra trong kinh tế)
Trong nền kinh tế có số lượng rất lớn các loại hàng hóa
và dịch vụ. Ta xét một số ngành chủ lực của nền kinh
tế chẳng hạn ngành dịch vụ, sản xuất nguyên liệu thô
và sản xuất hàng hóa. Bảng sau cho biết đầu vào cần
thiết cho mỗi đơn vị đầu ra.
Bảng 2. Bảng đầu vào của ba ngành
Hệ số đầu vào Dịch vụ Nguyên liệu thô Hàng hóa
Dịch vụ 0.04 0.05 0.02
Nguyên liệu thô 0.03 0.04 0.04
Hàng hóa 0.02 0.30 0.20
Cho biết để cung cấp giá trị dịch vụ có doanh thu 1
USD thì phải mất 0.04 USD chi phí cho dịch vụ và 0.05
chi phí cho nguyên liệu thô và 0.02 hàng hóa. Hãy xác
định xem tỉ trọng đóng góp (tỷ USD) của mỗi ngành
kinh doanh cho nền kinh tế để nền kinh tế đó là ổn
định. Gọi A là ma trận đầu vào - đầu ra. Từ bảng trên
ta có:
0.04 0.05 0.02
0.03 0.04 0.04
0.02 0.30 0.20
A
éù
êú
=êú
êú
ëû
b =(b1, b2, b3)T là nhu cầu trên ba lĩnh vực tính bằng tỷ
USD và X = (x1, x2, x3)T là vectơ sản xuất cũng bằng
tỷ USD. Khi đó mỗi thành phần của ma trận AX là mức
sản xuất ở mỗi lĩnh vực tương ứng và gọi là nhu cầu
nội bộ của lĩnh vực.
Nếu nhu cầu b đã biết, muốn cân bằng mức sản xuất
cho lĩnh vực đáp ứng nhu cầu cân bằng của nền kinh
tế, thì X phải thỏa mãn phương trình.
X - AX = b.
Chẳng hạn cho b = (300, 500, 600)T
. Khi đó dẫn tới hệ
phương trình.
Ta có và
123
123
123
0.96 0.05 0.02 300
0.03 0.96 0.04 500
0.02 0.30 0.80 600
xx x
xx x
xx x
--=
ì
ï-+-=
í
ï-- +=
î
1 23
2 13
3 22
51
312.5
96 48
11
520.8333.
32 24
13
750
40 8
ì=++
ï
ï
ï
Û=++
í
ï
ï= ++
ï
î
xxx
x xx
x xx
0 0.05211 0.0208
0.0313 0 0.0417 ; (312.5;520.8333;750)
0.025 0.3752 0
éù
êú
==
êú
êú
ëû
T
Bg
1.<B
Ta giải hệ phương trình trên bằng phương pháp lặp
đơn trên R ta được nghiệm xấp xỉ X = (362.6015;
572,7976; 973,979)T
, cụ thể như sau:
> #Phương pháp lặp đơn giải hệ phương trình
> esp<-10^(-8)
> Y<-matrix(c(312.5,520.8333,750),nrow=3)
> B<-matri
(c(0,0.0313,0.025,0.05211,0,0.3752,0.0208,0.0417,0),n-
row=3)
> u1<-c(0,0.0313,0.025)
> u2<-c(0.05211,0,0.3752)
> u3<-c(0.0208,0.0417,0)
> v1<-abs(u1)
> v2<-abs(u2)
> v3<-abs(u3)
> v<-max(v1,v2,v3)
> C<-v
> C
[1] 0.3752
> x0<-matrix(c(0,0,0),nrow=3)
> ham<-function(X){
+ result<-B%*%X+Y
+ #print(paste(X,result))
+ print(paste(result))}
> #ham(x0)
> x1<-matrix(c(312.5,520.8333,750),nrow=3)
> #ham(x1)
> xa<-x0
> xb<-ham(x0)
[1] “312.5” “520.8333” “750”
> i<-0
> while(abs(as.numeric(xa)-as.numeric(x-
b))>(1-C)*esp/C){
+ xa<-ham(as.numeric(xb))
+ xb<-ham(as.numeric(xa))
+ i<-i+1
+ print(i)
+ print(xb)
+ }
[1] “355.240623263” “561.88955” “953.22915416”
[1] “361.607230857028” “571.701987236604”
“969.701974741575”
[1] 1
NGÀNH TOÁN HỌC
63
Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, Số 4 (79) 2022
[1] “361.607230857028” “571.701987236604”
“969.701974741575”
[1] “362.461191629524” “572.588178672549”
“973.5427663826”
[1] “362.587259531385” “572.775068656159”
“973.896614428679”
[1] 2
[1] “362.587259531385” “572.775068656159”
“973.896614428679”
[1] “362.604358407789” “572.793770045008”
“973.969887248075”
[1] “362.606857011805” “572.797360716409”
“973.977331481082”
[1] 3
[1] “362.606857011805” “572.797360716409”
“973.977331481082”
[1] “362.607198961739” “572.797749347231”
“973.978741166092”
[1] “362.607248534739” “572.797818834129”
“973.978895529125”
[1] 4
[1] “362.607248534739” “572.797818834129”
“973.978895529125”
[1] “362.607255366452” “572.797826822702”
“973.978922839934”
[1] “362.607256350802” “572.797828175395”
“973.978926008039”
[1] 5
[1] “362.607256350802” “572.797828175395”
“973.978926008039”
[1] “362.607256487187” “572.797828338315”
“973.978926540178”
[1] “362.607256506745” “572.797828364774”
“973.978926604715”
[1] 6
[1] “362.607256506745” “572.797828364774”
“973.978926604715”
[1] “362.607256509466” “572.797828368078”
“973.978926615132”
[1] “362.607256509855” “572.797828368597”
“973.978926616439”
[1] 7
[1] “362.607256509855” “572.797828368597”
“973.978926616439”
Như vậy, ta tìm được X = (362.6015; 572.7976;
973.979)T
, điều này có nghĩa là lĩnh vực dịch vụ phải
đạt doanh số trị giá khoảng 360 tỷ USD, lĩnh vực
nguyên liệu thô phải sản xuất nguyên liệu thô trị giá
khoảng 569 tỷ USD và khu vực sản xuất phải sản xuất
hàng hóa sản xuất trị giá khoảng 974 tỷ USD, khi đó,
nền kinh tế sẽ ổn định.
Ví dụ 2: Lượng tiêu thụ điện Y (kWh) phụ thuộc vào
diện tích sử dụng của tòa nhà X (m2). Giả sử rằng nếu
diện tích sử dụng tòa nhà là X thì lượng điện tiêu thụ
trung bình của tòa nhà là
,ab g=+ +Y XV
ở đó
2.=VX
Hãy ước lượng sự tiêu thụ điện của một tòa
nhà có diện tích sử dụng là 2500 (m2) dựa theo mẫu
quan sát dưới đây:
Bảng 3. Bảng mẫu quan sát
TT X Y
11280 1185
2 1250 1210
31420 1350
4 1580 1485
51700 1600
6 1820 1710
7 1210 1100
8 2350 2250
9 2810 2720
10 2900 2810
Mẫu số liệu trên được chuyển thành mẫu số liệu sau:
Bảng 4. Bảng dữ liệu tiêu thụ điện theo diện tích sử
dụng của tòa nhà
TT X X2Y
11290 1638400 1185
2 1250 1562500 1210
31420 2016400 1350
4 1580 2496400 1485
51700 2890000 1600
6 1820 3312400 1710
7 1210 1644100 1100
8 2350 5522500 2250
9 28100 7896100 2720
10 2900 8410000 2810
Chương trình chạy bằng ngôn ngữ R để tìm mặt hồi quy:
x<-
c(1280,1250,1420,1580,1700,1820,1210,2350,2810,2900)
v<-c(1638400,1562500, 2016400, 2496400, 2890000,
3312400, 1464100, 5522500, 7896100, 8410000)
y<-c(1185, 1210, 1350, 1485, 1600, 1710, 1100, 2250,
2720, 2810)
b1<-mean(x)