lËp ma trËn ®é cøng phÇn tö thanh
tõ ma trËn chuyÓn tiÕp
GS. Vò ®×nh lai
Bé m«n Søc bÒn vËt liÖu - §H GTVT
Tãm t¾t: Bμi b¸o giíi thiÖu mét c¸ch thiÕt lËp ma trËn ®é cøng cña thanh vμ siªu thanh
cña ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n xuÊt ph¸t tõ ma trËn chuyÓn tiÕp.
Summary: In this paper, is introduced a efficient method for founding the Stiffness Matrix
of a bar or superbar in the finite element method from the transfert – matrix.
i. ®Æt vÊn ®Ò
Trong c¸c tµi liÖu nghiªn cøu hoÆc gi¶ng d¹y ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n (PTHH) [1, 2, 3] nãi chung, ng−êi ta th−êng sö dông nguyªn lý n¨ng l−îng ®Ó lËp ma trËn ®é cøng (MT§C). Riªng ®èi víi phÇn tö thanh, ng−êi ta l¹i th−êng sö dông nh÷ng c«ng thøc s½n cã cña Søc bÒn vËt liÖu, do ®ã viÖc lËp MT§C ®−îc dÔ dµng l¹i chÝnh x¸c. Tuy nhiªn, ®èi víi phÇn tö thanh phøc t¹p, thÝ dô thanh cã mÆt c¾t biÕn ®æi, thanh thµnh máng, … th× viÖc sö dông nh− thÕ l¹i kh«ng dÔ dµng. NhiÒu tr−êng hîp ng−êi ta l¹i ph¶i trë vÒ ph−¬ng ph¸p n¨ng l−îng trong ®ã hµm chuyÓn vÞ th−êng lµ hµm gÇn ®óng, lµm cho ®é cøng cña phÇn tö còng lµ gÇn ®óng. Khi ®ã bµi to¸n gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p PTHH chØ ®¹t ®−îc ®é chÝnh x¸c mong muèn khi hÖ ®−îc ph©n thµnh nhiÒu phÇn tö nhá. Trong [4] tuy vÉn dïng ph−¬ng ph¸p n¨ng l−îng nh−ng c¸c t¸c gi¶ ®· sö dông hµm chuyÓn vÞ cña thanh trªn nÒn ®µn håi lµ hµm ®óng ®· ®−îc gi¶i ë m«n Søc bÒn vËt liÖu nªn ®· ®¹t ®−îc MTC§ “®óng”.
Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i giíi thiÖu ph−¬ng ph¸p lËp MT§C thanh hoÆc thanh d¹ng d¶i phøc t¹p dùa vµo ma trËn chuyÓn tiÕp (MTCT) cña chóng. V× MTCT rót ra tõ ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch cña SBVL, nªn cã thÓ coi MT§C cña phÇn tö thanh hoÆc siªu thanh tÝnh theo c¸ch nµy lµ chÝnh x¸c (theo nghÜa ®· ®−îc chÊp nhËn trong lý thuyÕt thanh vµ hÖ thanh). Do −u ®iÓm nµy cña MT§C lËp tõ MTCT nªn trong bµi to¸n cô thÓ chiÒu dµi phÇn tö thanh hoÆc siªu thanh kh«ng bÞ h¹n chÕ mµ vÉn ®¶m b¶o ®é chÝnh x¸c.
Ii. lËp mt®c thanh tõ mtct
Theo lý thuyÕt tõ MTCT ta cã quan hÖ gi÷a vÐc t¬ chuyÓn vÞ – néi lùc ë 2 ®Çu thanh nh−
sau (h×nh 1).
(1)
{w2 W2} = LCT {w1 W1}
trong ®ã:
{Wi} = {uξliuξ2iuξ3iϕξliϕξ2iϕξ3i}: vÐc t¬ chuyÓn vÞ t¹i nót i (i = 1, 2);
{Wi} = {QξliQξ2iQξ3iMξliMξ2iMξ3i}: vÐc t¬ lùa t¹i nót i (i = 1, 2);
L
L
11
12
: ma trËn chuyÓn tiÕp tõ nót 1 ®Õn nót 2.
=
L
CT
L
L
21
22
H×nh 1.
Do vÐc t¬ lùc t¹i nót 2 cña ph−¬ng ph¸p MTCT cã ý nghÜa lµ vÐc t¬ lùc ë nót 1 ®−îc chuyÓn tiÕp ®ªns ®Çu cña phÇn tö kÕ tiÕp, trong khi ®ã, ë ph−¬ng ph¸p PTHH, vÐc t¬ nµy cã ý nghÜa lµ vÐc t¬ lùc ë nót cuèi cña phÇn tö ®ang xÐt (h×nh 2), v× vËy ®Ó b¶o ®¶m ý nghÜa ®· quy ®Þnh,
tr−íc khi tÝnh to¸n cÇn ®æi dÊu vÐc t¬
2W , còng tøc lµ ®æi dÊu cña c¸c phÇn tö t−¬ng øng ë ma
=
L
.
trËn LCT. Khi ®ã ta ®−îc MTCT theo quy −íc dÊu míi:
L −
L −
11 L
12 L
21
22
H×nh 2.
=
(2)
−=
−
} }
+ }
Thay LCT ë (1) b»ng L ta viÕt ®−îc: } { wL 11 1 { wL 21
{ w 2 { W 2
} { WL 12 1 { WL 1 22
1
⎫ ⎬ }⎭
Gi¶i hÖ (2) ta rót ra:
{W1} = K11 {w1} + K12{w2}
{W2} = K21 {w1} + K22{w2}
hay:
K
K
w
w
11
12
W 1
1
1
(3)
=
=
K
w
w
K
K
W 2
2
2
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭
21
22
trong ®ã Kij (i, j = 1, 2) lµ nh÷ng ma trËn thµnh phÇn cña MT§C cÇn t×m:
11
− 1 LL 12
11
−= K
12
− 1 L 12
(4)
= K
21
21
− 1 LLL 12
22
11
−= + K L
22
− 1 LL 22 12
−= K ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
iii. thÝ dô thiÕt lËp mt®c
PhÇn tö dÇm cã mÆt c¾t kh«ng ®æi trªn nÒn ®μn håi Winkler:
MTCT cña dÇm (xem [5]):
3 EJm C
D C − A B m
2 EJm B EJm
2 EJm
CT
− − mD4 A = L − − B C A mD4
¸p dông (4) ta rót ra d¹ng cuèi cïng cña MT§C cña phÇn tö dÇm:
3
2
− − C D A B m k m k 2 m k 2 m k 3 m
3 Bm8
2 Cm8
− Nm2Pm2
2 Cm8
3 Pm2
2 Nm2
− mQ mD8 = K EJ M − X§
Trong nh÷ng quan hÖ trªn:
k: hÖ sè nÒn ë ®¸y dÇm, m = (k/4EJ) Λ (1/4): hÖ sè dÇm nÒn,
A = chml.cosml,
mQ
B =
C = shml.sinml,
+ (sin .ml chml cos .ml shml ), 1 2
D =
M = ch2ml + cos2ml, N = ch2ml – cos2ml,
P = sh2ml + sin2ml, Q = sh2ml – sin2ml.
V× môc ®Ých minh ho¹ thÝ dô trªn ®· ®−îc tÝnh b»ng ch÷. Trong thùc tÕ, c¸c siªu phÇn tö cã thÓ phøc t¹p h¬n, khi ®ã viÖc lËp MTCT sÏ ph¶i thùc hiÖn b»ng sè ngay tõ ®Çu, sau ®ã cã thÓ viÕt d−íi d¹ng t−êng minh biÓu thøc quan hÖ chuyÓn tiÕp gi÷a vÐc t¬ chuyÓn vÞ – néi lùc ë 2 mÆt c¾t ®Çu vµ cuèi cña thanh phøc t¹p (siªu phÇn tö) [6], råi tõ MTCT cña biÓu thøc lËp ®−îc MT§C theo c¸c quan hÖ (4).
− (sin .ml chml cos .ml shml ), 1 4
Tµi liÖu tham kh¶o [1] J. H. Argiris. Recent advances in matrix methods of structural analysis. Pergamon press. Oxford. 1964
(b¶n dÞch tiÕng Nga).
[2] Hå Anh TuÊn, TrÇn B×nh. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. Nhµ xuÊt b¶n KH vµ KT. Hµ Néi. 1978
[3] NguyÔn Xu©n Lùu. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. Gi¸o tr×nh Tr−êng §¹i häc Giao th«ng VËn t¶i. Hµ
Néi, 2000.
[4] Vò V¨n Thμnh, L−¬ng Xu©n BÝnh. KÕt hîp ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ®Ó n©ng cao ®é chÝnh x¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch kÕt cÊu. T¹p chÝ KH vµ CN X©y dùng. Bé x©y dùng. Sè 3/2000.
[5] Vò §×nh Lai, NguyÔn Xu©n Lùu, Bïi §×nh Nghi. Søc bÒn vËt liÖu. Nhµ xuÊt b¶n GTVT. Hµ Néi, 2002.
[6] Vò §×nh Lai. Më ®Çu vÒ ph−¬ng ph¸p ma trËn chuyÓn tiÕp. Chuyªn ®Ò Cao häc. §¹i häc Giao th«ng
vËn t¶i. Hµ Néi, 1999 (cid:161)
