C¸c m« h×nh c¬ häc cña vËt liÖu ®μn håi - nhít - dÎo vμ gi¶i ph¸p tÝnh to¸n kÕt cÊu ¸o ®−êng cã xÐt ®Õn ®Æc tÝnh cña vËt liÖu bª t«ng asphalt
ThS. trÇn thÞ kim ®¨ng Bé m«n §−êng bé Khoa C«ng tr×nh - Tr−êng §¹i häc GTVT
Tãm t¾t: Bμi b¸o ®Ò cËp ®Õn vÊn ®Ò th«ng sè m« ®un ®μn håi tÝnh to¸n cña vËt liÖu bª t«ng asphalt ®Ó ®−a vμo tÝnh to¸n kÕt cÊu ¸o ®−êng víi gi¶ thiÕt hÖ kÕt cÊu nÒn mÆt ®−êng lμ hÖ nhiÒu líp ®μn håi. B»ng viÖc ph©n tÝch c¸c m« h×nh c¬ häc m« pháng ®Æc tÝnh c¬ b¶n cña vËt liÖu bª t«ng asphalt, t¸c gi¶ muèn ®−a ra h−íng cho gi¶i ph¸p tÝnh to¸n kÕt cÊu ¸o ®−êng mÒm cã xÐt ®Õn ®Æc tÝnh ®μn håi - nhít, dÎo cña vËt liÖu.
Summary: The issue mentioned herein is parameter of resilient modulus of asphalt concrete to calculate flexible pavement in assumption of elastic multi - layers system. There are some mechanical models to simulate basic characteristics such as visco, elastic and plastic of asphalt concrete. The solution of considering basic characteristics of asphalt concrete in calculating flexible pavement is shown by analyzing these models.
i. C¸c m« h×nh c¬ häc thÓ hiÖn ®Æc tÝnh
biÕn d¹ng cña vËt liÖu ®μn håi - nhít - dÎo
§Æc tÝnh biÕn d¹ng cña bitum vµ cña bª t«ng asphalt sö dông chÊt dÝnh kÕt lµ bitum thÓ hiÖn tÝnh chÊt phøc t¹p cña vËt liÖu: ®µn håi - nhít - dÎo. Víi lo¹i vËt liÖu nµy, ng−êi ta cã thÓ sö dông nhiÒu m« h×nh c¬ häc kh¸c nhau phï hîp víi ®iÒu kiÖn chÞu t¶i träng thùc tÕ kh¸c nhau.
ë ®iÒu kiÖn nhiÖt ®é thÊp cã thÓ dïng m« h×nh Maxvel thÓ hiÖn ®Æc ®iÓm vËt liÖu ®µn håi - nhít. M« h×nh gåm mét lß xo ®µn håi lý t−ëng ghÐp nèi tiÕp víi piston chÊt láng nhít lý t−ëng. BiÕn d¹ng ®µn håi ph¸t sinh ph¸t sinh ë lß xo ngay khi cã lùc t¸c dông vµo hÖ m« h×nh vµ biÕn d¹ng nhít ph¸t sinh t¹i piston vµ biÕn d¹ng nµy ph¸t triÓn liªn tôc trong suèt thêi gian t¸c dông cña lùc. Nh− vËy, t¹i mçi thêi ®iÓm, biÕn d¹ng tæng lµ tæng biÕn d¹ng ®µn håi cña lß xo vµ biÕn d¹ng kh«ng håi phôc cña piston chÊt láng nhít.
=ε
+
1(
=
+
)
t σ λ
σ E 0
0
σ E 0
t T 0
M« h×nh dÎo
M« h×nh Maxwell
M« h×nh ®µn håi
víi
lµ thêi gian nghØ.
λ=
E/
T 0
0
0
M« h×nh Burgers
M« h×nh tæng hîp
M« h×nh Kelvin
§Ó m« pháng c¶ ®Æc tÝnh ®µn håi chËm cña bitum, Kelvin ®−a ra m« h×nh gåm mét lß xo ®µn håi lý t−ëng ghÐp song song víi mét piston chÊt láng nhít lý t−ëng. Víi m« h×nh nµy trÞ sè biÕn d¹ng t−¬ng ®èi cña hai yÕu tè ®Òu b»ng nhau vµ øng suÊt tæng b»ng tæng hai øng suÊt nh− sau:
H×nh 1. C¸c m« h×nh c¬ häc cña vËt liÖu ®μn håi, nhít, ch¶y dÎo
=σ
λ+ε
E
1
1
ε∂ ∂ t
nÕu øng suÊt t¸c dông lµ kh«ng ®æi, ta cã:
vµ
1
ε ∫ 0
t ∫ 0
víi
lµ thêi gian trÔ
λ=
T 1
E/ 1
1
dông xung lÆp. M« ®un phøc gåm hai thµnh phÇn: thµnh phÇn ®µn håi vµ thµnh phÇn ch¶y. C¸c th«ng sè ®¹i diÖn lµ m« ®un tæng vµ gãc pha. Hai th«ng sè nµy thÓ hiÖn rÊt râ tÝnh chÊt cña vËt liÖu ë c¸c ®iÒu kiÖn nhiÖt ®é vµ gia t¶i kh¸c nhau. C¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña m« ®un tæng hîp vµ cña gãc pha cho thÊy tÝnh chÊt cña bitum sÏ thiªn vÒ ®µn håi hay ch¶y dÎo theo t−¬ng quan gi÷a thµnh phÇn ®µn håi vµ thµnh phÇn dÎo.
E"
E*
E"
§Ó thÓ hiÖn tÝnh chÊt thùc cña bitum còng nh− cña bª t«ng asphalt sö dông lµm mÆt ®−êng, Buger ®Ò nghÞ m« h×nh bao gåm m« h×nh Maxvel ghÐp nèi tiÕp víi m« h×nh Kelvin. BiÕn d¹ng tæng theo m« h×nh nµy lµ tæng biÕn d¹ng cña m« h×nh Maxvel víi biÕn d¹ng theo m« h×nh Kelvin:
y ¶ h c n Ç h p h n µ h T
E*
φ
y ¶ h c p / T
=ε − − = exp d −σ dt λ ε E σ E 1 1 T 1 ε 1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎡ 1 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦
0
1
φ
T/p ®µn håi E'
T/p ®µn håi
E'
=ε + − − 1 exp σ E σ E t T 0 1 T 1 ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ +⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ⎡ 1 ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎦
H×nh 3. C¸c thμnh phÇn cña m« ®un tæng hîp cña hai vËt liÖu cã cïng gi¸ trÞ m« ®un phøc, nh−ng cã tÝnh chÊt kh¸c nhau
M« ®un ®µn håi phøc ®−îc thÓ hiÖn nh−
Trong c«ng thøc, biÕn d¹ng tæng gåm 3 thµnh phÇn: biÕn d¹ng ®µn håi tøc thêi, biÕn d¹ng dÎo, vµ biÕn d¹ng ®µn håi chËm. C¸c thµnh phÇn biÕn d¹ng thÓ hiÖn trong ®−êng cong biÕn d¹ng theo thêi gian nh− sau:
sau:
E*= E' + i E"
E*= ⎢E* ⎢cos Φ + i ⎢E* ⎢sin Φ
víi E*: m« ®un phøc
Thµnh phÇn biÕn d¹ng ph¸t triÓn chËm
⎢E* ⎢: m« ®un ®éng, ®−îc tÝnh theo øng
0
suÊt vµ biÕn d¹ng cùc ®¹i
=
*E
Thµnh phÇn biÕn d¹ng theo thêi gian
σ ε
0
Thµnh phÇn biÕn d¹ng tøc thêi
360
x
Φ = trÔ pha gi÷a biÕn d¹ng vµ øng suÊt t i=φ t p
H×nh 2. C¸c thμnh phÇn biÕn d¹ng theo m« h×nh Buger
ti = thêi gian trÔ gi÷a chu kú biÕn d¹ng vµ
øng suÊt
ii. M« ®un phøc cña vËt liÖu bª t«ng
tp ; thêi gian cña chu kú øng suÊt
asphalt víi ®Æc tÝnh vËt liÖu
i: hÖ sè thµnh phÇn ch¶y
víi vËt liÖu ®µn håi thuÇn tuý, Φ = 0; víi
vËt liÖu ch¶y thuÇn tuý (chÊt láng), Φ = 900
M« ®un phøc ®−îc ®Þnh nghÜa lµ tæng c−êng ®é chèng l¹i biÕn d¹ng cña vËt liÖu cã tÝnh ®µn håi - nhít - dÎo khi chÞu øng suÊt t¸c
σ0sin ωt
=
=
Φ⁄ω
σ ε
+
DTE 00 + 1DT
1 λ )D/(1 0
0
E/1 0
σ,ε
σ0
trong ®ã:
λ=
T 0
0
E/ 0
ε0
ε0sin(ωt-Φ)
Trong m« h×nh Kelvin víi mét lß xo nèi song song víi mét pitton, øng suÊt tæng b»ng tæng hai øng suÊt:
t
hay
=σ
D ελ+ε
=
+
=
E1
H×nh 4. ThÝ nghiÖm m«®un ®μn håi ®éng
E 1
λ+ )1DT(ED 1 11
σ ε
iii. Gi¶i ph¸p tÝnh to¸n kÕt cÊu mÆt
®−êng mÒm cã xÐt ®Õn tÝnh chÊt
§èi víi m« h×nh tæng hîp víi mét m« h×nh Maxwell m¾c nèi tiÕp víi n m« h×nh Kelvin, chóng ta cã:
®μn håi - nhít, dÎo cña vËt liÖu
=
σ ε
+
0
+
+
1DT DTE 00
1 )1DT(E 1
1
1 n ∑ 1
Nh− vËy, øng víi mét m« h×nh nhÊt ®Þnh ®Òu cã thÓ biÓu diÔn m« ®un ®µn håi - dÎo cña vËt liÖu ®−îc m« pháng b»ng m« h×nh ®ã b»ng c¸c th«ng sè t−¬ng øng cña vËt liÖu ®µn håi lý t−ëng vµ chÊt láng lý t−ëng.
ChuyÓn ®æi Laplace ®−îc ®Þnh nghÜa nh−
sau:
−
pt dt
[ )t(FL
]
∞ ∫ 0
VËt liÖu cã tÝnh chÊt ®µn håi - nhít - dÎo cã c¶ ®Æc tÝnh ®µn håi cña mét vËt r¾n vµ biÓu hiÖn ch¶y - dÎo cña chÊt láng. Do thµnh phÇn ch¶y - dÎo, vËt liÖu cã biÕn d¹ng phô thuéc thêi gian. Thêi gian cµng dµi th× biÕn d¹ng cµng lín. VÒ mÆt nguyªn t¾c, cã thÓ ¸p dông chuyÓn ®æi Laplace víi biÕn chuyÓn ®æi p ®Ó lo¹i bá biÕn sè thêi gian, nh− vËy ®−a bµi to¸n vÒ bµi to¸n ®µn håi víi nh÷ng th«ng sè phô thuéc thêi gian thÓ hiÖn tÝnh chÊt ch¶y - dÎo. Sau khi gi¶i ra kÕt qu¶, l¹i sö dông phÐp nghÞch ®¶o Laplace cho bµi to¸n ®µn håi ®Ó ®−a biÕn sè chuyÓn ®æi p vÒ biÕn phô thuéc thêi gian cho c¸c lêi gi¶i cña bµi to¸n ®µn håi - dÎo.
trong ®ã F(t) lµ hµm sè theo thêi gian vµ p lµ biÕn chuyÓn ®æi. Sau khi tÝch ph©n vµ ®−a vµo c¸c giíi h¹n cña t, F sÏ thµnh hµm sè cña biÕn chuyÓn ®æi p.
§Ó dÔ dµng ¸p dông chuyÓn ®æi Laplace, c¸c m« h×nh c¬ häc ®Ò cËp ë phÇn trªn cã thÓ
.
∂=
D
®−îc thÓ hiÖn b»ng c¸c to¸n tö. §Æt
∂
t
NÕu t¸c dông t¶i träng ph©n bè q lµ h»ng sè kh«ng phô thuéc vµo thêi gian, chuyÓn ®æi Laplace cña q lµ:
§èi víi lß xo ®µn håi:
hay
ε=σ E
= e)t(F
pt
pt
−
−
∞ 0
∞ ∫ 0
§èi víi pitton:
hay
víi p lµ biÕn chuyÓn ®æi vµ dÊu g¹ch trªn
=E σ ε = = −= = )q(Lq qe dt e I q p q p λ=σ Dλ= σ ε
ký hiÖu lµ chuyÓn ®æi Laplace .
nèi tiÕp, biÕn d¹ng tæng b»ng tæng biÕn d¹ng
ChuyÓn ®æi Laplace cña e-t/T còng ®−îc
=ε
+
x¸c ®Þnh b»ng:
λ
σ E
0
σ D 0
δε tδ Trong m« h×nh Maxwell víi lß xo vµ pitton
T/t
T/t
pt
−
−
−
−
[ + tT/)1Tp(
] dt
∞ ∫ 0
∞ ∫ 0
+
−
] [ ( ) tT/1Tp
−=
=
e
I
∞ 0
T + Tp
1
T + Tp
1
hµm bËc 2 thay D2 b»ng p2. Cã thÓ lµm t−¬ng tù víi c¸c ®¹o hµm bËc cao h¬n b»ng c¸ch thay Dn b»ng pn. B»ng c¸ch nµy ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc chuyÓn ®æi Laplace cña m« ®un Young cña vËt liÖu ®µn ch¶y sÏ lµ:
=
=
E
)p(f
σ ε
Khi tÝnh to¸n b»ng m¸y tÝnh th× cã thÓ ¸p
dông tÝnh trùc tiÕp theo ph−¬ng tr×nh:
Ph−¬ng tr×nh biÓu diÔn c¸c m« h×nh cña vËt liÖu ®µn ch¶y thÓ hiÖn quan hÖ gi÷a øng suÊt - chuyÓn vÞ cña vËt liÖu ®µn dÎo d−íi d¹ng ph−¬ng tr×nh vi ph©n (∂/∂t) víi cÊp cµng cao nÕu m« h×nh cµng phøc t¹p.
=
E
0
+
+
(
+ 1pT pTE 00
1 ) 1pTE i
i
1 n ∑ = 1i
§Ó lo¹i bá biÕn t, c¸c chuyÓn ®æi Laplace ®−îc ¸p dông cho øng suÊt hay chuyÓn vÞ ë mçi vÕ cña ph−¬ng tr×nh. VÝ dô nh− ta lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt dσ/dt, vÝ dô:
pt
pt
−
−
= = e(L ) e e dt e
∞ ∫ 0
∞ ∫ 0
Riªng ®èi víi chuyÓn vÞ vµ ®é vâng, cã thÓ x¸c ®Þnh chuyÓn ®æi Laplace cña chóng, sau ®ã chuyÓn ®æi biÕn p trong ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh chuyÓn vÞ hay ®é vâng vÒ biÕn thêi gian nh− mét vÝ dô ®¬n gi¶n sau:
pt
−
= =σ = (L ) e dt e d σ d dt σ d dt
∞− pt Ie 0
∞ σ− ∫ 0
nÕu ta cã σ = 0 t¹i t = 0 th× sè h¹ng thø nhÊt = 0 hay ta cã:
pt
−
σ= e(d )
∞ ∫ 0
B¸n kh«ng gian ®ång nhÊt, ®µn håi - ch¶y cã m« ®un ®µn - ch¶y ®−îc m« pháng b»ng m« h×nh Kelvin vµ hÖ sè Poisson xem nh− kh«ng thay ®æi theo thêi gian lµ μ. §Ó tÝnh ®é vâng trªn bÒ mÆt b¸n kh«ng gian t¹i t©m cña t¶i träng ph©n bè q trªn ®−êng trßn b¸n kÝnh a, ta cã c«ng thøc theo lêi gi¶i bµi to¸n Boussinesq lµ:
2
qa
σ p e dt σ= p L ⎛ σ d ⎜ dt ⎝ ⎞ =⎟ ⎠
)
( 12
=
w
Nh− vËy cã thÓ thÊy chuyÓn ®æi Laplace cña ∂σ/∂t hay cña Dσ lµ viÖc thay thÕ D b»ng p vµ σ b»ng σ .
0
μ− E
Víi ®¹o hµm bËc 2, ta cã
2 d
−
pt
−
pt
=
=
e
dt
e
σ 2
dt
⎛ σ d d ⎜ dt ⎝
⎞ =⎟ ⎠
∞ ∫ 0
∞ ∫ 0
2 ⎛ σ d ⎜ L ⎜ 2 dt ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
μ−
ChuyÓn ®æi Laplace cña ®é vâng cã thÓ ®−îc tÝnh t−¬ng øng víi chuyÓn ®æi Laplace cña t¶i träng vµ m« ®un Young nh− sau: ( 12
) aq
=
w
0
−
−
pt
pt
E
∞ o
∞ ∫ 0
víi m« h×nh Kelvin, ta cã:
NÕu
= 0 t¹i t = 0, sè h¹ng ®Çu tiªn
dσ
dt
do ®ã
+
=
)1DT(EE
+
=
)1pT(EE 11
1
1
= 0 hay:
2
2
2
d
−
pt
2
) aq
( 12
=
=
σ
p
e
dt
p
=
=
−
w
0
σ 2
1 p
σ d dt
dt
nh− vËy, sÏ cã: ( ) μ− 12 aq + )1pT(pE 1
1
μ− E 1
T 1 + 1pT 1
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
∞ ∫ 0
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ L ⎜ ⎝
ChuyÓn biÕn chuyÓn p thµnh biÕn t b»ng
Nh− vËy, chuyÓn ®æi Laplace cña ®¹o
= − e e(d ) σ d dt σ d dt
Foundation Lanham, Maryland, 1996♦
1T/t
c¸ch thay
ta cã kÕt
1p1 = vµ
−= e
T 1 + 1pT 1
qu¶
lµ:
2
( 12
=
−
−
w
0
μ− E 1
t T 1
⎛ ⎜⎜ exp ⎝
®é ) ⎡ aq 1 ⎢ ⎣
vâng ⎤ ⎞ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎦
B»ng c¸ch t−¬ng tù còng cã thÓ gi¶i ®−îc ®é vâng víi c¸c m« h×nh kh¸c nhau cña vËt liÖu ®µn - ch¶y.
C¸ch gi¶i ®−îc tr×nh bµy nh− trªn ®©y lµ hoµn toµn vÒ nguyªn t¾c. §Ó cã thÓ thùc hiÖn theo c¸ch nµy th× vÊn ®Ò c¬ b¶n lµ ph¶i x¸c ®Þnh ®−îc th«ng sè ®µn håi (E) vµ th«ng sè nhít (T) cña c¸c thµnh phÇn cña vËt liÖu. C¸c th«ng sè nµy cña vËt liÖu nh− bitum hay bª t«ng asphalt th× ®−¬ng nhiªn l¹i phô thuéc ®iÒu kiÖn lµm viÖc cña vËt liÖu, mµ trong ®iÒu kiÖn ®ã, vËt liÖu sÏ c¬ b¶n thÓ hiÖn thiªn vÒ tÝnh chÊt nµo (h×nh 3).
iv. KÕt luËn
Khi gi¶i bµi to¸n kÕt cÊu ¸o ®−êng cã sö dông vËt liÖu bª t«ng asphalt, sö dông m« h×nh hÖ nhiÒu líp ®µn håi, cã thÓ xem xÐt ®Õn ®Æc tÝnh cña vËt liÖu b»ng c¸ch ®¬n gi¶n lµ xÐt c¸c yÕu tè ¶nh h−ëng ®Õn th«ng sè m« ®un ®µn håi tÝnh to¸n, lµ nhiÖt ®é vµ thêi gian t¸c dông cña t¶i träng. Th«ng sè m« ®un ®µn håi tÝnh to¸n cña vËt liÖu bª t«ng asphalt ®Ó ®−a vµo bµi to¸n gi¶i hÖ nhiÒu líp ®µn håi, theo h−íng nµy, ®−îc x¸c ®Þnh b»ng mét m« h×nh thÝ nghiÖm hîp lý trong ®iÒu kiÖn nhiÖt ®é hay t¶i träng nhÊt ®Þnh, ®¹i diÖn cho ®iÒu kiÖn lµm viÖc thùc tÕ cña vËt liÖu.
Tµi liÖu tham kh¶o
[1]. Yang H.Huang. University of Kentucky. Pavement Analysis and Design - Pentice - Hall Inc, 1993.
for
[2]. Freddy L.Roberts, Prithvi S.Kandhal, E.Ray Asphalt Brown. National Center Iowa State Technology, Dah Yinn Lee - University and Thomas W.Kenedy - University of Texas - Hot mix Asphalt Materials, Mixture Design, and Construction - NAPA Education
