Mét ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ma trËn
®é cøng trong hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n
dao ®éng cña hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do
PGS. TS. Lª v¨n doanh
Bé m«n §Çu m¸y - Toa xe
Khoa C¬ khÝ - Tr−êng §HGTVT
ThS. Lª quang h−ng
Bé m«n C¬ kÕt cÊu
Khoa C«ng tr×nh - Tr−êng §HGTVT
Tãm t¾t: BμI b¸o tr×nh bμy mét ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ma trËn ®é cøng trong hÖ ph−¬ng
tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ h÷u h¹n bËc tù do. §©y lμ ph−¬ng ph¸p cã −u ®iÓm lμ ®¬n gi¶n,
thuËn lîi cho qu¸ tr×nh tÝnh to¸n.
Trªn c¬ së ph−¬ng ph¸p nμy cã thÓ dÔ dμng x¸c ®Þnh c¸c ma trËn khèi l−îng m vμ ma
trËn qu¸n tÝnh J; ma trËn c¶n cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng.
Summary: The article presents the method to define hardness matrix in the
system of vibrating differential equations of the free finite system. The advantage of
this method is the simplicity and convenience in calculation process. The mass matrix
[M] and matrix [
β
] in the system of vibrating equations can similarly be defined.
i. ma trËn ®é cøng
Chóng ta ®· biÕt ph−¬ng tr×nh dao ®éng
cña hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do ®−îc biÓu thÞ:
[
]
{}
[
]
{
}
[
]
{}
[
]
PqkqqM =+
β
+&&& (1)
trong ®ã:
- [M] lµ ma trËn khèi l−îng vµ m« men
qu¸n tÝnh.
- [β] lµ ma trËn c¶n
- [k] lµ ma trËn ®é cøng
- [P] lµ ma trËn kÝch ®éng
- {q} lµ ma trËn cét cña biªn ®é tæng qu¸t
ë ®©y giíi thiÖu chñ yÕu vÒ c¸ch tÝnh ma
trËn ®é cøng tõ ®ã b»ng c¸ch t−¬ng tù cã thÓ
x¸c ®Þnh c¸c ma trËn [β] vµ [M].
Mét c¸ch tæng qu¸t theo nguyªn lý céng
t¸c dông ta cã:
qi = ai1F1 + ai2F2 + ai3F3+…+ainFn
trong ®ã:
- qi lµ biªn ®é do c¸c lùc tæng qu¸t F1 , F2,
… Fn g©y ra.
- ai1 lµ biªn ®é theo ph−¬ng cña qi do lùc
tæng qu¸t F1 = 1 g©y ra.
- ai2 lµ biªn ®é theo ph−¬ng cña qi do lùc
tæng qu¸t F2 = 1 g©y ra.
- ain lµ biªn ®é theo ph−¬ng cña qi do lùc
tæng qu¸t Fn = 1 g©y ra.
Tõ ®ã ta cã thÓ biÓu diÔn c¸c biªn ®é
tæng qu¸t qi nh− sau:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
nnn22n11nn
nn22221212
nn12121111
Fa...FaFaq
...............................................
Fa...FaFaq
Fa...FaFaq
viÕt d−íi d¹ng ma trËn:
{}
[
]
{}
Faq
=
suy ra:
{}
{
}
[]
1
aqF −
=
®Æt
[]
[]
Ka 1=
−
ta cã:
{}
{
}
[
]
KqF =
hay:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n
2
1
q
...
q
q
K...KK
..................
K...KK
K...KK
F
...
F
F
ë ®©y:
Ki j lµ lùc cÇn thiÕt theo h−íng qi khi biªn
®é qj = 1, c¸c biªn ®é q ≠ qj ®Òu b»ng kh«ng.
Tõ ®ã ta cã quy t¾c x¸c ®Þnh c¸c phÇn tö
cét bÊt kú nµo ®ã trong ma trËn [K] lµ lÊy biªn
®é qi cña cét nµo ®ã trong ma trËn b»ng 1 cßn
c¸c biªn ®é q ≠ q
j b»ng kh«ng. ThÝ dô x©y
dùng cét thø nhÊt cña ma trËn ®é cøng [K] cho
q1 = 1 cßn c¸c q2, q3, …, qn = 0 khi ®ã lùc cÇn
thiÕt ®Ó c¸c to¹ ®é tæng qu¸t (biªn ®é) qi biÕn
d¹ng do q1 = 1 lÇn l−ît lµ K11, K21, K31, …, Kn1.
II. x¸c ®Þnh ma trËn ®é cøng
a. Kh¸i niÖm vÒ ma trËn “c¬ së” - ký
hiÖu lµ [Kv]
NÕu gäi K1, K2, …, Km lµ ®é cøng cña m
phÇn tö ®µn håi trong hÖ thèng dao ®éng. Gäi
q1, q2, …, qn lµ c¸c
to¹ ®é tæng qu¸t cña
hÖ thèng.
Khi lÊy q1 = 1
cßn c¸c qi kh¸c b»ng
kh«ng th× lùc ®µn håi suy réng s¶n sinh trªn k1
lµ k’11; trªn k2 lµ k’12, trªn kn lµ k’1n.
Khi lÊy qn = 1 cßn c¸c qi kh¸c b»ng
kh«ng th× lùc trªn c¸c phÇn tö ®µn håi lµ k’n1,
k’n2 , …, k’nn.
Ta qui ®Þnh dÊu nh− sau: khi phÇn tö ®µn
håi chÞu kÐo lµ ⊕; chÞu nÐn lµ \.
Khi ®ã ta sÏ ®−îc mét ma trËn [kv] ®−îc
gäi lµ ma trËn “c¬ së” mµ c¸c phÇn tö cña ma
trËn nµy lµ c¸c lùc ®¬n vÞ, vµ cã thÓ x¸c ®Þnh
®−îc tõ m« h×nh dao ®éng cô thÓ.
Ta cã ma trËn [kv]:
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
'
nn
'2n
'1n
'n2
'
22
1
21
'n1
'
12
''11
v
K...KK
............
K...KK
K...KK
k
Gäi bii , bi j , bji lµ c¸c hÖ sè cña c¸c phÇn
tö K’ii , K’I j , K’ji c¸c hÖ sè nµy víi Ki j kh¸c
kh«ng sÏ cã trÞ sè lµ 1 hoÆc -1.
Khi ®ã quan hÖ Ki j víi K’I j vµ bi j lµ:
K11 = K’11 .b11 + K’12b12 + …+ k’1nb1n
hay cã thÓ viÕt:
K11 = [K’11 K’12 … K’1n][b11 b12 b1n]T
Tæng qu¸t c¸c phÇn tö cña ®−êng chÐo:
Kii = [K’i1 K’i2 … K’in][bi1 bi2 … bin]T
C¸c phÇn tö kh¸c:
K12 = [K’11 K’12 … K’1n][b21 b22 … b2n]T
K21 = [K’11 K’22 … K’2n][b11 b12 … b1n]T
… … … … … … …. …
Ki j = [K’i1 K’i2 … K’in][bj1 bj2 … bjn]T
Khi ®ã ta cã ma trËn ®é cøng viÕt d−íi
d¹ng:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
KKK
...
............
...
...
...
............
...
...
...
............
...
...
21
22212
12111
'' 2
'1
'
2
'
22
'
21
'
1
'
12
'
11
21
22221
11211
NhËn xÐt:
- Ma trËn
T
nn2n1n
n22221
n11211
nnn2n1
2n2212
1n2111
b...bb
............
b...bb
b...bb
b...bb
............
b...bb
b...bb
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ta gäi lµ [KD]T
ma trËn [KD] chÝnh lµ ma trËn hÖ sè cña
ma trËn [Kv].
Tõ ®©y ta rót ra ma trËn ®é cøng [k] tÝnh
nh− sau:
[K] = [Kv][KD]T (*)
§Ó lµm râ h¬n cho tÝnh ®óng ®¾n cña
c«ng thøc (*) chóng ta kiÓm tra l¹i víi hÖ dao
®éng cã 2 bËc tù do víi to¹ ®é lµ Z1 vµ Z2 ; ®é
cøng cña hÖ ®µn håi lµ k1 vµ k2. Khi ®ã ma
trËn ®é cøng cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
2221
1211
2121
11
KK
KK
KKK
KK
K
gäi:
- k’ii lµ lùc t¸c dông bëi phÇn tö ®µn håi I
lªn to¹ ®é Zi do Zi biÕn d¹ng 1 ®¬n vÞ
(Zi = 1).
- k’ij lµ lùc t¸c dông bëi phÇn tö ®µn håi I
lªn to¹ ®é Zj do Zj biÕn d¹ng 1 ®¬n vÞ
(Zj = 1).
Tõ ®Þnh nghÜa vµ tõ hÖ dao ®éng 2 bËc tù
do trªn ta cã thÓ x¸c ®Þnh ma trËn [KV] .
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
21
1
'
22
'
21
'
12
'
11
VKK
0K
KK
KK
K
Gäi c¸c hÖ sè K’ii vµ K’I j lµ bii vµ bi j khi ®ã
ta cã thÓ viÕt ®−îc:
[][
T
121112111212111111 bb'K'Kb'Kb'KK =+=
]
[]
[
]
T
222122212222212122 bb'K'Kb'Kb'KK =+=
suy ra c¸c phÇn tö ki j
K12 = [k’11 k’12][b21 b22]T
K21 = [k’21 k’22][b11 b12]T
khi ®ã ta cã:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
−
=
2212
2111
21
1
211
11
bb
bb
KK
0K
KKK
KK
K
DÔ dµng t×m ®−îc:
b11 = -1; b12 = 0; b21 = 1; b22 = -1
nghÜa lµ:
[]
T
D
T
2212
2111
K
11
01
10
11
bb
bb
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
−
=
[]
v
21
1K
KK
0K =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
− lµ ma trËn c¬ së.
[KD] lµ ma trËn hÖ sè cña [Kv]
tõ ®ã ta cã:
[
]
[
]
[
]
T
Dv KKK =
T−¬ng tù nh− vËy chóng ta hoµn toµn cã
thÓ x¸c ®Þnh c¸c ma trËn [M]; [β] trong hÖ
ph−¬ng tr×nh dao ®éng (1).
[
]
[
]
[
]
[
][][]
T
DV
T
DV ;MMM ββ=β=
Ph−¬ng ph¸p trªn gäi t¾t lµ ph−¬ng ph¸p
VZ.
III. KÕt luËn
Sö dông ph−¬ng ph¸p VZ thiÕt lËp hÖ
ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ cã h÷u
h¹n bËc tù do lµ ®¬n gi¶n, nhanh, thuËn lîi
trong tÝnh to¸n.
Ph−¬ng ph¸p trªn kh«ng nh÷ng sö dông
cho hÖ tuyÕn tÝnh mµ cßn cã thÓ sö dông ®−îc
cho mét sè ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn.
Tµi liÖu tham kh¶o
[1]. PGS. TS. Lª V¨n Doanh. æn ®Þnh ®éng lùc häc
toa xe. Tµi liÖu gi¶ng d¹y cao häc.
[2] NguyÔn V¨n Khang. Dao ®éng kü thuËt - NXB
KHKT, 2001.
[3]. versÝnki c. b. §éng lùc häc toa xe (tiÕng
Nga) - NXB Matxc¬va, 1999♦