intTypePromotion=3

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Không gian với sn-lưới sao-đếm được và sn-lưới sao-điểm"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
25
lượt xem
2
download

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Không gian với sn-lưới sao-đếm được và sn-lưới sao-điểm"

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 5. Đinh Huy Hoàng, Đoàn Thị Hồng Nguyên, Không gian với sn-lưới sao-đếm được và sn-lưới sao-điểm.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Không gian với sn-lưới sao-đếm được và sn-lưới sao-điểm"

  1. sn-l­íi sao-®Õm ®­îc vµ sn-l­íi sao-®iÓm kh«ng gian víi §inh Huy Hoµng (a) §oµn ThÞ Hång Nguyªn (b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®­a ra mét sè ®Æc tr­ng cña kh«ng gian víi sn-l­íi sao-®Õm ®­îc, kh«ng gian sn-l­íi ®Õm ®­îc theo ®iÓm σ-HCP vµ kh«ng gian sn kh¶ m«tric. 1 Më ®Çu Kh¸i niÖm sn-l­íi ®­îc ®­a ra vµ nghiªn cøu bëi S. Lin [2]. Dùa vµo tÝnh chÊt cña sn-l­íi ng­êi ta ®­a ra c¸c kh¸i niÖm vÒ kh«ng gian snf-®Õm ®­îc, sn-mªtric ho¸ vµ nghiªn cøu ®Æc tr­ng cña c¸c kh«ng gian nµy. H­íng nghiªn cøu nµy ®· thu hót sù quan t©m cña nhiÒu t¸c gi¶, nh÷ng ng­êi ®¹t nh÷ng kÕt qu¶ ®¸ng kÓ trong lÜnh vùc nµy ph¶i kÓ ®Õn lµ S. Lin, Y. Ge, Y. Tanaka, Zh. Lou ([1], [2], [3], [4], [5]). Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®­a ra mét sè ®Æc tr­ng cña kh«ng gian víi sn-l­íi sao-®Õm ®­îc vµ ®Õm ®­îc theo ®iÓm σ-HCP, sn-l­íi sao-®iÓm. §Çu tiªn, chóng ta tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cÇn dïng trong bµi b¸o. C¸c kh«ng gian nãi tíi sau nµy ®­îc gi¶ thiÕt lµ T1 vµ chÝnh quy. 1.1 §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P lµ hä c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« X . (1) Hä P ®­îc gäi lµ ®Õm ®­îc theo ®iÓm nÕu víi mçi a ∈ X, tËp Pa = {P ∈ P : a ∈ P } lµ ®Õm ®­îc. (2) Hä P ®­îc gäi lµ h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng (t­¬ng øng rêi r¹c) nÕu víi mçi a ∈ X, tån t¹i l©n cËn U cña a sao cho tËp P = {P ∈ P : P ∩ U = ∅} lµ h÷u h¹n (t­¬ng øng cã kh«ng qu¸ mét phÇn tö). (3) Hä P ®­îc gäi lµ sao-®Õm ®­îc nÕu mçi Po ∈ P , tËp P (Po ) = {P ∈ P : P ∩ Po = ∅} lµ ®Õm ®­îc. (4) Hä P = {Pα : α ∈ Λ} ®­îc gäi lµ b¶o tån bao ®ãng di truyÒn hay ®¬n gi¶n lµ HCP nÕu cl(∪{Bα : α ∈ Λ }) = ∪{clBα : α ∈ Λ }, víi bÊt k× Λ ⊂ Λ vµ Bα ⊂ Pα víi mäi α ∈ Λ , trong ®ã clB lµ kÝ hiÖu bao ®ãng cña tËp B . (5) Hä P ®­îc gäi lµ b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu hay ®¬n gi¶n lµ WHCP nÕu hä bÊt kú {x(P ) ∈ P : P ∈ P} lµ HCP. (6) P lµ hä σ-(p) nÕu P = {Pn : n ∈ N}, trong ®ã Pn lµ hä cã tÝnh chÊt (p) víi mäi n ∈ N. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö V ⊂ X vµ x ∈ V , V ®­îc gäi lµ l©n cËn d·y cña x ∈ X nÕu víi 1.2 mçi d·y {xn} trong X héi tô tíi x, tån t¹i no ∈ N sao cho {xn : n ≥ no } ⊂ V. NhËn bµi ngµy 11/12/2009. Söa ch÷a xong 02/02/2010. 1
  2. §Þnh nghÜa. (1) Gi¶ sö P = {Px : x ∈ X } lµ phñ cña X , P ®­îc gäi lµ mét sn-l­íi 1.3 cña X nÕu (i) Px lµ l­íi t¹i x víi mçi x ∈ X nghÜa lµ x ∈ ∩Px vµ mçi l©n cËn U cña x tån t¹i P ∈ Px sao cho P ⊂ U , trong ®ã ta viÕt ∩Px thay cho ∩{P : P ∈ Px }; (ii) Víi mäi P1 , P2 ∈ Px , tån t¹i P3 ∈ Px sao cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 ; (iii) Mçi phÇn tö thuéc Px lµ l©n cËn d·y cña x. Khi ®ã ta còng gäi Px lµ sn-l­íi t¹i x. (2) Kh«ng gian X ®­îc gäi lµ kh«ng gian snf-®Õm ®­îc nÕu X cã sn-l­íi P = {Px : x ∈ X } sao cho mçi Px lµ tËp ®Õm ®­îc. (3) Kh«ng gian X ®­îc gäi lµ kh«ng gian sn-kh¶ mªtric nÕu X cã sn-l­íi σ-h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng. (4) Gi¶ sö {Pn } lµ d·y c¸c phñ cña kh«ng gian X . {Pn} ®­îc gäi lµ sn-l­íi sao- ®iÓm cña X nÕu víi mçi x ∈ X, {st(x, Pn ) : n ∈ N} lµ sn-l­íi t¹i x trong X , trong ®ã st(x, Pn ) = ∪{P ∈ Pn : x ∈ P }. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p« vµ P lµ phñ cña X . 1.4 (1) P ®­îc gäi lµ k-l­íi cña X nÕu mçi tËp compact K vµ mçi l©n cËn V cña K tån t¹i hä con h÷u h¹n F cña P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ V , trong ®ã ∪F = ∪{P : P ∈ F }. (2) P ®­îc gäi lµ cs-l­íi cña X nÕu víi mçi d·y {xn} trong X héi tô tíi x ∈ X vµ mçi l©n cËn V cña x ®Òu tån t¹i P ∈ P vµ m ∈ N sao cho {xn : n m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V. (3) P ®­îc gäi lµ cs∗ -l­íi cña X nÕu víi mçi d·y {xn } trong X héi tô tíi x ∈ X vµ mçi l©n cËn V cña x ®Òu tån t¹i d·y con {xn } cña d·y {xn} vµ P ∈ P sao cho k {xnk : k ∈ N} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V. 1.5 §Þnh nghÜa. Kh«ng gian t«p« X ®­îc gäi lµ kh«ng gian FrÐchet nÕu mçi tËp con A cña X vµ x ∈ A, tån t¹i d·y {xn } trong A sao cho d·y {xn } héi tô tíi x. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p« vµ P lµ phñ cña X , víi mçi hä con F 1.6 cña P , ta kÝ hiÖu lµ l©n cËn d·y cña x }. Ints (∪F ) = {x ∈ X : ∪F ®­îc gäi lµ cã tÝnh chÊt (B) nÕu víi mäi x ∈ X , mäi l©n cËn U cña x tån t¹i hä con P h÷u h¹n F cña P sao cho (i) x ∈ Ints (∪F ) ⊂ ∪F ⊂ U ; (ii) x ∈ ∩F . 1.7 §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P lµ phñ cña kh«ng gian t«p« X . P ®­îc gäi lµ cfp-phñ cña tËp compact K ⊂ X nÕu tån t¹i hä h÷u h¹n {Kα : α ∈ J } c¸c tËp con ®ãng cña K vµ {Pα : α ∈ J } ⊂ P sao cho K = ∪{Kα : α ∈ J } vµ Kα ⊂ Pα víi mäi α ∈ J. P ®­îc gäi lµ cfp-phñ cña X nÕu víi mçi tËp con compact K cña X , tån t¹i tËp h÷u h¹n P∗ ⊂ P sao cho P∗ lµ cfp-phñ cña K trong X .
  3. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p« vµ P ⊂ X . 1.8 (1) D·y {xn } ®­îc gäi lµ n»m trong P tõ mét lóc nµo ®ã nÕu xn −→ x vµ tån t¹i m ∈ N sao cho {xn : n m} ∪ {x} ⊂ P. (2) D·y {xn} ®­îc gäi lµ th­êng xuyªn gÆp P nÕu cã mét d·y con nµo ®ã cña {xn} n»m trong P tõ mét lóc nµo ®ã. 2 C¸c kÕt qu¶ chÝnh §Þnh lý. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng. 2.1 (1) X cã sn-l­íi sao-®Õm ®­îc. (2) X lµ kh«ng gian snf-®Õm ®­îc cã cs-l­íi sao ®Õm ®­îc. (3) X lµ kh«ng gian snf-®Õm ®­îc cã phñ sao-®Õm ®­îc cã tÝnh chÊt (B). Chøng minh. (1) =⇒ (3). Gi¶ sö P = {Px : x ∈ X } lµ sn-l­íi sao-®Õm ®­îc trong X . Khi ®ã Px lµ l­íi t¹i x vµ mçi P ∈ Px lµ l©n cËn d·y cña x. Do ®ã víi mçi U më trong X ¾t tån t¹i P ∈ Px sao cho x ∈ P ⊂ U vµ x ∈ Ints (P ). Tõ ®ã ta cã x ∈ Ints (P ) ⊂ P ⊂ U. Nh­ vËy P cã tÝnh chÊt (B). MÆt kh¸c tõ P lµ sao-®Õm ®­îc suy ra Px ®Õm ®­îc víi mçi x ∈ X , tøc lµ X lµ kh«ng gian snf-®Õm ®­îc. (3) =⇒ (2). Gi¶ sö X lµ kh«ng gian snf-®Õm ®­îc víi phñ P cã tÝnh sao -®Õm ®­îc vµ tÝnh chÊt (B). Víi mçi x ∈ X ®Æt Px = {P ∈ P : x ∈ P }; (Px )∗ = {∪L : L lµ hä con h÷u h¹n cña Px }; Gx = {G ∈ (Px )∗ : x ∈ Ints (G)} vµ G = {Gx : x ∈ X }. Tõ tÝnh chÊt sao-®Õm ®­îc cña P suy ra Px lµ ®Õm ®­îc, do ®ã (Px)∗ ®Õm ®­îc víi mçi x ∈ X . Gi¶ sö {xn } lµ d·y trong X , {xn } héi tô tíi x ∈ X vµ U lµ tËp më trong X sao cho x ∈ U . Khi ®ã, v× P cã tÝnh chÊt (B) nªn tån t¹i hä con h÷u h¹n L cña P sao cho vµ x ∈ ∩L. x ∈ Ints (∪L) ⊂ ∪L ⊂ U LÊy G = ∪L th× G ∈ Gx. V× xn −→ x nªn tån t¹i m ∈ N sao cho {xn : n m} ⊂ ∪L. V× vËy tån t¹i G ∈ G sao cho {xn : n m} ∪ {x} ⊂ G ⊂ U. Do ®ã G lµ cs-l­íi cña X . B©y giê ta chøng tá G cã tÝnh sao-®Õm ®­îc. Gi¶ sö G ∈ G . Khi ®ã tån t¹i x ∈ X vµ P1 , P2 , . . . , Pn ∈ Px sao cho G = Pi . Gi¶ sö G ∈ G . Khi ®ã G = Pi víi P1 , P2 , . . . , Pm ∈ in im Py , trong ®ã y lµ ®iÓm nµo ®ã thuéc X . NÕu G ∩ Pi = ∅ th× tån t¹i Pj sao cho Pi ∩ Pj = ∅.
  4. V× P cã tÝnh sao-®Õm ®­îc nªn Pi chØ cã thÓ giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®­îc phÇn tö P ∈ P vµ mçi phÇn tö P nµy l¹i chØ cã thÓ giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®­îc c¸c phÇn tö cña P . Tõ ®ã suy ra mçi Pi chØ cã thÓ giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®­îc phÇn tö G ∈ G vµ do ®ã G chØ cã thÓ giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®­îc phÇn tö G ∈ G . VËy G sao-®Õm ®­îc. (2) =⇒ (1). Gi¶ sö X lµ kh«ng gian snf-®Õm ®­îc víi cs-l­íi sao-®Õm ®­îc. Khi ®ã X cã mét sn-l­íi B = ∪{Bx : x ∈ X }, trong ®ã mçi Bx lµ ®Õm ®­îc vµ mét cs-l­íi sao-®Õm ®­îc P . V× mçi Bx lµ ®Õm ®­îc nªn ta cã thÓ kÝ hiÖu Bx = {B (x, n) : n ∈ N}, vµ cã thÓ gi¶ thiÕt B (x, n + 1) ⊂ B (x, n) víi mäi n. §Æt P∗ = {∩L : L lµ hä con h÷u h¹n cña P}. Khi ®ã P∗ lµ cs-l­íi vµ nã còng cã tÝnh sao-®Õm ®­îc. Do ®ã ta cã thÓ gi¶ thiÕt P khÐp kÝn víi phÐp giao h÷u h¹n (nÕu cÇn cã thÓ thay P bëi P∗ ). Víi mçi x ∈ X , tõ tÝnh sao-®Õm ®­îc cña P suy ra hä Px = {P ∈ P : x ∈ P } lµ ®Õm ®­îc. Do ®ã ta viÕt Px = {P1 , P2 , . . . , Pn , . . .}. §Æt Lx = {P ∈ Px : B (x, n) ⊂ P víi n nµo ®ã }. Khi ®ã Lx = ∅. ThËt vËy, nÕu Lx = ∅ th× víi mäi m, n ∈ N ®Òu cã B (x, n) Pm. Tõ ®ã suy ra tån t¹i d·y {xn,m} víi xn,m ∈ B (x, n) \ Pm víi m, n ∈ N. Ta thiÕt lËp d·y {xk } b»ng c¸ch ®¸nh sè c¸c phÇn tö cña d·y {xn,m } nh­ sau: ®Çu tiªn ®¸nh sè k theo chiÒu t¨ng cña n, víi mçi n ®¸nh sè k theo chiÒu t¨ng cña m. Ch¼ng h¹n x1 = x1,1 , x2 = x2,1 , x3 = x2,2 , x4 = x3,1 , x5 = x3,2 , x6 = x3,3 , x7 = x4,1 , . . . . Nh­ vËy ta cã k = m + n(n − 1)/2. Víi mçi tËp më U chøa x, v× {B (x, n) : n ∈ N} lµ l­íi t¹i x nªn tån t¹i n ∈ N sao cho B (x, n) ⊂ U . Tõ B (x, n + 1) ⊂ B (x, n) víi mäi n suy ra víi mçi n ∈ N tån t¹i ko ∈ N sao cho xk ∈ B (x, n) víi mäi k ko , n ∈ N. Tõ ®ã suy ra xk −→ x. V× P lµ cs-l­íi nªn tån t¹i Pm ∈ Px vµ k1 ∈ N sao cho {xk : k k1 } ⊂ Pm . o o MÆt kh¸c theo c¸ch x©y dùng d·y {xk } th× tån t¹i k sao cho k > k1 vµ xk = xn,m o víi n > k1 , tøc lµ xk ∈ Pm víi k > k1 . Ta cã mét ®iÒu m©u thuÉn. Do ®ã Lx = ∅ víi mäi / o x ∈ X . §Æt L = ∪{Lx : x ∈ X }. Gi¶ sö U lµ tËp më trong X sao cho x ∈ U . V× P lµ cs-l­íi, t­¬ng tù nh­ chøng minh Lx = ∅ ta chøng minh ®­îc tån t¹i P ∈ Px vµ n ∈ N sao cho B (x, n) ⊂ P ⊂ U . Do ®ã Lx lµ l­íi t¹i x. HiÓn nhiªn x ∈ ∩Lx. Gi¶ sö P vµ P thuéc Lx. Khi ®ã tån t¹i B (x, n) ⊂ P vµ B (x, n ) ⊂ P . V× P khÐp kÝn víi phÐp giao h÷u h¹n nªn P ∩ P ∈ P . MÆt kh¸c víi n = max{n, n } ta cã B (x, n ) ⊂ P ∩ P . Do ®ã P ∩ P ∈ Lx . Cuèi cïng, v× B lµ sn-l­íi nªn mçi B (x, n) lµ l©n cËn d·y cña x. Tõ ®ã suy ra mçi P ∈ Lx còng lµ l©n cËn d·y cña x. Do ®ã L lµ sn-l­íi trong X . V× L ⊂ P mµ P lµ sao-®Õm ®­îc nªn L còng lµ sao-®Õm ®­îc. 2.2 Bæ ®Ò. [3] NÕu P = {Pα : α ∈ Λ} lµ hä HCP (t­¬ng øng WHCP) cña X th× hä P∗ gåm tÊt c¶ c¸c giao h÷u h¹n cña c¸c tËp thuéc P còng cã tÝnh chÊt HCP (t­¬ng øng WHCP).
  5. Bæ ®Ò. [2] Kh«ng gian t«p« X lµ sn-kh¶ mªtric khi vµ chØ khi X lµ kh«ng gian 2.3 snf-®Õm ®­îc cã cs∗ -l­íi (®ãng) σ-HCP . 2.4 §Þnh lý. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng. (1) X cã sn-l­íi ®Õm ®­îc theo ®iÓm, σ-HCP (t­¬ng øng σ-W HCP ). (2) X lµ kh«ng gian snf-®Õm ®­îc, cã cs-l­íi ®Õm ®­îc theo ®iÓm, σ-HCP (t­¬ng øng σ-W HCP ). Chøng minh. Tõ (1) suy ra (2) lµ hiÓn nhiªn. B©y giê ta chøng minh (2) suy ra (1). Gi¶ sö B = ∪{Bx : x ∈ X } lµ sn-l­íi trong X , trong ®ã Bx ®Õm ®­îc vµ P = ∪{Pn : n ∈ N∗ } lµ cs-l­íi ®Õm ®­îc theo ®iÓm, trong ®ã Pn cã tÝnh chÊt HCP víi mäi n ∈ N∗ . Khi ®ã, ta cã thÓ viÕt Bx = {Bx,1 , Bx,2 , . . . , Bx,n , . . .} vµ gi¶ thiÕt Bx,n+1 ⊂ Bx,n víi mäi n. V× hîp cña mét sè h÷u h¹n hä HCP lµ hä HCP nªn cã thÓ gi¶ thiÕt Pn ⊂ Pn+1 víi mäi n. H¬n n÷a, theo Bæ ®Ò 2.2, (Pn)∗ còng cã tÝnh chÊt HCP, trong ®ã (Pn )∗ lµ hä tÊt c¶ c¸c giao h÷u h¹n c¸c tËp thuéc Pn. Do ®ã cã thÓ gi¶ thiÕt c¸c Pn khÐp kÝn víi phÐp giao h÷u h¹n. Trong chøng minh §Þnh lÝ 2.1, khi chøng tá (2) suy ra (1) ta ®· chØ ra r»ng víi mçi x ∈ X hä {P ∈ Px : ∃B (x, n) sao cho B (x, n) ⊂ P } = ∅, trong ®ã Px = {P ∈ P : x ∈ P }. Do ®ã, tõ Pn ⊂ Pn+1 víi mäi n ta suy ra hä Ln,x = {P ∈ Pn : ∃B ∈ Bx , B ⊂ P } = ∅, víi mäi n ®ñ lín. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ thiÕt Ln,x = ∅ víi mäi n. §Æt Lx = ∪{Ln,x : n = 1, 2, . . .}, Ln = ∪{Ln,x : x ∈ X }, L = ∪{Lx : x ∈ X }. Khi ®ã, ta cã Ln ⊂ Pn víi mäi n vµ L = ∪{Ln : n = 1, 2, . . .} ⊂ P . Tõ tÝnh ®Õm ®­îc theo ®iÓm cña P vµ mçi Pn lµ HCP suy ra L ®Õm ®­îc theo ®iÓm vµ σ − HCP . §Ó hoµn thµnh chøng minh ta chØ cÇn chøng tá L lµ sn-l­íi. Tõ c¸ch x¸c ®Þnh Lx ta suy ra Lx lµ l­íi t¹i x víi mçi x ∈ X . Gi¶ sö P vµ P thuéc Lx . Khi ®ã tån t¹i Bx,n vµ Bx,n thuéc Bx sao cho Bx,n ⊂ P, Bx,n ⊂ P . §Æt m = max{n, n } ta cã Bx,m ⊂ Bx,n ∩ Bx,n ⊂ P ∩ P ∈ Pm . Do ®ã P ∩ P ∈ Lm,x ⊂ Lx. Tõ mçi Bx,n lµ l©n cËn d·y cña x suy ra mçi P ∈ Lx lµ l©n cËn d·y cña x. VËy L lµ sn-l­íi trong X . Tr­êng hîp P cã tÝnh chÊt σ-W HCP ®­îc chøng minh t­¬ng tù.
  6. Bæ ®Ò. NÕu X lµ kh«ng gian FrÐchet, th× mäi l©n cËn d·y cña x ∈ X ®Òu lµ l©n 2.5 cËn cña x. Chøng minh. Gi¶ sö U lµ l©n cËn d·y cña x ∈ X nh­ng U kh«ng lµ l©n cËn cña x. Khi ®ã x ∈ X \ U . V× X lµ kh«ng gian FrÐchet suy ra tån t¹i d·y {xn } ⊂ X \ U sao cho xn −→ x. V× U lµ l©n cËn d·y cña x nªn tån t¹i no ∈ N sao cho {xn : n no } ⊂ U. Ta cã ®iÒu m©u thuÉn. VËy U lµ l©n cËn cña x. 2.6 Bæ ®Ò. [3] NÕu P lµ cs∗ -l­íi σ -HCP trong kh«ng gian X th× P lµ k-l­íi. 2.7 Bæ ®Ò. [4] Mäi kh«ng gian compact cã k-l­íi ®Õm ®­îc theo ®iÓm lµ kh¶ mªtric. 2.8 Bæ ®Ò. NÕu P lµ hä c¸c tËp con cña kh«ng gian X cã tÝnh h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng th× P cã tÝnh HCP. Chøng minh. Gi¶ sö P lµ hä c¸c tËp con cña X cã tÝnh h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng vµ Po lµ hä con tuú ý cña P . Khi ®ã, Po cã tÝnh h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng. Víi mçi P ∈ Po , lÊy bÊt k× AP ⊂ P vµ ®Æt A = {AP : P ∈ Po }. Tõ Po h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng nªn A lµ h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng. Ta sÏ chøng tá cl(∪A) = ∪{clA : A ∈ A}. ThËt vËy, ta chØ cÇn chøng minh cl(∪A) ⊂ ∪{clA : A ∈ A}. Gi¶ sö x ∈ cl(∪A). Tõ tÝnh h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng cña A suy ra tån t¹i l©n cËn më U cña x sao cho Ax = {A ∈ A : A ∩ U = ∅} lµ tËp h÷u h¹n. Khi ®ã ta cã U ∩ (∪(A \ Ax )) = ∅. V× U më nªn U ∩ cl(∪(A \ Ax )) = ∅. Mµ x ∈ cl(∪A) = cl(∪(A \ Ax )) ∪ cl(∪Ax ) nªn x ∈ cl(∪Ax ) = ∪{clA : A ∈ Ax }. Do ®ã cl(∪A) ⊂ ∪{clA : A ∈ A}. VËy P cã tÝnh chÊt HCP. 2.9 Bæ ®Ò. [3] Gi¶ sö P lµ hä cã tÝnh chÊt HCP vµ L lµ d·y héi tô n»m trong ∪P tõ mét lóc nµo ®ã. Khi ®ã, tån t¹i P ∈ P sao cho L th­êng xuyªn gÆp P , nghÜa lµ L cã mét d·y con v« h¹n ë trong P . 2.10 §Þnh lý. Víi kh«ng gian t«p« X , hai ®iÒu kiÖn sau lµ t­¬ng ®­¬ng. (1) X lµ kh«ng gian sn-kh¶ mªtric. (2) X cã sn-l­íi sao-®iÓm h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng {Gn } tho¶ m·n (i) Gn+1 lµ c¸i mÞn cña Gn víi mçi n ∈ N; (ii) Gn lµ cfp-phñ víi mçi n ∈ N. Chøng minh. (1) =⇒ (2). V× X lµ sn-kh¶ mªtric nªn theo Bæ ®Ò 2.2 trong [3] , X cã sn-l­íi J = ∪{Jn : n ∈ N}, trong ®ã mçi Jn lµ mét hä rêi r¹c c¸c tËp con ®ãng cña X . Khi ®ã ta cã thÓ viÕt J = ∪{Jx : x ∈ X }, trong ®ã Jx lµ sn-l­íi t¹i x. Víi mçi n = 1, 2, . . . ®Æt Kn = {x ∈ X : Jx ∩ Jn = ∅}, Pn = Jn ∪ {Kn } vµ Gn = {G = ∩{Pi : i n, Pi ∈ Pi }}.
  7. Ta sÏ chøng minh {Gn} lµ sn-l­íi sao-®iÓm tho¶ m·n (i), (ii). Râ rµng mçi Gn lµ mét phñ cña X vµ Gn+1 lµ c¸i mÞn cña Gn víi mçi n ∈ N. Gi¶ sö x ∈ X vµ U lµ tËp më trong X chøa x. Khi ®ã, v× ∪{Jt : t ∈ X } lµ sn-l­íi nªn tån t¹i P ∈ Jx sao cho P ⊂ U . Do ∪{Jn : n ∈ N} = ∪{Jt : t ∈ X } nªn tån t¹i n ∈ N sao cho P ∈ Jn ⊂ Pn. Tõ tÝnh rêi r¹c cña Jn suy ra Jn ∩ Jx = {P }. MÆt kh¸c x ∈ Kn nªn / st(x, Gn ) ⊂ P ⊂ U, trong ®ã st(x, Gn ) = ∪{G ∈ Gn : x ∈ G}. Do ®ã {st(x, Gn ) : n ∈ N} lµ l­íi t¹i x. Tõ Gn+1 lµ c¸i mÞn cña Gn víi mçi n ∈ N suy ra st(x, Gl ) ⊂ st(x, Gn ) ∩ st(x, Gm ) nÕu l > max{n, m}. Nh­ vËy {st(x, Gn ) : n ∈ N} tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (ii) trong §Þnh nghÜa 1.3. Gi¶ sö S lµ mét d·y trong X , héi tô tíi x ∈ st(x, Gn ). Khi ®ã, nÕu Jx ∩ Jn = ∅ th× tån t¹i P ∈ Jx ∩ Jn . V× P lµ l©n cËn d·y cña x nªn S n»m trong P tõ mét lóc nµo ®ã. Do ®ã S n»m trong st(x, Gn) tõ mét lóc nµo ®ã. NÕu Jx ∩ Jn = ∅ th× ®Æt U = X \ ∪{P ∈ Jn : x ∈ P }. / Râ rµng x ∈ U . Do Jn rêi r¹c nªn tån t¹i l©n cËn V1 cña x sao cho V1 chØ giao víi nhiÒu nhÊt mét phÇn tö cña Jn . Tõ ®ã suy ra tån t¹i l©n cËn V cña x sao cho V ⊂ U . Do ®ã U lµ l©n cËn cña x. MÆt kh¸c U ⊂ st(x, Gn ). Tõ ®ã suy ra S n»m trong st(x, Gn ) tõ mét lóc nµo ®ã. Nh­ vËy st(x, Gn) lµ l©n cËn d·y cña x vµ ta kÕt luËn ®­îc {st(x, Gn) : n ∈ N} lµ sn-l­íi t¹i x. Do ®ã {Gn } lµ sn-l­íi sao-®iÓm. V× Jn lµ hä rêi r¹c nªn Pn lµ hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng. Tõ ®ã Gn lµ hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng víi mçi n. VËy {Gn} lµ sn-l­íi sao-®iÓm h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng tho¶ m·n (i). B©y giê ta chøng minh Gn lµ cfp-phñ. Gi¶ sö C lµ tËp con compact cña X . Víi mçi x ∈ C , tån t¹i l©n cËn Vx cña x sao cho Vx chØ cã giao víi nhiÒu nhÊt mét phÇn tö cña Jn . Tõ tÝnh compact cña C suy ra C chØ giao víi mét sè h÷u h¹n c¸c phÇn tö F1 , F2 , . . . , Fk cña Jn. §Æt Cj = Fj ∩ C, j = 1, 2, . . . , k vµ K = C \ (∪{intC Cj : j = 1, 2, . . . , k }), trong ®ã intC Cj lµ phÇn trong cña Cj trong C . Tõ gi¶ thiÕt X lµ sn-mªtric ho¸ suy ra X cã sn-l­íi σ -h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng B. Do ®ã, theo Bæ ®Ò 2.9, B lµ cs-l­íi ®Õm ®­îc theo ®iÓm σ-HCP . Theo Bæ ®Ò 2.7, B lµ k-l­íi ®Õm ®­îc theo ®iÓm. V× C compact nªn theo Bæ ®Ò 2.8, C lµ kh¶ mªtric. Do ®ã C lµ kh«ng gian FrÐchet. Víi mçi x ∈ C vµ F ∈ Jx, do F lµ l©n cËn d·y cña x nªn theo Bæ ®Ò 2.6 th× x ∈ intC (F ∩ C ). Tõ ®ã suy ra K ⊂ Kn. k Ta cã C = ( Cj ) ∪ K, trong ®ã Cj ⊂ Fj , j = 1, 2, . . . , k vµ K ⊂ Kn . V× c¸c Fj lµ tËp j =1 ®ãng nªn c¸c Cj còng lµ tËp ®ãng. KÕt hîp víi tÝnh ®ãng cña K ta kÕt luËn ®­îc Pn lµ cfp-phñ. Do ®ã, Gn còng lµ cfp-phñ. (1) =⇒ (2). Gi¶ sö X cã sn-l­íi sao-®iÓm h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng {Gn }. Khi ®ã U = ∪{Ux : x ∈ X } lµ sn-l­íi trong X , trong ®ã Ux = {st(x, Gn ) : n ∈ N}. V× mçi Ux lµ ®Õm
  8. ®­îc nªn X lµ snf-®Õm ®­îc. Do ®ã ®Ó chøng tá X lµ sn-kh¶ mªtric, theo Bæ ®Ò 2.3 ta chØ cÇn chøng tá X cã cs∗ -l­íi σ-HCP . Râ rµng G = ∪{Gn : n ∈ N} lµ σ-h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng. Do ®ã theo Bæ ®Ò 2.9, G lµ σ-HCP . Gi¶ sö {xn} lµ d·y trong X , héi tô tíi x ∈ X vµ U lµ l©n cËn cña x. V× {st(x, Gn ) : n ∈ N } lµ l­íi t¹i x nªn tån t¹i n ∈ N sao cho x ∈ st(x, Gn ) ⊂ U. Mµ st(x, Gn ) lµ l©n cËn d·y cña x nªn {xn } n»m trong st(x, Gn ) tõ mét lóc nµo ®ã. Theo Bæ ®Ò 2.10, tån t¹i G ⊂ Gn vµ x ∈ G sao cho {xn } th­êng xuyªn gÆp G. Do ®ã tån t¹i d·y con {xn } cña {xn } sao cho {xn } ⊂ G. V× thÕ G lµ cs∗ -l­íi cña X . k k VËy X cã cs∗ -l­íi σ-HCP . Tµi liÖu tham kh¶o [1] Y. Ge, Characterizations of sn-metrizable spaces, Publication De L'institut MathÐ- matique, 74 (2003), 121-128. [2] S. Lin, A note on the Arens' spaces and sequential fan, Topology Appl, 81 (1997), 185-196. [3] Zh. Luo, sn-metrizable spaces and related matters, International Journal of Math- ematical Siciences, 16 (2005), 2523-2531. [4] Y. Tanaka, Theory of k-networks II, Questions and Answers in General Topology, Vol 19 (2001), 27-46. [5] Y. Tanaka and Y. Ge, Around quotient compact images of metric spaces and sym- metric spaces, Houston Journal of Mathematics, 32(1), (2006), 99-117. Summary Spaces with star-countable sn-networks and point-star sn-networks In this paper, we give some characterizations of spaces with star-countable sn- networks, speces with σ-HCP point-countable sn-networks and sn-metrizable spaces. (a) Khoa To¸n, Tr­êng §¹i häc Vinh (b) Cao häc kho¸ 15, Chuyªn ngµnh Gi¶i tÝch Tr­êng §¹i häc Vinh.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản