kh«ng gian víi
sn
-líi sao-®Õm ®îc vµ
sn
-líi sao-®iÓm
§inh Huy Hoµng
(a)
§oµn ThÞ Hång Nguyªn
(b)
Tãm t¾t.
Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra mét sè ®Æc trng cña kh«ng gian
víi sn-líi sao-®Õm ®îc, kh«ng gian sn-líi ®Õm ®îc theo ®iÓm
σ
-
HCP
vµ kh«ng
gian sn kh¶ m«tric.
1
Më ®Çu
Kh¸i niÖm sn-líi ®îc ®a ra vµ nghiªn cøu bëi S. Lin [2]. Dùa vµo tÝnh chÊt cña
sn-líi ngêi ta ®a ra c¸c kh¸i niÖm vÒ kh«ng gian snf-®Õm ®îc, sn-mªtric ho¸ vµ
nghiªn cøu ®Æc trng cña c¸c kh«ng gian nµy. Híng nghiªn cøu nµy ®· thu hót sù
quan t©m cña nhiÒu t¸c gi¶, nh÷ng ngêi ®¹t nh÷ng kÕt qu¶ ®¸ng kÓ trong lÜnh vùc
nµy ph¶i kÓ ®Õn lµ S. Lin, Y. Ge, Y. Tanaka, Zh. Lou ([1], [2], [3], [4], [5]). Trong bµi
b¸o nµy, chóng t«i ®a ra mét sè ®Æc trng cña kh«ng gian víi sn-líi sao-®Õm ®îc
vµ ®Õm ®îc theo ®iÓm
σ
-HCP, sn-líi sao-®iÓm.
§Çu tiªn, chóng ta tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cÇn dïng trong bµi b¸o. C¸c
kh«ng gian nãi tíi sau nµy ®îc gi¶ thiÕt lµ
T1
vµ chÝnh quy.
1.1
§Þnh nghÜa.
Gi¶ sö
P
lµ hä c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p«
X
.
(1) Hä
P
®îc gäi lµ
®Õm ®îc theo ®iÓm
nÕu víi mçi
a∈X,
tËp
Pa={P∈ P :a∈P}
lµ ®Õm ®îc.
(2) Hä
P
®îc gäi lµ
h÷u h¹n ®Þa ph¬ng
(t¬ng øng
rêi r¹c
) nÕu víi mçi
a∈X,
tån
t¹i l©n cËn
U
cña
a
sao cho tËp
P0={P∈ P :P∩U6=∅}
lµ h÷u h¹n (t¬ng øng cã
kh«ng qu¸ mét phÇn tö).
(3) Hä
P
®îc gäi lµ
sao-®Õm ®îc
nÕu mçi
Po∈ P
, tËp
P(Po) = {P∈ P :P∩Po6=∅}
lµ ®Õm ®îc.
(4) Hä
P={Pα:α∈Λ}
®îc gäi lµ
b¶o tån bao ®ãng di truyÒn
hay ®¬n gi¶n lµ
HCP
nÕu
cl(∪{Bα:α∈Λ0}) = ∪{clBα:α∈Λ0},
víi bÊt k×
Λ0⊂Λ
vµ
Bα⊂Pα
víi mäi
α∈Λ0
,
trong ®ã
clB
lµ kÝ hiÖu bao ®ãng cña tËp
B
.
(5) Hä
P
®îc gäi lµ
b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu
hay ®¬n gi¶n lµ
WHCP
nÕu hä
bÊt kú
{x(P)∈P:P∈ P}
lµ HCP.
(6)
P
lµ hä
σ
-(p)
nÕu
P=S{Pn:n∈N}
, trong ®ã
Pn
lµ hä cã tÝnh chÊt (p) víi mäi
n∈N.
1.2
§Þnh nghÜa.
Gi¶ sö
V⊂X
vµ
x∈V
,
V
®îc gäi lµ
l©n cËn d·y
cña
x∈X
nÕu víi
mçi d·y
{xn}
trong
X
héi tô tíi
x
, tån t¹i
no∈N
sao cho
{xn:n≥no} ⊂ V.
1
NhËn bµi ngµy 11/12/2009. Söa ch÷a xong 02/02/2010.
1.3
§Þnh nghÜa.
(1) Gi¶ sö
P=S{Px:x∈X}
lµ phñ cña
X
,
P
®îc gäi lµ mét
sn-líi
cña
X
nÕu
(i)
Px
lµ líi t¹i
x
víi mçi
x∈X
nghÜa lµ
x∈ ∩Px
vµ mçi l©n cËn
U
cña
x
tån t¹i
P∈ Px
sao cho
P⊂U
, trong ®ã ta viÕt
∩Px
thay cho
∩{P:P∈ Px};
(ii) Víi mäi
P1, P2∈ Px
, tån t¹i
P3∈ Px
sao cho
P3⊂P1∩P2
;
(iii) Mçi phÇn tö thuéc
Px
lµ l©n cËn d·y cña
x
.
Khi ®ã ta còng gäi
Px
lµ sn-líi t¹i
x
.
(2) Kh«ng gian
X
®îc gäi lµ kh«ng gian
snf-®Õm ®îc
nÕu
X
cã sn-líi
P=S{Px:
x∈X}
sao cho mçi
Px
lµ tËp ®Õm ®îc.
(3) Kh«ng gian
X
®îc gäi lµ kh«ng gian
sn-kh¶ mªtric
nÕu
X
cã sn-líi
σ
-h÷u h¹n
®Þa ph¬ng.
(4) Gi¶ sö
{Pn}
lµ d·y c¸c phñ cña kh«ng gian
X
.
{Pn}
®îc gäi lµ
sn-líi sao-
®iÓm
cña
X
nÕu víi mçi
x∈X, {st(x, Pn) : n∈N}
lµ sn-líi t¹i
x
trong
X
, trong ®ã
st(x, Pn) = ∪{P∈ Pn:x∈P}.
1.4
§Þnh nghÜa.
Gi¶ sö
X
lµ kh«ng gian t«p« vµ
P
lµ phñ cña
X
.
(1)
P
®îc gäi lµ
k-líi
cña
X
nÕu mçi tËp compact
K
vµ mçi l©n cËn
V
cña
K
tån
t¹i hä con h÷u h¹n
F
cña
P
sao cho
K⊂ ∪F ⊂ V
, trong ®ã
∪F =∪{P:P∈ F}.
(2)
P
®îc gäi lµ
cs-líi
cña
X
nÕu víi mçi d·y
{xn}
trong
X
héi tô tíi
x∈X
vµ mçi
l©n cËn
V
cña
x
®Òu tån t¹i
P∈ P
vµ
m∈N
sao cho
{xn:n>m}∪{x} ⊂ P⊂V.
(3)
P
®îc gäi lµ
cs∗
-líi
cña
X
nÕu víi mçi d·y
{xn}
trong
X
héi tô tíi
x∈X
vµ mçi l©n cËn
V
cña
x
®Òu tån t¹i d·y con
{xnk}
cña d·y
{xn}
vµ
P∈ P
sao cho
{xnk:k∈N}∪{x} ⊂ P⊂V.
1.5
§Þnh nghÜa.
Kh«ng gian t«p«
X
®îc gäi lµ
kh«ng gian FrÐchet
nÕu mçi tËp con
A
cña
X
vµ
x∈A
, tån t¹i d·y
{xn}
trong
A
sao cho d·y
{xn}
héi tô tíi
x
.
1.6
§Þnh nghÜa.
Gi¶ sö
X
lµ kh«ng gian t«p« vµ
P
lµ phñ cña
X
, víi mçi hä con
F
cña
P
, ta kÝ hiÖu
Ints(∪F) = {x∈X:∪F
lµ l©n cËn d·y cña
x}.
P
®îc gäi lµ
cã tÝnh chÊt (B)
nÕu víi mäi
x∈X
, mäi l©n cËn
U
cña
x
tån t¹i hä con
h÷u h¹n
F
cña
P
sao cho
(i)
x∈Ints(∪F)⊂ ∪F ⊂ U;
(ii)
x∈ ∩F.
1.7
§Þnh nghÜa.
Gi¶ sö
P
lµ phñ cña kh«ng gian t«p«
X
.
P
®îc gäi lµ
cfp-phñ cña
tËp compact
K⊂X
nÕu tån t¹i hä h÷u h¹n
{Kα:α∈J}
c¸c tËp con ®ãng cña
K
vµ
{Pα:α∈J} ⊂ P
sao cho
K=∪{Kα:α∈J}
vµ
Kα⊂Pα
víi mäi
α∈J.
P
®îc gäi lµ
cfp-phñ cña
X
nÕu víi mçi tËp con compact
K
cña
X
, tån t¹i tËp h÷u
h¹n
P∗⊂ P
sao cho
P∗
lµ cfp-phñ cña
K
trong
X
.
1.8
§Þnh nghÜa.
Gi¶ sö
X
lµ kh«ng gian t«p« vµ
P⊂X
.
(1) D·y
{xn}
®îc gäi lµ
n»m trong
P
tõ mét lóc nµo ®ã
nÕu
xn−→ x
vµ tån t¹i
m∈N
sao cho
{xn:n>m} ∪ {x} ⊂ P.
(2) D·y
{xn}
®îc gäi lµ
thêng xuyªn gÆp
P
nÕu cã mét d·y con nµo ®ã cña
{xn}
n»m trong
P
tõ mét lóc nµo ®ã.
2
C¸c kÕt qu¶ chÝnh
2.1
§Þnh lý.
Gi¶ sö
X
lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ng.
(1)
X
cã sn-líi sao-®Õm ®îc.
(2)
X
lµ kh«ng gian snf-®Õm ®îc cã cs-líi sao ®Õm ®îc.
(3)
X
lµ kh«ng gian snf-®Õm ®îc cã phñ sao-®Õm ®îc cã tÝnh chÊt (B).
Chøng minh.
(1) =⇒(3)
. Gi¶ sö
P=S{Px:x∈X}
lµ sn-líi sao-®Õm ®îc trong
X
. Khi ®ã
Px
lµ líi t¹i
x
vµ mçi
P∈ Px
lµ l©n cËn d·y cña
x
. Do ®ã víi mçi
U
më trong
X
¾t tån t¹i
P∈ Px
sao cho
x∈P⊂U
vµ
x∈Ints(P)
. Tõ ®ã ta cã
x∈Ints(P)⊂P⊂U.
Nh vËy
P
cã tÝnh chÊt (B). MÆt kh¸c tõ
P
lµ sao-®Õm ®îc suy ra
Px
®Õm ®îc víi
mçi
x∈X
, tøc lµ
X
lµ kh«ng gian snf-®Õm ®îc.
(3) =⇒(2)
. Gi¶ sö
X
lµ kh«ng gian snf-®Õm ®îc víi phñ
P
cã tÝnh sao -®Õm ®îc
vµ tÝnh chÊt (B). Víi mçi
x∈X
®Æt
Px={P∈ P :x∈P};
(Px)∗={∪L :L
lµ hä con h÷u h¹n cña
Px};
Gx={G∈(Px)∗:x∈Ints(G)}
vµ
G=[{Gx:x∈X}.
Tõ tÝnh chÊt sao-®Õm ®îc cña
P
suy ra
Px
lµ ®Õm ®îc, do ®ã
(Px)∗
®Õm ®îc víi mçi
x∈X
. Gi¶ sö
{xn}
lµ d·y trong
X
,
{xn}
héi tô tíi
x∈X
vµ
U
lµ tËp më trong
X
sao
cho
x∈U
. Khi ®ã, v×
P
cã tÝnh chÊt (B) nªn tån t¹i hä con h÷u h¹n
L
cña
P
sao cho
x∈Ints(∪L)⊂ ∪L ⊂ U
vµ
x∈ ∩L.
LÊy
G=∪L
th×
G∈ Gx
. V×
xn−→ x
nªn tån t¹i
m∈N
sao cho
{xn:n>m} ⊂ ∪L.
V× vËy tån t¹i
G∈ G
sao cho
{xn:n>m}∪{x} ⊂ G⊂U.
Do ®ã
G
lµ cs-líi cña
X
.
B©y giê ta chøng tá
G
cã tÝnh sao-®Õm ®îc. Gi¶ sö
G∈ G
. Khi ®ã tån t¹i
x∈X
vµ
P1, P2, . . . , Pn∈ Px
sao cho
G=[
i6n
Pi
. Gi¶ sö
G0∈ G
. Khi ®ã
G0=[
i6m
P0
i
víi
P0
1, P 0
2, . . . , P 0
m∈
Py,
trong ®ã
y
lµ ®iÓm nµo ®ã thuéc
X
. NÕu
G0∩Pi6=∅
th× tån t¹i
P0
j
sao cho
Pi∩P0
j6=∅
.
V×
P
cã tÝnh sao-®Õm ®îc nªn
Pi
chØ cã thÓ giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®îc phÇn tö
P0∈ P
vµ mçi phÇn tö
P0
nµy l¹i chØ cã thÓ giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®îc c¸c phÇn tö
cña
P
. Tõ ®ã suy ra mçi
Pi
chØ cã thÓ giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®îc phÇn tö
G0∈ G
vµ
do ®ã
G
chØ cã thÓ giao víi kh«ng qu¸ ®Õm ®îc phÇn tö
G0∈ G
. VËy
G
sao-®Õm ®îc.
(2) =⇒(1)
. Gi¶ sö
X
lµ kh«ng gian snf-®Õm ®îc víi cs-líi sao-®Õm ®îc. Khi
®ã
X
cã mét sn-líi
B=∪{Bx:x∈X}
, trong ®ã mçi
Bx
lµ ®Õm ®îc vµ mét cs-líi
sao-®Õm ®îc
P
. V× mçi
Bx
lµ ®Õm ®îc nªn ta cã thÓ kÝ hiÖu
Bx={B(x, n) : n∈N},
vµ cã thÓ gi¶ thiÕt
B(x, n + 1) ⊂B(x, n)
víi mäi
n
. §Æt
P∗={∩L :L
lµ hä con h÷u h¹n cña
P}.
Khi ®ã
P∗
lµ cs-líi vµ nã còng cã tÝnh sao-®Õm ®îc. Do ®ã ta cã thÓ gi¶ thiÕt
P
khÐp
kÝn víi phÐp giao h÷u h¹n (nÕu cÇn cã thÓ thay
P
bëi
P∗
). Víi mçi
x∈X
, tõ tÝnh
sao-®Õm ®îc cña
P
suy ra hä
Px={P∈ P :x∈P}
lµ ®Õm ®îc. Do ®ã ta viÕt
Px={P1, P2, . . . , Pn, . . .}
. §Æt
Lx={P∈ Px:B(x, n)⊂P
víi
n
nµo ®ã
}.
Khi ®ã
Lx6=∅
. ThËt vËy, nÕu
Lx=∅
th× víi mäi
m, n ∈N
®Òu cã
B(x, n)*Pm.
Tõ ®ã
suy ra tån t¹i d·y
{xn,m}
víi
xn,m ∈B(x, n)\Pm
víi
m, n ∈N
. Ta thiÕt lËp d·y
{xk}
b»ng
c¸ch ®¸nh sè c¸c phÇn tö cña d·y
{xn,m}
nh sau: ®Çu tiªn ®¸nh sè
k
theo chiÒu t¨ng
cña
n
, víi mçi
n
®¸nh sè
k
theo chiÒu t¨ng cña
m
. Ch¼ng h¹n
x1=x1,1, x2=x2,1, x3=
x2,2, x4=x3,1
,
x5=x3,2, x6=x3,3, x7=x4,1,....
Nh vËy ta cã
k=m+n(n−1)/2
.
Víi mçi tËp më
U
chøa
x
, v×
{B(x, n) : n∈N}
lµ líi t¹i
x
nªn tån t¹i
n∈N
sao cho
B(x, n)⊂U
. Tõ
B(x, n + 1) ⊂B(x, n)
víi mäi
n
suy ra víi mçi
n∈N
tån t¹i
ko∈N
sao
cho
xk∈B(x, n)
víi mäi
k>ko, n ∈N
. Tõ ®ã suy ra
xk−→ x
. V×
P
lµ cs-líi nªn tån
t¹i
Pmo∈ Px
vµ
k1∈N
sao cho
{xk:k>k1} ⊂ Pmo.
MÆt kh¸c theo c¸ch x©y dùng d·y
{xk}
th× tån t¹i
k
sao cho
k > k1
vµ
xk=xn,mo
víi
n > k1
, tøc lµ
xk/∈Pmo
víi
k > k1
. Ta cã mét ®iÒu m©u thuÉn. Do ®ã
Lx6=∅
víi mäi
x∈X
. §Æt
L=∪{Lx:x∈X}.
Gi¶ sö
U
lµ tËp më trong
X
sao cho
x∈U
. V×
P
lµ cs-líi, t¬ng tù nh chøng minh
Lx6=∅
ta chøng minh ®îc tån t¹i
P∈ Px
vµ
n∈N
sao cho
B(x, n)⊂P⊂U
. Do ®ã
Lx
lµ líi t¹i
x
. HiÓn nhiªn
x∈ ∩Lx
. Gi¶ sö
P
vµ
P0
thuéc
Lx
. Khi ®ã tån t¹i
B(x, n)⊂P
vµ
B(x, n0)⊂P0
. V×
P
khÐp kÝn víi phÐp giao h÷u h¹n nªn
P∩P0∈ P
. MÆt kh¸c víi
n00 =max{n, n0}
ta cã
B(x, n00 )⊂P∩P0
. Do ®ã
P∩P0∈ Lx
. Cuèi cïng, v×
B
lµ sn-líi
nªn mçi
B(x, n)
lµ l©n cËn d·y cña
x
. Tõ ®ã suy ra mçi
P∈ Lx
còng lµ l©n cËn d·y cña
x
. Do ®ã
L
lµ sn-líi trong
X
. V×
L ⊂ P
mµ
P
lµ sao-®Õm ®îc nªn
L
còng lµ sao-®Õm
®îc.
2.2
Bæ ®Ò.
[3]
NÕu
P={Pα:α∈Λ}
lµ hä HCP (t¬ng øng WHCP) cña
X
th× hä
P∗
gåm tÊt c¶ c¸c giao h÷u h¹n cña c¸c tËp thuéc
P
còng cã tÝnh chÊt HCP (t¬ng øng
WHCP).
2.3
Bæ ®Ò.
[2]
Kh«ng gian t«p«
X
lµ sn-kh¶ mªtric khi vµ chØ khi
X
lµ kh«ng gian
snf-®Õm ®îc cã
cs∗
-líi (®ãng)
σ
-
HCP
.
2.4
§Þnh lý.
Gi¶ sö
X
lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ng.
(1)
X
cã sn-líi ®Õm ®îc theo ®iÓm,
σ
-
HCP
(t¬ng øng
σ
-
W HCP
).
(2)
X
lµ kh«ng gian snf-®Õm ®îc, cã cs-líi ®Õm ®îc theo ®iÓm,
σ
-
HCP
(t¬ng
øng
σ
-
W HCP
).
Chøng minh.
Tõ (1) suy ra (2) lµ hiÓn nhiªn. B©y giê ta chøng minh (2) suy ra (1).
Gi¶ sö
B=∪{Bx:x∈X}
lµ sn-líi trong
X
, trong ®ã
Bx
®Õm ®îc vµ
P=∪{Pn:n∈
N∗}
lµ cs-líi ®Õm ®îc theo ®iÓm, trong ®ã
Pn
cã tÝnh chÊt HCP víi mäi
n∈N∗
. Khi
®ã, ta cã thÓ viÕt
Bx={Bx,1, Bx,2, . . . , Bx,n, . . .}
vµ gi¶ thiÕt
Bx,n+1 ⊂Bx,n
víi mäi
n
. V× hîp cña mét sè h÷u h¹n hä HCP lµ hä HCP
nªn cã thÓ gi¶ thiÕt
Pn⊂ Pn+1
víi mäi
n
. H¬n n÷a, theo Bæ ®Ò 2.2,
(Pn)∗
còng cã tÝnh
chÊt HCP, trong ®ã
(Pn)∗
lµ hä tÊt c¶ c¸c giao h÷u h¹n c¸c tËp thuéc
Pn
. Do ®ã cã thÓ
gi¶ thiÕt c¸c
Pn
khÐp kÝn víi phÐp giao h÷u h¹n. Trong chøng minh §Þnh lÝ 2.1, khi
chøng tá (2) suy ra (1) ta ®· chØ ra r»ng víi mçi
x∈X
hä
{P∈ Px:∃B(x, n)
sao cho
B(x, n)⊂P} 6=∅,
trong ®ã
Px={P∈ P :x∈P}
. Do ®ã, tõ
Pn⊂ Pn+1
víi mäi
n
ta suy ra hä
Ln,x ={P∈ Pn:∃B∈ Bx, B ⊂P} 6=∅,
víi mäi
n
®ñ lín. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t cã thÓ gi¶ thiÕt
Ln,x 6=∅
víi mäi
n
. §Æt
Lx=∪{Ln,x :n= 1,2, . . .},
Ln=∪{Ln,x :x∈X},
L=∪{Lx:x∈X}.
Khi ®ã, ta cã
Ln⊂ Pn
víi mäi
n
vµ
L=∪{Ln:n= 1,2, . . .} ⊂ P.
Tõ tÝnh ®Õm ®îc theo ®iÓm cña
P
vµ mçi
Pn
lµ HCP suy ra
L
®Õm ®îc theo ®iÓm vµ
σ−HCP
. §Ó hoµn thµnh chøng minh ta chØ cÇn chøng tá
L
lµ sn-líi. Tõ c¸ch x¸c
®Þnh
Lx
ta suy ra
Lx
lµ líi t¹i
x
víi mçi
x∈X
. Gi¶ sö
P
vµ
P0
thuéc
Lx
. Khi ®ã tån
t¹i
Bx,n
vµ
Bx,n0
thuéc
Bx
sao cho
Bx,n ⊂P, Bx,n0⊂P0
. §Æt
m=max{n, n0}
ta cã
Bx,m ⊂Bx,n ∩Bx,n0⊂P∩P0∈ Pm.
Do ®ã
P∩P0∈ Lm,x ⊂ Lx.
Tõ mçi
Bx,n
lµ l©n cËn d·y cña
x
suy ra mçi
P∈ Lx
lµ l©n cËn d·y cña
x
. VËy
L
lµ
sn-líi trong
X
.
Trêng hîp
P
cã tÝnh chÊt
σ
-
W HCP
®îc chøng minh t¬ng tù.