zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Báo cáo khoa học

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sử dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn - 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

113
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: "sử dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn - 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sử dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn - 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông"

tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008 Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC C¥ Së CñA Lý THUYÕT NHãM KH¶O S¸T C¸C TÝNH CHÊT NGHIÖM CñA §A THøC xn - 1 Vµ VËN DôNG VµO VIÖC KHAI TH¸C C¸C BµI TO¸N ë TR¦êNG PHæ TH¤NG (a) PHAN ANH Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i khai th¸c mét sè bµi to¸n phæ th«ng, qua n nghiªn cøu tËp nghiÖm cña ®a thøc x − 1 dùa trªn quan ®iÓm nhãm. Qua ®ã ®Þnh h−íng sù vËn dông To¸n häc cao cÊp vµo viÖc kh¸m ph¸ c¸c vÊn ®Ò thuéc lÜnh vùc to¸n häc phæ th«ng, nh»m n©ng cao chÊt l−îng ®µo t¹o sinh viªn ngµnh s− ph¹m to¸n. ViÖc nh×n nhËn To¸n häc phæ th«ng theo quan ®iÓm cña To¸n häc hiÖn ®¹i ®−îc nhiÒu nhµ khoa häc s− ph¹m chó ý ®Õn. Trong gi¸o tr×nh To¸n phæ th«ng, c¸c t¸c gi¶ nh− V¨n Nh− C−¬ng, §oµn Quúnh, Hoµng Xu©n SÝnh, NguyÔn Xu©n Liªm... ®· ®−a ý t−ëng ®ã xuyªn suèt c¸c cÊp häc. ThÓ hiÖn rÊt râ lµ: c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc ®−îc x©y dùng trªn nÒn t¶ng cña lý thuyÕt tËp hîp; viÖc më réng hÖ thèng sè theo quan ®iÓm cña cÊu tróc ®¹i sè; kh¸i niÖm hµm ngµy cµng hoµn chØnh vµ lµ "sîi chØ ®á xuyªn suèt c¸c cÊp häc"; viÖc ®¹i sè ho¸ h×nh häc... Bëi vËy, viÖc d¹y häc c¸c m«n to¸n c¬ b¶n, nhÊt lµ §¹i sè ®¹i c−¬ng (§S§C) ë c¸c tr−êng ®¹i häc s− ph¹m cÇn cã sù thay ®æi nhÊt ®Þnh nh»m ®¶m b¶o thÝch øng víi viÖc d¹y vµ häc ë tr−êng phæ th«ng. Trong [4], t¸c gi¶ ®· "phiªn dÞch" mét líp c¸c bµi to¸n trong §S§C sang ng«n ng÷ "s¬ cÊp". Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i sÏ tr×nh bµy viÖc vËn dông mét sè kiÕn thøc c¬ n së cña lý thuyÕt nhãm nh»m kh¶o s¸t c¸c tÝnh chÊt nghiÖm cña ®a thøc x − 1 vµ vËn dông vµo viÖc khai th¸c c¸c bµi to¸n ë tr−êng phæ th«ng. I. TÝnh chÊt tËp nghiÖm cña ®a thøc x n − 1 n Gi¶ sö U lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc x − 1 trªn tr−êng sè phøc », n ∈ », n > 1. Khi ®ã { } 1. Ký hiÖu A = x ∈ C | x = 1 , th× A lµ mét nhãm ®èi víi phÐp nh©n vµ U lµ nhãm con cña nhãm A. 2π 2π 2. U lµ nhãm xiclÝc cÊp n sinh bëi α , trong ®ã α = cos . + i sin n n n −1 2 3. NÕu α lµ phÇn tö kh¸c 1 cña nhãm xiclic U th× 1 + α + α + ..... + α =0. 4. NÕu n lµ sè nguyªn tè th× U lµ nhãm xiclic cÊp n sinh bëi nghiÖm bÊt kú n kh¸c 1 cña ®a thøc x − 1 . II. C¸c b i to¸n phæ th«ng ®−îc khai th¸c Chóng ta b¾t ®Çu tõ mét bµi to¸n phæ th«ng ®¬n gi¶n sau ®©y: 5 Bµi to¸n 1. Ph©n tÝch ®a thøc x − 1 thµnh nh©n tö trªn »[x]. DÔ dµng chóng ta thu nhËn ®−îc NhËn bµi ngµy 19/12/2007. Söa ch÷a xong 05/6/2008. 5
Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10 PHAN ANH x 5 − 1 = ( x − 1)( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) . (1) Tuy nhiªn, sù ph©n tÝch ë trªn lµ ch−a ®−îc mÜ m·n. §Ó ý r»ng tËp nghiÖm cña ®a 2π 2π { } 5 thøc x − 1 lµ nhãm U = 1, α , α 2 , α 3 , α 4 ,trong ®ã α = cos . Trong nhãm + i sin 5 5 4 3 2 U , ta cã α = α ; α = α . Bëi vËy: x 5 − 1 = ( x − 1)( x − α )( x − α 2 )( x − α 3 )( x − α 4 ) [ ][ ] = ( x − 1) ( x − α )( x − α 4 ( x − α 2 )( x − α 3 ) = ( x − 1)[( x − α )( x − α )][( x − α ] 2 2 )( x − α ) 2π 4π = ( x − 1)( x 2 − 2 x cos + 1)( x 2 − 2 x cos + 1) . 5 5 Tõ sù ph©n tÝch trªn, ta t×m ra lêi gi¶i bµi to¸n trªn ë bËc phæ th«ng. §Æt x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = ( x 2 + ax + 1)( x 2 + bx + 1) . B»ng c¸ch ®ång nhÊt hÖ sè bÊt ®Þnh dÉn ®Õn 1+ 5 1− 5 1− 5 1+ 5 hoÆc a = . a= ;b = ;b = 2 2 2 2 1+ 5 1− 5 5 2 2 Do ®ã x − 1 = ( x − 1)( x + x + 1) . x + 1)( x + 2 2 Suy luËn trªn ®©y vµ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 1 gióp chóng ta gi¶i c¸c bµi to¸n sau. 2π 4π Bµi to¸n 2. TÝnh cos , cos 5 5 2π 4π 5 2 2 Theo bµi to¸n 1 ta cã: x − 1 = ( x − 1)( x − 2 x cos + 1) . + 1)( x − 2 x cos 5 5 1+ 5 1− 5 5 2 2 MÆt kh¸c x − 1 = ( x − 1)( x + x + 1) . x + 1)( x + 2 2 4π 2π − 1 + 5 2π 4π 1+ 5 §Ó ý r»ng cos < 0 nªn suy ra cos . > 0; cos =− = ; cos 5 5 5 4 5 4 Lêi gi¶i bµi to¸n 2 gîi ý cho chóng ta c¸ch t×m gi¸ trÞ c¸c hµm l−îng gi¸c cña 2π 2π mét sè gãc d¹ng nh− cos ... , cos 7 9 Bµi to¸n 3 (V« ®Þch Bungari vßng 3, 1982). XÐt xem ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm thùc hay kh«ng? 1981x 4 + 1979 x 3 + 1982 x 2 + 1978 x + 1980 = 0 . 4 3 2 §Æt f(x) = 1981x + 1979 x + 1982 x + 1978 x + 1980 . 4 3 2 4 2 Ta cã f ( x) = 1979( x + x + x + x + 1) + 2 x + 3 x − x + 1 2π 4π 2 2 4 2 = 1979( x − 2 x cos + 1)( x − 2 x cos + 1) + 2 x + 3 x − x + 1 5 5 6
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008 2π 4π 2 2 2 DÔ dµng nhËn thÊy x − 2 x cos + 1 , 3x − x + 1 nhËn + 1; x − 2 x cos 5 5 c¸c gi¸ trÞ d−¬ng víi mäi x ∈ » vµ 2 x 4 ≥ 0 víi mäi x ∈ ». Bëi vËy f ( x) > 0 víi mäi x ∈ ». Do ®ã ph−¬ng tr×nh ®· cho kh«ng cã nghiÖm thùc. Ta còng cã thÓ sö dông cÊu tróc nhãm U dÓ gi¶i quyÕt bµi to¸n sau ®©y trong [3]. n Bµi to¸n 4. Trong vµnh »[x], ®a thøc f ( x ) = x − 1 chia hÕt cho ®a thøc g ( x) = x m − 1 khi vµ chØ khi m lµ −íc cña n. Thùc vËy, ký hiÖu U m , U n thø tù lµ c¸c tËp nghiÖm cña c¸c ®a thøc f ( x), g ( x) . NÕu f ( x) Μ ( x) trong »[x] th× U m ⊂ U n . V× U m , U n lµ c¸c nhãm nªn ta g suy ra U m lµ nhãm con cña U n . Do cÊp cña U m lµ m, cÊp cña U n lµ n nªn theo ®Þnh lý Lagrange m lµ −íc cña n. Nguîc l¹i, gi¶ sö m lµ −íc cña n, ta ®Æt n = tm, t ∈»*. NÕu t = 1 th× hiÓn nhiªn f ( x) Μ ( x) trong »[x]. NÕu t > 1 th×: g f ( x) = x n − 1 = x mt − 1 = ( x m − 1)[( x m ) t −1 + ( x m ) t − 2 + ... + x m + 1] . Bëi vËy f ( x) Μ ( x) trong »[x]. Do ®ã, ®a thøc f(x) chia hÕt cho g(x) trong »[x] g khi vµ chØ khi m lµ −íc cña n. n Sö dông c¸c tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm ®a thøc x − 1 , chóng ta cã thÓ ph¸t biÓu c¸c bµi to¸n sau. Bµi to¸n 5. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d−¬ng lín h¬n 1. Chøng minh c¸c hÖ thøc: n −1 n −1 2kπ 2kπ 1 + ∑ cos ∑ sin = 0; = 0 n n k =1 k =1 xn −1 Theo tÝnh chÊt 2 tËp nghiÖm cña ®a thøc lµ nhãm 2kπ 2kπ { } U = 1, α , α 2 , α 3 ,..., α n −1 , trong ®ã α = cos k , k = 0, n − 1 . Do α lµ + i sin n n n −1 2 n nghiÖm kh¸c 1 cña ®a thøc x − 1 nªn 1 + α + α + ..... + α = 0 . Bëi vËy n −1 n −1 2kπ 2kπ (1 + ∑ cos ) + i ∑ sin = 0. n n k =1 k =1 Tõ ®ã suy ra n −1 n −1 2kπ 2kπ 1 + ∑ cos ∑ sin 0. = 0; = n n k =1 k =1 Bµi to¸n 6. Cho p lµ mét sè nguyªn tè, m lµ sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho p. Chøng minh c¸c hÖ thøc: p −1 p −1 2kmπ 2kmπ 1 + ∑ cos ∑ sin p = 0. = 0; a, b, p k =1 k =1 { } p −1 p 2 3 TËp nghiÖm cña ®a thøc x − 1 lµ U = 1, α , α , α ,..., α . U lµ nhãm xiclic 2π 2π cÊp p sinh bëi α , víi α = cos . V× p lµ sè nguyªn tè nªn theo tÝnh chÊt 4, + i sin p p 7
Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10 PHAN ANH m U sinh bëi phÇn tö bÊt kú kh¸c ®¬n vÞ. Do m kh«ng chia hÕt cho p nªn α ≠ 1 . Bëi { } m ( p −1) m 2m 3m m vËy, U sinh bëi α vµ U = 1, α , α , α ,..., α , trong ®ã 2kmπ 2kmπ α km = cos , k = 0, p − 1 . + i sin p p p −1 p −1 2kmπ 2kmπ + α 2 m + ..... + α m ( p −1) = 0 , nªn (1 + ∑ cos m ) + i ∑ sin V× 1 + α = 0. p p k =1 k =1 p −1 p −1 2kmπ 2kmπ ∑ cos ∑ sin Do ®ã 1 + = 0. = 0; p p k =1 k =1 Trong [2], t¸c gi¶ ®· cho chóng ta bµi tËp sau ®©y: “Cho X lµ nhãm xiclic cÊp n, sinh bëi phÇn tö a; b = ak. Chøng minh r»ng cÊp cña phÇn tö b b»ng n /d; trong ®ã d = (k,n)”. Sö dông kÕt qu¶ nµy, chóng ta cã thÓ thu ®−îc bµi to¸n phæ th«ng sau ®©y. Bµi to¸n 7. Cho k vµ n lµ hai sè nguyªn d−¬ng, (k,n) = d, k kh«ng chia hÕt cho n. Chøng minh r»ng: d1 −1 d1 −1 2ktπ 2ktπ n 1 + ∑ cos ∑ sin = 0 , trong ®ã d 1 = . = 0; a, b, n n d t =1 t =1 { } lµ nhãm xiclic cÊp n, n −1 n 2 3 Ta cã tËp nghiÖm cña ®a thøc x − 1 lµ U = 1, α , α , α ,..., α 2π 2π sinh bëi α = cos . Do (k,n) = d nªn theo kÕt qu¶ ®· chØ ra ë trªn, ta cã + i sin n n k cÊp cña α lµ d 1 . Bëi vËy 2tkπ 2tkπ { } tk A =< α k >= 1, α k , α 2 k ,..., α ( d1 −1) k , trong ®ã α = cos + i sin ; t = 0, d 1 − 1 n n d k lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc x 1 − 1 . V× k kh«ng chia hÕt cho n nªn α ≠ 1 . Do ®ã ( d1 −1) k 2k k = 0 . T−¬ng tù nh− trªn ta cã ®−îc 1+α +α + ..... + α d1 −1 d1 −1 2ktπ 2ktπ 1 + ∑ cos = 0; ∑ sin = 0. n n t =1 t =1 VËn dông tÝnh chÊt ®ång cÊu nhãm, chóng ta cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc sau ®©y. Bµi to¸n 8. Cho A1 A2 ..... An lµ ®a gi¸c ®Òu t©m O. Chøng minh r»ng OA1 + OA2 + ... + OAn = O Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt ®a gi¸c A1 A2 ..... An néi tiÕp trong ®−êng trßn ®¬n vÞ, cã tia OA1 trïng víi tia Ox. C¸c ®iÓm A1 , A2 ,....., An thø tù n»m trªn ®−êng trßn ®¬n vÞ ng−îc chiÒu víi chiÒu quay kim ®ång hå. Ta biÕt r»ng ¸nh x¹ f tõ nhãm céng c¸c sè phøc ®Õn nhãm céng c¸c vÐc t¬ buéc t¹i gèc to¹ ®é, biÕn sè phøc α = a + ib thµnh vÐc t¬ v(a, b) lµ ®¼ng cÊu nhãm. C¸c vÐc t¬ 8
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 2A-2008 OA1 , OA2 ,..., OAn lÇn l−ît lµ ¶nh cña c¸c sè phøc 1, α , α 2 ,....., α n−1 trong nhãm U . Do ®ã f (1 + α + α 2 + ..... + α n −1 ) = f (1) + f (α ) + f (α 2 ) + ... + f (α n−1 ) = OA1 + OA2 + ... + OAn . n −1 2 MÆt kh¸c: 1 + α + α + ..... + α = 0 vµ f lµ ®ång cÊu nhãm nªn f (1 + α + α + ..... + α n −1 ) = O . 2 Tõ ®ã suy ra OA1 + OA2 + ... + OAn = O . Bµi to¸n 9. Chøng minh tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu khi vµ chØ khi träng t©m vµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã trïng nhau. HiÓn nhiªn nÕu tam gi¸c ABC ®Òu th× t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp vµ träng t©m cña nã trïng nhau. Ta chØ cÇn chøng minh nÕu träng t©m vµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC trïng nhau th× tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ thiÕt r»ng tam gi¸c ABC néi tiÕp trong ®−êng trßn ®¬n vÞ trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é; tia OA trïng víi Ox. C¸c ®iÓm A, B, C thø tù n»m trªn ®−êng trßn ng−îc chiÒu víi chiÒu quay cña kim ®ång hå. Qua ®¼ng cÊu f (®· chØ ra trong bµi to¸n 8), ta cã f (1) = OA . Gi¶ sö f (α ) = OB, f ( β ) = OC , ta cã f (1) + f (α ) + f ( β ) = OA + OB + OC . V× f lµ ®ång cÊu nhãm nªn f (1 + α + β ) = OA + OB + OC . MÆt kh¸c OA + OB + OC = O (do O lµ träng t©m tam gi¸c ABC) nªn f (1 + α + β ) = O . Tõ f lµ ®¬n cÊu nhãm suy ra: 1 + α + β = 0 , do ®ã β = −(1 + α ) . VËy α = β = 1+ α = 1. 2π §Æt α = cos ϕ + i sin ϕ ; 2π > ϕ > 0 . Tõ α = 1 + α suy ra ϕ = . Bëi vËy 3 2π 2π . α = cos + i sin 3 3 §Ó chøng minh tam gi¸c ABC ®Òu, ta cÇn chøng minh { , α , β } chÝnh lµ nhãm 1 3 U cña ®a thøc x − 1 . Thùc vËy, 2π 2π 1 3 ; β = −(1 + α ) = −(1 + cos + i sin ) = − −i 3 3 2 2 2π 2π 2 1 3 α 2 = (cos . + i sin ) = − −i 3 3 2 2 9
Sö DôNG MéT Sè KIÕN THøC ... ë TR¦êNG PHæ TH¤NG, Tr. 5-10 PHAN ANH Do ®ã {1, α , β } = { , α , α 2 } , víi α = cos 2π 2π + i sin 1 3 3 3 lµ tËp nghiÖm cña ®a thøc x − 1 . Tõ ®ã suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. Nh− vËy, chóng t«i ®· dïng mét sè kiÕn thøc c¬ së cña lý thuyÕt nhãm khai th¸c, "phiªn dÞch", "chÕ biÕn" c¸c bµi to¸n s¬ cÊp. Th«ng qua c¸c bµi to¸n ë trªn, b−íc ®Çu ®· b¾c ®−îc mét chiÕc cÇu nèi gi÷a to¸n häc cao cÊp vµ to¸n häc phæ th«ng. Chóng t«i thiÕt nghÜ r»ng: kÕt hîp ®−îc mét c¸ch nhuÇn nhuyÔn gi÷a to¸n häc cao cÊp vµ to¸n häc phæ th«ng lµ mét viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt trong qu¸ tr×nh ®µo t¹o sinh viªn s− ph¹m To¸n. Thùc hiÖn tèt ®−îc vÊn ®Ò nµy lµ chóng ta ®· g¾n ®µo t¹o víi thùc tiÔn, gióp sinh viªn thÝch øng víi nghÒ nghiÖp trong t−¬ng lai. T i liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn B¸ Kim,Vò D−¬ng Thuþ, Ph−¬ng ph¸p d¹y häc m«n to¸n, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi, 2000. [2] Hoµng Xu©n SÝnh, TrÇn Ph−¬ng Dung, §¹i sè ®¹i c−¬ng, NXB §¹i häc s− ph¹m, Hµ Néi, 2004, tr. 28. [3] §ç §øc Th¸i, Nh÷ng bµi to¸n chän läc cho tr−êng chuyªn líp chän, NXB Gi¸o dôc, Hµ Néi, 1996. [4] §Æng Quang ViÖt, Dïng kiÕn thøc, c¸ch nh×n cña §¹i sè ®¹i c−¬ng vÒ s¸ng t¹o ®Ò to¸n hoÆc chÕ biÕn lêi gi¶i phï hîp tr×nh ®é häc sinh phæ th«ng, T¹p chÝ Gi¸o dôc, Sè 155, kú1-2/2007, tr. 31. SUMMARY USING SOME BASIC KNOWLEDGE OF THE GROUP THEORY IN THE INVESTIGATION OF SOLUTION PROPERTIES OF THE POLYNOMIAL xn -1 AND APPLYING TO THE EXPLORATION OF MATHS PROBLEMS IN SECONDARY SCHOOLS In this article, we explore mathematics problems in secondary schools through studying a set of solutions of the polynomial xn -1 on the basis of the group theory perspective. Then, we initially applied advanced mathematics to the investigations of secondary mathematics in order to improve the training quality for students majoring in pedagogical mathematics. (a) Khoa S− ph¹m Tù nhiªn, Tr−êng §¹i häc H TÜnh. 10

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học

207 tài liệu

1470 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.