Báo cáo nghiên cứu
khoa học:
"Sự hội tụ trong
không gian của
mảng nhiều chiều
các toán tử đo được
khả tích đều"
Sù héi tô trong kh«ng gian cña m¶ng nhiÒu chiÒu c¸c
to¸n tö ®o ®−îc kh¶ tÝch ®Òu
NguyÔn V¨n Qu¶ng (a), Lª kh¸nh KiÒu (b)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ sù héi tô trong
kh«ng gian Lpcña m¶ng nhiÒu chiÒu c¸c to¸n tö ®o ®−îc kh¶ tÝch ®Òu trong ®¹i sè von
Neumann. C¸c kÕt qu¶ nµy lµ sù më réng mét sè kÕt qu¶ gÇn ®©y (xem [4], [6], [8]).
I. Më ®Çu
Trong thêi gian gÇn ®©y cã nhiÒu bµi b¸o nghiªn cøu vÒ sù héi tô theo trung b×nh
vµ luËt yÕu sè lín ®èi víi m¶ng nhiÒu chØ sè c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch ®Òu (xem
[1],[5],[8],. . . ). ViÖc nghiªn cøu nh÷ng kÕt qu¶ t−¬ng tù trong lý thuyÕt x¸c suÊt
kh«ng giao ho¸n còng ®ang ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m. Bµi b¸o nµy nghiªn
cøu vÒ sù héi tô trong kh«ng gian Lp(p= 1,2) cña m¶ng nhiÒu chØ sè c¸c to¸n tö ®o
®−îc kh¶ tÝch ®Òu.
Trong suèt bµi b¸o, ta lu«n gi¶ sö Hlµ kh«ng gian Hilbert phøc; Alµ ®¹i sè von
Neumann cña c¸c to¸n tö t¸c ®éng lªn kh«ng gian Hilbert Hvíi tr¹ng th¸i vÕt chuÈn
t¾c, chÝnh x¸c τ;˜
Alµ ®¹i sè c¸c to¸n tö ®o ®−îc t−¬ng øng theo nghÜa Segal- Nelson
(xem [3]). Víi p > 0, x ∈ A, ®Æt kxkp= [τ(|x|p)]1/p, víi |x|lµ to¸n tö d−¬ng duy
nhÊt x¸c ®Þnh bëi ®¼ng thøc |x|2=x∗x. Khi ®ã, (A,k.kp)lµ mét kh«ng gian ®Þnh
chuÈn. Ký hiÖu Lp(A, τ )lµ kh«ng gian Banach bÐ nhÊt chøa (A,k.kp), ta cã
Lp(A, τ) := {x∈˜
A:τ(|x|p)<∞}.
§èi víi mçi to¸n tö tù liªn hîp x∈˜
A, ta kÝ hiÖu eM(x)lµ phÐp chiÕu phæ cña x
t−¬ng øng víi tËp Borel M⊂R. Hai to¸n tö tù liªn hîp x, y ∈˜
A®−îc gäi lµ cã cïng
ph©n phèi nÕu τ(eM(x)) = τ(eM(y)) víi mäi tËp Borel M⊂R.
Víi dlµ sè nguyªn d−¬ng cho tr−íc, ®Æt
Nd=n= (n1, n2, . . . , nd), ni∈N, i = 1, . . . , d.
Nd®−îc s¾p thø tù bé phËn bëi quan hÖ:
km⇔ki6mi,víi mäi i= 1, . . . , d
víi k= (k1, k2, . . . , nd), m = (m1, m2, . . . , md).
Víi n∈Nd, n = (n1, n2, . . . , nd), ta ®Æt
|n|=
d
Y
i=1
ni= Card{k∈Nd, k n}.
1NhËn bµi ngµy 11/12/2008. Söa ch÷a xong 06/4/2009.
Cho m¶ng (xn, n ∈Nd)⊂Lp(A, τ )vµ x∈Lp(A, τ ). Ta nãi (xn, n ∈Nd)héi tô
(i) theo t«p« ®é ®o tíi xvµ viÕt xn
τ
−→ xnÕu
lim
|n|→∞ τ(e[ε,∞)(|xn−x|)) = 0 víi mäi ε > 0.
(ii) trong kh«ng gian Lptíi xvµ viÕt xn
Lp
−→ xnÕu
lim
|n|→∞ τ(|xn−x|p)=0.
Hai ®¹i sè con A1,A2cña A®−îc gäi lµ ®éc lËp, nÕu víi mäi x∈ A1, y ∈ A2ta cã
τ(xy) = τ(x)τ(y).
Hai phÇn tö x, y ∈˜
A®−îc gäi lµ ®éc lËp nÕu c¸c ®¹i sè sinh bëi xvµ yt−¬ng øng
lµ ®éc lËp.
M¶ng (xn, n ∈Nd)⊂˜
A®−îc gäi lµ ®éc lËp ®«i mét, nÕu víi mäi m, n ∈N, n 6=m
th× c¸c to¸n tö xn,xm®éc lËp.
M¶ng (xn, n ∈Nd)⊂˜
Agäi lµ kh¶ tÝch ®Òu nÕu
(i) sup
n∈Nd
τ(|xn|)<∞,
(ii)∀ε > 0,∃c > 0 : sup
n∈Nd
τ|xn|e[c,∞)(|xn|)< ε.
Gi¶ sö m¶ng (xn, n ∈Nd)⊂˜
Avµ x∈˜
A. Khi ®ã, nÕu tån t¹i mét h»ng sè C > 0
sao cho víi mäi λ > 0vµ mäi n∈Nd
τe[λ,∞)(|xn|)6Cτe[λ,∞)(|x|),
th× ta viÕt (xn)≺x.
§Þnh lý sau lµ d¹ng kh«ng giao ho¸n cña bÊt ®¼ng thøc Tchebyshev.
1.1. §Þnh lý. ([3], §Þnh lý 3.6.1). Gi¶ sö x∈˜
A, g :R+→R+lµ hµm ®o ®−îc
kh«ng gi¶m. Khi ®ã víi mçi ε > 0cho tr−íc ta cã
τ[e[ε,∞)(|x|)] 6τ(g(|x|))
g(ε).
Tõ ®Þnh lý nµy ta suy ra ®−îc hÖ qu¶ sau mµ nã lµ d¹ng kh«ng giao ho¸n cña bÊt
®¼ng thøc Markov.
1.2. HÖ qu¶. NÕu x∈˜
Ath× víi mçi ε > 0, ta cã τe[ε,∞)(|x|)6τ|x|p
εp,víi mäi
p > 0.
Tõ hÖ qu¶ nµy ta cã thÓ suy ra ®−îc r»ng: sù héi tô trong kh«ng gian Lplµ m¹nh
h¬n sù héi tô theo t«p« ®é ®o.
§éc gi¶ quan t©m cã thÓ t×m ®äc th«ng tin ®Çy ®ñ h¬n vÒ x¸c suÊt kh«ng giao
ho¸n trong [3].
II. C¸c kÕt qu¶
Tr−íc hÕt, ta chøng minh bæ ®Ò sau.
2.1. Bæ ®Ò. ([7]) Cho xlµ mét to¸n tö tù liªn hîp cña ˜
A.Khi ®ã víi mçi a∈R, ta cã
τ|x+a|r6Crτ(|x|r) + |a|r,
trong ®ã
Cr=1 nu r61
2r−1nu r > 1.
Chøng minh. Gi¶ sö to¸n tö tù liªn hîp x∈˜
Acã biÓu diÔn phæ lµ
x=Z∞
−∞
λe(dλ).
Khi ®ã, tõ bÊt ®¼ng thøc s¬ cÊp |α+β|r6Cr(|α|r+|β|r), α, β ∈Rta cã
τ(|x+a|r) = Z∞
−∞
|λ+a|rτe(dλ)6CrZ∞
−∞
(|λ|r+|a|r)τe(dλ)=Crτ(|x|r) + |a|r.2
KÕt qu¶ chÝnh cña bµi b¸o nµy lµ ®Þnh lý sau. §©y còng chÝnh lµ d¹ng kh«ng giao
ho¸n cña mét phÇn ®Þnh lý 2.1trong [8].
2.2. §Þnh lý. Cho m¶ng (xn, n ∈Nd)⊂˜
Ac¸c to¸n tö ®éc lËp ®«i mét, tù liªn hîp
sao cho {|xn|, n ∈Nd}kh¶ tÝch ®Òu. Khi ®ã
1
|n|X
in
(xi−τ(xi)) L1
−→ 0khi |n|→∞.
Chøng minh. V× {|xn|} kh¶ tÝch ®Òu nªn víi mäi ε > 0, tån t¹i M > 0sao cho
τ|xn|e[M,∞)(|xn|)< ε, ∀n∈Nd.
Víi mäi n∈N, ta ®Æt x0
n=xne[0,M)(|xn|), x00
n=xne[M,∞)(|xn|). Theo Bæ ®Ò 1, ta cã
τ|x00
n−τ(x00
n)|62τ(|x00
n|)<2ε. Tõ ®ã ta thu ®−îc
τ|X
in
(xi−τ(xi))|6τ|X
in
(x0
i−τ(x0
i))|+τ|X
in
(x00
i−τ(x00
i))|
6[τ|X
in
(x0
i−τ(x0
i))|2]1/2+X
in
τ|x00
i−τ(x00
i)|.
V× m¶ng (xn, n ∈Nd)®éc lËp ®«i mét nªn
τ(
X
inx0
i−τ(x0
i)
2)
=τX
in
(x0
i−τ(x0
i))∗.X
in
(x0
i−τ(x0
i))
=τX
in
|x0
i−τ(x0
i)|2+X
i6=j
[x0
i−τ(x0
i)]∗[x0
j−τ(x0
j)]
=X
in
τ(|x0
i−τ(x0
i)|2) + X
i6=j
τ((x0
i−τ(x0
i))∗[x0
j−τ(x0
j)])
=X
in
τ(|x0
i−τ(x0
i)|2)6X
in
τ(|x0
i|2)6|n|M2.
MÆt kh¸c, nhê bÊt ®¼ng thøc Minkovski vµ lËp luËn trªn ta cã
τ|X
in
(x00
i−τ(x00
i)|6X
in
τ|x00
i−τ(x00
i)|<2|n|ε.
Do ®ã, ta nhËn ®−îc τ|Pin(xi−τ(xi))|6(|n|M2)1/2+ 2|n|ε. §iÒu nµy chøng tá
τ|X
in
(xi−τ(xi))|=o(|n|)khi |n|→∞. §Þnh lý ®−îc chøng minh.
HÖ qu¶ sau lµ d¹ng kh«ng giao ho¸n cña luËt yÕu sè lín. §©y còng chÝnh lµ më
réng HÖ qu¶ 2.4 trong [6].
2.3. HÖ qu¶. Gi¶ sö (xn, n ∈Nd)lµ m¶ng c¸c to¸n tö ®o ®−îc tù liªn hîp, ®éc lËp ®«i
mét, cïng ph©n phèi sao cho τ(|x1|)<∞. Khi ®ã 1
|n|X
in
xi→τ(x1)trong kh«ng
gian L1vµ theo t«p« ®é ®o khi |n| → ∞.Chó ý r»ng nÕu (xn, n ∈Nd)⊂˜
A, x ∈˜
A
sao cho (xn)≺xvµ τ(|x|)<∞th× m¶ng (|xn|, n ∈Nd)kh¶ tÝch ®Òu. Do ®ã ta cã hÖ
qu¶ sau.
2.4. HÖ qu¶. Gi¶ sö (xn, n ∈Nd)lµ m¶ng c¸c to¸n tö ®o ®−îc tù liªn hîp, ®éc lËp
®«i mét, xlµ to¸n tö ®o ®−îc sao cho (xn)≺xvµ τ(|x|)<∞. Khi ®ã 1
|n|X
inxi−
τ(xi)→0trong kh«ng gian L1vµ theo t«p« ®é ®o khi |n|→∞.Víi tr−êng hîp
p= 2, ta cã ®Þnh lý sau.
2.5. §Þnh lý. Cho m¶ng (xn, n ∈Nd)⊂˜
Ac¸c to¸n tö ®éc lËp ®«i mét, tù liªn hîp
sao cho {|xn|2, n ∈Nd}kh¶ tÝch ®Òu. Khi ®ã
1
|n|X
in
(xi−τ(xi)) L2
−→ 0khi |n|→∞.
