Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2008 tác giả. Nguyễn Văn Quảng, Lê Khánh Kiều, Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự hội tụ trong không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều"

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các toán tử đo được khả tích đều"
Sù héi tô trong kh«ng gian cña m¶ng nhiÒu chiÒu c¸c to¸n tö ®o ®−îc kh¶ tÝch ®Òu NguyÔn V¨n Qu¶ng (a) , Lª kh¸nh KiÒu (b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ sù héi tô trong Lp cña m¶ng nhiÒu chiÒu c¸c to¸n tö ®o ®−îc kh¶ tÝch ®Òu trong ®¹i sè von kh«ng gian Neumann. C¸c kÕt qu¶ nµy lµ sù më réng mét sè kÕt qu¶ gÇn ®©y (xem [4], [6], [8]). I. Më ®Çu Trong thêi gian gÇn ®©y cã nhiÒu bµi b¸o nghiªn cøu vÒ sù héi tô theo trung b×nh vµ luËt yÕu sè lín ®èi víi m¶ng nhiÒu chØ sè c¸c biÕn ngÉu nhiªn kh¶ tÝch ®Òu (xem [1], [5], [8],. . . ). ViÖc nghiªn cøu nh÷ng kÕt qu¶ t−¬ng tù trong lý thuyÕt x¸c suÊt kh«ng giao ho¸n còng ®ang ®−îc nhiÒu nhµ to¸n häc quan t©m. Bµi b¸o nµy nghiªn cøu vÒ sù héi tô trong kh«ng gian Lp (p = 1, 2) cña m¶ng nhiÒu chØ sè c¸c to¸n tö ®o ®−îc kh¶ tÝch ®Òu. Trong suèt bµi b¸o, ta lu«n gi¶ sö H lµ kh«ng gian Hilbert phøc; A lµ ®¹i sè von Neumann cña c¸c to¸n tö t¸c ®éng lªn kh«ng gian Hilbert H víi tr¹ng th¸i vÕt chuÈn ˜ t¾c, chÝnh x¸c τ ; A lµ ®¹i sè c¸c to¸n tö ®o ®−îc t−¬ng øng theo nghÜa Segal- Nelson (xem [3]). Víi p > 0, x ∈ A, ®Æt x p = [τ (|x|p )]1/p , víi |x| lµ to¸n tö d−¬ng duy nhÊt x¸c ®Þnh bëi ®¼ng thøc |x|2 = x∗ x. Khi ®ã, (A, . p ) lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn. Ký hiÖu Lp (A, τ ) lµ kh«ng gian Banach bÐ nhÊt chøa (A, . p ), ta cã ˜ Lp (A, τ ) := {x ∈ A : τ (|x|p ) < ∞}. ˜ §èi víi mçi to¸n tö tù liªn hîp x ∈ A, ta kÝ hiÖu e (x) lµ phÐp chiÕu phæ cña x ˜ t−¬ng øng víi tËp Borel ⊂ R. Hai to¸n tö tù liªn hîp x, y ∈ A ®−îc gäi lµ cã cïng ph©n phèi nÕu τ (e (x)) = τ (e (y )) víi mäi tËp Borel ⊂ R. Víi d lµ sè nguyªn d−¬ng cho tr−íc, ®Æt Nd = n = (n1 , n2 , . . . , nd ), ni ∈ N, i = 1, . . . , d . Nd ®−îc s¾p thø tù bé phËn bëi quan hÖ: m ⇔ ki mi , víi mäi i = 1, . . . , d k víi k = (k1 , k2 , . . . , nd ), m = (m1 , m2 , . . . , md ). Víi n ∈ Nd , n = (n1 , n2 , . . . , nd ), ta ®Æt d ni = Card{k ∈ Nd , k |n| = n}. i=1 1 NhËn bµi ngµy 11/12/2008. Söa ch÷a xong 06/4/2009.
Cho m¶ng (xn , n ∈ Nd ) ⊂ Lp (A, τ ) vµ x ∈ Lp (A, τ ). Ta nãi (xn , n ∈ Nd ) héi tô τ (i) theo t«p« ®é ®o tíi x vµ viÕt xn −→ x nÕu lim τ (e[ε,∞) (|xn − x|)) = 0 víi mäi ε > 0. |n|→∞ Lp (ii) trong kh«ng gian Lp tíi x vµ viÕt xn −→ x nÕu lim τ (|xn − x|p ) = 0. |n|→∞ Hai ®¹i sè con A1 , A2 cña A ®−îc gäi lµ ®éc lËp, nÕu víi mäi x ∈ A1 , y ∈ A2 ta cã τ (xy ) = τ (x)τ (y ). ˜ Hai phÇn tö x, y ∈ A ®−îc gäi lµ ®éc lËp nÕu c¸c ®¹i sè sinh bëi x vµ y t−¬ng øng lµ ®éc lËp. ˜ M¶ng (xn , n ∈ Nd ) ⊂ A ®−îc gäi lµ ®éc lËp ®«i mét, nÕu víi mäi m, n ∈ N, n = m th× c¸c to¸n tö xn , xm ®éc lËp. ˜ M¶ng (xn , n ∈ Nd ) ⊂ A gäi lµ kh¶ tÝch ®Òu nÕu (i) sup τ (|xn |) < ∞, n∈Nd (ii)∀ε > 0, ∃c > 0 : sup τ |xn |e[c,∞) (|xn |) < ε. n∈Nd ˜ ˜ Gi¶ sö m¶ng (xn , n ∈ Nd ) ⊂ A vµ x ∈ A. Khi ®ã, nÕu tån t¹i mét h»ng sè C > 0 sao cho víi mäi λ > 0 vµ mäi n ∈ Nd τ e[λ,∞) (|xn |) C τ e[λ,∞) (|x|) , th× ta viÕt (xn ) x. §Þnh lý sau lµ d¹ng kh«ng giao ho¸n cña bÊt ®¼ng thøc Tchebyshev. ˜ 1.1. §Þnh lý. ([3], §Þnh lý 3.6.1). Gi¶ sö x ∈ A, g : R+ → R+ lµ hµm ®o ®−îc kh«ng gi¶m. Khi ®ã víi mçi ε > 0 cho tr−íc ta cã τ (g (|x|)) τ [e[ε,∞) (|x|)] . g ( ε) Tõ ®Þnh lý nµy ta suy ra ®−îc hÖ qu¶ sau mµ nã lµ d¹ng kh«ng giao ho¸n cña bÊt ®¼ng thøc Markov. τ |x|p ˜ 1.2. HÖ qu¶. NÕu x ∈ A th× víi mçi ε > 0, ta cã τ e[ε,∞) (|x|) , víi mäi εp p > 0. Tõ hÖ qu¶ nµy ta cã thÓ suy ra ®−îc r»ng: sù héi tô trong kh«ng gian Lp lµ m¹nh h¬n sù héi tô theo t«p« ®é ®o. §éc gi¶ quan t©m cã thÓ t×m ®äc th«ng tin ®Çy ®ñ h¬n vÒ x¸c suÊt kh«ng giao ho¸n trong [3].
II. C¸c kÕt qu¶ Tr−íc hÕt, ta chøng minh bæ ®Ò sau. ˜ 2.1. Bæ ®Ò. ([7]) Cho x lµ mét to¸n tö tù liªn hîp cña A. Khi ®ã víi mçi a ∈ R, ta cã τ |x + a|r Cr τ (|x|r ) + |a|r , trong ®ã 1 nu r 1 Cr = 2r−1 nu r > 1. ˜ Chøng minh. Gi¶ sö to¸n tö tù liªn hîp x ∈ A cã biÓu diÔn phæ lµ ∞ x= λe(dλ). −∞ Khi ®ã, tõ bÊt ®¼ng thøc s¬ cÊp |α + β |r Cr (|α|r + |β |r ), α, β ∈ R ta cã ∞ ∞ 2 r r (|λ|r + |a|r )τ e(dλ) = Cr τ (|x|r ) + |a|r . τ (|x + a| ) = |λ + a| τ e(dλ) Cr −∞ −∞ KÕt qu¶ chÝnh cña bµi b¸o nµy lµ ®Þnh lý sau. §©y còng chÝnh lµ d¹ng kh«ng giao ho¸n cña mét phÇn ®Þnh lý 2.1 trong [8]. ˜ 2.2. §Þnh lý. Cho m¶ng (xn , n ∈ Nd ) ⊂ A c¸c to¸n tö ®éc lËp ®«i mét, tù liªn hîp d sao cho {|xn |, n ∈ N } kh¶ tÝch ®Òu. Khi ®ã 1 L1 (xi − τ (xi )) −→ 0 khi |n| → ∞. |n| in Chøng minh. V× {|xn |} kh¶ tÝch ®Òu nªn víi mäi ε > 0, tån t¹i M > 0 sao cho τ |xn |e[M,∞) (|xn |) < ε, ∀n ∈ Nd . Víi mäi n ∈ N, ta ®Æt xn = xn e[0,M ) (|xn |), xn = xn e[M,∞) (|xn |). Theo Bæ ®Ò 1, ta cã τ |xn − τ (xn )| 2τ (|xn |) < 2ε. Tõ ®ã ta thu ®−îc τ| (xi − τ (xi ))| τ| (xi − τ (xi ))| + τ | (xi − τ (xi ))| in in in (xi − τ (xi ))|2 ]1/2 + [τ | τ |xi − τ (xi )|. in in
V× m¶ng (xn , n ∈ Nd ) ®éc lËp ®«i mét nªn 2 xi − τ (xi ) τ( ) in (xi − τ (xi ))∗ . (xi − τ (xi )) =τ in in [xi − τ (xi )]∗ [xj − τ (xj )] |xi − τ (xi )|2 + =τ in i=j τ ((xi − τ (xi ))∗ [xj − τ (xj )]) τ (|xi − τ (xi )|2 ) + = in i= j τ (|xi − τ (xi )|2 ) τ (|xi |2 ) |n|M 2 . = in in MÆt kh¸c, nhê bÊt ®¼ng thøc Minkovski vµ lËp luËn trªn ta cã τ| (xi − τ (xi )| τ |xi − τ (xi )| < 2|n|ε. in in (|n|M 2 )1/2 + 2|n|ε. §iÒu nµy chøng tá Do ®ã, ta nhËn ®−îc τ | − τ (xi ))| i n (xi τ| (xi − τ (xi ))| = o(|n|) khi |n| → ∞. §Þnh lý ®−îc chøng minh. in HÖ qu¶ sau lµ d¹ng kh«ng giao ho¸n cña luËt yÕu sè lín. §©y còng chÝnh lµ më réng HÖ qu¶ 2.4 trong [6]. 2.3. HÖ qu¶. Gi¶ sö (xn , n ∈ Nd ) lµ m¶ng c¸c to¸n tö ®o ®−îc tù liªn hîp, ®éc lËp ®«i 1 mét, cïng ph©n phèi sao cho τ (|x1 |) < ∞. Khi ®ã xi → τ (x1 ) trong kh«ng |n| in ˜ ˜ gian L1 vµ theo t«p« ®é ®o khi |n| → ∞. Chó ý r»ng nÕu (xn , n ∈ Nd ) ⊂ A, x ∈ A sao cho (xn ) x vµ τ (|x|) < ∞ th× m¶ng (|xn |, n ∈ Nd ) kh¶ tÝch ®Òu. Do ®ã ta cã hÖ qu¶ sau. 2.4. HÖ qu¶. Gi¶ sö (xn , n ∈ Nd ) lµ m¶ng c¸c to¸n tö ®o ®−îc tù liªn hîp, ®éc lËp 1 x vµ τ (|x|) < ∞. Khi ®ã xi − ®«i mét, x lµ to¸n tö ®o ®−îc sao cho (xn ) |n| in τ (xi ) → 0 trong kh«ng gian L1 vµ theo t«p« ®é ®o khi |n| → ∞. Víi tr−êng hîp p = 2, ta cã ®Þnh lý sau. ˜ 2.5. §Þnh lý. Cho m¶ng (xn , n ∈ Nd ) ⊂ A c¸c to¸n tö ®éc lËp ®«i mét, tù liªn hîp sao cho {|xn |2 , n ∈ Nd } kh¶ tÝch ®Òu. Khi ®ã 1 L2 (xi − τ (xi )) −→ 0 khi |n| → ∞. |n| in
Chøng minh. V× {|xn |2 , n ∈ Nd } kh¶ tÝch ®Òu nªn víi mäi ε > 0, tån t¹i M > 0 sao cho τ |xn |2 e[M,∞) (|xn |) < ε, víi mäi n ∈ Nd . Víi mçi n ∈ Nd , ta ®Æt xn = xn e[0,M ) (|xn |), xn = xn e[M,∞) (|xn |). Khi ®ã nhê Bæ ®Ò 1, ta nhËn ®−îc τ |xn −τ (xn )|2 4τ (|xn |2 ) < 4ε. MÆt kh¸c ta cã (xi − τ (xi ))|2 (xi − τ (xi )|2 + τ | (xi − τ (xi )|2 . τ| τ| in in in V× m¶ng (xn , n ∈ Nd ) ®éc lËp ®«i mét nªn 2 xi − τ (xi ) τ( ) in (xi − τ (xi ))∗ . (xi − τ (xi )) =τ in in [xi − τ (xi )]∗ [xj − τ (xj )] |xi − τ (xi )|2 + =τ in i=j τ ((xi − τ (xi ))∗ [xj − τ (xj )]) τ (|xi − τ (xi )|2 ) + = in i= j τ (|xi − τ (xi )|2 ) τ (|xi |2 ) |n|M 2 . = in in LËp luËn t−¬ng tù, ta cã (xi − τ (xi )|2 τ |xi − τ (xi )|2 τ |xi |2 τ| 4|n|ε. 4 in in in − τ (xi ))|2 (|n|M 2 ) + 4|n|ε. V× thÕ ta cã Do ®ã, ta thu ®−îc τ | i n (xi (xi − τ (xi ))|2 = o(|n|2 ) kh |n| → ∞. τ| in 2 §Þnh lý ®−îc chøng minh. d 2 Chó ý r»ng tõ ®iÒu kiÖn m¶ng (xn , n ∈ N ) bÞ chÆn ®Òu trong L (A, τ ), ta suy ra ®−îc m¶ng (|xn |2 , n ∈ Nd ) kh¶ tÝch ®Òu. Tõ ®ã ta cã 2.6. HÖ qu¶. ([4], §Þnh lÝ 4.1) Gi¶ sö (xn ) lµ d·y c¸c to¸n tö ®o ®−îc tù liªn hîp, ®éc lËp ®«i mét. Khi ®ã, nÕu d·y (xn , n ∈ Nd ) bÞ chÆn ®Òu trong L2 (A, τ ), th× 1 (xk − τ (xk )) → 0, |n| kn trong kh«ng gian L2 vµ theo t«p« ®é ®o khi |n| → ∞.
t i liÖu tham kh¶o [1] M. O. Cabrera, A. I. Volodin, Convergence of randomly weighted sums of Ba- nach space valued random elements under some conditions of uniform integrability, Journal of Mathematical Sciences , Vol.138, No.1 (2006), 5450-5459. [2] Y. S. Chow and H. Teicher, Probability theory: Independence, Interchangeabil- ity, martingale, Springer - Verlag, New York, 1997. [3] R. Jajte, Strong limits theorems in non-commutative probability, Lect. Notes Maths, Springer - Verlag, Berlin and New York, 1110 , 1985. [4] J. M. Lindsay and V. Pata, Some weak laws of large numbers in noncommu- tative probability, Mathematische Zeltschrift, Springer-Verlag (1997), 533-543. [5] A. Rosalsky, M. Sreehari and A. I. Volodin, Mean convergence theorem with or without random indies for randomly weighted sums of random elements in Rademacher type p Banach space, Stochastic Analysis and Applications, 2003, No.5, 1169-1187. [6] Nguyen Van Quang, On the weak law of d-dimensional arrays in von Neumann algebra, Vietnam Journal of Mathematics 30: 3(2003), 261-265. [7] Nguyen Van Quang, On the law of large numbers of Hsu - Robbins type in non-commutative probability, Journal of Mathmatics 22(1994), 50-58. [8] Le Van Thanh, On the Lp -convergence for multidimensional arrays of random variables, International Journal of Mathematics and Mathematics Sciences, 2005: 8(2005),1317-1320. Summary On the Lp -convergence for sequences of measurable operators uniform integrability In this paper, we present some results on the Lp -convergence for multidimensional arrays of uniformly integrable measurable operators in von Neumann algebras. Our results generalize some recent ones (see [4], [6], [8]). (a) Khoa To¸n, Tr−êng §¹i Häc Vinh (b) Cao häc 14, chuyªn ng nh XSTK, Tr−êng §¹i Häc Vinh.