Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
.
.
ĐỀ THI HỌC KỲ II 2017-2018
Môn Thi: GIẢI TÍCH 2
Ngày thi: 28-05-2018
Giờ thi: CA 2
Thời gian: 90 phút
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.
Câu 1: Cho hàm số f(x, y)=6x2y2−2mx3+m2xy2−6y3. Tìm tất các các giá trị thực m
để ∇f(3,−2) vuông góc với vector (2,1).
Câu 2: Cho vật thể Ωgiới hạn bởi nón z=−px2+y2, mặt phẳng z= 0, miền nằm giữa
hai mặt trụ x2+y2= 1 và x2+y2= 4 . Gọi mặt định hướng Slà biên của Ω, lấy
phía trong. Tính I=ZZ
S
3xydydz+z(x2+y2)dxdy.
Câu 3: Cho miền phẳng Dgiới hạn bởi y=x2, y = (x−2)2, x = 2,Clà biên của D, lấy
theo chiều kim đồng hồ.
a/ Chứng minh rằng diện tích của Dđược tính bởi tích phân Z
C
−xdy.
b/ Tìm diện tích miền Dtheo cách tính này.
Câu 4: Tính I=ZZ
S
(x+ 2y−z)dS, trong đó Slà phần mặt phẳng z= 2x−2ybị chắn
bởi các mặt z=x2+y2−2y−3, x = 1, lấy miền x≥1.
Câu 5: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a/
∞
X
n=1
(−1)n+ 4n
n2+ 2αn .
b/
∞
X
n=1
(n2+ 1)(2n+ 1)!!
5n.n!Trong đó : (2n+ 1)!! = 1.3.5...(2n+ 1).
Câu 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi
∞
X
n=1
(−1)n(x+ 2)2n+1
4n−n4
.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Giảng viên Phó Chủ nhiệm bộ môn
TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm TS.Nguyễn Bá Thi
1
ĐÁP ÁN CA 2
Câu 1 (1.5đ)∇f(3,−2) = (4m2−54m+ 144,−12m2−288) (1đ)
∇(3,−2) ⊥(2,1) ⇔4m2+ 108m= 0 ⇔m= 0 hay m=−27 (0.5đ)
Câu 2(2đ) Áp dụng công thức Gauss :
I=−RRR
Ω
(3y+x2+y2)dxdydz=−
2π
R
0
dϕ
2
R
1
dr
0
R
−r
(3rsin ϕ+r2)rdz=−62π
5(0.5đ+1đ+0.5đ)
Đúng 2 trong 3 cận tp cho 0.5đ
Câu 3(2đ) a/ Dùng công thức Green (0.5đ)
b/ S(D) =
2
R
1−x.2xdx+
0
R
4−2dy+
1
R
2−x.2(x−2)dx= 2 (1đ+0.5đ)
Nếu không dùng tp đường chỉ cho tối đa 0.5đ.
Câu 4(1.5đ) Hình chiếu của Slên Oxy, D : (x−1)2+y2≤4, x ≥1(0.5đ)
I=RR
D
(x+ 2y−2x+ 2y)√1+4+4dxdy
= 3
π/2
R
−π/2
dϕ
2
R
0
(1 + rcos ϕ+ 4rsin ϕ)rdr
=−6π−16 = −34,8496 (0.5đ+0.25đ+0.25đ)
Câu 5(1.5đ)
a/ 0< an=(−1)n+ 4n
n2+ 2αn ∼
4n
n2, α ≤0 (T H1)
4
2αn
, α > 0 (T H2)
TH1 : PK theo ĐKC. TH2 : HT ⇔α > 2(0.5đ)
b/ D=2
5(0.5đ) nên ht (0.5đ)
Câu 6(1.5đ) = (x+ 2)
∞
X
n=1
anXnvới an=(−1)n
4n−n4, X =x2
RX= 4, DX= [0,4) (0.5đ+0.5đ),Dx= (−4,0) (0.5đ)
2